Страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

13. (3) Функция $f(x)$ является четной; известно, что $f(x)=-\frac{3}{x}$ при $x<0$.

Постройте график $y=f(x)$. Исследуйте функцию.

Постройте график y=f(x)

По условию, функция $f(x)$ является четной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Нам дана формула для $x < 0$: $f(x) = -\frac{3}{x}$.

Чтобы найти формулу для $x > 0$, воспользуемся свойством четности. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. По определению четной функции $f(x) = f(-x)$.Так как для отрицательных аргументов, в данном случае для $-x$, функция задана, мы можем подставить $-x$ в известную формулу:$f(-x) = -\frac{3}{(-x)} = \frac{3}{x}$.Следовательно, при $x > 0$ имеем $f(x) = \frac{3}{x}$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:$f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \frac{3}{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$Эту функцию можно также записать в едином виде с использованием модуля: $f(x) = \frac{3}{|x|}$.

Для построения графика выполним следующие шаги:
1. Строим график функции $y = -\frac{3}{x}$ для $x < 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Она проходит через точки, например, $(-1; 3)$, $(-3; 1)$, $(-0.5; 6)$.
2. Строим график функции $y = \frac{3}{x}$ для $x > 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Она проходит через точки, например, $(1; 3)$, $(3; 1)$, $(0.5; 6)$.
Так как функция четная, второй шаг можно выполнить, просто отразив график, построенный на первом шаге, симметрично относительно оси $Oy$.

График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось $Ox$ ($y=0$) — горизонтальной асимптотой.

Ответ: График функции $y=f(x)$ состоит из двух ветвей. Для $x<0$ это график $y = -3/x$ (ветвь гиперболы во II четверти), а для $x>0$ это график $y = 3/x$ (ветвь гиперболы в I четверти). График симметричен относительно оси $Oy$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

Исследуйте функцию

Проведем исследование функции $f(x) = \frac{3}{|x|}$ по свойствам.

1. Область определения функции:
Функция определена для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $|x| \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность:
По условию функция является четной. Проверка: $f(-x) = \frac{3}{|-x|} = \frac{3}{|x|} = f(x)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью $Oy$: $x=0$ не входит в область определения, следовательно, пересечения с осью $Oy$ нет.
С осью $Ox$: $f(x) = 0 \implies \frac{3}{|x|} = 0$. Данное уравнение не имеет решений, следовательно, пересечений с осью $Ox$ нет.

4. Промежутки знакопостоянства:
Так как $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, и числитель $3>0$, то $f(x) = \frac{3}{|x|} > 0$ при всех $x \in D(f)$.
Функция положительна на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

5. Асимптоты:
Вертикальная асимптота: исследуем поведение функции вблизи точки разрыва $x=0$.
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{3}{|x|} = +\infty$.
Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
Горизонтальная асимптота: исследуем поведение функции на бесконечности.
$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3}{|x|} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.

6. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума:
Найдем производную функции, раскрыв модуль:
При $x > 0$, $f(x) = \frac{3}{x}$, тогда $f'(x) = -\frac{3}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$, то $f'(x) < 0$. Функция убывает на $(0; +\infty)$.
При $x < 0$, $f(x) = -\frac{3}{x}$, тогда $f'(x) = (-\frac{3}{x})' = -3(x^{-1})' = -3(-1)x^{-2} = \frac{3}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$, то $f'(x) > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$.
Производная нигде не равна нулю и определена на всей области определения функции. Точек экстремума у функции нет.

7. Область значений функции:
Так как $f(x)>0$ и может принимать сколь угодно большие значения (при $x \to 0$), а также сколь угодно малые положительные значения (при $x \to \pm\infty$), область значений функции:
$E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: Свойства функции $f(x)$:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четная.
3. Не пересекает оси координат.
4. Положительна на всей области определения.
5. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная), $y=0$ (горизонтальная).
6. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$. Экстремумов нет.
7. Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

14. (2)

При каких значениях параметра b функция $f(x) = ax^2 + b$ является четной?

14. (2)

Чтобы функция $f(x) = ax^3 + b$ была четной, она должна удовлетворять двум условиям:

1. Область определения функции должна быть симметричной относительно нуля.
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), которое симметрично относительно нуля. Первое условие выполнено.

