Страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7. (2) Материальная точка $M$ колеблется относительно положения равновесия. На рисунке ниже изображен график зависимости величины $h$ от времени $t$, где $h$ – это расстояние от точки $M$ до некоторой покоящейся точки $A$. Одно деление по оси $h$ соответствует 1 метру, по оси $t$ одно деление соответствует 1 секунде.

Предполагая, что колебания происходят без потери энергии, выполнить следующие задания.

a) Определите наибольшее значение, которого может достигать расстояние $AM$, опишите моменты времени, в которые достигается наибольшее значение.

б) Определите наименьшее значение, которого может достигать расстояние $AM$, опишите моменты времени, в которые достигается наименьшее значение.

в) Опишите периоды, в течение которых расстояние $AM$ уменьшается; опишите периоды, в течение которых расстояние $AM$ увеличивается.

a) Наибольшее значение расстояния $AM$, которое можно определить по графику, соответствует пикам (максимумам) кривой. По оси $h$ пики находятся на отметке 9 делений. Поскольку одно деление по оси $h$ соответствует 1 метру, наибольшее значение расстояния $AM$ составляет 9 метров. Чтобы найти моменты времени, когда это происходит, посмотрим на ось $t$. Первый пик достигается в момент времени $t=0$ с. Следующий пик — при $t=4$ с, затем при $t=8$ с и так далее. Период колебаний $T$ (время между двумя последовательными пиками) равен $4 - 0 = 4$ с. Таким образом, моменты времени, когда расстояние $AM$ максимально, можно описать общей формулой.
Ответ: наибольшее значение расстояния $AM$ равно 9 м. Оно достигается в моменты времени $t = 4k$ с, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

б) Наименьшее значение расстояния $AM$ соответствует впадинам (минимумам) на графике. По оси $h$ впадины находятся на отметке 1 деление, что соответствует 1 метру. Первая впадина на графике наблюдается в момент времени $t=2$ с. Следующая впадина — при $t=6$ с, затем при $t=10$ с и так далее. Эти моменты времени также повторяются с периодом $T=4$ с. Общая формула для моментов времени, когда достигается наименьшее значение, имеет вид $t = 2 + 4k$.
Ответ: наименьшее значение расстояния $AM$ равно 1 м. Оно достигается в моменты времени $t = 2 + 4k$ с, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

в) Расстояние $AM$ уменьшается на тех участках, где график идет вниз, то есть от пика к впадине. Первый такой период — от $t=0$ с до $t=2$ с. Второй — от $t=4$ с до $t=6$ с. В общем виде, эти периоды можно записать как интервалы $[4k, 2+4k]$ с.
Расстояние $AM$ увеличивается на тех участках, где график идет вверх, то есть от впадины к пику. Первый такой период — от $t=2$ с до $t=4$ с. Второй — от $t=6$ с до $t=8$ с. В общем виде, эти периоды можно записать как интервалы $[2+4k, 4+4k]$ с или $[2+4k, 4(k+1)]$ с.
Ответ: расстояние $AM$ уменьшается в периоды времени $[4k, 2+4k]$ с; расстояние $AM$ увеличивается в периоды времени $[2+4k, 4(k+1)]$ с, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

8. (1) Площадь поверхности шара радиуса $r$ вычисляется по формуле $S=4\pi r^2$. Во сколько раз уменьшается доза получаемой радиации при удалении от источника радиоактивного излучения на расстояние, в два раза большее, чем данное?

(1) Доза получаемой радиации от точечного источника распределяется по поверхности сферы, в центре которой находится этот источник. Интенсивность излучения, а следовательно и доза, обратно пропорциональна площади этой сферы. Формула площади поверхности сферы радиуса $r$ дана в условии: $S = 4\pi r^2$.

Это означает, что доза радиации $D$ обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$ от источника (закон обратных квадратов):

$D \propto \frac{1}{r^2}$

Пусть начальное расстояние от источника равно $r_1$, а доза радиации на этом расстоянии — $D_1$. Тогда можно записать:

$D_1 = \frac{k}{r_1^2}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от мощности источника.

При удалении от источника на расстояние $r_2$, которое в два раза больше начального, имеем:

$r_2 = 2r_1$

Новая доза радиации $D_2$ на этом расстоянии будет равна:

$D_2 = \frac{k}{r_2^2} = \frac{k}{(2r_1)^2} = \frac{k}{4r_1^2}$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшилась доза, найдем отношение начальной дозы $D_1$ к новой дозе $D_2$:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{\frac{k}{r_1^2}}{\frac{k}{4r_1^2}} = \frac{k}{r_1^2} \cdot \frac{4r_1^2}{k} = 4$

Таким образом, при увеличении расстояния от источника в 2 раза, доза получаемой радиации уменьшается в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

9. (2) Как известно, сила гравитационного притяжения между двумя точечными массами $m_1$ и $m_2$ вычисляется по формуле $F=k \frac{m_1 m_2}{r^2}$.

где $k$ – некоторый коэффициент, $r$ – расстояние между точечными массами.

а) Увеличивается или уменьшается сила $F$, если расстояние $r$ уменьшается?

б) Во сколько раз изменится сила притяжения между двумя точечными массами, если расстояние между ними увеличится в 100 раз?

а) Увеличивается или уменьшается сила F, если расстояние r уменьшается?

Сила гравитационного притяжения $F$ определяется формулой $F = k \frac{m_1 m_2}{r^2}$. В этой формуле сила $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$. Это означает, что переменная $r^2$ находится в знаменателе дроби. Если знаменатель дроби уменьшается, то значение всей дроби увеличивается. Следовательно, если расстояние $r$ уменьшается, то $r^2$ также уменьшается, а сила притяжения $F$ увеличивается.

Ответ: увеличивается.

б) Во сколько раз изменится сила притяжения между двумя точечными массами, если расстояние между ними увеличится в 100 раз?

Пусть начальная сила притяжения равна $F_1$ при начальном расстоянии $r_1$. Тогда $F_1 = k \frac{m_1 m_2}{r_1^2}$.

Новое расстояние $r_2$ в 100 раз больше начального, то есть $r_2 = 100 \cdot r_1$. Новая сила притяжения $F_2$ будет равна:

$F_2 = k \frac{m_1 m_2}{r_2^2} = k \frac{m_1 m_2}{(100 \cdot r_1)^2} = k \frac{m_1 m_2}{100^2 \cdot r_1^2} = k \frac{m_1 m_2}{10000 \cdot r_1^2}$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась сила, найдем отношение начальной силы $F_1$ к новой силе $F_2$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{k \frac{m_1 m_2}{r_1^2}}{k \frac{m_1 m_2}{10000 \cdot r_1^2}} = \frac{1}{\frac{1}{10000}} = 10000$

Таким образом, сила притяжения уменьшилась в 10000 раз.

Ответ: сила притяжения уменьшится в 10000 раз.