Страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. Выполните преобразование $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$.

Выполним преобразование выражения по частям. Сначала сложим первые две дроби: $ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $. Приведем их к общему знаменателю $ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) $. Используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, получаем знаменатель $ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 $. Сумма дробей примет вид: $ \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{2} $. Раскроем квадраты в числителе: $ (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} $, а $ (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} $. Тогда числитель равен $ (8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) = 16 $. Таким образом, сумма первых двух дробей равна $ \frac{16}{2} = 8 $.

Теперь упростим третью дробь, $ \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} $. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{5}+1) $: $ \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{(\sqrt{5}+1)^2}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} $. Сократив дробь на 2, получим $ \frac{2(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $.

Наконец, найдем значение всего выражения, выполнив вычитание: $ 8 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $. Приведем к общему знаменателю 2: $ \frac{16}{2} - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{16 - (3 + \sqrt{5})}{2} = \frac{16 - 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{13 - \sqrt{5}}{2} $.

Ответ: $ \frac{13 - \sqrt{5}}{2} $

2. Решите дробно-рациональное уравнение $ \frac{x+8}{x-8} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{10}{3} $.

Дано дробно-рациональное уравнение:

$\frac{x+8}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{10}{3}$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей в уравнении не должны равняться нулю. Поэтому устанавливаем ограничения для переменной $x$:

$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Таким образом, ОДЗ: $x$ – любое число, кроме $3$ и $-3$.

2. Приведение к общему знаменателю и упрощение

Чтобы решить уравнение, приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:

$\frac{(x+8)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{10}{3}$

Выполним сложение дробей в левой части, предварительно раскрыв скобки в числителях:

$(x+8)(x+3) = x^2 + 3x + 8x + 24 = x^2 + 11x + 24$

$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

Подставим полученные выражения в числитель:

$\frac{(x^2 + 11x + 24) + (x^2 - 6x + 9)}{x^2 - 9} = \frac{10}{3}$

Приведём подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2x^2 + 5x + 33}{x^2 - 9} = \frac{10}{3}$

3. Решение полученного уравнения

Воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$3(2x^2 + 5x + 33) = 10(x^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$6x^2 + 15x + 99 = 10x^2 - 90$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$10x^2 - 6x^2 - 15x - 90 - 99 = 0$

$4x^2 - 15x - 189 = 0$

4. Нахождение корней квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=4, b=-15, c=-189$

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-189) = 225 - 16(-189) = 225 + 3024 = 3249$

Найдём корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-15) + 57}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 57}{8} = \frac{72}{8} = 9$

$x_2 = \frac{-(-15) - 57}{2 \cdot 4} = \frac{15 - 57}{8} = \frac{-42}{8} = -\frac{21}{4} = -5.25$

5. Проверка корней

Оба найденных корня, $x_1 = 9$ и $x_2 = -5.25$, не равны $3$ и $-3$, поэтому они входят в область допустимых значений и являются решениями уравнения.

Ответ: $9; -5.25$.

3. Решите систему линейных уравнений

$$\begin{cases} 3x + 5y = 8, \\ -3x + y = -2. \end{cases}$$

Данную систему линейных уравнений удобно решить методом алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях являются противоположными числами ($3$ и $-3$).

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 3x + 5y = 8, \\ -3x + y = -2.\end{cases}$

Сложим почленно левые и правые части уравнений системы:

$(3x + 5y) + (-3x + y) = 8 + (-2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + 5y - 3x + y = 6$

$(3x - 3x) + (5y + y) = 6$

$6y = 6$

Теперь найдем значение переменной $y$:

$y = \frac{6}{6}$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y = 1$ в любое из уравнений исходной системы, чтобы найти $x$. Удобнее подставить во второе уравнение, так как оно проще:

$-3x + y = -2$

$-3x + 1 = -2$

Перенесем $1$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$-3x = -2 - 1$

$-3x = -3$

Найдем значение переменной $x$:

$x = \frac{-3}{-3}$

$x = 1$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=1$ и $y=1$ в оба исходных уравнения:

1. Проверка для первого уравнения $3x + 5y = 8$:

$3(1) + 5(1) = 3 + 5 = 8$

$8 = 8$ (верно)

2. Проверка для второго уравнения $-3x + y = -2$:

$-3(1) + 1 = -3 + 1 = -2$

$-2 = -2$ (верно)

Оба уравнения обратились в верные числовые равенства, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $(1; 1)$.

