Страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Исследуйте функцию на четность (1-8):

1. (1)а) $f(x)=x$;

б) $f(x)=x^2$;

в) $f(x)=|x|$;

г) $f(x)=x|x|$;

д) $f(x)=x+|x|$.

Для исследования функции $f(x)$ на четность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит ей).

2. Должно выполняться одно из равенств:

- $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения – в этом случае функция является четной.

- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения – в этом случае функция является нечетной.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Все представленные функции определены на всей числовой оси $D(f) = (-\infty, +\infty)$, которая является симметричной областью.

а) $f(x) = x$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = -x$.

Сравним полученное выражение с $-f(x)$: $-f(x) = -x$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

б) $f(x) = x^2$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$.

Сравним полученное выражение с $f(x)$: $f(x) = x^2$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) $f(x) = |x|$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = |-x|$.

По свойству модуля $|-a| = |a|$, поэтому $f(-x) = |x|$.

Сравним полученное выражение с $f(x)$: $f(x) = |x|$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

г) $f(x) = x|x|$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)|-x|$.

Так как $|-x| = |x|$, то $f(-x) = -x|x|$.

Сравним полученное выражение с $-f(x)$: $-f(x) = -(x|x|) = -x|x|$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

д) $f(x) = x + |x|$

Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x) + |-x| = -x + |x|$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -x + |x|$

$f(x) = x + |x|$

Равенство $f(-x) = f(x)$ не выполняется, так как $-x+|x| \neq x+|x|$ для $x \neq 0$. Значит, функция не является четной.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$f(-x) = -x + |x|$

$-f(x) = -(x + |x|) = -x - |x|$

Равенство $f(-x) = -f(x)$ не выполняется, так как $-x+|x| \neq -x-|x|$ для $x \neq 0$. Значит, функция не является нечетной.

Так как не выполняется ни одно из условий, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

2. (1)

а) $f(x)=x^4$;

б) $f(x)=x^3$;

в) $f(x)=x^3-x^4$;

г) $f(x)=\frac{x-2}{|x|+1}$.

а) Для того чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, необходимо проверить выполнение следующих условий:
1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2. Для четной функции должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.
3. Для нечетной функции должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^4$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^4 = x^4$.
3. Сравним $f(-x)$ и $f(x)$: $f(-x) = x^4$ и $f(x) = x^4$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: функция четная.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.
3. Сравним $f(-x)$ и $f(x)$: $f(-x) = -x^3$. Так как $f(x) = x^3$, то $-f(x) = -x^3$.
Получаем, что $f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - x^4$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^3 - (-x)^4 = -x^3 - x^4$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = -x^3 - x^4$.
$f(x) = x^3 - x^4$.Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 - x^4) = -x^3 + x^4$.
$f(-x) \ne -f(x)$, так как $-x^3 - x^4 \ne -x^3 + x^4$ (кроме случая $x=0$). Значит, функция не является нечетной.
Следовательно, это функция общего вида.
Ответ: ни четная, ни нечетная (функция общего вида).

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x-2}{|x|+1}$.
1. Знаменатель $|x|+1$ всегда больше нуля ($|x| \ge 0 \implies |x|+1 \ge 1$), поэтому область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
2. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $f(-x) = \frac{(-x)-2}{|-x|+1} = \frac{-x-2}{|x|+1}$, так как $|-x|=|x|$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = \frac{-x-2}{|x|+1}$.
$f(x) = \frac{x-2}{|x|+1}$.
$f(-x) \ne f(x)$, значит, функция не является четной.
Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = - \frac{x-2}{|x|+1} = \frac{-(x-2)}{|x|+1} = \frac{2-x}{|x|+1}$.
$f(-x) \ne -f(x)$, так как $\frac{-x-2}{|x|+1} \ne \frac{2-x}{|x|+1}$.
Следовательно, это функция общего вида.
Ответ: ни четная, ни нечетная (функция общего вида).

3. (2)

$f(x) = (x+4)|x-3| + (x-4)|x+3|$.

