Страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7. (3) Докажите, что прямая $y=8x$ является касательной к графику функции $f(x)=x^3+x+1$ в точке с абсциссой $x_0=1$.

Чтобы доказать, что прямая $y=3x$ является касательной к графику функции $f(x) = x^2 + x + 1$ в точке с абсциссой $x_0=1$, мы найдем уравнение касательной к функции в этой точке и убедимся, что оно совпадает с уравнением данной прямой.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Найдем все необходимые компоненты для этого уравнения:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + x + 1)' = 2x^{2-1} + 1x^{1-1} + 0 = 2x + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.

$f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Теперь подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=3$ и $f'(1)=3$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 3 + 3(x - 1)$

Упростим полученное выражение:

$y = 3 + 3x - 3$

$y = 3x$

Полученное уравнение касательной $y=3x$ полностью совпадает с уравнением прямой, данной в условии задачи. Следовательно, прямая $y=3x$ является касательной к графику функции $f(x) = x^2 + x + 1$ в точке с абсциссой $x_0=1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

8. (3) Докажите, что прямая $y = \frac{x}{4} + 2$ является касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x+4}$ в точке пересечения этого графика с осью ординат.

Чтобы доказать, что прямая $y = \frac{x}{4} + 2$ является касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x+4}$ в точке пересечения этого графика с осью ординат, необходимо составить уравнение касательной в указанной точке и сравнить его с уравнением данной прямой.

1. Нахождение точки касания

Точка пересечения графика функции с осью ординат (осью $Oy$) имеет абсциссу $x_0 = 0$. Найдем ординату этой точки, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:

$y_0 = f(0) = \sqrt{0+4} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, точка пересечения графика с осью ординат (и предполагаемая точка касания) — это точка с координатами $(0; 2)$.

2. Составление уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для составления уравнения нам необходимо найти производную функции $f(x)$ и ее значение в точке $x_0 = 0$.

Найдём производную функции $f(x) = \sqrt{x+4}$:

$f'(x) = (\sqrt{x+4})' = ((x+4)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x+4)^{-1/2} \cdot (x+4)' = \frac{1}{2\sqrt{x+4}}$

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 0$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0+4}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

Подставим все известные значения ($x_0 = 0$, $f(x_0) = 2$, $f'(x_0) = \frac{1}{4}$) в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{1}{4}(x - 0)$

$y = \frac{1}{4}x + 2$

3. Вывод

Полученное уравнение касательной $y = \frac{x}{4} + 2$ в точности совпадает с уравнением прямой, данным в условии задачи.

Ответ: Что и требовалось доказать.

9. (3) Найдите производную функции $f(x)=x^3$ в точке $x_0=1$, используя аналитическое определение производной.

Аналитическое определение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

По условию задачи нам дана функция $f(x) = x^3$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем значения функции, необходимые для подстановки в формулу:

1. Значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(x_0) = f(1) = 1^3 = 1$

2. Значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 1 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(1 + \Delta x) = (1 + \Delta x)^3$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$f(1 + \Delta x) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \Delta x + 3 \cdot 1 \cdot (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 = 1 + 3\Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

Теперь подставим найденные значения в определение производной:

$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1 + 3\Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 1}{\Delta x}$

Упростим выражение в числителе, сократив единицы:

$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3\Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}$

Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки в числителе:

$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x (3 + 3\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x}$

Сократим дробь на $\Delta x$ (так как $\Delta x \to 0$, но $\Delta x \neq 0$):

$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} (3 + 3\Delta x + (\Delta x)^2)$

На последнем шаге вычислим предел, подставив $\Delta x = 0$ в оставшееся выражение:

$f'(1) = 3 + 3 \cdot 0 + 0^2 = 3 + 0 + 0 = 3$

Ответ: 3

10. (3) Найдите производную функции $f(x)=x^2+5x+6$ в точке $x_0=-2$, используя аналитическое определение производной.