4. Упростите выражение

$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \cos(\pi + \alpha) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\operatorname{tg}(2\pi - \alpha)}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения. Упростим каждый тригонометрический член в числителе и знаменателе по отдельности.

1. $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $: Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в третьей координатной четверти, где синус имеет отрицательное значение. Поскольку в аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, синус меняется на свою кофункцию, то есть косинус. Таким образом, $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $.

2. $ \cos(\pi + \alpha) $: Угол $ \pi + \alpha $ находится в третьей координатной четверти, где косинус имеет отрицательное значение. Поскольку в аргументе присутствует $ \pi $, функция не меняется. Таким образом, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $.

3. $ \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $: Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в четвертой координатной четверти, где котангенс имеет отрицательное значение. Поскольку в аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, котангенс меняется на свою кофункцию, то есть тангенс. Таким образом, $ \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha $.

4. $ \operatorname{tg}(2\pi - \alpha) $: Угол $ 2\pi - \alpha $ находится в четвертой координатной четверти, где тангенс имеет отрицательное значение. Поскольку в аргументе присутствует $ 2\pi $, функция не меняется. Таким образом, $ \operatorname{tg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha $.

Теперь подставим полученные упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\operatorname{tg}(2\pi - \alpha)} = \frac{(-\cos\alpha) \cdot (-\cos\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}\alpha)}{-\operatorname{tg}\alpha} $

Выполним умножение в числителе и упростим полученное выражение:

$ \frac{\cos^2\alpha \cdot (-\operatorname{tg}\alpha)}{-\operatorname{tg}\alpha} $

Сокращаем дробь на $ -\operatorname{tg}\alpha $ (при условии, что $ \operatorname{tg}\alpha \neq 0 $, что следует из области допустимых значений исходного выражения):

$ \frac{\cos^2\alpha \cdot \cancel{(-\operatorname{tg}\alpha)}}{\cancel{-\operatorname{tg}\alpha}} = \cos^2\alpha $

Ответ: $ \cos^2\alpha $.

5. Постройте график функции $y=x^2+4x-20$.

Для построения графика функции $y = x^2 + 4x - 20$ необходимо выполнить последовательный анализ функции.

Определение вида графика и направления ветвей

Функция $y = x^2 + 4x - 20$ является квадратичной, так как представлена в виде $y = ax^2 + bx + c$. Ее графиком является парабола. Коэффициент при старшем члене $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Для данной функции $a=1$, $b=4$, $c=-20$.

Вычисляем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$

Вычисляем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 20 = 4 - 8 - 20 = -24$

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2; -24)$.

Нахождение оси симметрии

Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_0$, то есть $x = -2$.

Нахождение точек пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (Oy):

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 20 = -20$

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -20)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, необходимо приравнять $y$ к нулю и решить квадратное уравнение $x^2 + 4x - 20 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 16 + 80 = 96$

Так как $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках. Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{6}$

Точки пересечения с осью Ox: $(-2 - 2\sqrt{6}; 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{6}; 0)$.

Для удобства построения можно найти их приблизительные значения, учитывая, что $\sqrt{6} \approx 2.45$:

$x_1 \approx -2 - 2 \cdot 2.45 = -2 - 4.9 = -6.9$

$x_2 \approx -2 + 2 \cdot 2.45 = -2 + 4.9 = 2.9$

Таким образом, точки пересечения с осью Ox примерно $(-6.9; 0)$ и $(2.9; 0)$.