Для того чтобы найти функцию $f(x)$, необходимо раскрыть модули в выражении $2f(x) = (x+4)|x-3| + (x-4)|x+3|$. Для этого нужно рассмотреть знаки подмодульных выражений $x-3$ и $x+3$.

Найдем точки, в которых подмодульные выражения равны нулю:

$x-3=0 \Rightarrow x=3$

$x+3=0 \Rightarrow x=-3$

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $[-3, 3)$ и $[3, +\infty)$. Рассмотрим каждый интервал отдельно.

1. Интервал $x < -3$

На этом интервале оба подмодульных выражения отрицательны:

$x-3 < 0$, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

$x+3 < 0$, поэтому $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.

Подставим раскрытые модули в исходное равенство:

$2f(x) = (x+4)(-(x-3)) + (x-4)(-(x+3))$

$2f(x) = -(x+4)(x-3) - (x-4)(x+3)$

Раскроем скобки, используя формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для удобства: $(x+4)(x-3) = x^2+x-12$ и $(x-4)(x+3) = x^2-x-12$.

$2f(x) = -(x^2+x-12) - (x^2-x-12)$

$2f(x) = -x^2 - x + 12 - x^2 + x + 12$

$2f(x) = -2x^2 + 24$

Разделим обе части на 2:

$f(x) = -x^2 + 12$

2. Интервал $-3 \le x < 3$

На этом интервале выражение $x-3$ отрицательно, а $x+3$ неотрицательно:

$x-3 < 0$, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

$x+3 \ge 0$, поэтому $|x+3| = x+3$.

Подставим в исходное равенство:

$2f(x) = (x+4)(-(x-3)) + (x-4)(x+3)$

$2f(x) = -(x^2+x-12) + (x^2-x-12)$

$2f(x) = -x^2 - x + 12 + x^2 - x - 12$

$2f(x) = -2x$

Разделим обе части на 2:

$f(x) = -x$

3. Интервал $x \ge 3$

На этом интервале оба подмодульных выражения неотрицательны:

$x-3 \ge 0$, поэтому $|x-3| = x-3$.

$x+3 > 0$, поэтому $|x+3| = x+3$.

Подставим в исходное равенство:

$2f(x) = (x+4)(x-3) + (x-4)(x+3)$

$2f(x) = (x^2+x-12) + (x^2-x-12)$

$2f(x) = 2x^2 - 24$

Разделим обе части на 2:

$f(x) = x^2 - 12$

Объединяя результаты, полученные для каждого интервала, мы можем записать функцию $f(x)$ в кусочно-заданном виде.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 12, & \text{при } x < -3 \\-x, & \text{при } -3 \le x < 3 \\x^2 - 12, & \text{при } x \ge 3 \end{cases}$

4. (2) $g(x) = \frac{|x-9|}{(x+2)} + \frac{|x+9|}{(x-2)}$

Дано уравнение: $2g(x) = \frac{|x-9|}{x+2} + \frac{|x+9|}{x-2}$.

Для того чтобы найти явный вид функции $g(x)$, необходимо раскрыть модули. Выражения под модулями, $|x-9|$ и $|x+9|$, обращаются в ноль при $x=9$ и $x=-9$ соответственно. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала, в каждом из которых мы рассмотрим функцию.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$. Отсюда $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Выразим $g(x)$ из исходного уравнения, предварительно приведя дроби в правой части к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2-4$:
$2g(x) = \frac{|x-9|(x-2) + |x+9|(x+2)}{x^2-4}$
$g(x) = \frac{|x-9|(x-2) + |x+9|(x+2)}{2(x^2-4)}$

Теперь рассмотрим функцию на каждом из интервалов.

Случай 1: $x < -9$
На этом интервале оба выражения под модулем отрицательны: $x-9 < 0$ и $x+9 < 0$.
Следовательно, $|x-9| = -(x-9) = 9-x$ и $|x+9| = -(x+9) = -x-9$.
Подставим эти значения в выражение для $g(x)$:
$g(x) = \frac{(9-x)(x-2) + (-x-9)(x+2)}{2(x^2 - 4)} = \frac{(-x^2 + 11x - 18) - (x^2 + 11x + 18)}{2(x^2 - 4)} = \frac{-2x^2 - 36}{2(x^2 - 4)} = -\frac{x^2 + 18}{x^2 - 4}$.