Теперь проверим второе условие. Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = a(-x)^3 + b = a(-1 \cdot x^3) + b = -ax^3 + b$.

Приравняем выражения для $f(-x)$ и $f(x)$:
$f(-x) = f(x)$
$-ax^3 + b = ax^3 + b$

Вычтем $b$ из обеих частей равенства:
$-ax^3 = ax^3$

Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ax^3 + ax^3 = 0$
$2ax^3 = 0$

Это равенство должно быть верным для всех значений $x$ из области определения. Это возможно только в том случае, если коэффициент при $x^3$ равен нулю, то есть $2a = 0$, откуда $a = 0$.

Таким образом, для того чтобы функция была четной, необходимо, чтобы параметр $a$ был равен нулю. При этом исходная функция принимает вид $f(x) = 0 \cdot x^3 + b$, то есть $f(x) = b$.

Функция $f(x) = b$ (постоянная функция) является четной при любом действительном значении $b$, так как $f(-x) = b$ и $f(x) = b$, следовательно $f(-x) = f(x)$.

Вопрос ставится о значениях параметра $b$. Как мы видим из решения, никаких ограничений на параметр $b$ условие четности не накладывает.

Ответ: функция является четной при $a=0$ и любом значении параметра $b$.

15. (4) При каких значениях параметра а функция $f(x) = x^2 - (2a+1)x + a^2$ является четной?

По определению, функция $f(x)$ является четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Область определения данной функции $f(x) = x^2 - (2a+1)x + a^2$ — это множество всех действительных чисел, которое симметрично относительно нуля.

Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 - (2a+1)(-x) + a^2 = x^2 + (2a+1)x + a^2$.

Теперь приравняем $f(x)$ и $f(-x)$:
$x^2 - (2a+1)x + a^2 = x^2 + (2a+1)x + a^2$.

Вычтем из обеих частей равенства $x^2$ и $a^2$:
$-(2a+1)x = (2a+1)x$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$(2a+1)x + (2a+1)x = 0$
$2(2a+1)x = 0$.

Данное равенство должно выполняться для всех значений $x$ из области определения. Это возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю:
$2(2a+1) = 0$.

Решим это уравнение относительно параметра $a$:
$2a+1 = 0$
$2a = -1$
$a = -1/2$.

Ответ: $a = -1/2$.

16. (2) При каких значениях параметра a функция $f(x) = ax^2 + b$ является четной?

Функция называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, при условии, что сама область определения симметрична относительно нуля.

Рассмотрим заданную функцию $f(x) = ax^2 + b$.

1. Область определения данной функции — множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля, поэтому первое условие четности выполняется.

2. Проверим выполнение второго условия: $f(-x) = f(x)$.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = a(-x)^2 + b$
Поскольку $(-x)^2 = x^2$, получаем:
$f(-x) = ax^2 + b$

Теперь сравним полученное выражение $f(-x)$ с исходной функцией $f(x)$:
$f(-x) = ax^2 + b$
$f(x) = ax^2 + b$
Мы видим, что равенство $f(-x) = f(x)$ выполняется тождественно, то есть при любых значениях параметров $a$ и $b$.

Следовательно, функция $f(x) = ax^2 + b$ является четной при любом значении параметра $a$.

Ответ: при любом значении параметра $a$.

17. (3) Пусть даны четные функции $f(x)$ и $g(x)$. Каким функциями являются $h(x)=f(x)+g(x)$, $s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$?

Для решения задачи воспользуемся определением четной функции. Функция $F(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $F(-x) = F(x)$.

По условию дано, что функции $f(x)$ и $g(x)$ являются четными. Это значит, что для них выполняются следующие равенства:
$f(-x) = f(x)$
$g(-x) = g(x)$

Теперь определим, какими являются функции $h(x)$ и $s(x)$.

h(x)=f(x)+g(x)
Чтобы определить четность функции $h(x)$, найдем ее значение в точке $-x$.
$h(-x) = f(-x) + g(-x)$
Так как $f(x)$ и $g(x)$ — четные функции, мы можем подставить $f(x)$ вместо $f(-x)$ и $g(x)$ вместо $g(-x)$:
$h(-x) = f(x) + g(x)$
Правая часть этого равенства по определению равна $h(x)$.
Следовательно, мы получили, что $h(-x) = h(x)$.
Это означает, что сумма двух четных функций является четной функцией.
Ответ: функция $h(x)$ является четной.

s(x)=f(x)/g(x)
Чтобы определить четность функции $s(x)$, найдем ее значение в точке $-x$ (при условии, что $g(x) \neq 0$).
$s(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)}$
Используя свойство четности функций $f(x)$ и $g(x)$, произведем замену:
$s(-x) = \frac{f(x)}{g(x)}$
Правая часть этого равенства по определению равна $s(x)$.
Следовательно, мы получили, что $s(-x) = s(x)$.
Это означает, что частное двух четных функций является четной функцией.
Ответ: функция $s(x)$ является четной.

