Страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

19. (3) Докажите, что прямая $y=-3x+2$ является касательной к графику функции $f(x)=-x^2+x-1$ в точке с абсциссой $x_0=1$.

Для того чтобы доказать, что прямая является касательной к графику функции в указанной точке, нужно составить уравнение касательной к графику функции в этой точке и убедиться, что оно совпадает с уравнением данной прямой.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Даны функция $f(x) = -x^2 + x - 1$ и абсцисса точки касания $x_0 = 1$. Найдем все компоненты для уравнения касательной.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = -(1)^2 + 1 - 1 = -1 + 1 - 1 = -1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-x^2 + x - 1)' = -2x + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной в данной точке.
$f'(1) = -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 1$, $f(x_0) = -1$ и $f'(x_0) = -1$ в общее уравнение касательной:
$y = -1 + (-1)(x - 1)$
$y = -1 - x + 1$
$y = -x$.

Таким образом, истинное уравнение касательной к графику функции $f(x) = -x^2 + x - 1$ в точке с абсциссой $x_0=1$ — это $y = -x$.

В условии задачи дана прямая $y = -3x + 2$. Сравним это уравнение с уравнением касательной, которое мы нашли:$y = -x \neq y = -3x + 2$.

Поскольку полученное уравнение касательной не совпадает с уравнением прямой, данной в условии, то утверждение задачи неверно. Прямая $y = -3x + 2$ не является касательной к графику функции $f(x) = -x^2 + x - 1$ в точке с абсциссой $x_0=1$.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Касательная к графику функции $f(x)=-x^2+x-1$ в точке с абсциссой $x_0=1$ имеет уравнение $y=-x$, а не $y=-3x+2$.

20. (3)
Докажите, что прямая $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$ является касательной к графику функции $f(x) = -\sqrt{x+3}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для того чтобы доказать, что заданная прямая является касательной к графику функции в указанной точке, необходимо составить уравнение касательной к этому графику в этой точке и убедиться, что оно совпадает с уравнением данной прямой.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Нам даны:
Функция: $f(x) = -\sqrt{x+3}$
Прямая: $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$
Абсцисса точки касания: $x_0 = 1$

Выполним построение уравнения касательной по шагам.

1. Находим значение функции в точке $x_0$.

Подставим $x_0 = 1$ в уравнение функции, чтобы найти ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$f(1) = -\sqrt{1+3} = -\sqrt{4} = -2$

Таким образом, точка касания на графике функции имеет координаты $(1, -2)$.

2. Находим производную функции $f(x)$.

Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (-\sqrt{x+3})' = (-(x+3)^{1/2})' = -\frac{1}{2}(x+3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+3)' = -\frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} \cdot 1 = -\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

3. Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0$.

Подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{1+3}} = -\frac{1}{2\sqrt{4}} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0=1$ равен $-\frac{1}{4}$.

4. Составляем уравнение касательной.

Теперь подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=-2$ и $f'(x_0)=-1/4$ в общее уравнение касательной:

$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$

$y = -2 + (-\frac{1}{4})(x-1)$

$y = -2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$

$y = -\frac{1}{4}x - \frac{8}{4} + \frac{1}{4}$

$y = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}$

5. Сравниваем полученное уравнение с заданным.

Мы получили уравнение касательной к графику функции $f(x) = -\sqrt{x+3}$ в точке $x_0=1$: $y = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}$.

В условии задачи дана прямая $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$.

Сравнивая эти два уравнения, мы видим, что они не идентичны, поскольку их свободные члены отличаются: $-\frac{7}{4} \neq -\frac{3}{4}$.

Это означает, что прямая, данная в условии, не является касательной к графику функции в указанной точке. Утверждение в задаче является некорректным. Чтобы прямая была касательной в точке, она должна проходить через эту точку. Проверим, проходит ли прямая $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$ через точку касания $(1, -2)$:

$-2 = -\frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$-2 = -\frac{4}{4}$

$-2 = -1$

Равенство неверно, следовательно, прямая не проходит через точку касания.

Ответ: Утверждение, данное в задаче, неверно. Прямая $y = -\frac{x}{4} - \frac{3}{4}$ не является касательной к графику функции $f(x) = -\sqrt{x+3}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$. Уравнение истинной касательной в этой точке: $y = -\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}$.

21. (3)

Найдите производную функции $f(x)=-x^3$ в точке $x_0=-2$, используя аналитическое определение производной.

Для нахождения производной функции $f(x)=-x^3$ в точке $x_0=-2$ воспользуемся аналитическим определением производной в точке:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(x_0) = f(-2) = -(-2)^3 = -(-8) = 8$

2. Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = -2 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(-2 + \Delta x) = -(-2 + \Delta x)^3$

3. Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(-2 + \Delta x)^3 = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 \cdot \Delta x + 3 \cdot (-2) \cdot (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

$= -8 + 3 \cdot 4 \cdot \Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

$= -8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

Следовательно:

$f(-2 + \Delta x) = -(-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) = 8 - 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3$

4. Составим разностное отношение:

$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{(8 - 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3) - 8}{\Delta x}$

Упростим числитель:

$\frac{-12\Delta x + 6(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3}{\Delta x}$

Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$\frac{\Delta x(-12 + 6\Delta x - (\Delta x)^2)}{\Delta x} = -12 + 6\Delta x - (\Delta x)^2$

5. Найдем предел полученного выражения при $\Delta x \to 0$:

$f'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} (-12 + 6\Delta x - (\Delta x)^2)$

Подставляя $\Delta x = 0$, получаем:

$f'(-2) = -12 + 6 \cdot 0 - (0)^2 = -12$

Ответ: $-12$

22. (3) Найдите производную функции $f(x)=x^2-7x+100$ в точке $x_0=8$, используя аналитическое определение производной.