Случай 2: $-9 \le x < 9$
На этом интервале $x-9 < 0$, но $x+9 \ge 0$. (Также помним, что $x \neq -2$ и $x \neq 2$).
Следовательно, $|x-9| = -(x-9) = 9-x$ и $|x+9| = x+9$.
Подставляем в выражение для $g(x)$:
$g(x) = \frac{(9-x)(x-2) + (x+9)(x+2)}{2(x^2 - 4)} = \frac{(-x^2 + 11x - 18) + (x^2 + 11x + 18)}{2(x^2 - 4)} = \frac{22x}{2(x^2 - 4)} = \frac{11x}{x^2 - 4}$.

Случай 3: $x \ge 9$
На этом интервале оба выражения под модулем неотрицательны: $x-9 \ge 0$ и $x+9 > 0$.
Следовательно, $|x-9| = x-9$ и $|x+9| = x+9$.
Подставляем в выражение для $g(x)$:
$g(x) = \frac{(x-9)(x-2) + (x+9)(x+2)}{2(x^2 - 4)} = \frac{(x^2 - 11x + 18) + (x^2 + 11x + 18)}{2(x^2 - 4)} = \frac{2x^2 + 36}{2(x^2 - 4)} = \frac{x^2 + 18}{x^2 - 4}$.

Объединив результаты, мы получаем итоговое выражение для функции $g(x)$ в виде кусочно-заданной функции.

Ответ: $g(x) = \begin{cases} -\frac{x^2 + 18}{x^2 - 4}, & \text{если } x < -9 \\ \frac{11x}{x^2 - 4}, & \text{если } -9 \le x < 9, x \neq \pm 2 \\ \frac{x^2 + 18}{x^2 - 4}, & \text{если } x \ge 9 \end{cases}$

5.

(2) $f(x)=(x+3)(x+4)(x+5)-(x-3)(x-4)(x-5)$

Для того чтобы упростить выражение для функции $f(x)$, необходимо раскрыть скобки в обеих частях выражения (уменьшаемом и вычитаемом), а затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$f(x) = (x+3)(x+4)(x+5) - (x-3)(x-4)(x-5)$

1. Раскроем первое произведение $(x+3)(x+4)(x+5)$

Сначала перемножим первые две скобки:

$(x+3)(x+4) = x \cdot x + x \cdot 4 + 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

Теперь умножим полученный многочлен на оставшуюся скобку $(x+5)$:

$(x^2 + 7x + 12)(x+5) = x^2(x+5) + 7x(x+5) + 12(x+5)$

$= (x^3 + 5x^2) + (7x^2 + 35x) + (12x + 60)$

Приведем подобные слагаемые:

$= x^3 + (5x^2 + 7x^2) + (35x + 12x) + 60$

$= x^3 + 12x^2 + 47x + 60$

2. Раскроем второе произведение $(x-3)(x-4)(x-5)$

Действуем аналогично. Сначала перемножим первые две скобки:

$(x-3)(x-4) = x \cdot x - x \cdot 4 - 3 \cdot x + (-3) \cdot (-4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$

Теперь умножим результат на $(x-5)$:

$(x^2 - 7x + 12)(x-5) = x^2(x-5) - 7x(x-5) + 12(x-5)$

$= (x^3 - 5x^2) - (7x^2 - 35x) + (12x - 60)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$= x^3 - 5x^2 - 7x^2 + 35x + 12x - 60$

$= x^3 - 12x^2 + 47x - 60$

3. Выполним вычитание и найдем итоговое выражение для $f(x)$

Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$f(x) = (x^3 + 12x^2 + 47x + 60) - (x^3 - 12x^2 + 47x - 60)$

Раскроем скобки, меняя знаки во втором многочлене на противоположные:

$f(x) = x^3 + 12x^2 + 47x + 60 - x^3 + 12x^2 - 47x + 60$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$f(x) = (x^3 - x^3) + (12x^2 + 12x^2) + (47x - 47x) + (60 + 60)$

$f(x) = 0 + 24x^2 + 0 + 120$

$f(x) = 24x^2 + 120$

Ответ: $f(x) = 24x^2 + 120$.