Исследуйте функцию на четность (18-25):

18. (1) 1. a) $f(x)=-x$;

б) $f(x)=|x-2|+|x+2|$;

в) $f(x)=4x^5-\frac{1}{x^2}$.

а) f(x) = -x⁷
Для исследования функции на четность необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция).
1. Найдем область определения функции $D(f)$. Функция является степенной, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = -(-x)^7$
Поскольку степень 7 нечетная, $(-x)^7 = -x^7$.
Следовательно, $f(-x) = -(-x^7) = x^7$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
$f(x) = -x^7$
$-f(x) = -(-x^7) = x^7$
Получили, что $f(-x) = -f(x)$.
Так как условие $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

б) f(x) = |x - 2| + |x + 2|
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение под модулем может быть любым действительным числом. Область определения симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = |-x - 2| + |-x + 2|$
Воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$.
$|-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|$
$|-x + 2| = |-(x - 2)| = |x - 2|$
Таким образом, $f(-x) = |x + 2| + |x - 2|$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.
$f(x) = |x - 2| + |x + 2|$
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $|x + 2| + |x - 2| = |x - 2| + |x + 2|$.
Получили, что $f(-x) = f(x)$.
Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, функция является четной.
Ответ: функция четная.

в) f(x) = 4x⁵ - 1/x³
1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.
2. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = 4(-x)^5 - \frac{1}{(-x)^3}$
Поскольку степени 5 и 3 нечетные, $(-x)^5 = -x^5$ и $(-x)^3 = -x^3$.
$f(-x) = 4(-x^5) - \frac{1}{-x^3} = -4x^5 + \frac{1}{x^3}$
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
$f(x) = 4x^5 - \frac{1}{x^3}$
$-f(x) = -(4x^5 - \frac{1}{x^3}) = -4x^5 + \frac{1}{x^3}$
Получили, что $f(-x) = -f(x)$.
Так как условие $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

19.

(1) $f(x)=0.$

(1) Уравнение $f(x) = 0$ представляет собой задачу нахождения корней (или нулей) функции $f(x)$. Корни функции — это такие значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Графически корни функции являются абсциссами точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с осью Ox.

Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо знать конкретный вид функции $f(x)$. Метод решения зависит от типа функции.

Рассмотрим несколько общих случаев:

1. Линейная функция. Если функция имеет вид $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа и $k \neq 0$, то уравнение принимает вид:
$kx + b = 0$
Для его решения переносим $b$ в правую часть и делим на $k$:
$kx = -b$
$x = -\frac{b}{k}$
Это единственный корень уравнения.

2. Квадратичная функция. Если функция имеет вид $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — некоторые числа и $a \neq 0$, то мы решаем квадратное уравнение:
$ax^2 + bx + c = 0$
Сначала вычисляется дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
- Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
- Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих): $x = \frac{-b}{2a}$.
- Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

3. Другие типы функций. Для более сложных функций (тригонометрических, логарифмических, показательных, степенных и т.д.) применяются свои специфические методы решения. Например, для $f(x) = \sin(x)$ уравнение $\sin(x) = 0$ имеет бесконечное множество корней $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Поскольку в задании не указан конкретный вид функции $f(x)$, дать численный ответ невозможно. Решение уравнения $f(x) = 0$ состоит в нахождении множества всех значений $x$, которые обращают функцию в ноль, что требует явного определения этой функции.

Ответ: Для решения уравнения $f(x) = 0$ необходимо знать вид функции $f(x)$. Решением является множество всех значений $x$, называемых корнями (или нулями) функции, при которых значение функции равно нулю.

20. (1) $g(x) = (6x-1)^4 + (6x+1)^4$.

(1) Задача состоит в том, чтобы упростить выражение для функции $g(x)$.