Для нахождения производной функции $f(x) = x^2 + 5x + 6$ в точке $x_0 = -2$ воспользуемся аналитическим определением производной в точке:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Вычисление значения функции $f(x_0)$ в точке $x_0 = -2$.

Подставим $x_0 = -2$ в исходную функцию:

$f(-2) = (-2)^2 + 5 \cdot (-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$

2. Вычисление выражения для $f(x_0 + \Delta x)$.

Подставим $x_0 + \Delta x = -2 + \Delta x$ в функцию:

$f(-2 + \Delta x) = (-2 + \Delta x)^2 + 5(-2 + \Delta x) + 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(-2 + \Delta x) = ((-2)^2 - 2 \cdot 2 \cdot \Delta x + (\Delta x)^2) + (5 \cdot (-2) + 5 \cdot \Delta x) + 6$

$f(-2 + \Delta x) = (4 - 4\Delta x + (\Delta x)^2) + (-10 + 5\Delta x) + 6$

$f(-2 + \Delta x) = 4 - 4\Delta x + (\Delta x)^2 - 10 + 5\Delta x + 6$

Сгруппируем слагаемые:

$f(-2 + \Delta x) = (4 - 10 + 6) + (-4\Delta x + 5\Delta x) + (\Delta x)^2$

$f(-2 + \Delta x) = 0 + \Delta x + (\Delta x)^2 = \Delta x + (\Delta x)^2$

3. Вычисление предела.

Подставим полученные значения $f(-2)$ и $f(-2 + \Delta x)$ в формулу производной:

$f'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x + (\Delta x)^2) - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$

Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки:

$f'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x (1 + \Delta x)}{\Delta x}$

Сократим дробь на $\Delta x$ (так как $\Delta x$ стремится к нулю, но не равен ему):

$f'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} (1 + \Delta x)$

Подставим предельное значение $\Delta x = 0$:

$f'(-2) = 1 + 0 = 1$

Ответ: 1

11. (4) Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=\frac{3}{x}$ в точке с абсциссой $x_0=1$. Определите значение производной $f'(1)$, (см. пример 2 в п. 2.2).

Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=\frac{3}{x}$ в точке с абсциссой $x_0=1$

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Чтобы составить уравнение, нам нужно вычислить три величины: $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$.

1. По условию, абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

2. Найдем значение функции в этой точке:

$f(x_0) = f(1) = \frac{3}{1} = 3$.

3. Найдем производную функции $f(x)$. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенной: $f(x) = 3x^{-1}$.

Используя правило дифференцирования $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (3x^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 1$ (угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(1) = -\frac{3}{1^2} = -3$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=3$ и $f'(1)=-3$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 3 + (-3)(x - 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = 3 - 3x + 3$

$y = 6 - 3x$

Ответ: $y = -3x + 6$.

Определите значение производной $f'(1)$

Как было вычислено в ходе нахождения уравнения касательной, производная функции $f(x) = \frac{3}{x}$ равна $f'(x) = -\frac{3}{x^2}$.

Для определения значения производной в точке с абсциссой $x_0 = 1$, подставим это значение в выражение для производной:

$f'(1) = -\frac{3}{1^2} = -3$.

Ответ: $f'(1) = -3$.

12. (4) Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)=-x^2+4x$ в точке с абсциссой $x_0=3$. Определите значение производной $f'(3)$ (см. определение касательной к параболе в п. 2.2 и пример 1).

Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = -x^2 + 4x$ и абсцисса точки касания $x_0 = 3$.

Сначала найдем значение функции в этой точке (ординату точки касания):
$f(3) = -(3)^2 + 4 \cdot 3 = -9 + 12 = 3$.

Далее найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-x^2 + 4x)' = -2x + 4$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 3$. Это значение является угловым коэффициентом касательной:
$f'(3) = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$.

