Страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

17. (3) Нечетная функция $f(x)$ имеет период $T=12$, на интервале $(0; 6)$ задается формулой $f(x)=\frac{1}{8}(x-3)^2$, в точках $x=0$ и $x=6$ не определена. Изобразите график функции $y=f(x)$.

Для построения графика функции $y=f(x)$ воспользуемся ее свойствами: нечетностью, периодичностью и определением на заданном интервале. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Построение графика на интервале $(0; 6)$

На интервале $(0; 6)$ функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{8}(x-3)^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины этой параболы. Абсцисса вершины $x_0 = 3$. Ордината вершины $y_0 = f(3) = \frac{1}{8}(3-3)^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; 0)$.

Поскольку функция не определена в точках $x=0$ и $x=6$, найдем предельные значения функции на концах интервала, чтобы определить координаты "выколотых" точек на графике.

При $x \to 0^+$: $f(x) \to \frac{1}{8}(0-3)^2 = \frac{9}{8}$.
При $x \to 6^-$: $f(x) \to \frac{1}{8}(6-3)^2 = \frac{9}{8}$.

Итак, на интервале $(0; 6)$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(3; 0)$ и "выколотыми" точками на концах: $(0; \frac{9}{8})$ и $(6; \frac{9}{8})$.

2. Построение графика на интервале $(-6; 0)$ с использованием свойства нечетности

Функция $f(x)$ является нечетной, что означает выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Чтобы получить график на интервале $(-6; 0)$, мы должны симметрично отразить построенный на $(0; 6)$ участок относительно начала координат. При таком отражении точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, -y)$.

Вершина $(3; 0)$ переходит в точку $(-3; 0)$.
"Выколотая" точка $(6; \frac{9}{8})$ переходит в точку $(-6; -\frac{9}{8})$.
"Выколотая" точка $(0; \frac{9}{8})$ переходит в точку $(0; -\frac{9}{8})$.

На интервале $(-6; 0)$ график представляет собой дугу параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(-3; 0)$ и "выколотыми" точками на концах: $(-6; -\frac{9}{8})$ и $(0; -\frac{9}{8})$.

3. Построение графика на всей числовой прямой с использованием свойства периодичности

Функция имеет период $T=12$. Это означает, что $f(x+12) = f(x)$. Мы уже построили график на интервале $(-6; 6)$, длина которого равна 12. Этот участок является основным "блоком", который будет повторяться вдоль всей оси $Ox$.

Поскольку функция не определена в $x=6$, то из-за периодичности она также не будет определена в точках $x = 6 + 12k$ для любого целого $k$. Также из $f(-x)=-f(x)$ и $f(x+12)=f(x)$ следует, что $f(6k)$ не определена для любого целого $k$.

В точках $x=6k$ (например, $x=0, \pm6, \pm12, \dots$) функция имеет разрывы. Например, в точке $x=0$ предел слева равен $-\frac{9}{8}$, а предел справа равен $\frac{9}{8}$. В точке $x=6$ предел слева равен $\frac{9}{8}$, а предел справа (используя периодичность) равен $f(6^+) = f(6^+-12) = f(-6^+) = -\frac{9}{8}$.

Таким образом, итоговый график состоит из бесконечно повторяющихся фрагментов. Каждый фрагмент — это две соединенные дуги параболы: одна ветвями вверх, другая ветвями вниз.

- На интервалах вида $(12k; 6+12k)$ график представляет собой дугу параболы ветвями вверх с вершиной в точке $(3+12k; 0)$.
- На интервалах вида $(-6+12k; 12k)$ график представляет собой дугу параболы ветвями вниз с вершиной в точке $(-3+12k; 0)$.

Итоговый график представляет собой волнообразную линию, состоящую из параболических сегментов, которые "перескакивают" в точках $x=6k$ с одного значения на другое.

Ответ: График функции $y=f(x)$ представляет собой бесконечную последовательность параболических дуг. На интервале $(-6, 6)$ график состоит из двух частей: 1) На интервале $(-6, 0)$ — дуга параболы $y = -\frac{1}{8}(x+3)^2$ с вершиной в $(-3, 0)$, идущая от "выколотой" точки $(-6, -\frac{9}{8})$ до "выколотой" точки $(0, -\frac{9}{8})$. 2) На интервале $(0, 6)$ — дуга параболы $y = \frac{1}{8}(x-3)^2$ с вершиной в $(3, 0)$, идущая от "выколотой" точки $(0, \frac{9}{8})$ до "выколотой" точки $(6, \frac{9}{8})$. Этот узор на интервале $(-6, 6)$ периодически повторяется с периодом $T=12$ вдоль всей оси $Ox$. В точках $x=6k$, где $k$ — целое число, функция не определена и ее график имеет разрывы.

18. (4)

Пусть $f(x)$ - функция, удовлетворяющая при всех $x$ равенству $f(x)=f(2-|x|)$. Докажите, что $f(x)$ - четная периодическая функция.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x)$ является четной и периодической, необходимо последовательно доказать оба этих свойства.

Доказательство четности

Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим $f(-x)$. Согласно исходному равенству, которому функция $f(x)$ удовлетворяет при всех $x$, мы можем подставить $-x$ вместо $x$:

$f(-x) = f(2 - |-x|)$

По свойству модуля $|-x| = |x|$, поэтому равенство можно переписать в виде:

$f(-x) = f(2 - |x|)$

Из условия задачи мы знаем, что $f(x) = f(2 - |x|)$. Сравнивая два последних выражения, приходим к выводу:

$f(-x) = f(x)$

Это доказывает, что функция $f(x)$ является четной.

Доказательство периодичности

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Докажем, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $T=2$. Для этого нужно доказать, что $f(x+2)=f(x)$ для всех действительных $x$.

Разобьем доказательство на две части, рассмотрев два случая для $x$.

1. Сначала докажем, что $f(u+2) = f(u)$ для всех $u \ge -2$.