Нахождение дополнительных точек

Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек. Удобно использовать симметрию относительно оси $x=-2$.

Мы уже имеем точку $(0; -20)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-2$ будет иметь абсциссу $x = -4$. Ордината будет такой же, то есть $-20$. Точка $(-4; -20)$.

Возьмем $x=1$:

$y(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 - 20 = 1 + 4 - 20 = -15$. Точка $(1; -15)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x=-5$ и ординату $-15$. Точка $(-5; -15)$.

Возьмем $x=2$:

$y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 - 20 = 4 + 8 - 20 = -8$. Точка $(2; -8)$.

Симметричная ей точка имеет абсциссу $x=-6$ и ординату $-8$. Точка $(-6; -8)$.

Ключевые точки для построения: $(-6; -8)$, $(-5; -15)$, $(-4; -20)$, $(-2; -24)$ (вершина), $(0; -20)$, $(1; -15)$, $(2; -8)$.

Построение графика

На координатной плоскости отмечаем вершину, точки пересечения с осями и дополнительные точки. Затем соединяем их плавной кривой линией, получая параболу.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 + 4x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы расположена в точке с координатами $(-2; -24)$. Ось симметрии графика — прямая $x = -2$. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -20)$ и ось Ox в точках $(-2 - 2\sqrt{6}; 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{6}; 0)$.

6. Решите рациональное неравенство $x^3 - 25x \le 0$.

6.

Для решения неравенства $x^3 - 25x \le 0$ воспользуемся методом интервалов. Вначале найдем корни соответствующего уравнения $x^3 - 25x = 0$.

Разложим левую часть уравнения на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 25) = 0$

Далее применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$x(x - 5)(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни уравнения:

$x_1 = 0$

$x_2 - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$

$x_3 + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = -5$

Теперь отметим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: $-5$, $0$, $5$. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\le$), точки будут закрашенными, то есть они включаются в решение.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения $x(x - 5)(x + 5)$ в каждом из этих интервалов.

• Возьмем точку из интервала $(5; +\infty)$, например $x=6$. Получим: $6(6-5)(6+5) = 6 \cdot 1 \cdot 11 = 66$. Значение положительное (+).
• Возьмем точку из интервала $(0; 5)$, например $x=1$. Получим: $1(1-5)(1+5) = 1 \cdot (-4) \cdot 6 = -24$. Значение отрицательное (−).
• Возьмем точку из интервала $(-5; 0)$, например $x=-1$. Получим: $(-1)(-1-5)(-1+5) = (-1) \cdot (-6) \cdot 4 = 24$. Значение положительное (+).
• Возьмем точку из интервала $(-\infty; -5)$, например $x=-6$. Получим: $(-6)(-6-5)(-6+5) = (-6) \cdot (-11) \cdot (-1) = -66$. Значение отрицательное (−).

Согласно условию $x^3 - 25x \le 0$, нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "−" и сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -5]$ и $[0; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [0; 5]$.

7. Решите уравнение $x^2 + \frac{16}{x^2} - 5x + \frac{20}{x} = 2$.

Данное уравнение: $x^2 + \frac{16}{x^2} - 5x + \frac{20}{x} = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. В данном случае $x \neq 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их следующим образом:

$(x^2 + \frac{16}{x^2}) + (-5x + \frac{20}{x}) - 2 = 0$

Вынесем общий множитель во второй группе слагаемых:

$(x^2 + \frac{16}{x^2}) - 5(x - \frac{4}{x}) - 2 = 0$

Это уравнение является симметрическим (или возвратным) и решается с помощью введения новой переменной. Введем замену:

$y = x - \frac{4}{x}$

Теперь выразим слагаемое $(x^2 + \frac{16}{x^2})$ через $y$. Для этого возведем в квадрат обе части равенства замены:

$y^2 = (x - \frac{4}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2 = x^2 - 8 + \frac{16}{x^2}$

Отсюда следует, что $x^2 + \frac{16}{x^2} = y^2 + 8$.