Подставим все известные значения ($x_0=3$, $f(3)=3$, $f'(3)=-2$) в уравнение касательной:
$y = 3 + (-2)(x - 3)$
Упростим выражение:
$y = 3 - 2x + 6$
$y = -2x + 9$.

Ответ: $y = -2x + 9$.

Определение значения производной f'(3)

Значение производной функции $f(x) = -x^2 + 4x$ в точке $x=3$ было найдено при решении предыдущей части.
Производная функции: $f'(x) = -2x + 4$.
Значение производной в точке $x=3$: $f'(3) = -2 \cdot 3 + 4 = -2$.

Ответ: $f'(3) = -2$.

13.

(1) Чему равны производные функций $y = -2x + 3$, $y = 6x + 57$, $y = -8?$

Для нахождения производных данных функций используются следующие основные правила дифференцирования:
1. Производная суммы функций равна сумме производных: $(u+v)' = u' + v'$.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$.
3. Производная независимой переменной $x$ равна 1: $(x)' = 1$.
4. Производная константы (постоянного числа $C$) равна 0: $(C)' = 0$.
Из этих правил следует, что производная линейной функции вида $y = kx + b$ равна ее угловому коэффициенту $k$.

Производная функции $y = -2x + 3$
Применим правило нахождения производной суммы и основные формулы:
$y' = (-2x + 3)' = (-2x)' + (3)'$.
Находим производную для каждого слагаемого:
$(-2x)' = -2 \cdot (x)' = -2 \cdot 1 = -2$.
$(3)' = 0$, так как производная константы равна нулю.
Складываем полученные значения: $y' = -2 + 0 = -2$.
Ответ: -2

Производная функции $y = 6x + 57$
Действуем аналогично предыдущему примеру:
$y' = (6x + 57)' = (6x)' + (57)'$.
Находим производную для каждого слагаемого:
$(6x)' = 6 \cdot (x)' = 6 \cdot 1 = 6$.
$(57)' = 0$.
Складываем полученные значения: $y' = 6 + 0 = 6$.
Ответ: 6

Производная функции $y = -8$
Функция $y = -8$ является константой, так как ее значение не зависит от переменной $x$.
Производная любой константы равна нулю.
$y' = (-8)' = 0$.
Ответ: 0

14. (1) Производная нечетной функции в точке $x = -3$ равна 6. Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной данной функции в точке $x = 3$?

(1)

Пусть $f(x)$ — нечетная функция. По определению это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство:$f(-x) = -f(x)$

Чтобы найти связь между значениями производной в точках $x$ и $-x$, продифференцируем обе части этого равенства по переменной $x$.

Производная левой части находится по правилу дифференцирования сложной функции:$(f(-x))' = f'(-x) \cdot (-x)' = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x)$

Производная правой части:$(-f(x))' = -f'(x)$

Приравнивая производные левой и правой частей, получаем:$-f'(-x) = -f'(x)$

Умножив обе части на -1, приходим к выводу:$f'(-x) = f'(x)$

Это равенство означает, что производная нечетной функции является четной функцией.

По условию задачи, производная функции в точке $x = -8$ равна 6, то есть $f'(-8) = 6$.Используя свойство четности производной, которое мы вывели ($f'(-x) = f'(x)$), для точки $x = 8$ имеем:$f'(8) = f'(-8)$

Следовательно, значение производной в точке $x=8$ также равно 6.$f'(8) = 6$

Ответ: Да, можем. Значение производной данной функции в точке $x=8$ равно 6.

15. (1) Известно, что для функции $y=f(x)$ значение производной в точке $x=4$ равно 7. Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной функции $y=-f(x)$ в точке $x=-4$? Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной $y=-f(x)$ в точке $x=4$?

Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной функции y=-f(x) в точке x=-4?