Возьмем $f(u+2)$. По исходному условию $f(u+2) = f(2 - |u+2|)$.

Поскольку $u \ge -2$, то $u+2 \ge 0$, и, следовательно, $|u+2| = u+2$.

Тогда равенство принимает вид:

$f(u+2) = f(2 - (u+2)) = f(2 - u - 2) = f(-u)$

Так как мы уже доказали, что функция $f(x)$ четная, то $f(-u) = f(u)$.

Таким образом, мы доказали, что $f(u+2) = f(u)$ для всех $u \ge -2$.

2. Теперь докажем, что $f(x+2) = f(x)$ для $x < -2$.

Начнем с $f(x)$ и построим цепочку преобразований, используя доказанные свойства.

$f(x) = f(-x)$ (поскольку функция четная).

Так как $x < -2$, то $-x > 2$. Обозначим $y = -x$, тогда $y > 2$.

Рассмотрим $f(y)$. Так как $y > 2$, то $y-2 > 0$. Поскольку $0 > -2$, к аргументу $u = y-2$ можно применить свойство, доказанное в пункте 1: $f(u+2) = f(u)$.

$f((y-2)+2) = f(y-2)$, что означает $f(y) = f(y-2)$.

Подставляя $y=-x$ обратно, получаем: $f(-x) = f(-x-2)$.

Теперь снова применим свойство четности к правой части равенства:

$f(-x-2) = f(-(x+2)) = f(x+2)$

Собирая всю цепочку равенств, получаем: $f(x) = f(-x) = f(-x-2) = f(x+2)$.

Итак, равенство $f(x+2) = f(x)$ верно и для $x < -2$.

Объединяя оба случая, мы заключаем, что $f(x+2) = f(x)$ выполняется для всех действительных $x$. Следовательно, функция $f(x)$ является периодической.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $f(x)$, удовлетворяющая равенству $f(x) = f(2-|x|)$, является четной и периодической.

19. (3)
Функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 6. На промежутке $[-3;0]$ она задается формулой $f(x)=x^2+x+2$. Найдите значение выражения $f(10)-f(5)+f(-4)$.

Согласно условию, функция $y=f(x)$ является четной и периодической с периодом $T=6$. Это означает, что для любого $x$ выполняются следующие равенства:

1. Свойство четности: $f(-x) = f(x)$.

2. Свойство периодичности: $f(x) = f(x + 6k)$ для любого целого числа $k$.

На промежутке $[-3; 0]$ функция задается формулой $f(x) = x^2 + x + 2$.

Чтобы найти значение выражения $f(10) - f(5) + f(-4)$, необходимо вычислить значение функции для каждого из аргументов: $10$, $5$ и $-4$. Поскольку эти аргументы не лежат в промежутке $[-3; 0]$, мы будем использовать свойства четности и периодичности, чтобы свести их к аргументам из этого промежутка.

Найдем значение $f(10)$
Воспользуемся свойством периодичности. Мы можем прибавлять или вычитать периоды ($T=6$) из аргумента функции, не изменяя ее значения. Найдем такой целый коэффициент $k$, чтобы аргумент $10 + 6k$ попал в отрезок $[-3; 0]$. Подходит $k=-2$.
$f(10) = f(10 + 6 \cdot (-2)) = f(10 - 12) = f(-2)$.
Теперь, когда аргумент $-2$ находится в промежутке $[-3; 0]$, мы можем использовать заданную формулу:
$f(-2

20. (3) Функция $y=f(x)$ определена на всей числовой оси и является периодической с периодом 5. На рисунке 5 изображен график этой функции при $-3 \le x \le 2$. Найдите значение выражения $ \frac{f(11)}{f(0) \cdot f(-9)} $.

Рис. 5

По условию задачи, функция $y=f(x)$ определена на всей числовой оси и является периодической с периодом $T=5$. Это означает, что для любого значения $x$ и любого целого числа $n$ справедливо равенство $f(x + nT) = f(x)$. На рисунке изображен график этой функции на отрезке $[-3, 2]$, длина которого равна $2 - (-3) = 5$, что в точности равно периоду функции.

Требуется найти значение выражения $\frac{f(11)}{f(0) \cdot f(-9)}$. Для этого необходимо последовательно найти значения функции $f(0)$, $f(11)$ и $f(-9)$.

1. Нахождение $f(0)$.Аргумент $x=0$ принадлежит отрезку $[-3, 2]$, на котором задан график. По графику находим, что при $x=0$ значение функции равно $2$. Таким образом, $f(0) = 2$.

2. Нахождение $f(11)$.Аргумент $x=11$ не принадлежит отрезку $[-3, 2]$. Воспользуемся свойством периодичности функции, чтобы найти эквивалентную точку в пределах заданного отрезка. Будем вычитать из аргумента период $T=5$ до тех пор, пока не получим значение из отрезка $[-3, 2]$.$f(11) = f(11 - 5) = f(6)$.$f(6) = f(6 - 5) = f(1)$.Аргумент $x=1$ принадлежит отрезку $[-3, 2]$. По графику находим, что при $x=1$ значение функции равно $-1$. Следовательно, $f(11) = f(1) = -1$.

3. Нахождение $f(-9)$.Аргумент $x=-9$ также не принадлежит отрезку $[-3, 2]$. Воспользуемся свойством периодичности, прибавляя к аргументу период $T=5$.$f(-9) = f(-9 + 5) = f(-4)$.$f(-4) = f(-4 + 5) = f(1)$.Аргумент $x=1$ принадлежит отрезку $[-3, 2]$. Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, $f(1) = -1$. Следовательно, $f(-9) = f(1) = -1$.

4. Вычисление значения выражения.Подставим найденные значения $f(0)=2$, $f(11)=-1$ и $f(-9)=-1$ в исходное выражение:$\frac{f(11)}{f(0) \cdot f(-9)} = \frac{-1}{2 \cdot (-1)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0.5

Семья Алишера приехала на дачу в 16:00. Если бы они увеличили свою скорость на 25%, то приехали бы на дачу в 14:30. Во сколько они выехали из дома?