Подставим полученные выражения в преобразованное уравнение:

$(y^2 + 8) - 5y - 2 = 0$

Упростим его и получим стандартное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$y_1 = 2$

$y_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. При $y = 2$:

$x - \frac{4}{x} = 2$

Умножим уравнение на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 - 4 = 2x$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

Таким образом, мы получили два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{5}$.

2. При $y = 3$:

$x - \frac{4}{x} = 3$

Умножим уравнение на $x$:

$x^2 - 4 = 3x$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить разложением на множители:

$(x-4)(x+1) = 0$

Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 4$ и $x_4 = -1$.

Все четыре найденных значения ($1 + \sqrt{5}$, $1 - \sqrt{5}$, $4$, $-1$) не равны нулю, следовательно, все они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $4; -1; 1 + \sqrt{5}; 1 - \sqrt{5}$.

8. Айдар положил деньги на депозит банка. Банк обеспечивает 10%-й рост депозита в год при условии, что клиент не снимает в течение года никакую сумму. В течение 4-х лет Айдар не снимал и не вкладывал деньги. Его депозит увеличился в $k$ раз. Какое из следующих чисел ближе всего к $k$: а) 1,4641; б) 1,331; в) 0,14641; г) 4,4?

Данная задача решается с использованием формулы сложных процентов. Пусть начальная сумма депозита равна $S_0$.

Годовая процентная ставка составляет 10%. Это означает, что каждый год сумма на счете увеличивается, умножаясь на коэффициент $1 + \frac{10}{100} = 1,1$.

Поскольку Айдар не снимал и не вкладывал деньги в течение 4-х лет, капитализация процентов происходила ежегодно. Сумма на счете через 4 года ($S_4$) будет рассчитываться следующим образом:

$S_4 = S_0 \cdot (1,1)^4$

В задаче говорится, что депозит увеличился в $k$ раз. Это означает, что $k$ — это отношение конечной суммы к начальной:

$k = \frac{S_4}{S_0}$

Подставим выражение для $S_4$ в эту формулу:

$k = \frac{S_0 \cdot (1,1)^4}{S_0} = (1,1)^4$

Теперь необходимо вычислить значение $(1,1)^4$:

$(1,1)^2 = 1,1 \cdot 1,1 = 1,21$

$(1,1)^4 = (1,1)^2 \cdot (1,1)^2 = 1,21 \cdot 1,21 = 1,4641$

Таким образом, мы получили, что $k = 1,4641$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он точно совпадает с вариантом а).

а) 1,4641 - верный ответ.

б) 1,331 - это значение было бы верным для 3 лет ($ (1,1)^3 = 1,331 $).

в) 0,14641 - это величина, на которую увеличился вклад ( $1,4641 - 1 = 0,4641$, так что и этот вариант не подходит), а не во сколько раз он увеличился.

г) 4,4 - это результат ошибочного действия $1,1 \cdot 4$, что соответствует простому, а не сложному проценту, и то с неверной логикой.

Ответ: а) 1,4641

1. Выполните действия $(\frac{b}{a^2-ab} - \frac{1}{a-b}) : (\frac{a+b}{a^2-ab} - \frac{b}{ab-b^2})$

Для решения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упрощение выражения в первых скобках

Выполним вычитание дробей в первых скобках: $ \frac{b}{a^2-ab} - \frac{1}{a-b} $.

Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители: $ a^2-ab = a(a-b) $.

Теперь выражение выглядит так: $ \frac{b}{a(a-b)} - \frac{1}{a-b} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ a(a-b) $, для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ a $:

$ \frac{b}{a(a-b)} - \frac{1 \cdot a}{(a-b) \cdot a} = \frac{b - a}{a(a-b)} $.

