Номер 5, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Постройте график функции $y=x^2+4x-20$.

Для построения графика функции $y = x^2 + 4x - 20$ необходимо выполнить последовательный анализ функции.

Определение вида графика и направления ветвей

Функция $y = x^2 + 4x - 20$ является квадратичной, так как представлена в виде $y = ax^2 + bx + c$. Ее графиком является парабола. Коэффициент при старшем члене $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Для данной функции $a=1$, $b=4$, $c=-20$.

Вычисляем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$

Вычисляем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 20 = 4 - 8 - 20 = -24$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2; -24)$.

Нахождение оси симметрии

Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_0$, то есть $x = -2$.

Нахождение точек пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (Oy):

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 20 = -20$

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -20)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, необходимо приравнять $y$ к нулю и решить квадратное уравнение $x^2 + 4x - 20 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 16 + 80 = 96$

Так как $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках. Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{6}$

Точки пересечения с осью Ox: $(-2 - 2\sqrt{6}; 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{6}; 0)$.

Для удобства построения можно найти их приблизительные значения, учитывая, что $\sqrt{6} \approx 2.45$:

$x_1 \approx -2 - 2 \cdot 2.45 = -2 - 4.9 = -6.9$

$x_2 \approx -2 + 2 \cdot 2.45 = -2 + 4.9 = 2.9$

Таким образом, точки пересечения с осью Ox примерно $(-6.9; 0)$ и $(2.9; 0)$.

Нахождение дополнительных точек

Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек. Удобно использовать симметрию относительно оси $x=-2$.

Мы уже имеем точку $(0; -20)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-2$ будет иметь абсциссу $x = -4$. Ордината будет такой же, то есть $-20$. Точка $(-4; -20)$.

Возьмем $x=1$:

$y(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 - 20 = 1 + 4 - 20 = -15$. Точка $(1; -15)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x=-5$ и ординату $-15$. Точка $(-5; -15)$.

Возьмем $x=2$:

$y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 - 20 = 4 + 8 - 20 = -8$. Точка $(2; -8)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x=-6$ и ординату $-8$. Точка $(-6; -8)$.

Ключевые точки для построения: $(-6; -8)$, $(-5; -15)$, $(-4; -20)$, $(-2; -24)$ (вершина), $(0; -20)$, $(1; -15)$, $(2; -8)$.

Построение графика

На координатной плоскости отмечаем вершину, точки пересечения с осями и дополнительные точки. Затем соединяем их плавной кривой линией, получая параболу.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 + 4x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы расположена в точке с координатами $(-2; -24)$. Ось симметрии графика — прямая $x = -2$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -20)$ и ось Ox в точках $(-2 - 2\sqrt{6}; 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{6}; 0)$.