21. (3)

Пусть $S$ — расстояние от дома до дачи, $v_1$ — первоначальная скорость семьи, а $t_1$ — фактическое время в пути.
Семья приехала на дачу в 16:00. Время отправления можно найти, если из времени прибытия вычесть время в пути.
Таким образом, время отправления равно $16:00 - t_1$.
Формула пути: $S = v_1 \cdot t_1$.

Рассмотрим второй, гипотетический, случай.
Скорость увеличили на 25%, новая скорость $v_2$ составит:
$v_2 = v_1 + 0.25 \cdot v_1 = 1.25 \cdot v_1$.
Время прибытия в этом случае — 14:30. Новое время в пути — $t_2$.
Формула пути для этого случая: $S = v_2 \cdot t_2 = 1.25 \cdot v_1 \cdot t_2$.

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять правые части уравнений:
$v_1 \cdot t_1 = 1.25 \cdot v_1 \cdot t_2$.
Сократив $v_1$ (так как скорость не равна нулю), получим соотношение между временами:
$t_1 = 1.25 \cdot t_2$.

Разница во времени прибытия составляет разницу во времени, затраченном на дорогу:
$t_1 - t_2 = 16:00 - 14:30 = 1 \text{ час } 30 \text{ минут} = 1.5 \text{ часа}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $t_1 = 1.25 \cdot t_2$
2) $t_1 - t_2 = 1.5$

Подставим первое уравнение во второе:
$1.25 \cdot t_2 - t_2 = 1.5$
$0.25 \cdot t_2 = 1.5$
$t_2 = \frac{1.5}{0.25} = 6$ часов.

Теперь найдем фактическое время в пути $t_1$:
$t_1 = t_2 + 1.5 = 6 + 1.5 = 7.5$ часов.
$7.5$ часа — это 7 часов и 30 минут.

Зная фактическое время в пути ($t_1 = 7$ часов 30 минут) и время прибытия (16:00), найдем время выезда из дома:
Время выезда = Время прибытия - Время в пути
Время выезда = $16:00 - 7 \text{ часов } 30 \text{ минут} = 8:30$.

Ответ: семья выехала из дома в 8:30.

22. (1) Упростите: $\frac{1+\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha} - \operatorname{tg}(45^\circ + \alpha)$.

(1)

Для упрощения данного выражения рассмотрим его вторую часть, $ \text{tg}(45^\circ+\alpha) $, и преобразуем ее с помощью формулы тангенса суммы.
Формула тангенса суммы углов имеет вид:
$ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A \cdot \text{tg}B} $
Применим эту формулу, приняв $ A = 45^\circ $ и $ B = \alpha $:
$ \text{tg}(45^\circ+\alpha) = \frac{\text{tg}(45^\circ) + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}(45^\circ) \cdot \text{tg}\alpha} $
Мы знаем, что значение тангенса $ 45^\circ $ равно 1, то есть $ \text{tg}(45^\circ) = 1 $. Подставим это значение в выражение:
$ \text{tg}(45^\circ+\alpha) = \frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - 1 \cdot \text{tg}\alpha} = \frac{1+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\alpha} $
Таким образом, мы видим, что вторая часть исходного выражения $ \text{tg}(45^\circ+\alpha) $ тождественно равна его первой части $ \frac{1+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\alpha} $.
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$ \frac{1+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\alpha} - \text{tg}(45^\circ+\alpha) = \frac{1+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\alpha} - \left(\frac{1+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\alpha}\right) = 0 $
Разность двух одинаковых величин равна нулю.
Ответ: 0

23. (3) Белла собирается купить квартиру в новом доме. Менеджер отдела продаж предлагает ей одновременно купить место в подземном паркинге за 1 095 000 тенге. Если Белла купит паркинг, то ей придется еще платить 3000 тенге в месяц за техобслуживание паркинга. Если не купит, то ей придется платить по 400 тенге в сутки за место в том же паркинге. Какое число ближе всего отражает количество лет, за которое окупится покупка места паркинга?

А) 4 В) 6 С) 8 D) 10 Е) 12

Чтобы определить, через сколько лет окупится покупка парковочного места, необходимо найти момент времени, когда общие затраты на покупку и последующее обслуживание сравняются с общими затратами на аренду за тот же период.

1. Рассчитаем годовые расходы на аренду. Стоимость аренды составляет 400 тенге в сутки. Принимая, что в году 365 дней, годовые расходы на аренду составят: $400 \, \text{тенге/сутки} \times 365 \, \text{дней} = 146 \, 000 \, \text{тенге}$.

2. Рассчитаем годовые расходы на обслуживание купленного паркинга. Стоимость техобслуживания составляет 3000 тенге в месяц. В году 12 месяцев, следовательно, годовые расходы на обслуживание: $3000 \, \text{тенге/месяц} \times 12 \, \text{месяцев} = 36 \, 000 \, \text{тенге}$.

3. Найдем годовую экономию при покупке паркинга по сравнению с арендой. Она представляет собой разницу между годовой стоимостью аренды и годовой стоимостью обслуживания: $146 \, 000 \, \text{тенге} - 36 \, 000 \, \text{тенге} = 110 \, 000 \, \text{тенге}$. Это сумма, которую Белла будет экономить каждый год, владея паркингом.

4. Определим срок окупаемости. Для этого разделим первоначальную стоимость покупки паркинга на сумму годовой экономии. Стоимость покупки составляет $1 \, 095 \, 000$ тенге. Срок окупаемости $(t)$ в годах рассчитывается по формуле: $t = \frac{\text{Стоимость покупки}}{\text{Годовая экономия}} = \frac{1 \, 095 \, 000}{110 \, 000} \approx 9.9545 \, \text{лет}$.

5. Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Число 9.9545 наиболее близко к 10.

