Страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

3 Постарайтесь разобраться, как данный график отражает определение и свойства периодических функций, которые мы рассмотрели в этом параграфе.

Данный график является наглядной иллюстрацией определения и свойств периодических функций. Разберем, как именно он это делает.

Определение периодической функции
Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Число $T$ называют периодом функции.
На графике это свойство проявляется в его повторяемости. Мы можем заметить, что форма кривой повторяется через определенные интервалы вдоль оси $Ox$. Если мы выберем любую точку на графике, например, с абсциссой $x_1$, и найдем соответствующее значение функции $y_1 = f(x_1)$, то, сдвинувшись по оси $Ox$ на расстояние, равное периоду $T$, мы найдем точку с абсциссой $x_1+T$, для которой значение функции будет таким же: $f(x_1+T) = f(x_1) = y_1$. Это верно для любой точки на графике.

Основной период
Наименьший положительный период функции называется её основным периодом. На графике это наименьшее расстояние, на которое нужно сдвинуть его вдоль оси абсцисс, чтобы он совпал сам с собой. Мы можем визуально определить это расстояние, например, измерив его между двумя последовательными максимумами, минимумами или любыми другими соответствующими друг другу точками. Этот повторяющийся фрагмент и есть "шаблон", из которого состоит весь график.

Свойства периодических функций на графике
1. Построение графика: Весь график периодической функции можно получить, если взять его часть на любом промежутке длиной в один период $T$ (например, на отрезке $[0, T]$) и затем бесконечно повторять этот фрагмент, сдвигая его вдоль оси $Ox$ на $kT$, где $k$ — любое целое число ($k = \dots, -2, -1, 1, 2, \dots$).
2. Область значений: Множество всех значений, которые принимает периодическая функция, совпадает с множеством ее значений на любом отрезке длиной в один период. На графике это означает, что функция не будет принимать значений выше своего глобального максимума или ниже своего глобального минимума, которые достигаются на каждом периоде.
3. Повторяемость характеристик: Все ключевые характеристики поведения функции — нули (точки пересечения с осью $Ox$), точки экстремума (максимумы и минимумы), промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства — повторяются с той же периодичностью $T$. Если $x_0$ является нулем функции, то и все точки вида $x_0 + kT$ также будут нулями. Если на интервале $(a, b)$ функция возрастает, то она будет возрастать и на всех интервалах вида $(a+kT, b+kT)$. Это наглядно видно на данном графике: "холмы" и "впадины" регулярно сменяют друг друга.

Таким образом, данный график демонстрирует суть периодичности: наличие повторяющегося "узора" (периода) и воспроизведение всех свойств функции через равные промежутки.

Ответ: График отражает определение и свойства периодических функций через визуальную повторяемость своей формы вдоль оси абсцисс. Основной период $T$ — это длина минимального отрезка, при параллельном переносе на который вдоль оси $Ox$ график совпадает сам с собой. Весь график можно построить, копируя его часть, взятую на любом промежутке длиной $T$. Такие свойства, как область значений, нули, экстремумы и интервалы монотонности, также периодически повторяются с периодом $T$.

Упражнение 4

Начиная с точки $0$ на положительной полуоси $O_x$, Жайна отмечает точки через каждые 3 ед., а Бахытжан – через каждые 5 ед. Найти расстояние между соседними дважды отмеченными точками.

По условию задачи, Джайна отмечает точки на положительной полуоси $Ox$, начиная с 0, через каждые 3 единицы. Координаты этих точек являются числами, кратными 3. Это можно записать как последовательность: $0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, \dots$

Бахытжан, в свою очередь, отмечает точки с шагом в 5 единиц. Координаты его точек являются числами, кратными 5: $0, 5, 10, 15, 20, 25, \dots$

Дважды отмеченные точки — это точки, координаты которых совпадают. Такие координаты должны быть кратны одновременно и 3, и 5. Иными словами, мы ищем общие кратные чисел 3 и 5.

Чтобы найти последовательность таких точек, нам необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку числа 3 и 5 являются взаимно простыми, их НОК равно их произведению.

$НОК(3, 5) = 3 \times 5 = 15$.

Это означает, что первая после 0 дважды отмеченная точка имеет координату 15. Все последующие дважды отмеченные точки будут иметь координаты, кратные 15. Последовательность координат дважды отмеченных точек выглядит так: $0, 15, 30, 45, \dots$

Расстояние между соседними дважды отмеченными точками — это разность координат двух идущих подряд точек из этой последовательности. Например, $15 - 0 = 15$, или $30 - 15 = 15$. Это расстояние всегда будет равно НОК(3, 5).

Ответ: 15.

Упражнение

7

Найдите $f'(x)$, если $f(x)=\frac{x^7}{7}$.

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^7}{7}$, мы будем использовать основные правила дифференцирования.

1. Представим функцию в виде произведения константы на степенную функцию. Это позволит нам применить правило вынесения константы за знак производной.

$f(x) = \frac{1}{7} \cdot x^7$

2. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения константы на функцию, которое гласит: $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$. В нашем случае константа $c = \frac{1}{7}$, а функция $u(x) = x^7$.

$f'(x) = \left(\frac{1}{7} \cdot x^7\right)' = \frac{1}{7} \cdot (x^7)'$

3. Теперь найдем производную степенной функции $x^7$, используя формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Для нашей функции $n=7$.

$(x^7)' = 7 \cdot x^{7-1} = 7x^6$

4. Подставим найденную производную обратно в наше выражение:

$f'(x) = \frac{1}{7} \cdot (7x^6)$

5. Упростим выражение, сократив семерки в числителе и знаменателе:

$f'(x) = \frac{7x^6}{7} = x^6$

Таким образом, производная исходной функции равна $x^6$.

Ответ: $f'(x) = x^6$.

Упражнение 8

Найдите $f'(x)$, если $f(x)=\arcsin(x^2+4x)$.

Для нахождения производной $f'(x)$ от функции $f(x) = \arcsin(x^2 + 4x)$ необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Функция $f(x)$ является композицией двух функций: внешней $g(u) = \arcsin(u)$ и внутренней $u(x) = x^2 + 4x$.

Формула производной сложной функции выглядит следующим образом:

$f'(x) = (g(u(x)))' = g'(u(x)) \cdot u'(x)$

Следуем пошаговому плану:

1. Находим производную внешней функции $g(u) = \arcsin(u)$.

Производная арксинуса является табличной и равна:

$g'(u) = (\arcsin(u))' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

2. Находим производную внутренней функции $u(x) = x^2 + 4x$.

Используя правила дифференцирования суммы и степенной функции, получаем:

$u'(x) = (x^2 + 4x)' = (x^2)' + (4x)' = 2x + 4$

3. Собираем производную сложной функции.

Подставляем $u(x) = x^2 + 4x$ в производную внешней функции $g'(u)$:

$g'(u(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2+4x)^2}}$

Теперь умножаем полученное выражение на производную внутренней функции $u'(x)$:

$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2+4x)^2}} \cdot (2x+4)$

Запишем итоговое выражение в более компактном виде, поместив $(2x+4)$ в числитель дроби:

$f'(x) = \frac{2x+4}{\sqrt{1-(x^2+4x)^2}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x+4}{\sqrt{1-(x^2+4x)^2}}$