Аналитическое определение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Для функции $f(x) = x^2 - 7x + 100$ и точки $x_0 = 8$ найдем производную по определению.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 8$:

$f(x_0) = f(8) = 8^2 - 7 \cdot 8 + 100 = 64 - 56 + 100 = 108$.

2. Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 8 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(8 + \Delta x) = (8 + \Delta x)^2 - 7(8 + \Delta x) + 100$.

Раскроем скобки:

$f(8 + \Delta x) = (64 + 16\Delta x + (\Delta x)^2) - (56 + 7\Delta x) + 100 = 64 + 16\Delta x + (\Delta x)^2 - 56 - 7\Delta x + 100$.

Приведем подобные слагаемые:

$f(8 + \Delta x) = (\Delta x)^2 + (16 - 7)\Delta x + (64 - 56 + 100) = (\Delta x)^2 + 9\Delta x + 108$.

3. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$:

$\Delta f = ((\Delta x)^2 + 9\Delta x + 108) - 108 = (\Delta x)^2 + 9\Delta x$.

4. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(\Delta x)^2 + 9\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(\Delta x + 9)}{\Delta x}$.

Поскольку $\Delta x \to 0$, но $\Delta x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\Delta x$:

$\frac{\Delta x(\Delta x + 9)}{\Delta x} = \Delta x + 9$.

5. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(8) = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 9) = 0 + 9 = 9$.

Ответ: 9

23. (4)

Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=-\frac{2}{x}$ в точке с абсциссой $x_0=-1$. Определите значение производной $f'(-1)$.

(см. пример 3 в п. 2.2)

Определите значение производной f'(-1)

Сначала найдем производную функции $f(x) = -\frac{2}{x}$. Для этого представим функцию в виде $f(x) = -2x^{-1}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (-2x^{-1})' = -2 \cdot (-1)x^{-1-1} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$, подставив это значение в полученное выражение для $f'(x)$:

$f'(-1) = \frac{2}{(-1)^2} = \frac{2}{1} = 2$.

Ответ: $2$.

Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)=-2/x в точке с абсциссой x₀=-1

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Нам известны следующие величины:

Абсцисса точки касания: $x_0 = -1$.

Значение производной в этой точке (найдено в предыдущем пункте): $f'(-1) = 2$.

Найдем значение функции в точке касания $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = -\frac{2}{-1} = 2$.

Теперь подставим все найденные значения ($x_0 = -1$, $f(x_0) = 2$, $f'(x_0) = 2$) в формулу уравнения касательной:

$y = 2 + 2(x - (-1))$

Упростим полученное выражение:

$y = 2 + 2(x + 1)$

$y = 2 + 2x + 2$

$y = 2x + 4$

Ответ: $y = 2x + 4$.

24. (4) Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2+4x$ в точке с абсциссой $x_0=-5$. Определите значение производной $f'(-5)$, (см. определение касательной к параболе в п.2.2 и пример 1).

Задача состоит из двух частей: нахождение значения производной в точке и составление уравнения касательной в этой же точке. Для нахождения уравнения касательной необходимо знать значение производной, поэтому начнем с него.

Определите значение производной f'(-5)
Дана функция $f(x) = x^2 + 4x$.
Чтобы найти значение производной в конкретной точке, сначала найдем производную функции в общем виде. Используем правила дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$.
$f'(x) = (x^2 + 4x)' = (x^2)' + (4x)' = 2x^{2-1} + 4 = 2x + 4$.
Теперь вычислим значение производной в точке с абсциссой $x_0 = -5$, подставив это значение в полученное выражение для $f'(x)$:
$f'(-5) = 2 \cdot (-5) + 4 = -10 + 4 = -6$.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Ответ: $f'(-5) = -6$.

Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)=x²+4x в точке с абсциссой x₀=-5
Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Нам известны следующие значения:
1. Абсцисса точки касания: $x_0 = -5$.
2. Значение производной в этой точке (найдено в предыдущем пункте): $f'(x_0) = f'(-5) = -6$.
Теперь необходимо найти ординату точки касания, то есть значение функции $f(x)$ при $x=x_0$:
$f(x_0) = f(-5) = (-5)^2 + 4(-5) = 25 - 20 = 5$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(-5; 5)$.
Подставим все найденные значения ($x_0=-5$, $f(x_0)=5$, $f'(x_0)=-6$) в формулу уравнения касательной:
$y = 5 + (-6)(x - (-5))$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые для получения уравнения в виде $y=kx+b$:
$y = 5 - 6(x + 5)$
$y = 5 - 6x - 30$
$y = -6x - 25$.
Ответ: $y = -6x - 25$.