6. $(2)g(x)=(x-5)^9(x+2)^5+(x+5)^9(x-2)^5$

6.

В задаче дана функция $g(x)$, определенная через следующее уравнение:

$2g(x) = (x-5)^9 (x+2)^5 + (x+5)^9 (x-2)^5$

Наиболее вероятный вопрос к такому заданию — это исследование функции на чётность или нечётность. Для этого нужно проверить, как изменится значение функции, если заменить аргумент $x$ на $-x$.

Напомним определения:

• Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Найдём выражение для $2g(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в исходное уравнение:

$2g(-x) = ((-x)-5)^9 ((-x)+2)^5 + ((-x)+5)^9 ((-x)-2)^5$

Теперь упростим выражения в скобках, вынося знак минус:

$(-x-5) = -(x+5)$

$(-x+2) = -(x-2)$

$(-x+5) = 5-x = -(x-5)$

$(-x-2) = -(x+2)$

Подставим эти выражения обратно в уравнение для $2g(-x)$:

$2g(-x) = (-(x+5))^9 (-(x-2))^5 + (-(x-5))^9 (-(x+2))^5$

Воспользуемся свойством степени: $(-a)^n = (-1)^n a^n$. Поскольку степени 9 и 5 — нечётные числа, то $(-1)^9 = -1$ и $(-1)^5 = -1$.

$2g(-x) = ((-1)^9 (x+5)^9) \cdot ((-1)^5 (x-2)^5) + ((-1)^9 (x-5)^9) \cdot ((-1)^5 (x+2)^5)$

$2g(-x) = (-1 \cdot (x+5)^9) \cdot (-1 \cdot (x-2)^5) + (-1 \cdot (x-5)^9) \cdot (-1 \cdot (x+2)^5)$

Перемножим коэффициенты $(-1)$ в каждом слагаемом:

$2g(-x) = ((-1) \cdot (-1)) (x+5)^9 (x-2)^5 + ((-1) \cdot (-1)) (x-5)^9 (x+2)^5$

$2g(-x) = 1 \cdot (x+5)^9 (x-2)^5 + 1 \cdot (x-5)^9 (x+2)^5$

$2g(-x) = (x+5)^9 (x-2)^5 + (x-5)^9 (x+2)^5$

Сравним полученное выражение для $2g(-x)$ с исходным выражением для $2g(x)$:

$2g(x) = (x-5)^9 (x+2)^5 + (x+5)^9 (x-2)^5$

Благодаря коммутативности (переместительности) сложения, мы видим, что правые части выражений для $2g(-x)$ и $2g(x)$ идентичны.

Следовательно, мы можем заключить, что $2g(-x) = 2g(x)$.

Разделив обе части этого равенства на 2, получаем:

$g(-x) = g(x)$

Это равенство является определением чётной функции. Таким образом, функция $g(x)$ является чётной.

Ответ: Функция $g(x)$ является чётной.

7. (3) $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{x+3} - \frac{x^3 + 3x^2}{x-3}$.

Для упрощения данного выражения $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{x+3} - \frac{x^3 + 3x^2}{x-3}$ приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание.