Ответ: 10

24. (2) Решите систему:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y}=5 \\ x^2+y^2=13 \end{cases}$

24. (2)

Решим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $$

Начнем с первого уравнения. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $x - y \neq 0$, или $x \neq y$.

Преобразуем первое уравнение, умножив обе его части на $(x-y)$:

$x+y = 5(x-y)$

$x+y = 5x - 5y$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и $y$:

$y + 5y = 5x - x$

$6y = 4x$

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{4}{6}x$

$y = \frac{2}{3}x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы: $x^2 + y^2 = 13$.

$x^2 + \left(\frac{2}{3}x\right)^2 = 13$

$x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 13$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$\frac{9}{9}x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 13$

$\frac{13}{9}x^2 = 13$

Разделим обе части на 13, чтобы найти $x^2$:

$\frac{1}{9}x^2 = 1$

$x^2 = 9$

Из этого уравнения находим два значения для $x$:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ с помощью соотношения $y = \frac{2}{3}x$.

1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$. Получаем пару $(3; 2)$.

2. Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$. Получаем пару $(-3; -2)$.

Обе полученные пары решений $(3; 2)$ и $(-3; -2)$ удовлетворяют ОДЗ, так как в обоих случаях $x \neq y$.

Для полной уверенности выполним проверку, подставив найденные пары в исходные уравнения.

Проверка для $(3; 2)$:

$\frac{3+2}{3-2} = \frac{5}{1} = 5$ (верно)

$3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$ (верно)

Проверка для $(-3; -2)$:

$\frac{-3+(-2)}{-3-(-2)} = \frac{-5}{-3+2} = \frac{-5}{-1} = 5$ (верно)

$(-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$ (верно)

Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(3; 2), (-3; -2)$.

6. Найдите значения переменной $x$, при которых производная функции $f(x)$ равна $a$.

а) $f(x)=-\cos x, a=1;$

б) $f(x)=\frac{1}{2}\sin 4x+8, a=\sqrt{3};$

в) $f(x)=7\cos 2x-5x, a=2;$

г) $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{7}\operatorname{tg} 14x+8x, a=10.$

а)

Дана функция $f(x) = -\cos x$ и значение производной $a=1$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.

2. Приравняем производную к заданному значению $a$:

$f'(x) = a$

$\sin x = 1$.

3. Решим полученное тригонометрическое уравнение:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}\sin 4x + 8$ и значение производной $a=\sqrt{3}$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\frac{1}{2}\sin 4x + 8)' = \frac{1}{2}(\sin 4x)' + (8)' = \frac{1}{2}\cos(4x) \cdot (4x)' + 0 = \frac{1}{2} \cdot 4\cos(4x) = 2\cos(4x)$.

2. Приравняем производную к заданному значению $a$:

$f'(x) = a$

$2\cos(4x) = \sqrt{3}$.

3. Решим полученное уравнение:

$\cos(4x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для такого уравнения имеет вид:

$4x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

$4x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Разделим обе части на 4:

$x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi k}{4} = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

в)

Дана функция $f(x) = 7\cos 2x - 5x$ и значение производной $a=2$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (7\cos 2x - 5x)' = 7(\cos 2x)' - (5x)' = 7(-\sin(2x) \cdot (2x)') - 5 = 7(-\sin(2x) \cdot 2) - 5 = -14\sin(2x) - 5$.

2. Приравняем производную к заданному значению $a$:

$f'(x) = a$

$-14\sin(2x) - 5 = 2$.

3. Решим полученное уравнение:

$-14\sin(2x) = 2 + 5$

$-14\sin(2x) = 7$

$\sin(2x) = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для такого уравнения имеет вид:

$2x = (-1)^{k} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$.

$2x = (-1)^{k} (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$.

Разделим обе части на 2:

$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{7}\mathrm{tg}14x + 8x$ и значение производной $a=10$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{\sqrt{3}}{7}\mathrm{tg}14x + 8x)' = \frac{\sqrt{3}}{7}(\mathrm{tg}14x)' + (8x)' = \frac{\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{1}{\cos^2(14x)} \cdot (14x)' + 8 = \frac{\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{14}{\cos^2(14x)} + 8 = \frac{2\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} + 8$.

2. Приравняем производную к заданному значению $a$:

$f'(x) = a$

$\frac{2\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} + 8 = 10$.

3. Решим полученное уравнение:

$\frac{2\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} = 10 - 8$

$\frac{2\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} = 2$

$\frac{\sqrt{3}}{\cos^2(14x)} = 1$

$\cos^2(14x) = \sqrt{3}$.

Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, а область значений функции $y=\cos^2(\alpha)$ есть отрезок $[0, 1]$, то $\cos^2(14x)$ не может быть равен $\sqrt{3}$.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

7. При каких значениях переменной $t$ выполняются одновременно два условия: $f''(t) \ge 0$ и $f(t) < 0$, если $f(t) = -t^2 + 2t + 3$?

Для того чтобы найти значения переменной $t$, при которых одновременно выполняются указанные условия, необходимо решить систему неравенств. Дана функция $f(t) = -t^2 + 2t + 3$. Система выглядит следующим образом:

$\begin{cases} f'(t) \ge 0 \\ f(t) < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

f'(t)≥0

Сначала найдем производную функции $f(t)$ по переменной $t$:

$f'(t) = (-t^2 + 2t + 3)' = -2t^{2-1} + 2t^{1-1} + 0 = -2t + 2$.

Далее решим неравенство $f'(t) \ge 0$:

$-2t + 2 \ge 0$

Вычтем 2 из обеих частей:

$-2t \ge -2$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$t \le 1$.

Решением первого неравенства является интервал $t \in (-\infty, 1]$.

f(t)<0

Теперь решим второе неравенство $f(t) < 0$:

$-t^2 + 2t + 3 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $-t^2 + 2t + 3 = 0$. Для удобства умножим обе части на -1:

$t^2 - 2t - 3 = 0$.

