Страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

11. (2) Найдите область определения функции:

а) $f(x)=\sqrt{2+x};$

б) $f(x)=\sqrt{3x+9};$

в) $f(x)=\frac{\sqrt{3x+9}}{\sqrt{2+x}};$

г) $f(x)=\sqrt{\frac{3x+9}{2+x}};$

д) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x-3}}-\sqrt{-x};$

е) $f(x)=\sqrt{|x|};$

ж) $f(x)=\sqrt{-x^2+6x-9}.$

а) Область определения функции $f(x)=\sqrt{2+x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$2+x \ge 0$
$x \ge -2$
Таким образом, область определения — это все числа, большие или равные -2.
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

б) Для функции $f(x)=\sqrt{3x+9}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$3x+9 \ge 0$
$3x \ge -9$
$x \ge -3$
Область определения — это все числа, большие или равные -3.
Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

в) Функция $f(x)=\frac{\sqrt{3x+9}}{\sqrt{2+x}}$ определена, когда выполняются два условия одновременно:
1. Выражение под корнем в числителе неотрицательно: $3x+9 \ge 0$.
2. Выражение под корнем в знаменателе строго положительно (так как деление на ноль недопустимо): $2+x > 0$.
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x+9 \ge 0 \\ 2+x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x \ge -9 \\ x > -2 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -3 \\ x > -2 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x > -2$.
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

г) Для функции $f(x)=\sqrt{\frac{3x+9}{2+x}}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным.
Решим рациональное неравенство методом интервалов:
$\frac{3x+9}{2+x} \ge 0$
Найдем нули числителя: $3x+9=0 \implies x=-3$.
Найдем нули знаменателя: $2+x=0 \implies x=-2$. Точка $x=-2$ будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Нанесем точки -3 (включительно) и -2 (выколота) на числовую ось и определим знаки дроби в полученных интервалах:
- при $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{3(-4)+9}{2-4} = \frac{-3}{-2} > 0$;
- при $-3 < x < -2$ (например, $x=-2.5$): $\frac{3(-2.5)+9}{2-2.5} = \frac{1.5}{-0.5} < 0$;
- при $x > -2$ (например, $x=0$): $\frac{9}{2} > 0$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup (-2; +\infty)$.

д) Область определения функции $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x-3}}-\sqrt{-x}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.
1. Для первого слагаемого $\frac{1}{\sqrt{x^2+2x-3}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$x^2+2x-3 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Парабола $y=x^2+2x-3$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.
2. Для второго слагаемого $\sqrt{-x}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$-x \ge 0 \implies x \le 0$.
То есть, $x \in (-\infty; 0]$.
3. Найдем пересечение полученных множеств: $((-\infty; -3) \cup (1; +\infty)) \cap (-\infty; 0]$.
Пересечением является промежуток $(-\infty; -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

е) Для функции $f(x)=\sqrt{|x|}$ выражение под корнем $|x|$ должно быть неотрицательным.
$|x| \ge 0$
Модуль любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, поэтому это неравенство выполняется для всех действительных $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

ж) Для функции $f(x)=\sqrt{-x^2+6x-9}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$-x^2+6x-9 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2-6x+9 \le 0$
Левая часть является полным квадратом разности:
$(x-3)^2 \le 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Единственный случай, когда это неравенство выполняется, — это когда выражение равно нулю.
$(x-3)^2 = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$.
Следовательно, функция определена только в одной точке.
Ответ: $x=3$.

12. (3) Найдите область определения и множество значений функции:

а) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$

б) $y=-x^2+4x+5$

в) $y=(-x^2+4x+5)^{-2}$

а) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$

Область определения ($D(y)$):
Функция представляет собой квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x^2 + 2x + 3 \ge 0$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем ее дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 3$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $x^2 + 2x + 3 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений $x$.
Область определения функции — все действительные числа.