Исходная функция: $g(x) = (6x - 1)^4 + (6x + 1)^4$.

Это выражение можно рассматривать как сумму вида $(a - b)^4 + (a + b)^4$, где $a = 6x$ и $b = 1$. Для раскрытия скобок воспользуемся формулой бинома Ньютона.

Общая формула для бинома Ньютона при $n=4$:

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

Теперь сложим эти два выражения. Обратите внимание, что члены с нечетными степенями $b$ (второй и четвертый) взаимно уничтожаются.

$(a - b)^4 + (a + b)^4 = (a^4 + a^4) + (-4a^3b + 4a^3b) + (6a^2b^2 + 6a^2b^2) + (-4ab^3 + 4ab^3) + (b^4 + b^4)$

$= 2a^4 + 12a^2b^2 + 2b^4$

Это можно записать как $2(a^4 + 6a^2b^2 + b^4)$.

Теперь подставим в эту упрощенную формулу наши значения $a = 6x$ и $b = 1$:

$g(x) = 2((6x)^4 + 6(6x)^2(1)^2 + (1)^4)$

Произведем вычисления для каждого члена в скобках:

$(6x)^4 = 6^4 \cdot x^4 = 1296x^4$

$6(6x)^2(1)^2 = 6 \cdot (36x^2) \cdot 1 = 216x^2$

$(1)^4 = 1$

Подставим вычисленные значения обратно в выражение для $g(x)$:

$g(x) = 2(1296x^4 + 216x^2 + 1)$

Наконец, раскроем скобки, умножив каждый член на 2:

$g(x) = 2 \cdot 1296x^4 + 2 \cdot 216x^2 + 2 \cdot 1$

$g(x) = 2592x^4 + 432x^2 + 2$

Таким образом, мы привели функцию $g(x)$ к многочленному виду.

Ответ: $g(x) = 2592x^4 + 432x^2 + 2$

21. (2)

$f(x) = (x+7)|x-4|+(x-7)|x+4|.$

Для решения задачи необходимо упростить выражение для функции $f(x) = (x+7)|x-4| + (x-7)|x+4|$, раскрыв модули. Выражения под знаком модуля, $|x-4|$ и $|x+4|$, меняют знак в точках $x=4$ и $x=-4$ соответственно. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых мы рассмотрим функцию отдельно.

Рассмотрим первый интервал: $x < -4$. На этом интервале оба подмодульных выражения отрицательны: $x-4 < 0$ и $x+4 < 0$. Поэтому $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x+4| = -(x+4) = -x-4$. Подставив это в исходное уравнение, получаем: $f(x) = (x+7)(4-x) + (x-7)(-x-4) = -(x+7)(x-4) - (x-7)(x+4)$. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, имеем: $f(x) = -(x^2+3x-28) - (x^2-3x-28) = -x^2-3x+28 - x^2+3x+28 = -2x^2+56$.

Теперь рассмотрим второй интервал: $-4 \le x < 4$. Здесь $x-4 < 0$, а $x+4 \ge 0$. Следовательно, $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x+4| = x+4$. Функция принимает вид: $f(x) = (x+7)(4-x) + (x-7)(x+4) = -(x+7)(x-4) + (x-7)(x+4)$. Раскрываем скобки: $f(x) = -(x^2+3x-28) + (x^2-3x-28) = -x^2-3x+28 + x^2-3x-28 = -6x$.

Наконец, рассмотрим третий интервал: $x \ge 4$. На этом интервале оба подмодульных выражения неотрицательны: $x-4 \ge 0$ и $x+4 > 0$. Значит, $|x-4| = x-4$ и $|x+4| = x+4$. Функция записывается как: $f(x) = (x+7)(x-4) + (x-7)(x+4)$. После раскрытия скобок получаем: $f(x) = (x^2+3x-28) + (x^2-3x-28) = 2x^2-56$.

Объединяя результаты для всех интервалов, мы получаем кусочно-заданную функцию. Можно проверить, что на границах интервалов ($x=-4$ и $x=4$) значения функции, вычисленные по формулам для соседних интервалов, совпадают, что говорит о непрерывности функции. Таким образом, итоговое выражение для функции $f(x)$ выглядит следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} -2x^2 + 56, & \text{если } x < -4 \\ -6x, & \text{если } -4 \le x < 4 \\ 2x^2 - 56, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -2x^2 + 56, & \text{если } x < -4 \\ -6x, & \text{если } -4 \le x < 4 \\ 2x^2 - 56, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$

22.

