Номер 2, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. Решите дробно-рациональное уравнение $ \frac{x+8}{x-8} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{10}{3} $.

Дано дробно-рациональное уравнение:

$\frac{x+8}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{10}{3}$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей в уравнении не должны равняться нулю. Поэтому устанавливаем ограничения для переменной $x$:

$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Таким образом, ОДЗ: $x$ – любое число, кроме $3$ и $-3$.

2. Приведение к общему знаменателю и упрощение

Чтобы решить уравнение, приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:

$\frac{(x+8)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{10}{3}$

Выполним сложение дробей в левой части, предварительно раскрыв скобки в числителях:

$(x+8)(x+3) = x^2 + 3x + 8x + 24 = x^2 + 11x + 24$

$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

Подставим полученные выражения в числитель:

$\frac{(x^2 + 11x + 24) + (x^2 - 6x + 9)}{x^2 - 9} = \frac{10}{3}$

Приведём подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2x^2 + 5x + 33}{x^2 - 9} = \frac{10}{3}$

3. Решение полученного уравнения

Воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$3(2x^2 + 5x + 33) = 10(x^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$6x^2 + 15x + 99 = 10x^2 - 90$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$10x^2 - 6x^2 - 15x - 90 - 99 = 0$

$4x^2 - 15x - 189 = 0$

4. Нахождение корней квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=4, b=-15, c=-189$

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-189) = 225 - 16(-189) = 225 + 3024 = 3249$

Найдём корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-15) + 57}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 57}{8} = \frac{72}{8} = 9$

$x_2 = \frac{-(-15) - 57}{2 \cdot 4} = \frac{15 - 57}{8} = \frac{-42}{8} = -\frac{21}{4} = -5.25$

5. Проверка корней

Оба найденных корня, $x_1 = 9$ и $x_2 = -5.25$, не равны $3$ и $-3$, поэтому они входят в область допустимых значений и являются решениями уравнения.

Ответ: $9; -5.25$.