Множество значений ($E(y)$):
Чтобы найти множество значений функции, найдем минимальное значение подкоренного выражения $g(x) = x^2 + 2x + 3$. Для этого выделим полный квадрат:
$x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 + 3 = (x+1)^2 + 2$.
Наименьшее значение выражения $(x+1)^2$ равно 0 (при $x = -1$). Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения равно $0 + 2 = 2$.
Таким образом, подкоренное выражение принимает значения из промежутка $[2; +\infty)$.
Функция $y = \sqrt{g(x)}$ является возрастающей, поэтому ее множество значений будет $[\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [\sqrt{2}; +\infty)$.

б) $y = -x^2 + 4x + 5$

Область определения ($D(y)$):
Данная функция является многочленом (квадратичной функцией), который определен для любых действительных значений $x$.
Область определения функции — все действительные числа.

Множество значений ($E(y)$):
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1 < 0$). Следовательно, функция имеет максимальное значение в своей вершине.
Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
Найдем максимальное значение функции, подставив $x_в = 2$:
$y_в = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает все значения, не превышающие ее максимума.
Множество значений функции: $(-\infty; 9]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; 9]$.

в) $y = (-x^2 + 4x + 5)^{-2}$

Область определения ($D(y)$):
Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{(-x^2 + 4x + 5)^2}$.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$-x^2 + 4x + 5 \neq 0$.
Решим уравнение $-x^2 + 4x + 5 = 0$ (умножим на -1):
$x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Область определения функции: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 5) \cup (5; +\infty)$.

Множество значений ($E(y)$):
Пусть $g(x) = -x^2 + 4x + 5$. Из пункта б) мы знаем, что множество значений этой функции $E(g) = (-\infty; 9]$.
Наша функция имеет вид $y = (g(x))^{-2} = \frac{1}{(g(x))^2}$.
Из-за ограничений области определения, $g(x) \neq 0$. Таким образом, основание степени $g(x)$ может принимать любые значения из множества $(-\infty; 0) \cup (0; 9]$.
Рассмотрим, какие значения принимает $y$:
1. Когда $g(x)$ принимает значения из интервала $(0; 9]$, выражение $(g(x))^2$ принимает значения из $(0; 81]$. Тогда $y = \frac{1}{(g(x))^2}$ принимает значения из $[\frac{1}{81}; +\infty)$. Минимальное значение $y = 1/81$ достигается при $g(x)=9$ (то есть при $x=2$). Когда $g(x) \to 0^+$, $y \to +\infty$.
2. Когда $g(x)$ принимает значения из интервала $(-\infty; 0)$, выражение $(g(x))^2$ принимает значения из $(0; +\infty)$. Тогда $y = \frac{1}{(g(x))^2}$ также принимает значения из $(0; +\infty)$. Когда $g(x) \to -\infty$, $y \to 0^+$. Когда $g(x) \to 0^-$, $y \to +\infty$.
Объединяя множества значений из обоих случаев, получаем:
$[\frac{1}{81}; +\infty) \cup (0; +\infty) = (0; +\infty)$.
Таким образом, функция может принимать любое положительное значение.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 5) \cup (5; +\infty)$, множество значений $E(y) = (0; +\infty)$.

13. (4) Посетите официальный сайт сотового оператора, услугами которого пользуетесь.

а) Проанализируйте тарифный план номера вашего телефона. Составьте приблизительную таблицу ваших расходов за месяц по предоставляемым услугам: Интернет, SMS, разговоры с абонентами вашего сотового оператора, разговоры с абонентами других сотовых операторов, MMS и т.д.

б) Является ли ваш тарифный план оптимальным, учитывая именно ваш режим использования мобильного телефона?

а) Для ответа на данный вопрос смоделируем гипотетическую ситуацию. Предположим, что вы пользуетесь услугами оператора «Старлинк Мобайл» и ваш тарифный план называется «Оптимальный 25».

Параметры тарифного плана «Оптимальный 25»:
- Ежемесячная абонентская плата: 600 рублей.
- Пакет интернет-трафика: 25 ГБ.
- Пакет минут на все номера РФ: 600 минут.
- Звонки на номера «Старлинк Мобайл»: безлимитно (не расходуют основной пакет минут).
- Пакет SMS: 100 сообщений.
- MMS-сообщения: не включены в пакет, стоимость 9.9 руб/шт.

