Номер 4, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Упростите выражение

$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \cos(\pi + \alpha) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\operatorname{tg}(2\pi - \alpha)}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения. Упростим каждый тригонометрический член в числителе и знаменателе по отдельности.

1. $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $: Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в третьей координатной четверти, где синус имеет отрицательное значение. Поскольку в аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, синус меняется на свою кофункцию, то есть косинус. Таким образом, $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $.

2. $ \cos(\pi + \alpha) $: Угол $ \pi + \alpha $ находится в третьей координатной четверти, где косинус имеет отрицательное значение. Поскольку в аргументе присутствует $ \pi $, функция не меняется. Таким образом, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $.

3. $ \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $: Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в четвертой координатной четверти, где котангенс имеет отрицательное значение. Поскольку в аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, котангенс меняется на свою кофункцию, то есть тангенс. Таким образом, $ \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha $.

4. $ \operatorname{tg}(2\pi - \alpha) $: Угол $ 2\pi - \alpha $ находится в четвертой координатной четверти, где тангенс имеет отрицательное значение. Поскольку в аргументе присутствует $ 2\pi $, функция не меняется. Таким образом, $ \operatorname{tg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha $.

Теперь подставим полученные упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\operatorname{tg}(2\pi - \alpha)} = \frac{(-\cos\alpha) \cdot (-\cos\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}\alpha)}{-\operatorname{tg}\alpha} $

Выполним умножение в числителе и упростим полученное выражение:

$ \frac{\cos^2\alpha \cdot (-\operatorname{tg}\alpha)}{-\operatorname{tg}\alpha} $

Сокращаем дробь на $ -\operatorname{tg}\alpha $ (при условии, что $ \operatorname{tg}\alpha \neq 0 $, что следует из области допустимых значений исходного выражения):

$ \frac{\cos^2\alpha \cdot \cancel{(-\operatorname{tg}\alpha)}}{\cancel{-\operatorname{tg}\alpha}} = \cos^2\alpha $

Ответ: $ \cos^2\alpha $.