Сначала заметим, что числители дробей можно разложить на множители, вынеся $x^2$ за скобки:

$x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$

$x^3 + 3x^2 = x^2(x + 3)$

Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$f(x) = \frac{x^2(x-3)}{x+3} - \frac{x^2(x+3)}{x-3}$

Общим знаменателем является произведение $(x+3)(x-3) = x^2-9$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$f(x) = \frac{x^2(x-3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{x^2(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2(x-3)^2 - x^2(x+3)^2}{x^2-9}$

Вынесем общий множитель $x^2$ в числителе:

$f(x) = \frac{x^2 \left[ (x-3)^2 - (x+3)^2 \right]}{x^2-9}$

Выражение в квадратных скобках представляет собой разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x-3$ и $b = x+3$. Применим эту формулу:

$(x-3)^2 - (x+3)^2 = ((x-3) - (x+3))((x-3) + (x+3))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(x-3-x-3)(x-3+x+3) = (-6)(2x) = -12x$

Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в числитель функции $f(x)$:

$x^2 \left[ (x-3)^2 - (x+3)^2 \right] = x^2(-12x) = -12x^3$

Таким образом, окончательный вид функции:

$f(x) = \frac{-12x^3}{x^2-9}$

Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x^2-9 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 3$.

Ответ: $f(x) = \frac{-12x^3}{x^2-9}$

8. (3) $g(x)=\frac{(x-2)^5}{(3x+4)^3} + \frac{(x+2)^5}{(3x-4)^3}$.

Для того чтобы найти функцию $g(x)$, нам нужно упростить выражение в правой части уравнения.

Исходное уравнение:

$3g(x) = \frac{(x-2)^5}{(3x+4)^3} + \frac{(x+2)^5}{(3x-4)^3}$

Для упрощения этого

9. (2) Известно, что $f(x)$ – четная функция, возрастающая на интервале $(-3; -1)$. Можно ли что-нибудь сказать о характере монотонности $f(x)$ на интервале:

а) $(0;6)$;

б) $(-4;0)$;

в) $(1;3)$?

Для решения задачи воспользуемся определением четной функции и свойством монотонности.Функция $f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).Функция $f(x)$ возрастает на интервале $(-3, -1)$, это означает, что для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, справедливо неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Свойство симметрии четных функций позволяет определить характер монотонности на интервале, симметричном данному. Интервал $(1, 3)$ симметричен интервалу $(-3, -1)$ относительно точки $x=0$.Пусть $x'_1$ и $x'_2$ — две произвольные точки из интервала $(1, 3)$, причем $1 < x'_1 < x'_2 < 3$.Рассмотрим соответствующие им симметричные точки $x_1 = -x'_2$ и $x_2 = -x'_1$.Из неравенства $1 < x'_1 < x'_2 < 3$ следует, что $-3 < -x'_2 < -x'_1 < -1$.Таким образом, точки $x_1$ и $x_2$ принадлежат интервалу $(-3, -1)$, на котором функция $f(x)$ возрастает, и при этом $x_1 < x_2$.Следовательно, $f(x_1) < f(x_2)$.Подставим выражения для $x_1$ и $x_2$:$f(-x'_2) < f(-x'_1)$.Используя свойство четности $f(-x) = f(x)$, получаем:$f(x'_2) < f(x'_1)$, или $f(x'_1) > f(x'_2)$.Мы получили, что для любых $x'_1 < x'_2$ из интервала $(1, 3)$ выполняется $f(x'_1) > f(x'_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ убывает на интервале $(1, 3)$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных интервалов.

а) Рассмотрим интервал $(0; 6)$. Этот интервал содержит в себе интервал $(1, 3)$, на котором, как мы установили, функция убывает. Однако, на части этого интервала, например на $(3, 6)$, поведение функции неизвестно. Она может как продолжать убывать, так и начать возрастать. Поскольку на разных частях интервала $(0, 6)$ функция может иметь разный характер монотонности, сделать однозначный вывод о ее поведении на всем интервале $(0, 6)$ нельзя.

Ответ: Определить характер монотонности на данном интервале невозможно.

б) Рассмотрим интервал $(-4; 0)$. Этот интервал содержит в себе интервал $(-3, -1)$, на котором по условию функция возрастает. Однако, на частях этого интервала, а именно на $(-4, -3]$ и $[-1, 0)$, поведение функции неизвестно. Например, на $(-4, -3]$ функция может убывать. Следовательно, сделать однозначный вывод о характере монотонности на всем интервале $(-4, 0)$ нельзя.

Ответ: Определить характер монотонности на данном интервале невозможно.

