Страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Приведите примеры периодических процессов в природе или в жизни, процессов, характеристики которых повторяются через равные промежутки времени.

Периодический процесс — это процесс, в котором характеристики системы повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом. Такие процессы повсеместно встречаются в природе, жизни и технике. Ниже приведены примеры таких процессов.

Астрономические и геофизические процессы

Смена дня и ночи: это результат вращения Земли вокруг своей оси. Период этого процесса составляет примерно 24 часа. В течение этого времени последовательно меняется освещенность земной поверхности, что влияет на климат и жизнь всех организмов.

Смена времен года: происходит из-за обращения Земли вокруг Солнца и наклона ее оси вращения к плоскости орбиты. Полный цикл смены сезонов (весна, лето, осень, зима) занимает один год, или приблизительно 365,25 суток.

Смена фаз Луны: вызвана обращением Луны вокруг Земли, что изменяет ее видимую для земного наблюдателя освещенную Солнцем часть. Период полного цикла смены фаз (синодический месяц) составляет около 29,5 суток.

Морские приливы и отливы: периодические колебания уровня океана под действием гравитационных сил Луны и, в меньшей степени, Солнца. Период между двумя последовательными полными водами (приливами) чаще всего составляет около 12 часов 25 минут.

Биологические процессы

Сердцебиение: ритмичное сокращение сердечной мышцы для перекачивания крови по организму. У здорового взрослого человека в состоянии покоя сердце сокращается с частотой 60–80 раз в минуту, что является жизненно важным периодическим процессом.

Дыхание: циклический акт вдоха и выдоха, обеспечивающий газообмен в легких. Взрослый человек в спокойном состоянии совершает около 16–20 дыхательных циклов в минуту.

Циркадные ритмы: внутренние «биологические часы» организма с периодом около 24 часов, которые регулируют множество процессов, включая самый очевидный — цикл сна и бодрствования.

Физические и техногенные процессы

Колебания маятника: классический пример периодического движения в физике. Период малых колебаний математического маятника зависит от его длины $L$ и ускорения свободного падения $g$ и описывается формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$. Это свойство используется, например, в старинных механических часах.

Движение стрелок часов: секундная, минутная и часовая стрелки на циферблате часов являются наглядным примером строго периодического движения. Они совершают полный оборот за строго определенные периоды: 60 секунд, 60 минут и 12 часов соответственно.

Переменный электрический ток: напряжение и сила тока в бытовой электросети изменяются по гармоническому (синусоидальному) закону с постоянной частотой. В России и странах Европы эта частота составляет 50 Гц, то есть происходит 50 полных колебаний за одну секунду.

Ответ: Примерами периодических процессов служат: в природе — смена дня и ночи, смена времен года, фазы Луны, морские приливы и отливы; в жизни организмов — сердцебиение, дыхание, циркадные ритмы (цикл сна и бодрствования); в физике и технике — колебания маятника, движение стрелок часов, переменный электрический ток.

Упражнение 1

Докажите, что $(\cos x)' = -\sin x$ (формула 5).

Доказательство формулы 6.

Используем правило $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g-g'f}{g^2}$:

$(tgx)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)' \sin x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Докажите, что $(\cos x)' = -\sin x$ (формула 5).

Для доказательства этой формулы воспользуемся определением производной функции $f(x)$ в точке $x$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

В нашем случае $f(x) = \cos x$. Подставим эту функцию в определение производной:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$

Используем тригонометрическую формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Применив ее, получаем:

$\cos(x + \Delta x) = \cos x \cos(\Delta x) - \sin x \sin(\Delta x)$

Подставим это выражение в предел:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x \cos(\Delta x) - \sin x \sin(\Delta x) - \cos x}{\Delta x}$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы вынести $\cos x$ за скобки:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x (\cos(\Delta x) - 1) - \sin x \sin(\Delta x)}{\Delta x}$

Разделим предел на два, используя свойства пределов:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x (\cos(\Delta x) - 1)}{\Delta x} - \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \sin(\Delta x)}{\Delta x}$

Поскольку $\cos x$ и $\sin x$ не зависят от $\Delta x$, их можно вынести за знаки пределов:

$(\cos x)' = \cos x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} - \sin x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}$

Теперь необходимо использовать два фундаментальных тригонометрических предела:

1. Первый замечательный предел: $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$.

2. Его следствие: $\lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0$.

Подставим значения этих пределов (где $t = \Delta x$) в наше выражение для производной:

$(\cos x)' = \cos x \cdot (0) - \sin x \cdot (1) = 0 - \sin x = -\sin x$

Таким образом, мы доказали, что производная функции косинус равна минус синус.