(2) $g(x) = \frac{|x-5|}{(x+3)} - \frac{|x+5|}{(x-3)}$

(2) Для упрощения выражения для функции $g(x)$ необходимо раскрыть модули $|x-5|$ и $|x+5|$. Знаки подмодульных выражений меняются в точках $x=5$ и $x=-5$. Эти точки делят числовую ось на три промежутка. Также следует учесть область определения функции: знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

Рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) При $x < -5$.

На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны: $x-5 < 0$ и $x+5 < 0$. Поэтому $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ и $|x+5| = -(x+5) = -x-5$.

Функция $g(x)$ принимает вид:

$g(x) = \frac{5-x}{x+3} - \frac{-(x+5)}{x-3} = \frac{5-x}{x+3} + \frac{x+5}{x-3}$

Приводя к общему знаменателю $(x+3)(x-3)=x^2-9$, получаем:

$g(x) = \frac{(5-x)(x-3) + (x+5)(x+3)}{x^2-9} = \frac{(5x-15-x^2+3x) + (x^2+3x+5x+15)}{x^2-9} = \frac{-x^2+8x-15 + x^2+8x+15}{x^2-9} = \frac{16x}{x^2-9}$

2) При $-5 \le x < 5$ (при этом $x \neq -3$ и $x \neq 3$).

На этом промежутке $x-5 < 0$ и $x+5 \ge 0$. Поэтому $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ и $|x+5| = x+5$.

Функция $g(x)$ принимает вид:

$g(x) = \frac{5-x}{x+3} - \frac{x+5}{x-3}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$g(x) = \frac{(5-x)(x-3) - (x+5)(x+3)}{x^2-9} = \frac{(-x^2+8x-15) - (x^2+8x+15)}{x^2-9} = \frac{-x^2+8x-15 - x^2-8x-15}{x^2-9} = \frac{-2x^2-30}{x^2-9} = -\frac{2(x^2+15)}{x^2-9}$

3) При $x \ge 5$.

На этом промежутке оба подмодульных выражения неотрицательны: $x-5 \ge 0$ и $x+5 > 0$. Поэтому $|x-5| = x-5$ и $|x+5| = x+5$.

Функция $g(x)$ принимает вид:

$g(x) = \frac{x-5}{x+3} - \frac{x+5}{x-3}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$g(x) = \frac{(x-5)(x-3) - (x+5)(x+3)}{x^2-9} = \frac{(x^2-8x+15) - (x^2+8x+15)}{x^2-9} = \frac{x^2-8x+15 - x^2-8x-15}{x^2-9} = \frac{-16x}{x^2-9}$

Объединяя результаты, получаем итоговое кусочно-заданное выражение для функции $g(x)$.

Ответ: $g(x) = \begin{cases} \frac{16x}{x^2-9}, & \text{если } x < -5 \\ -\frac{2(x^2+15)}{x^2-9}, & \text{если } -5 \le x < 5, \text{ } x \neq \pm 3 \\ -\frac{16x}{x^2-9}, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

23. (2) $f(x)=(x-6)^5 (x+7)^{12} + (x+6)^5 (x-7)^{12}$.

Для решения данной задачи мы преобразуем исходное выражение, используя симметрию.Дана функция:$f(x) = (x-6)^5 (x+7)^{12} + (x+6)^5 (x-7)^{12}$

Для упрощения введем вспомогательные функции, представляющие собой симметричные и антисимметричные комбинации:$S_n(a, x) = (x+a)^n + (x-a)^n$$D_n(a, x) = (x+a)^n - (x-a)^n$

Из этих определений можно выразить $(x+a)^n$ и $(x-a)^n$:$(x+a)^n = \frac{1}{2}(S_n(a, x) + D_n(a, x))$$(x-a)^n = \frac{1}{2}(S_n(a, x) - D_n(a, x))$

Теперь подставим эти выражения в исходную функцию $f(x)$, используя $a=6$ для степени 5 и $a=7$ для степени 12.Для краткости записи, будем опускать аргумент $x$, т.е. $S_n(a) = S_n(a, x)$ и $D_n(a) = D_n(a, x)$.

