Номер 1, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Решите иррациональное уравнение $\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-2} = \sqrt{x+1}$.

1.

Исходное иррациональное уравнение: $ \sqrt{2x - 1} + \sqrt{x - 2} = \sqrt{x + 1} $.

В первую очередь, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными.

$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 2 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \ge 2 \\ x \ge -1 \end{cases} $

Пересечением этих трех условий является $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

Теперь приступим к решению уравнения. Поскольку обе части уравнения неотрицательны (в рамках ОДЗ), мы можем возвести их в квадрат.

$ (\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x - 2})^2 = (\sqrt{x + 1})^2 $

Раскроем скобки в левой части по формуле $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ (2x - 1) + 2\sqrt{(2x - 1)(x - 2)} + (x - 2) = x + 1 $

Упростим выражение:

$ 3x - 3 + 2\sqrt{2x^2 - 4x - x + 2} = x + 1 $

$ 3x - 3 + 2\sqrt{2x^2 - 5x + 2} = x + 1 $

Изолируем оставшийся радикал в одной части уравнения:

$ 2\sqrt{2x^2 - 5x + 2} = x + 1 - (3x - 3) $

$ 2\sqrt{2x^2 - 5x + 2} = -2x + 4 $

Разделим обе части на 2:

$ \sqrt{2x^2 - 5x + 2} = -x + 2 $

Прежде чем снова возводить в квадрат, необходимо учесть, что левая часть (арифметический квадратный корень) не может быть отрицательной. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$ -x + 2 \ge 0 \implies 2 \ge x \implies x \le 2 $

Совмещая это условие с ранее найденной ОДЗ ($x \ge 2$), получаем единственно возможное значение для $x$: $x=2$.

Проверим, является ли $x=2$ корнем исходного уравнения. Подставим его в уравнение:

$ \sqrt{2(2) - 1} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{2 + 1} $

$ \sqrt{4 - 1} + \sqrt{0} = \sqrt{3} $

$ \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3} $

$ \sqrt{3} = \sqrt{3} $

Равенство верное, следовательно, $x=2$ является решением.

(Альтернативное продолжение после получения $ \sqrt{2x^2 - 5x + 2} = -x + 2 $)

Возведем обе части в квадрат (с учетом ОДЗ и условия $x \le 2$):

$ (\sqrt{2x^2 - 5x + 2})^2 = (-x + 2)^2 $

$ 2x^2 - 5x + 2 = x^2 - 4x + 4 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$ 2x^2 - x^2 - 5x + 4x + 2 - 4 = 0 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$) и дополнительному условию ($x \le 2$).

1. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет обоим условиям ($2 \ge 2$ и $2 \le 2$).

2. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ ($ -1 \not\ge 2 $), следовательно, это посторонний корень.

Единственным решением является $x = 2$.

Ответ: $2$