По условию, для функции $y=f(x)$ значение производной в точке $x=4$ равно 7. Это можно записать в виде формулы: $f'(4) = 7$.
Требуется определить, можно ли найти значение производной для новой функции $g(x) = -f(x)$ в точке $x=-4$.
Сначала найдем производную функции $g(x)$ в общем виде, используя правило дифференцирования функции, умноженной на константу $(c \cdot u)' = c \cdot u'$:
$g'(x) = (-f(x))' = -1 \cdot f'(x) = -f'(x)$.
Чтобы найти значение производной в точке $x=-4$, подставим это значение в полученную формулу:
$g'(-4) = -f'(-4)$.
Как видно из формулы, для нахождения $g'(-4)$ необходимо знать значение $f'(-4)$. Однако в условии задачи дано значение производной функции $f(x)$ только в точке $x=4$. Информации о значении производной в точке $x=-4$ нет. Свойства функции (например, четность или нечетность), которые могли бы связать значения производных в точках $4$ и $-4$, не указаны. Поэтому определить значение $f'(-4)$ невозможно.
Ответ: Нет, на основании предоставленной информации ничего определенного сказать нельзя.

Можем ли мы что-нибудь сказать о значении производной y=-f(x) в точке x=4?

Аналогично первому пункту, рассмотрим функцию $g(x) = -f(x)$. Требуется найти значение ее производной в точке $x=4$, то есть $g'(4)$.
Производная функции $g(x)$ равна:
$g'(x) = -f'(x)$.
Подставим в это выражение значение $x=4$:
$g'(4) = -f'(4)$.
Из условия задачи нам известно, что $f'(4) = 7$. Подставим это значение в правую часть равенства:
$g'(4) = -7$.
Таким образом, мы можем однозначно найти значение производной функции $y=-f(x)$ в точке $x=4$.
Ответ: Да, значение производной функции $y=-f(x)$ в точке $x=4$ равно -7.

16. (1) По графику функции $f(x)=-x^2-2x$ определите знаки чисел $f'(1)$, $f'(0)$, $f'(-1)$, $f'(-3)$.

Для определения знаков производной функции по её графику используется геометрический смысл производной. Знак производной $f'(x)$ в точке $x_0$ показывает, возрастает или убывает функция $f(x)$ в этой точке:
• если функция возрастает (график идет вверх), то её производная в этой точке положительна: $f'(x_0) > 0$;
• если функция убывает (график идет вниз), то её производная в этой точке отрицательна: $f'(x_0) < 0$;
• если в точке находится вершина графика (точка экстремума), то касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2 - 2x$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.
Найдем координату $x$ вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=-1$ и $b=-2$.
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.
Вершина параболы находится в точке $x = -1$. Это точка максимума.
Таким образом, слева от точки $x = -1$ (на интервале $(-\infty; -1)$) функция возрастает, а справа от нее (на интервале $(-1; +\infty)$) — убывает.

Определение знака f'(1)
Точка $x=1$ находится правее вершины параболы ($1 > -1$), то есть на интервале, где функция $f(x)$ убывает. Следовательно, производная в этой точке отрицательна.
Ответ: $f'(1) < 0$.

Определение знака f'(0)
Точка $x=0$ также находится правее вершины ($0 > -1$), на интервале убывания функции. Значит, производная в этой точке отрицательна.
Ответ: $f'(0) < 0$.

Определение знака f'(-1)
Точка $x=-1$ является вершиной параболы, то есть точкой максимума. В этой точке функция не возрастает и не убывает, а касательная к графику горизонтальна. Поэтому производная в этой точке равна нулю.
Ответ: $f'(-1) = 0$.

Определение знака f'(-3)
Точка $x=-3$ находится левее вершины ($-3 < -1$), то есть на интервале, где функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, производная в этой точке положительна.
Ответ: $f'(-3) > 0$.

17. (2) Постройте график функции $f(x) = |x^2 + 2x|$. Определите точки, в которых:

а) не существует производной;

б) производная равна нулю;

в) производная отрицательна.