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения равны:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Функция $f(t) = -t^2 + 2t + 3$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный). Следовательно, значения функции будут отрицательными ($f(t) < 0$) вне интервала между корнями.

Решением второго неравенства является объединение интервалов $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо найти пересечение множеств решений, найденных для каждого неравенства: $t \in (-\infty, 1]$ и $t \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

Пересечение этих множеств, $t \in (-\infty, 1] \cap \left( (-\infty, -1) \cup (3, \infty) \right)$, и есть искомое решение. Общим для обоих условий является интервал $(-\infty, -1)$.

Ответ: $t \in (-\infty, -1)$.

8. Укажите множество значений переменной $x$, для которых производная функции $f(x)=3x^4+8x^3$ неотрицательна.

Для того чтобы найти множество значений переменной $x$, для которых производная функции $f(x) = 3x^4 + 8x^3$ неотрицательна, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f(x)$.
Используем правила дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных, а производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$f'(x) = (3x^4 + 8x^3)' = (3x^4)' + (8x^3)'$
$f'(x) = 3 \cdot 4x^{4-1} + 8 \cdot 3x^{3-1}$
$f'(x) = 12x^3 + 24x^2$

2. Решить неравенство $f'(x) \ge 0$.
По условию, производная должна быть неотрицательной, то есть большей или равной нулю.
$12x^3 + 24x^2 \ge 0$
Для решения этого неравенства вынесем общий множитель $12x^2$ за скобки:
$12x^2(x + 2) \ge 0$
Произведение двух множителей ($12x^2$ и $x+2$) неотрицательно. Рассмотрим множитель $12x^2$. Так как квадрат любого действительного числа не отрицателен ($x^2 \ge 0$), то и выражение $12x^2$ всегда будет больше или равно нулю.
Неравенство обращается в верное равенство при $x=0$.
Если $x \ne 0$, то $12x^2 > 0$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $12x^2$, не меняя знака неравенства:
$x + 2 \ge 0$
$x \ge -2$
Объединяя полученное решение $x \ge -2$ с ранее рассмотренным случаем $x=0$ (который входит в этот промежуток), получаем, что неравенство $12x^2(x + 2) \ge 0$ выполняется для всех $x$ из промежутка $[-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

9. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

а) $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$, $x_0=1$;

б) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$, $x_0=0$;

в) $f(x)=\frac{3x-1}{x+4}$, $x_0=-3$;

г) $f(x)=\frac{5x+2}{7x+13}$, $x_0=-2$.

а) Для функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ в точке $x_0 = 1$.
Чтобы найти производную функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае $u(x) = x-1$ и $v(x) = x+1$.
Находим производные числителя и знаменателя: $u'(x) = (x-1)' = 1$, $v'(x) = (x+1)' = 1$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{2}{(1+1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{x^2}{x^2-1}$ в точке $x_0 = 0$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = x^2-1$.
Находим производные: $u'(x) = (x^2)' = 2x$, $v'(x) = (x^2-1)' = 2x$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2-1) - (x^2)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = \frac{2x(x^2-1) - x^2(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3}{(x^2-1)^2} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{-2 \cdot 0}{(0^2-1)^2} = \frac{0}{(-1)^2} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $0$.

в) Для функции $f(x) = \frac{3x-1}{x+4}$ в точке $x_0 = -3$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = 3x-1$ и $v(x) = x+4$.
Находим производные: $u'(x) = (3x-1)' = 3$, $v'(x) = (x+4)' = 1$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{(3x-1)'(x+4) - (3x-1)(x+4)'}{(x+4)^2} = \frac{3(x+4) - (3x-1) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{3x+12 - 3x+1}{(x+4)^2} = \frac{13}{(x+4)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -3$:
$f'(-3) = \frac{13}{(-3+4)^2} = \frac{13}{1^2} = 13$.
Ответ: $13$.

г) Для функции $f(x) = \frac{5x+2}{7x+13}$ в точке $x_0 = -2$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = 5x+2$ и $v(x) = 7x+13$.
Находим производные: $u'(x) = (5x+2)' = 5$, $v'(x) = (7x+13)' = 7$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{(5x+2)'(7x+13) - (5x+2)(7x+13)'}{(7x+13)^2} = \frac{5(7x+13) - (5x+2) \cdot 7}{(7x+13)^2} = \frac{35x+65 - (35x+14)}{(7x+13)^2} = \frac{35x+65 - 35x-14}{(7x+13)^2} = \frac{51}{(7x+13)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = \frac{51}{(7(-2)+13)^2} = \frac{51}{(-14+13)^2} = \frac{51}{(-1)^2} = \frac{51}{1} = 51$.
Ответ: $51$.

10. Решите следующие неравенства:

а) $f'(x) > \frac{1}{2(x-1)}$, если $f(x) = -\frac{1}{x-1}$;

б) $f'(x) \leq \frac{4}{3(x^2-1)}$, если $f(x) = -\frac{1}{x^2-1}$.

a)

1. Найдём производную функции $f(x) = -\frac{1}{x-1}$.

Для удобства представим функцию в виде $f(x) = -(x-1)^{-1}$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$, получаем:

$f'(x) = -(-1) \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)' = 1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = \frac{1}{(x-1)^2}$.

2. Подставим найденную производную в исходное неравенство $f'(x) > \frac{1}{2(x-1)}$:

$\frac{1}{(x-1)^2} > \frac{1}{2(x-1)}$.

3. Решим полученное неравенство. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели не равны нулю: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Перенесём все члены неравенства в левую часть и приведём их к общему знаменателю $2(x-1)^2$:

$\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{2(x-1)} > 0$

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot (x-1)}{2(x-1)^2} > 0$

$\frac{2 - x + 1}{2(x-1)^2} > 0$

$\frac{3 - x}{2(x-1)^2} > 0$.

Знаменатель $2(x-1)^2$ всегда положителен при любом $x$ из ОДЗ ($x \neq 1$). Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x < 3$. Объединяя с условием $x \neq 1$, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3)$.