Проанализируем ваш примерный расход за месяц и составим таблицу расходов. Предположим, ваше среднее использование за месяц составило: 22 ГБ интернета, 120 минут звонков внутри сети, 450 минут звонков на другие операторы, 30 SMS и 2 MMS.

Приблизительная таблица расходов за месяц:

Ответ: На основе анализа тарифного плана «Оптимальный 25» и заданного режима использования, была составлена таблица расходов. Общая стоимость услуг за месяц составила 619.80 рублей, включая абонентскую плату и оплату MMS-сообщений, не входящих в пакет.

б) Чтобы определить, является ли тарифный план «Оптимальный 25» оптимальным, необходимо проанализировать соответствие пакетов услуг реальному потреблению и сравнить его с альтернативными предложениями оператора.

Анализ текущего потребления:
- Интернет: Потребление составляет 22 ГБ из 25 ГБ. Остаток в 3 ГБ является хорошим запасом и говорит о том, что пакет подобран правильно.
- Минуты: На звонки другим операторам тратится 450 минут из 600. Остаток в 150 минут достаточен для непредвиденных ситуаций. Пакет не исчерпывается, но и не является избыточно большим.
- SMS: Используется 30 из 100 сообщений. Здесь имеется значительный неизрасходованный остаток, но в современных тарифах пакеты SMS часто имеют невысокую стоимость в общей структуре цены, поэтому это некритично.

Сравнение с гипотетическими альтернативными тарифами:

1. Тариф «Базовый 15» (450 руб/мес, 15 ГБ, 400 мин, стоимость сверх пакета: интернет - 1 ГБ за 100 руб, минуты - 3 руб/мин).
- Потребуется докупить интернет: $22 \text{ ГБ} - 15 \text{ ГБ} = 7 \text{ ГБ}$. Стоимость: $7 \times 100 = 700$ рублей.
- Потребуется докупить минуты: $450 \text{ мин} - 400 \text{ мин} = 50 \text{ мин}$. Стоимость: $50 \times 3 = 150$ рублей.
- Итоговая стоимость составит: $450 + 700 + 150 = 1300$ рублей. Это значительно дороже текущего тарифа.

2. Тариф «Максимум 50» (900 руб/мес, 50 ГБ, 1200 мин).
- Этот тариф предоставляет пакеты, которые значительно превышают текущие потребности. Остаток по интернету составит $50 - 22 = 28$ ГБ, а по минутам $1200 - 450 = 750$ минут.
- Стоимость в 900 рублей выше текущих расходов ($619.80) почти на 300 рублей, что является неоправданной переплатой за неиспользуемые объемы услуг.

Исходя из анализа, текущий тарифный план «Оптимальный 25» идеально сбалансирован для данного профиля потребления. Он покрывает все основные нужды без риска перерасхода и дополнительных трат, при этом не вынуждая переплачивать за излишние объемы услуг.

Ответ: Да, ваш тарифный план является оптимальным, так как его условия (объемы пакетов и абонентская плата) наилучшим образом соответствуют вашему режиму использования мобильного телефона, обеспечивая экономию по сравнению с как более дешевыми, так и более дорогими тарифными планами.

14. (2) Маленький коала съедает листья с одного эвкалиптового дерева за 10 часов, а каждый из его родителей съедает в два раза быстрее. За сколько времени это семейство съест все листья с одного эвкалиптового дерева?

Для решения этой задачи определим производительность (скорость поедания листьев) каждого члена семейства коал. Всю работу, то есть все листья на одном дереве, примем за 1.

1. Производительность маленького коалы.
Маленький коала съедает все листья за 10 часов. Следовательно, его производительность (часть дерева, съедаемая за 1 час) равна: $v_{детеныш} = \frac{1}{10}$ дерева в час.

2. Производительность одного родителя.
Каждый из родителей ест в два раза быстрее. Это означает, что на ту же работу он тратит в два раза меньше времени, или его производительность в два раза выше. Время, которое тратит один родитель: $t_{родитель} = 10 \text{ часов} / 2 = 5$ часов. Производительность одного родителя: $v_{родитель} = \frac{1}{5}$ дерева в час. Можно было также найти производительность, умножив производительность детеныша на 2: $v_{родитель} = v_{детеныш} \cdot 2 = \frac{1}{10} \cdot 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ дерева в час.