$(x-6)^5 = \frac{1}{2}(S_5(6) - D_5(6))$$(x+6)^5 = \frac{1}{2}(S_5(6) + D_5(6))$$(x-7)^{12} = \frac{1}{2}(S_{12}(7) - D_{12}(7))$ (т.к. 12 - четное число, $D_{12}$ будет содержать множитель $(x-7)^{12}-(x+7)^{12}$, поэтому здесь знак минус. Чтобы избежать путаницы, раскроем исходное выражение аккуратно).Заметим, что $(x-7)^{12} = (-(7-x))^{12} = (7-x)^{12}$. Но это не помогает.Давайте подставим выражения для $x \pm a$ в $f(x)$:$f(x) = \frac{1}{2}(S_5(6) - D_5(6)) \cdot \frac{1}{2}(S_{12}(7) + D_{12}(7)) + \frac{1}{2}(S_5(6) + D_5(6)) \cdot \frac{1}{2}(S_{12}(7) - D_{12}(7))$

Умножим обе части на 4 и раскроем скобки:$4f(x) = (S_5(6) - D_5(6))(S_{12}(7) + D_{12}(7)) + (S_5(6) + D_5(6))(S_{12}(7) - D_{12}(7))$$4f(x) = (S_5S_{12} + S_5D_{12} - D_5S_{12} - D_5D_{12}) + (S_5S_{12} - S_5D_{12} + D_5S_{12} - D_5D_{12})$

После приведения подобных членов получаем:$4f(x) = 2S_5(6)S_{12}(7) - 2D_5(6)D_{12}(7)$$f(x) = \frac{1}{2} [S_5(6,x)S_{12}(7,x) - D_5(6,x)D_{12}(7,x)]$

Теперь найдем явные выражения для $S_n(a, x)$ и $D_n(a, x)$ с помощью бинома Ньютона.$S_n(a, x) = 2 \sum_{k=0, k - \text{четное}}^n \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$$D_n(a, x) = 2 \sum_{k=1, k - \text{нечетное}}^n \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$

Вычислим каждую из четырех компонент:1. $S_5(6, x) = (x+6)^5 + (x-6)^5 = 2(\binom{5}{0}x^5 6^0 + \binom{5}{2}x^3 6^2 + \binom{5}{4}x^1 6^4)$$S_5(6, x) = 2(x^5 + 10 \cdot 36x^3 + 5 \cdot 1296x) = 2(x^5 + 360x^3 + 6480x)$

2. $D_5(6, x) = (x+6)^5 - (x-6)^5 = 2(\binom{5}{1}x^4 6^1 + \binom{5}{3}x^2 6^3 + \binom{5}{5}x^0 6^5)$$D_5(6, x) = 2(5 \cdot 6x^4 + 10 \cdot 216x^2 + 1 \cdot 7776) = 2(30x^4 + 2160x^2 + 7776)$

3. $S_{12}(7, x) = (x+7)^{12} + (x-7)^{12} = 2 \sum_{k=0, k - \text{четное}}^{12} \binom{12}{k} x^{12-k} 7^k$$S_{12}(7, x) = 2(\binom{12}{0}x^{12} + \binom{12}{2}x^{10}7^2 + \binom{12}{4}x^8 7^4 + \binom{12}{6}x^6 7^6 + \binom{12}{8}x^4 7^8 + \binom{12}{10}x^2 7^{10} + \binom{12}{12}7^{12})$$S_{12}(7, x) = 2(x^{12} + 66 \cdot 49x^{10} + 495 \cdot 2401x^8 + 924 \cdot 117649x^6 + 495 \cdot 5764801x^4 + 66 \cdot 282475249x^2 + 13841287201)$$S_{12}(7, x) = 2(x^{12} + 3234x^{10} + 1188495x^8 + 1087196676x^6 + 2853576495x^4 + 18643366434x^2 + 13841287201)$

