Номер 3, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x-y=1, \\ x^3-y^3=7. \end{cases}$

Данная система уравнений:

$$\begin{cases}x - y = 1 \\x^3 - y^3 = 7\end{cases}$$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 1 + y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(1 + y)^3 - y^3 = 7$

Для раскрытия скобок применим формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 + y^3) - y^3 = 7$

$1 + 3y + 3y^2 + y^3 - y^3 = 7$

Приведем подобные слагаемые. Члены $y^3$ и $-y^3$ взаимно уничтожаются:

$3y^2 + 3y + 1 = 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3y^2 + 3y + 1 - 7 = 0$

$3y^2 + 3y - 6 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 3:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = 1 + y$.

1. При $y_1 = 1$:

$x_1 = 1 + 1 = 2$

Таким образом, первая пара решений – $(2; 1)$.

2. При $y_2 = -2$:

$x_2 = 1 + (-2) = 1 - 2 = -1$

Таким образом, вторая пара решений – $(-1; -2)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Для пары $(2; 1)$:

$2 - 1 = 1$ (верно)

$2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$ (верно)

Для пары $(-1; -2)$:

$-1 - (-2) = -1 + 2 = 1$ (верно)

$(-1)^3 - (-2)^3 = -1 - (-8) = -1 + 8 = 7$ (верно)

Обе пары чисел удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: $(2; 1)$, $(-1; -2)$.