Ответ: Утверждение $(\cos x)' = -\sin x$ доказано.

Доказательство формулы 6.

В этой части доказывается формула для производной тангенса, которая, судя по всему, и является формулой 6: $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

1. Представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

2. Применим правило дифференцирования частного двух функций $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - g'f}{g^2}$, где $f(x) = \sin x$ и $g(x) = \cos x$.

$(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{(\cos x)^2}$

3. Используем уже известные производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$ (формула 5, доказанная выше).

Подставляем эти производные в полученное выражение:

$(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$

4. В числителе мы получили выражение, которое согласно основному тригонометрическому тождеству равно единице: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Заменяем числитель на 1:

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Это завершает доказательство формулы производной тангенса.

Ответ: Формула 6, $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, доказана.

Упражнение 2

Докажите, что $(ctgx)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ (формула 7).

Доказательство формулы 10.

Докажем, что $(arctgx)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Действительно, по определению арктангенса для всех $x$ выполняется равенство $(tg(arctgx))=x$.

Следовательно, для всех $x$ выполняется равенство $(tg(arctgx))' = x'$.

К левой части применяем формулу $(tg g)' = \frac{1}{\cos^2 g} \cdot g'$, где $g=arctgx$.

Получаем равенство:

$\frac{1}{\cos^2 (arctgx)} \cdot (arctgx)' = 1$,

откуда

$(arctgx)' = \cos^2 (arctgx)$.

Остается доказать, что $\cos^2 (arctgx) = \frac{1}{1+x^2}$.

Пусть $arctgx=\alpha$, тогда $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ и $tg\alpha=x$, $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1+tg^2 \alpha} = \frac{1}{1+x^2}$.

Докажите, что $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ (формула 7).

Для доказательства этой формулы воспользуемся определением котангенса как отношения тригонометрических функций и правилом дифференцирования частного.

1. Запишем котангенс в виде дроби: $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

2. Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u = \cos x$ и $v = \sin x$.

3. Найдем производные функций $u$ и $v$:
Производная косинуса: $u' = (\cos x)' = -\sin x$.
Производная синуса: $v' = (\sin x)' = \cos x$.

4. Подставим найденные производные в формулу правила дифференцирования частного:
$(\text{ctg}x)' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2}$

5. Упростим выражение в числителе:
$\frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

6. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ к выражению в скобках:
$\frac{-(1)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Таким образом, формула доказана.
Ответ: $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Доказательство формулы 10. Докажем, что $(\text{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Для доказательства воспользуемся определением арктангенса и правилом дифференцирования сложной функции, следуя логике, представленной в задании.

1. Согласно определению арктангенса, для любого действительного числа $x$ справедливо тождество: $\text{tg}(\text{arctg}x) = x$.

2. Продифференцируем обе части этого тождества по переменной $x$:
$(\text{tg}(\text{arctg}x))' = (x)'$

3. Производная функции $f(x)=x$ в правой части равна 1: $(x)' = 1$.

4. Для левой части применим правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Пусть $g(x) = \text{arctg}x$ и $f(g) = \text{tg}g$. Производная тангенса $f'(g) = (\text{tg}g)' = \frac{1}{\cos^2 g}$. Применяя правило, получаем:
$(\text{tg}(\text{arctg}x))' = \frac{1}{\cos^2(\text{arctg}x)} \cdot (\text{arctg}x)'$.

5. Теперь приравняем производные левой и правой частей исходного тождества:
$\frac{1}{\cos^2(\text{arctg}x)} \cdot (\text{arctg}x)' = 1$

6. Из полученного уравнения выразим искомую производную $(\text{arctg}x)'$:
$(\text{arctg}x)' = \cos^2(\text{arctg}x)$

7. Осталось выразить $\cos^2(\text{arctg}x)$ через $x$. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{tg}^2\alpha = \sec^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Отсюда следует, что $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha}$.

8. Пусть $\alpha = \text{arctg}x$. По определению арктангенса, это равносильно тому, что $\text{tg}\alpha = x$ (при этом $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$). Подставим $\text{tg}\alpha = x$ в выражение для $\cos^2\alpha$ из предыдущего шага:
$\cos^2(\text{arctg}x) = \frac{1}{1 + (\text{tg}(\text{arctg}x))^2} = \frac{1}{1 + x^2}$

9. Наконец, подставим это выражение в формулу для производной, полученную в шаге 6:
$(\text{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Таким образом, формула доказана.
Ответ: $(\text{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2}$.