4. $D_{12}(7, x) = (x+7)^{12} - (x-7)^{12} = 2 \sum_{k=1, k - \text{нечетное}}^{11} \binom{12}{k} x^{12-k} 7^k$$D_{12}(7, x) = 2(\binom{12}{1}x^{11}7^1 + \binom{12}{3}x^9 7^3 + \binom{12}{5}x^7 7^5 + \binom{12}{7}x^5 7^7 + \binom{12}{9}x^3 7^9 + \binom{12}{11}x^1 7^{11})$$D_{12}(7, x) = 2(12 \cdot 7x^{11} + 220 \cdot 343x^9 + 792 \cdot 16807x^7 + 792 \cdot 823543x^5 + 220 \cdot 40353607x^3 + 12 \cdot 1977326743x)$$D_{12}(7, x) = 2(84x^{11} + 75460x^9 + 13311144x^7 + 652247056x^5 + 8877793540x^3 + 23727920916x)$

Таким образом, мы получили упрощенное структурное представление функции $f(x)$. Полное перемножение этих многочленов приведет к громоздкому выражению, поэтому представление через симметричные и антисимметричные компоненты является наилучшей формой упрощения.
Ответ:$f(x) = \frac{1}{2} [S_5(6,x)S_{12}(7,x) - D_5(6,x)D_{12}(7,x)]$, где$S_5(6, x) = 2(x^5 + 360x^3 + 6480x)$$D_5(6, x) = 2(30x^4 + 2160x^2 + 7776)$$S_{12}(7, x) = 2(x^{12} + 3234x^{10} + 1188495x^8 + 1087196676x^6 + 2853576495x^4 + 18643366434x^2 + 13841287201)$$D_{12}(7, x) = 2(84x^{11} + 75460x^9 + 13311144x^7 + 652247056x^5 + 8877793540x^3 + 23727920916x)$

$g(x) = (x^2 - 4x + 7)(x^3 - 7x^2 + 8x - 2) - (x^2 + 4x + 7)(x^3 + 7x^2 + 8x + 2)$

(2)

Дано уравнение: $2g(x) = (x^2 - 4x + 7)(x^3 - 7x^2 + 8x - 2) - (x^2 + 4x + 7)(x^3 + 7x^2 + 8x + 2)$.

Для упрощения выражения в правой части заметим, что оно представляет собой разность двух произведений. Выражения в скобках можно сгруппировать, чтобы выявить общую структуру.

Сгруппируем слагаемые в множителях:

$x^2 - 4x + 7 = (x^2 + 7) - 4x$

$x^2 + 4x + 7 = (x^2 + 7) + 4x$

$x^3 - 7x^2 + 8x - 2 = (x^3 + 8x) - (7x^2 + 2)$

$x^3 + 7x^2 + 8x + 2 = (x^3 + 8x) + (7x^2 + 2)$

Введем следующие замены:

$A = x^2 + 7$

$B = 4x$

$C = x^3 + 8x$

$D = 7x^2 + 2$

Теперь исходное уравнение можно переписать в более простом виде:

$2g(x) = (A - B)(C - D) - (A + B)(C + D)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$(A - B)(C - D) = AC - AD - BC + BD$

$(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD$

Подставим раскрытые произведения обратно в уравнение:

$2g(x) = (AC - AD - BC + BD) - (AC + AD + BC + BD)$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2g(x) = AC - AD - BC + BD - AC - AD - BC - BD$

$2g(x) = (AC - AC) - (AD + AD) - (BC + BC) + (BD - BD)$

$2g(x) = -2AD - 2BC = -2(AD + BC)$

Теперь необходимо вычислить сумму $AD + BC$, используя первоначальные выражения для $A, B, C, D$.

Найдем произведение $AD$:

$AD = (x^2 + 7)(7x^2 + 2) = x^2(7x^2 + 2) + 7(7x^2 + 2) = 7x^4 + 2x^2 + 49x^2 + 14 = 7x^4 + 51x^2 + 14$

Найдем произведение $BC$:

$BC = (4x)(x^3 + 8x) = 4x^4 + 32x^2$

Сложим полученные выражения:

$AD + BC = (7x^4 + 51x^2 + 14) + (4x^4 + 32x^2) = (7x^4 + 4x^4) + (51x^2 + 32x^2) + 14 = 11x^4 + 83x^2 + 14$

Подставим это в упрощенное уравнение для $2g(x)$:

$2g(x) = -2(11x^4 + 83x^2 + 14)$

$2g(x) = -22x^4 - 166x^2 - 28$

Наконец, чтобы найти функцию $g(x)$, разделим обе части уравнения на 2:

$g(x) = \frac{-22x^4 - 166x^2 - 28}{2}$

$g(x) = -11x^4 - 83x^2 - 14$

Ответ: $g(x) = -11x^4 - 83x^2 - 14$.