в) Рассмотрим интервал $(1; 3)$. Как было подробно показано в начальном рассуждении, из того, что функция $f(x)$ является четной и возрастает на $(-3, -1)$, напрямую следует, что на симметричном интервале $(1, 3)$ она будет убывать.

Ответ: На интервале $(1, 3)$ функция $f(x)$ убывает.

10.(1) Известно, что $f(x)$ - четная функция, $D(f)=R,$ $f(150)=-4.$ Чему равно значение функции в точке $x=-150?$

10.(1)

По определению, функция $f(x)$ является четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Также обязательным условием является симметричность области определения $D(f)$ относительно нуля.

В условии задачи сказано, что:

1. $f(x)$ — четная функция.

2. Область определения $D(f) = R$ (все действительные числа), что является симметричным множеством.

3. Известно значение функции в точке $x=150$: $f(150) = -4$.

Требуется найти значение функции в точке $x=-150$, то есть $f(-150)$.

Согласно определению четной функции, для $x=150$ должно выполняться равенство:

$f(-150) = f(150)$

Так как нам дано, что $f(150) = -4$, мы можем подставить это значение в равенство:

$f(-150) = -4$

Ответ: -4

11. (2)

Четная функция $f(x)$ задана на множестве $[-6;6]$. Уравнение $f(x)=7$ имеет 3 корня на промежутке $x \in (0;6]$. Сколько корней имеет уравнение $f(x)=7$ на промежутке $x \in [-6;0)$?

По определению, четная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого значения $x$ из ее области определения. Область определения функции, указанная как $[-6, 6]$, является симметричной относительно нуля. Геометрически это свойство означает, что график четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Согласно условию задачи, уравнение $f(x) = 7$ имеет 3 корня на промежутке $x \in (0, 6]$. Обозначим эти корни как $x_1, x_2, x_3$. Это значит, что $f(x_1) = 7$, $f(x_2) = 7$ и $f(x_3) = 7$. Важно, что все эти корни являются различными и строго положительными числами, поскольку они принадлежат интервалу $(0, 6]$.

Теперь воспользуемся свойством четности функции, чтобы найти корни на симметричном промежутке $[-6, 0)$. Для каждого положительного корня $x_k$ (где $k$ может быть 1, 2 или 3), для которого $f(x_k) = 7$, существует соответствующее ему отрицательное значение $-x_k$, для которого также будет выполняться равенство $f(-x_k) = f(x_k) = 7$.

Таким образом, мы получаем три новых корня уравнения: $-x_1, -x_2$ и $-x_3$. Определим, в каком промежутке они находятся. Поскольку для исходных корней выполняется условие $0 < x_k \le 6$, то для их противоположных значений $-x_k$ будет справедливо двойное неравенство $-6 \le -x_k < 0$. Это означает, что все три найденных корня $-x_1, -x_2, -x_3$ лежат в искомом промежутке $[-6, 0)$.

Так как корни $x_1, x_2, x_3$ различны между собой, то и корни $-x_1, -x_2, -x_3$ также будут различны. Следовательно, на промежутке $[-6, 0)$ есть как минимум 3 корня.

Чтобы доказать, что других корней на этом промежутке нет, предположим обратное: пусть на промежутке $[-6, 0)$ существует еще один корень $x_4$, отличный от $-x_1, -x_2, -x_3$. Тогда в силу четности функции ему бы соответствовал положительный корень $-x_4$, который бы лежал в промежутке $(0, 6]$. Это бы означало, что на промежутке $(0, 6]$ имеется уже четыре корня, что противоречит условию задачи, где говорится ровно о трех корнях. Следовательно, наше предположение неверно, и других корней на промежутке $[-6, 0)$ нет.

Таким образом, уравнение $f(x) = 7$ на промежутке $x \in [-6, 0)$ имеет ровно 3 корня.

Ответ: 3

12. (3) Функция $f(x)$ является четной; известно, что $f(x)=x^2-2x$ при $x\ge0$.

Постройте график. Исследуйте функцию.