б)

1. Найдём производную функции $f(x) = -\frac{1}{x^2-1}$.

Представим функцию в виде $f(x) = -(x^2-1)^{-1}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = -(-1) \cdot (x^2-1)^{-1-1} \cdot (x^2-1)' = (x^2-1)^{-2} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2-1)^2}$.

2. Подставим производную в неравенство $f'(x) \leq \frac{4}{3(x^2-1)}$:

$\frac{2x}{(x^2-1)^2} \leq \frac{4}{3(x^2-1)}$.

3. Решим это неравенство. ОДЗ: $x^2-1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Перенесём все члены в левую часть и приведём к общему знаменателю $3(x^2-1)^2$:

$\frac{2x}{(x^2-1)^2} - \frac{4}{3(x^2-1)} \leq 0$

$\frac{3 \cdot 2x - 4 \cdot (x^2-1)}{3(x^2-1)^2} \leq 0$

$\frac{6x - 4x^2 + 4}{3(x^2-1)^2} \leq 0$.

Знаменатель $3(x^2-1)^2$ положителен при всех $x$ из ОДЗ. Таким образом, знак дроби определяется знаком числителя:

$-4x^2 + 6x + 4 \leq 0$.

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$2x^2 - 3x - 2 \geq 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдём корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3-5}{4} = -0.5$; $x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3+5}{4} = 2$.

График функции $y=2x^2 - 3x - 2$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны при $x \leq -0.5$ и при $x \geq 2$. Таким образом, решение неравенства $2x^2 - 3x - 2 \geq 0$ есть $x \in (-\infty; -0.5] \cup [2; \infty)$.

Теперь учтём ОДЗ ($x \neq \pm 1$). Точка $x=-1$ попадает в промежуток $(-\infty; -0.5]$, поэтому её нужно исключить. Точка $x=1$ не входит в найденное решение.

Итоговое решение:

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -0.5] \cup [2; \infty)$.

11. При каких значениях переменной значение функции $g(x)$ равно значению производной функции $f(x)$, если:

а) $f(x) = -\cos x, g(x) = \sin 3x;$

б) $f(x) = -5 \cos x - 5x, g(x) = 6 \cos^2 x;$

в) $f(x) = \sqrt{2x+5}, g(x) = \cos 3x + \sin 3x;$

г) $f(x) = \cos x, g(x) = \frac{\cos 3x}{\sin 2x}$.

а) Даны функции $f(x) = -\cos x$ и $g(x) = \sin 3x$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.
Теперь приравняем значение производной $f'(x)$ к значению функции $g(x)$, согласно условию задачи:
$f'(x) = g(x)$
$\sin x = \sin 3x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin 3x - \sin x = 0$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
$2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 0$
$2\sin x \cos 2x = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Даны функции $f(x) = -5\cos x - 5x$ и $g(x) = 6\cos^2 x$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-5\cos x - 5x)' = -5(-\sin x) - 5 = 5\sin x - 5$.
Приравняем $f'(x)$ к $g(x)$:
$5\sin x - 5 = 6\cos^2 x$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$5\sin x - 5 = 6(1 - \sin^2 x)$
$5\sin x - 5 = 6 - 6\sin^2 x$
$6\sin^2 x + 5\sin x - 11 = 0$
Сделаем замену переменной $y = \sin x$. Учитывая, что $-1 \le \sin x \le 1$, получаем $|y| \le 1$.
$6y^2 + 5y - 11 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) = 25 + 264 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6}$.
$y_2 = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\sin x = -\frac{11}{6}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$, а $|-\frac{11}{6}| > 1$.
2) $\sin x = 1$. Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Даны функции $f(x) = \sqrt{2}x + 5$ и $g(x) = \cos 3x + \sin 3x$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{2}x + 5)' = \sqrt{2}$.
Приравняем $f'(x)$ к $g(x)$:
$\sqrt{2} = \cos 3x + \sin 3x$
Для решения уравнения вида $a\cos u + b\sin u$ используем метод введения вспомогательного угла. Преобразуем правую часть:
$\cos 3x + \sin 3x = \sqrt{1^2+1^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos 3x + \sin\frac{\pi}{4}\sin 3x\right)$.
Используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, получаем:
$\sqrt{2}\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\sqrt{2} = \sqrt{2}\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$
$\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$
Решением этого уравнения является:
$3x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k$
$3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Даны функции $f(x) = \cos x$ и $g(x) = \frac{\cos 3x}{\sin 2x}$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Приравняем $f'(x)$ к $g(x)$:
$-\sin x = \frac{\cos 3x}{\sin 2x}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $\sin 2x \ne 0$, что означает $2x \ne \pi n$, и, следовательно, $x \ne \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$.
Умножим обе части уравнения на $\sin 2x$ (с учетом ОДЗ):
$-\sin x \sin 2x = \cos 3x$
$\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$
Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
$\cos 3x + \frac{1}{2}(\cos(2x-x) - \cos(2x+x)) = 0$
$\cos 3x + \frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x) = 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:
$2\cos 3x + \cos x - \cos 3x = 0$
$\cos 3x + \cos x = 0$
Теперь используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 0$
$2\cos 2x \cos x = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi(1+2k)}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} = \frac{\pi(1+2m)}{4}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ ($x \ne \frac{\pi n}{2}$):
1) Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, мы видим, что эти значения имеют вид $\frac{\pi n}{2}$ при $n=1+2k$ (нечетные n). При этих значениях $\sin(2x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$. Следовательно, эта серия корней является посторонней и не входит в решение.
2) Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, проверим, могут ли эти корни принимать значения вида $\frac{\pi n}{2}$. Предположим, что могут: $\frac{\pi(1+2m)}{4} = \frac{\pi n}{2} \implies 1+2m = 2n \implies 1 = 2n - 2m = 2(n-m)$. Это равенство невозможно, так как слева стоит нечетное число, а справа — четное. Значит, корни этой серии удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

12. Дана функция $f(x)=\sin 2x-\cos x+3x$. Найдите производную функции, вторую производную, производную третьего порядка, производную четвертого порядка.