В числителе вынесем знак минус за скобки: $ b-a = -(a-b) $. Получим:

$ \frac{-(a-b)}{a(a-b)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (a-b) $:

$ \frac{-\cancel{(a-b)}}{a\cancel{(a-b)}} = -\frac{1}{a} $.

2. Упрощение выражения во вторых скобках

Выполним вычитание дробей во вторых скобках: $ \frac{a+b}{a^2-ab} - \frac{b}{ab-b^2} $.

Разложим знаменатели на множители:

$ a^2-ab = a(a-b) $

$ ab-b^2 = b(a-b) $

Выражение примет вид: $ \frac{a+b}{a(a-b)} - \frac{b}{b(a-b)} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ ab(a-b) $. Для этого домножим первую дробь на $ b $, а вторую на $ a $:

$ \frac{(a+b) \cdot b}{a(a-b) \cdot b} - \frac{b \cdot a}{b(a-b) \cdot a} = \frac{b(a+b) - ab}{ab(a-b)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{ab + b^2 - ab}{ab(a-b)} = \frac{b^2}{ab(a-b)} $.

Сократим полученную дробь на $ b $:

$ \frac{b^{\cancel{2}}}{a\cancel{b}(a-b)} = \frac{b}{a(a-b)} $.

3. Деление результатов

Теперь разделим результат первого действия на результат второго действия:

$ (-\frac{1}{a}) : (\frac{b}{a(a-b)}) $.

Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$ -\frac{1}{a} \cdot \frac{a(a-b)}{b} $.

Сократим выражение на $ a $:

$ -\frac{1}{\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}(a-b)}{b} = -\frac{a-b}{b} $.

Можно внести знак минус в числитель, поменяв знаки слагаемых:

$ \frac{-(a-b)}{b} = \frac{b-a}{b} $.

Ответ: $ \frac{b-a}{b} $.

2. Решите уравнение $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$.

Данное уравнение $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$ является уравнением, которое можно свести к квадратному, так как степень одного члена в два раза больше степени другого. Заметим, что $x^6 = (x^3)^2$.

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = x^3$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 9t + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$

Поскольку дискриминант $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t_1 = 1$, получаем уравнение:

$x^3 = 1$

Извлекая кубический корень из обеих частей, находим первый корень:

$x_1 = \sqrt[3]{1} = 1$

2. При $t_2 = 8$, получаем уравнение:

$x^3 = 8$

Извлекая кубический корень из обеих частей, находим второй корень:

$x_2 = \sqrt[3]{8} = 2$

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $1; 2$.

3. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x-y=1, \\ x^3-y^3=7. \end{cases}$

Данная система уравнений:

$$\begin{cases}x - y = 1 \\x^3 - y^3 = 7\end{cases}$$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 1 + y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(1 + y)^3 - y^3 = 7$

Для раскрытия скобок применим формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot y + 3 \cdot 1 \cdot y^2 + y^3) - y^3 = 7$

$1 + 3y + 3y^2 + y^3 - y^3 = 7$

Приведем подобные слагаемые. Члены $y^3$ и $-y^3$ взаимно уничтожаются:

$3y^2 + 3y + 1 = 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3y^2 + 3y + 1 - 7 = 0$

$3y^2 + 3y - 6 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 3:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = 1 + y$.

1. При $y_1 = 1$:

$x_1 = 1 + 1 = 2$

Таким образом, первая пара решений – $(2; 1)$.

2. При $y_2 = -2$:

$x_2 = 1 + (-2) = 1 - 2 = -1$

Таким образом, вторая пара решений – $(-1; -2)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Для пары $(2; 1)$:

$2 - 1 = 1$ (верно)

$2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$ (верно)

Для пары $(-1; -2)$:

$-1 - (-2) = -1 + 2 = 1$ (верно)

$(-1)^3 - (-2)^3 = -1 - (-8) = -1 + 8 = 7$ (верно)

Обе пары чисел удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: $(2; 1)$, $(-1; -2)$.