3. Общая производительность семейства.
Семейство состоит из одного маленького коалы и двух родителей. Чтобы найти их общую производительность, нужно сложить производительности всех троих: $V_{общая} = v_{детеныш} + v_{родитель} + v_{родитель} = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$ Приведем дроби к общему знаменателю (10): $V_{общая} = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1+2+2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ дерева в час.

4. Общее время.
Чтобы найти время, за которое семейство съест все листья с одного дерева, нужно всю работу (1) разделить на общую производительность ($V_{общая}$): $T = \frac{1}{V_{общая}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ часа.

Ответ: семейство съест все листья с одного эвкалиптового дерева за 2 часа.

12. (3) Функция $y=f(x)$ определяется следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} \frac{3x}{x+2}, & \text{если } x \in (-\infty; -2) \\ \arcsin \frac{1}{2}x, & \text{если } x \in [-2; 2] \\ \frac{\pi}{2}, & \text{если } x \in (2; +\infty) \end{cases}$

а) Постройте график функции $y=f(x)$, найдите область определения и множество значений функции.

б) Определите $\lim_{x \to -2-0} f(x)$, $\lim_{x \to -2+0} f(x)$, $\lim_{x \to 2-0} f(x)$, $\lim_{x \to 2+0} f(x)$.

в) Существуют ли $\lim_{x \to -2} f(x)$, $\lim_{x \to 2} f(x)$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

г) Определите $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

д) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

а) Постройте график функции y=f(x), найдите область определения и множество значений функции.

Для построения графика и анализа функции рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. Область определения функции $D(f)$.
Функция определена на трех интервалах: $(-\infty; -2)$, $[-2; 2]$ и $(2; +\infty)$. Объединение этих промежутков дает всю числовую прямую.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup [-2; 2] \cup (2; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

2. Построение графика $y=f(x)$.
- На промежутке $x \in (-\infty; -2)$ функция задана как $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Это дробно-линейная функция (гипербола). Преобразуем выражение: $f(x) = \frac{3(x+2)-6}{x+2} = 3 - \frac{6}{x+2}$. График имеет горизонтальную асимптоту $y=3$ и вертикальную асимптоту $x=-2$. При $x \to -\infty$, $f(x) \to 3$. При $x \to -2$ слева ($x \to -2-0$), знаменатель $x+2 \to 0-$, значит $\frac{6}{x+2} \to -\infty$, и $f(x) \to 3 - (-\infty) = +\infty$.
- На отрезке $x \in [-2; 2]$ функция задана как $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$. Это график функции арксинус, растянутый в 2 раза вдоль оси Ox.
Найдем значения на концах отрезка:
$f(-2) = \arcsin(\frac{-2}{2}) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(-2, -\frac{\pi}{2})$ принадлежит графику.
$f(2) = \arcsin(\frac{2}{2}) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$. Точка $(2, \frac{\pi}{2})$ принадлежит графику.
- На промежутке $x \in (2; +\infty)$ функция задана как $f(x) = \frac{\pi}{2}$. Это горизонтальная прямая (луч), выходящая из точки $(2, \frac{\pi}{2})$ (точка выколота) и идущая вправо.

3. Множество значений функции $E(f)$.
- На промежутке $(-\infty; -2)$ функция принимает значения от $3$ (не включая, так как это асимптота) до $+\infty$. Множество значений на этом участке: $(3; +\infty)$.
- На отрезке $[-2; 2]$ функция $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$ принимает все значения от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ включительно. Множество значений на этом участке: $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
- На промежутке $(2; +\infty)$ функция принимает только одно значение: $\frac{\pi}{2}$.
Объединяя все полученные множества, получаем: $E(f) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \cup (3; +\infty)$. (Учитывая, что $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, эти множества не пересекаются).

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений $E(f) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \cup (3; +\infty)$. График состоит из ветви гиперболы на $(-\infty; -2)$, кривой арксинуса на $[-2; 2]$ и горизонтального луча на $(2; +\infty)$.

б) Определите $\lim_{x\to-2-0} f(x)$, $\lim_{x\to-2+0} f(x)$, $\lim_{x\to2-0} f(x)$, $\lim_{x\to2+0} f(x)$.

