Номер 2, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. Решите систему неравенств $ \begin{cases} 6x^2 - 29x + 30 \le 0, \\ 5x + 2 > 3x^2. \end{cases} $

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство: $6x^2 - 29x + 30 \le 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 29x + 30 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 30 = 841 - 720 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{29 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{29 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$

Графиком функции $y = 6x^2 - 29x + 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $6x^2 - 29x + 30 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [\frac{3}{2}; \frac{10}{3}]$.

2. Решим второе неравенство: $5x + 2 > 3x^2$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$3x^2 - 5x - 2 < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Графиком функции $y = 3x^2 - 5x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $3x^2 - 5x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями, не включая сами корни.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\frac{1}{3}; 2)$.

3. Найдем пересечение решений

Теперь необходимо найти пересечение двух полученных множеств решений:

$[\frac{3}{2}; \frac{10}{3}] \cap (-\frac{1}{3}; 2)$

Представим значения на числовой оси: $\frac{3}{2} = 1.5$, а $\frac{10}{3} \approx 3.33$.

Первый интервал — это отрезок $[1.5; 3.33...]$.

Второй интервал — это $(-0.33...; 2)$.

Пересечением этих двух множеств является интервал, где они оба выполняются, то есть от $\frac{3}{2}$ до $2$. Поскольку $\frac{3}{2}$ входит в оба множества, скобка будет квадратной. Число $2$ не входит во второе множество, поэтому скобка будет круглой.

Таким образом, общее решение системы неравенств: $x \in [\frac{3}{2}; 2)$.

Ответ: $[\frac{3}{2}; 2)$.