Дана функция $f(x) = \sin 2x - \cos x + 3x$. Для нахождения производных высших порядков будем последовательно дифференцировать функцию, используя правила дифференцирования суммы функций, производной сложной функции и табличные производные.

Основные правила и формулы, которые мы будем использовать:

1. Правило дифференцирования суммы: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

2. Производная сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

3. Табличные производные: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(kx)' = k$, $(C)' = 0$, где $C$ - константа.

Найдите производную функции

Первая производная $f'(x)$ находится путем дифференцирования каждого слагаемого исходной функции:

$f'(x) = (\sin 2x - \cos x + 3x)' = (\sin 2x)' - (\cos x)' + (3x)'$

Применяем правило для сложной функции к $(\sin 2x)'$: $(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.

Применяем табличные производные: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(3x)' = 3$.

Собираем все вместе:

$f'(x) = 2\cos 2x - (-\sin x) + 3 = 2\cos 2x + \sin x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2\cos 2x + \sin x + 3$

Найдите вторую производную

Вторая производная $f''(x)$ является производной от первой производной $f'(x)$.

$f''(x) = (f'(x))' = (2\cos 2x + \sin x + 3)' = (2\cos 2x)' + (\sin x)' + (3)'$

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(2\cos 2x)' = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -4\sin 2x$

$(\sin x)' = \cos x$

$(3)' = 0$

Складываем полученные выражения:

$f''(x) = -4\sin 2x + \cos x$

Ответ: $f''(x) = -4\sin 2x + \cos x$

Найдите производную третьего порядка

Третья производная $f'''(x)$ является производной от второй производной $f''(x)$.

$f'''(x) = (f''(x))' = (-4\sin 2x + \cos x)' = (-4\sin 2x)' + (\cos x)'$

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(-4\sin 2x)' = -4 \cdot (\cos 2x) \cdot (2x)' = -4 \cdot (\cos 2x) \cdot 2 = -8\cos 2x$

$(\cos x)' = -\sin x$

Складываем полученные выражения:

$f'''(x) = -8\cos 2x - \sin x$

Ответ: $f'''(x) = -8\cos 2x - \sin x$

Найдите производную четвертого порядка

Четвертая производная $f^{(4)}(x)$ является производной от третьей производной $f'''(x)$.

$f^{(4)}(x) = (f'''(x))' = (-8\cos 2x - \sin x)' = (-8\cos 2x)' - (\sin x)'$

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(-8\cos 2x)' = -8 \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = -8 \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = 16\sin 2x$

$(\sin x)' = \cos x$

Складываем полученные выражения:

$f^{(4)}(x) = 16\sin 2x - \cos x$

Ответ: $f^{(4)}(x) = 16\sin 2x - \cos x$

13. Дана функция $f(x)=\frac{1}{120}x^5 - 8x^4 + \frac{1}{16}x^3 - 8x^2 + \sqrt{7}$. Найдите производную пятого порядка от функции $f(x)$.

Для нахождения производной пятого порядка от функции $f(x) = \frac{1}{120}x^5 - 8x^4 + \frac{1}{16}x^3 - 8x^2 + \sqrt{7}$ необходимо последовательно найти производные с первого по пятый порядок.

Будем использовать правило дифференцирования степенной функции $(C \cdot x^n)' = C \cdot n \cdot x^{n-1}$ и тот факт, что производная суммы функций равна сумме их производных.

1. Находим первую производную $f'(x)$:
$f'(x) = (\frac{1}{120}x^5)' - (8x^4)' + (\frac{1}{16}x^3)' - (8x^2)' + (\sqrt{7})'$
$f'(x) = \frac{1}{120} \cdot 5x^4 - 8 \cdot 4x^3 + \frac{1}{16} \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x + 0 = \frac{5}{120}x^4 - 32x^3 + \frac{3}{16}x^2 - 16x$
Упрощая дробь $\frac{5}{120}$, получаем $\frac{1}{24}$.
$f'(x) = \frac{1}{24}x^4 - 32x^3 + \frac{3}{16}x^2 - 16x$

2. Находим вторую производную $f''(x)$:
$f''(x) = (f'(x))' = (\frac{1}{24}x^4 - 32x^3 + \frac{3}{16}x^2 - 16x)'$
$f''(x) = \frac{1}{24} \cdot 4x^3 - 32 \cdot 3x^2 + \frac{3}{16} \cdot 2x - 16 = \frac{4}{24}x^3 - 96x^2 + \frac{6}{16}x - 16$
Упрощая дроби, получаем $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ и $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
$f''(x) = \frac{1}{6}x^3 - 96x^2 + \frac{3}{8}x - 16$

3. Находим третью производную $f'''(x)$:
$f'''(x) = (f''(x))' = (\frac{1}{6}x^3 - 96x^2 + \frac{3}{8}x - 16)'$
$f'''(x) = \frac{1}{6} \cdot 3x^2 - 96 \cdot 2x + \frac{3}{8} = \frac{3}{6}x^2 - 192x + \frac{3}{8}$
Упрощая дробь $\frac{3}{6}$, получаем $\frac{1}{2}$.
$f'''(x) = \frac{1}{2}x^2 - 192x + \frac{3}{8}$

4. Находим четвертую производную $f^{(4)}(x)$:
$f^{(4)}(x) = (f'''(x))' = (\frac{1}{2}x^2 - 192x + \frac{3}{8})'$
$f^{(4)}(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x - 192 = x - 192$

5. Находим пятую производную $f^{(5)}(x)$:
$f^{(5)}(x) = (f^{(4)}(x))' = (x - 192)'$
$f^{(5)}(x) = 1 - 0 = 1$

Альтернативное решение:
Производная $n$-го порядка от многочлена степени $m$ равна нулю, если $n > m$. Пятая производная от слагаемых $-8x^4$, $\frac{1}{16}x^3$, $-8x^2$ и $\sqrt{7}$ будет равна нулю, так как их степень меньше 5.
Следовательно, нам нужно найти только пятую производную от слагаемого $\frac{1}{120}x^5$.
Известно, что $(x^n)^{(n)} = n!$.
Тогда $f^{(5)}(x) = (\frac{1}{120}x^5)^{(5)} = \frac{1}{120} \cdot (x^5)^{(5)} = \frac{1}{120} \cdot 5!$
Так как $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$, получаем:
$f^{(5)}(x) = \frac{1}{120} \cdot 120 = 1$.