- Для левостороннего предела при $x \to -2-0$ используем первую формулу $f(x) = \frac{3x}{x+2}$:
$\lim_{x\to-2-0} f(x) = \lim_{x\to-2-0} \frac{3x}{x+2} = \frac{3(-2)}{-2-0+2} = \frac{-6}{-0} = +\infty$.
- Для правостороннего предела при $x \to -2+0$ используем вторую формулу $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$:
$\lim_{x\to-2+0} f(x) = \lim_{x\to-2+0} \arcsin\frac{x}{2} = \arcsin(\frac{-2}{2}) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
- Для левостороннего предела при $x \to 2-0$ используем вторую формулу $f(x) = \arcsin\frac{x}{2}$:
$\lim_{x\to2-0} f(x) = \lim_{x\to2-0} \arcsin\frac{x}{2} = \arcsin(\frac{2}{2}) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.
- Для правостороннего предела при $x \to 2+0$ используем третью формулу $f(x) = \frac{\pi}{2}$:
$\lim_{x\to2+0} f(x) = \lim_{x\to2+0} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\lim_{x\to-2-0} f(x) = +\infty$; $\lim_{x\to-2+0} f(x) = -\frac{\pi}{2}$; $\lim_{x\to2-0} f(x) = \frac{\pi}{2}$; $\lim_{x\to2+0} f(x) = \frac{\pi}{2}$.

в) Существуют ли $\lim_{x\to-2} f(x)$, $\lim_{x\to2} f(x)$? Если нет, то почему? Если да, то чему они равны?

Двусторонний предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу односторонние пределы в этой точке.
- В точке $x=-2$:
$\lim_{x\to-2-0} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x\to-2+0} f(x) = -\frac{\pi}{2}$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($\infty \neq -\frac{\pi}{2}$), предел $\lim_{x\to-2} f(x)$ не существует.
- В точке $x=2$:
$\lim_{x\to2-0} f(x) = \frac{\pi}{2}$ и $\lim_{x\to2+0} f(x) = \frac{\pi}{2}$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны, предел $\lim_{x\to2} f(x)$ существует и равен их общему значению.

Ответ: Предел $\lim_{x\to-2} f(x)$ не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны. Предел $\lim_{x\to2} f(x)$ существует и равен $\frac{\pi}{2}$.

г) Определите $\lim_{x\to-\infty} f(x)$, $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.

- При $x \to -\infty$ используем первую формулу $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Это предел отношения двух многочленов одинаковой степени, он равен отношению коэффициентов при старших степенях:
$\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{3x}{x+2} = \lim_{x\to-\infty} \frac{3}{1+\frac{2}{x}} = \frac{3}{1+0} = 3$.
- При $x \to +\infty$ используем третью формулу $f(x) = \frac{\pi}{2}$. Это предел константы:
$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\lim_{x\to-\infty} f(x) = 3$; $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \frac{\pi}{2}$.

д) Укажите промежутки непрерывности функции и точки разрыва.

Функция непрерывна, если она определена в точке и предел в этой точке равен значению функции в этой точке.
- На интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$ функция задана элементарными функциями, которые непрерывны в своих областях определения. Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна на этих интервалах.
- Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=-2$ и $x=2$.
- Точка $x=-2$:
$\lim_{x\to-2-0} f(x) = +\infty$. Поскольку левый предел бесконечен, в точке $x=-2$ функция терпит разрыв. Это разрыв второго рода (бесконечный разрыв).
- Точка $x=2$:
$\lim_{x\to2-0} f(x) = \frac{\pi}{2}$, $\lim_{x\to2+0} f(x) = \frac{\pi}{2}$, следовательно $\lim_{x\to2} f(x) = \frac{\pi}{2}$.
Значение функции в этой точке: $f(2) = \arcsin(\frac{2}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
Так как $\lim_{x\to2} f(x) = f(2)$, функция непрерывна в точке $x=2$.
Таким образом, функция имеет единственную точку разрыва.

Ответ: Промежутки непрерывности: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Точка разрыва: $x=-2$ (разрыв второго рода).