(Исследовать функцию – это значит указать нули функции, интервалы знакопостоянства, промежутки монотонности, экстремумы функции, наибольшее и наименьшее значения функции, область значений функции).

Поскольку функция $f(x)$ является четной, для нее выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

Нам дано, что при $x \ge 0$, функция имеет вид $f(x) = x^2 - 2x$.

Чтобы найти вид функции при $x < 0$, воспользуемся свойством четности. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Мы можем подставить $-x$ в известную нам формулу: $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$. Так как $f(x) = f(-x)$, то для $x < 0$ получаем $f(x) = x^2 + 2x$.

Таким образом, функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 + 2x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$
Единой формулой это можно записать как $f(x) = x^2 - 2|x|$.

Постройте график

График функции состоит из двух частей:
1. При $x \ge 0$ строим график параболы $y = x^2 - 2x$. Ветви направлены вверх. Координаты вершины: $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$; $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина в точке $(1, -1)$. График пересекает ось OX в точках $x(x-2)=0$, то есть $x=0$ и $x=2$.
2. При $x < 0$ строим график параболы $y = x^2 + 2x$. Ветви направлены вверх. Координаты вершины: $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$; $y_v = (-1)^2 + 2(-1) = -1$. Вершина в точке $(-1, -1)$. График пересекает ось OX в точке $x(x+2)=0$, то есть $x=-2$ (так как $x=0$ не входит в этот промежуток).
Можно также построить часть графика для $x \ge 0$ и симметрично отразить ее относительно оси OY. В результате получается график, напоминающий букву "W", с минимумами в точках $(-1, -1)$ и $(1, -1)$ и локальным максимумом в точке $(0, 0)$.

Исследуйте функцию

Нули функции
Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 0$.
Для $x \ge 0$: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$.
Для $x < 0$: $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow x=-2$.
Ответ: Нулями функции являются $x = -2, x = 0, x = 2$.

Интервалы знакопостоянства
Определим знаки функции на интервалах, на которые числовую ось делят нули функции.
- $f(x) > 0$ (функция положительна): $x^2 - 2|x| > 0$. Это выполняется, когда $|x|(|x|-2) > 0$. Так как $|x| \ge 0$, нам нужно, чтобы $|x|-2 > 0$ и $|x| \ne 0$, то есть $|x| > 2$.
- $f(x) < 0$ (функция отрицательна): $x^2 - 2|x| < 0$. Это выполняется, когда $|x|(|x|-2) < 0$, то есть $|x|-2 < 0$ и $|x| \ne 0$. Отсюда $0 < |x| < 2$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-2, 0) \cup (0, 2)$.

Промежутки монотонности
Найдем производную функции. В точке $x=0$ функция непрерывна, но производная не существует (излом графика).
- При $x > 0$: $f'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$. $f'(x) > 0$ при $x>1$ (возрастает), $f'(x) < 0$ при $0 - При $x < 0$: $f'(x) = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$. $f'(x) > 0$ при $-1 Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, \infty)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.

Экстремумы функции
Экстремумы достигаются в критических точках, где производная равна нулю или не существует.
- $x=-1$: производная равна нулю, знак меняется с "минуса" на "плюс" - это точка локального минимума. $y_{min} = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = -1$.
- $x=1$: производная равна нулю, знак меняется с "минуса" на "плюс" - это точка локального минимума. $y_{min} = f(1) = 1^2 - 2(1) = -1$.
- $x=0$: производная не существует, знак меняется с "плюса" на "минус" - это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 0^2 - 2(0) = 0$.
Ответ: $x_{min} = \pm 1$ — точки минимума, $f_{min} = -1$; $x_{max} = 0$ — точка максимума, $f_{max} = 0$.

Наибольшее и наименьшее значения функции
Так как при $x \to \pm\infty$, $f(x) \to +\infty$, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения не существует. Наименьшее значение достигается в точках минимума.
Ответ: Наибольшего значения не существует, наименьшее значение функции равно -1.

Область значений функции
Множество всех значений, которые принимает функция. Оно начинается с наименьшего значения и идет до бесконечности.
Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$.