Для построения графика функции $f(x)=|x^2+2x|$ сначала проанализируем и построим параболу $y=x^2+2x$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.

Найдем нули функции $y=x^2+2x$ (точки пересечения с осью Ox):

$x^2+2x=0$

$x(x+2)=0$

Корни: $x_1=0$ и $x_2=-2$.

Найдем вершину параболы:

Координата x вершины: $x_в = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 1) = -1$.

Координата y вершины: $y_в = (-1)^2 + 2(-1) = 1-2 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$.

График функции $f(x)=|x^2+2x|$ получается из графика параболы $y=x^2+2x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже оси Ox (где $y<0$). Эта часть находится на интервале между корнями, то есть при $x \in (-2, 0)$. Вершина $(-1, -1)$ после отражения перейдет в точку $(-1, 1)$.

Таким образом, функцию $f(x)$ можно записать в кусочно-заданном виде:

$f(x) =\begin{cases}x^2+2x, & \text{если } x^2+2x \ge 0, \text{ то есть } x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty) \\-(x^2+2x), & \text{если } x^2+2x < 0, \text{ то есть } x \in (-2, 0)\end{cases}$

Найдем производную функции $f'(x)$ для каждого интервала:

$f'(x) =\begin{cases}2x+2, & \text{если } x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty) \\-2x-2, & \text{если } x \in (-2, 0)\end{cases}$

В точках $x=-2$ и $x=0$ производная может не существовать, так как это точки "излома" графика.

а) не существует производной

Производная не существует в точках, где левосторонняя и правосторонняя производные не равны. Исследуем точки $x=-2$ и $x=0$.

Для точки $x=-2$:

Предел производной слева: $f'(-2-0) = \lim_{x \to -2^-} (2x+2) = 2(-2)+2 = -2$.

Предел производной справа: $f'(-2+0) = \lim_{x \to -2^+} (-2x-2) = -2(-2)-2 = 4-2=2$.

Так как $-2 \ne 2$, производная в точке $x=-2$ не существует.

Для точки $x=0$:

Предел производной слева: $f'(0-0) = \lim_{x \to 0^-} (-2x-2) = -2(0)-2 = -2$.

Предел производной справа: $f'(0+0) = \lim_{x \to 0^+} (2x+2) = 2(0)+2 = 2$.

Так как $-2 \ne 2$, производная в точке $x=0$ не существует.

Ответ: производная не существует в точках $x=-2$ и $x=0$.

б) производная равна нулю

Найдем точки, в которых $f'(x)=0$.

1. На интервалах $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ производная равна $f'(x) = 2x+2$.

$2x+2 = 0 \implies x=-1$. Эта точка не принадлежит указанным интервалам, поэтому здесь решений нет.

2. На интервале $(-2, 0)$ производная равна $f'(x) = -2x-2$.

$-2x-2 = 0 \implies -2x = 2 \implies x=-1$. Эта точка принадлежит интервалу $(-2, 0)$. Это соответствует вершине отраженной части параболы.

Ответ: производная равна нулю в точке $x=-1$.

в) производная отрицательна

Найдем интервалы, на которых $f'(x) < 0$.

1. На интервалах $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ решаем неравенство $2x+2 < 0$.

$2x < -2 \implies x < -1$.

Пересекая с областью определения $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$, получаем интервал $(-\infty, -2)$.

2. На интервале $(-2, 0)$ решаем неравенство $-2x-2 < 0$.

$-2x < 2 \implies x > -1$.

Пересекая с областью определения $(-2, 0)$, получаем интервал $(-1, 0)$.

Объединяя полученные результаты, находим, что производная отрицательна при $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0)$.

Ответ: производная отрицательна на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-1, 0)$.

18. (2) Постройте график функции $f(x)=|\cos x|-3$. Определите точки, в которых:

а) не существует производной;

б) производная равна нулю;

в) производная положительна.

