Номер 7, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. Решите уравнение $x^2 + \frac{16}{x^2} - 5x + \frac{20}{x} = 2$.

Данное уравнение: $x^2 + \frac{16}{x^2} - 5x + \frac{20}{x} = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае $x \neq 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их следующим образом:

$(x^2 + \frac{16}{x^2}) + (-5x + \frac{20}{x}) - 2 = 0$

Вынесем общий множитель во второй группе слагаемых:

$(x^2 + \frac{16}{x^2}) - 5(x - \frac{4}{x}) - 2 = 0$

Это уравнение является симметрическим (или возвратным) и решается с помощью введения новой переменной. Введем замену:

$y = x - \frac{4}{x}$

Теперь выразим слагаемое $(x^2 + \frac{16}{x^2})$ через $y$. Для этого возведем в квадрат обе части равенства замены:

$y^2 = (x - \frac{4}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2 = x^2 - 8 + \frac{16}{x^2}$

Отсюда следует, что $x^2 + \frac{16}{x^2} = y^2 + 8$.

Подставим полученные выражения в преобразованное уравнение:

$(y^2 + 8) - 5y - 2 = 0$

Упростим его и получим стандартное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$y_1 = 2$

$y_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. При $y = 2$:

$x - \frac{4}{x} = 2$

Умножим уравнение на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 - 4 = 2x$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

Таким образом, мы получили два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{5}$.

2. При $y = 3$:

$x - \frac{4}{x} = 3$

Умножим уравнение на $x$:

$x^2 - 4 = 3x$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить разложением на множители:

$(x-4)(x+1) = 0$

Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 4$ и $x_4 = -1$.

Все четыре найденных значения ($1 + \sqrt{5}$, $1 - \sqrt{5}$, $4$, $-1$) не равны нулю, следовательно, все они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $4; -1; 1 + \sqrt{5}; 1 - \sqrt{5}$.