Ответ: $1$

14. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=\sin^4 x$, $g(x)=\sin x^4$, $h(x)=\sin^3 x^4$, $u(x)=\sin(4x)^3$;

б) $f(x)=\arccos^2 x$, $g(x)=\arccos^2(2x-1)$, $h(x)=\arccos(2x+1)^3$,

$u(x)=\arccos^3(4x+5)^2$.

а)

Для функции $f(x)=\sin^4 x$.
Это сложная функция вида $y = u^4$, где $u = \sin x$. Применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
$f'(x) = (\sin^4 x)' = 4 \sin^{4-1} x \cdot (\sin x)' = 4\sin^3 x \cdot \cos x$.
Ответ: $f'(x) = 4\sin^3 x \cos x$.

Для функции $g(x)=\sin x^4$.
Это сложная функция вида $y = \sin u$, где $u = x^4$. Применяем цепное правило: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.
$g'(x) = (\sin x^4)' = \cos(x^4) \cdot (x^4)' = \cos(x^4) \cdot 4x^3 = 4x^3 \cos(x^4)$.
Ответ: $g'(x) = 4x^3 \cos(x^4)$.

Для функции $h(x)=\sin^3 x^4$.
Это сложная функция, представимая как $y = u^3$, где $u = \sin v$, а $v = x^4$. Применяем цепное правило последовательно.
$h'(x) = ((\sin x^4)^3)' = 3(\sin x^4)^2 \cdot (\sin x^4)'$.
Производная от $\sin x^4$ равна $\cos(x^4) \cdot (x^4)' = 4x^3\cos(x^4)$.
Подставляем: $h'(x) = 3\sin^2(x^4) \cdot 4x^3\cos(x^4) = 12x^3\sin^2(x^4)\cos(x^4)$.
Ответ: $h'(x) = 12x^3\sin^2(x^4)\cos(x^4)$.

Для функции $u(x)=\sin(4x)^3$.
Упростим аргумент: $(4x)^3 = 64x^3$. Функция принимает вид $u(x)=\sin(64x^3)$.
Это сложная функция вида $y = \sin v$, где $v = 64x^3$.
$u'(x) = \cos(64x^3) \cdot (64x^3)' = \cos(64x^3) \cdot 64 \cdot 3x^2 = 192x^2\cos(64x^3)$.
Ответ: $u'(x) = 192x^2\cos((4x)^3)$.

б)

Для функции $f(x)=\arccos^2 x$.
Это сложная функция вида $y = u^2$, где $u = \arccos x$. Используем цепное правило и производную арккосинуса $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.
$f'(x) = (\arccos^2 x)' = 2\arccos x \cdot (\arccos x)' = 2\arccos x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{2\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{2\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Для функции $g(x)=\arccos^2(2x-1)$.
Это сложная функция вида $y = u^2$, где $u = \arccos(2x-1)$.
$g'(x) = 2\arccos(2x-1) \cdot (\arccos(2x-1))'$.
Находим производную $(\arccos(2x-1))' = -\frac{(2x-1)'}{\sqrt{1-(2x-1)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1-(4x^2-4x+1)}} = -\frac{2}{\sqrt{4x-4x^2}} = -\frac{2}{2\sqrt{x-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$.
Собираем все вместе: $g'(x) = 2\arccos(2x-1) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\right) = -\frac{2\arccos(2x-1)}{\sqrt{x-x^2}}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{2\arccos(2x-1)}{\sqrt{x-x^2}}$.

Для функции $h(x)=\arccos(2x+1)^3$.
Это сложная функция вида $y = \arccos u$, где $u = (2x+1)^3$.
$h'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u' = -\frac{1}{\sqrt{1-((2x+1)^3)^2}} \cdot ((2x+1)^3)'$.
Производная $u' = ((2x+1)^3)' = 3(2x+1)^2 \cdot (2x+1)' = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$.
Подставляем: $h'(x) = -\frac{6(2x+1)^2}{\sqrt{1-(2x+1)^6}}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{6(2x+1)^2}{\sqrt{1-(2x+1)^6}}$.

Для функции $u(x)=\arccos^3(4x+5)^2$.
Это сложная функция вида $y = w^3$, где $w = \arccos v$, а $v = (4x+5)^2$.
$u'(x) = 3w^2 \cdot w' = 3\arccos^2((4x+5)^2) \cdot (\arccos((4x+5)^2))'$.
Находим $w' = (\arccos v)' = -\frac{v'}{\sqrt{1-v^2}}$.
Находим $v' = ((4x+5)^2)' = 2(4x+5) \cdot (4x+5)' = 2(4x+5) \cdot 4 = 8(4x+5)$.
$w' = -\frac{8(4x+5)}{\sqrt{1-((4x+5)^2)^2}} = -\frac{8(4x+5)}{\sqrt{1-(4x+5)^4}}$.
Подставляем $w'$ в производную $u'(x)$: $u'(x) = 3\arccos^2((4x+5)^2) \cdot \left(-\frac{8(4x+5)}{\sqrt{1-(4x+5)^4}}\right) = -\frac{24(4x+5)\arccos^2((4x+5)^2)}{\sqrt{1-(4x+5)^4}}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{24(4x+5)\arccos^2((4x+5)^2)}{\sqrt{1-(4x+5)^4}}$.