Для решения задачи построим график функции $f(x)=|\cos x|-3$ и проанализируем его свойства. Построение графика можно выполнить в несколько шагов:

1. Сначала строим график основной тригонометрической функции $y=\cos x$. Это известная косинусоида с периодом $2\pi$, колеблющаяся в диапазоне от -1 до 1.

2. Затем строим график функции $y=|\cos x|$. Для этого часть графика $y=\cos x$, которая находится ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), симметрично отражается относительно этой оси. В результате получается периодическая функция с периодом $\pi$, значения которой лежат в диапазоне от 0 до 1.

3. Наконец, строим график искомой функции $f(x)=|\cos x|-3$. Это достигается путем сдвига графика $y=|\cos x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат. Область значений функции $f(x)$ будет от $0-3=-3$ до $1-3=-2$, то есть $E(f) = [-3, -2]$.

Теперь, основываясь на виде функции и ее графике, определим точки, удовлетворяющие заданным условиям.

а) не существует производной;

Производная функции не существует в точках, где график имеет изломы (острые углы). Для функции $f(x)=|\cos x|-3$ такие точки соответствуют точкам, где подмодульное выражение обращается в ноль, то есть $\cos x = 0$.

Решим уравнение:

$\cos x = 0$

Корни этого уравнения имеют вид:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

В этих точках график функции имеет изломы, и касательную к графику провести невозможно, следовательно, производная не существует.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) производная равна нулю;

Производная функции равна нулю в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов), где график имеет горизонтальную касательную. Для функции $f(x)=|\cos x|-3$ это точки, где функция $|\cos x|$ достигает своего максимального значения, равного 1. Это происходит, когда $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Рассмотрим производную функции, раскрыв модуль:

$f(x) = \begin{cases} \cos x - 3, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ -\cos x - 3, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Тогда производная $f'(x)$ равна:

$f'(x) = \begin{cases} -\sin x, & \text{если } \cos x > 0 \\ \sin x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Приравняем производную к нулю в каждом случае:

1. Если $\cos x > 0$, то $f'(x) = -\sin x = 0$. Отсюда $\sin x = 0$, что дает $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Условию $\cos x > 0$ удовлетворяют точки, где $n$ — четное число, то есть $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $f'(x) = \sin x = 0$. Отсюда $\sin x = 0$, что дает $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Условию $\cos x < 0$ удовлетворяют точки, где $n$ — нечетное число, то есть $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба случая, получаем, что производная равна нулю в точках $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этих точках функция достигает своих локальных максимумов $f(\pi k)=|\cos(\pi k)|-3 = 1-3=-2$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) производная положительна.

Найдем интервалы, на которых $f'(x)>0$.

1. Если $\cos x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (-\frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{\pi}{2}+2\pi k)$, то $f'(x) = -\sin x$. Неравенство $f'(x)>0$ принимает вид $-\sin x > 0$, или $\sin x < 0$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ этому условию удовлетворяет промежуток $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. Общее решение в этом случае: $x \in (-\frac{\pi}{2}+2\pi k, 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{3\pi}{2}+2\pi k)$, то $f'(x) = \sin x$. Неравенство $f'(x)>0$ принимает вид $\sin x > 0$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ этому условию удовлетворяет промежуток $(\frac{\pi}{2}, \pi)$. Общее решение в этом случае: $x \in (\frac{\pi}{2}+2\pi k, \pi+2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Объединим полученные интервалы. Можно заметить, что они составляют множества вида $(\frac{\pi}{2}+\pi k, \pi+\pi k)$ для всех целых $k$.

Например, при $k=0$ получаем $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ из первого случая и $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ из второго.При $k=1$ получаем $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ из первого случая и $(\frac{5\pi}{2}, 3\pi)$ из второго.Это соответствует интервалам возрастания функции между точками излома (локальными минимумами) и точками локальных максимумов.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2}+\pi k, \pi+\pi k), k \in \mathbb{Z}$.