25. (3)

$f(x) = \frac{x^6 - 3x^3}{x-5} + \frac{x^6 + 3x^3}{x+5}$

Для нахождения функции $f(x)$ из уравнения $3f(x) = \frac{x^6 - 3x^3}{x-5} + \frac{x^6 + 3x^3}{x+5}$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Упростить правую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей является произведение их знаменателей: $(x-5)(x+5) = x^2 - 25$.
$3f(x) = \frac{(x^6 - 3x^3)(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{(x^6 + 3x^3)(x-5)}{(x+5)(x-5)}$
$3f(x) = \frac{(x^6 - 3x^3)(x+5) + (x^6 + 3x^3)(x-5)}{x^2 - 25}$
2. Раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые.
$(x^6 - 3x^3)(x+5) = x^6 \cdot x + x^6 \cdot 5 - 3x^3 \cdot x - 3x^3 \cdot 5 = x^7 + 5x^6 - 3x^4 - 15x^3$
$(x^6 + 3x^3)(x-5) = x^6 \cdot x + x^6 \cdot (-5) + 3x^3 \cdot x + 3x^3 \cdot (-5) = x^7 - 5x^6 + 3x^4 - 15x^3$
Теперь сложим полученные выражения:
Числитель = $(x^7 + 5x^6 - 3x^4 - 15x^3) + (x^7 - 5x^6 + 3x^4 - 15x^3)$
Числитель = $x^7 + x^7 + 5x^6 - 5x^6 - 3x^4 + 3x^4 - 15x^3 - 15x^3 = 2x^7 - 30x^3$
3. Подставить упрощенный числитель обратно в уравнение:
$3f(x) = \frac{2x^7 - 30x^3}{x^2 - 25}$
4. Найти $f(x)$, разделив обе части уравнения на 3:
$f(x) = \frac{2x^7 - 30x^3}{3(x^2 - 25)}$
Для более компактного вида можно вынести общий множитель $2x^3$ в числителе:
$f(x) = \frac{2x^3(x^4 - 15)}{3(x^2 - 25)}$
Область определения функции задается условием $x^2 - 25 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 5$.
Ответ: $f(x) = \frac{2x^3(x^4 - 15)}{3(x^2 - 25)}$

26. (3)

$g(x) = \frac{(x-3)^3 (x+2)^5 (x-8)^7}{3x+2} + \frac{(x+3)^3 (x-2)^5 (x+8)^7}{3x-2}$

Для решения данной задачи необходимо найти значение функции $g(x)$ при $x=3$. Исходное выражение записано в виде $ (3)g(x) = \dots $. Наиболее вероятная интерпретация такой записи — это уравнение $3 \cdot g(x) = \dots$. Мы будем исходить из этого предположения. Точка $x=3$ для вычисления выбрана не случайно, так как она обращает в ноль множитель $(x-3)$ в числителе первого слагаемого, что значительно упрощает вычисления.

Итак, дано уравнение:$3g(x) = \frac{(x-3)^3(x+2)^5(x-8)^7}{3x+2} + \frac{(x+3)^3(x-2)^5(x+8)^7}{3x-2}$

Подставим в это уравнение значение $x=3$:$3g(3) = \frac{(3-3)^3(3+2)^5(3-8)^7}{3(3)+2} + \frac{(3+3)^3(3-2)^5(3+8)^7}{3(3)-2}$

Рассмотрим первое слагаемое в правой части. Числитель содержит множитель $(3-3)^3 = 0^3 = 0$. Произведение, в котором один из множителей равен нулю, равно нулю. Следовательно, весь числитель равен нулю. Знаменатель равен $3(3)+2 = 11$. Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{0}{11} = 0$.

Теперь вычислим второе слагаемое.Числитель:$(3+3)^3(3-2)^5(3+8)^7 = 6^3 \cdot 1^5 \cdot 11^7 = 216 \cdot 1 \cdot 11^7 = 216 \cdot 11^7$.Знаменатель:$3(3)-2 = 9-2 = 7$.Значит, второе слагаемое равно $\frac{216 \cdot 11^7}{7}$.

Теперь сложим оба слагаемых, чтобы найти значение $3g(3)$:$3g(3) = 0 + \frac{216 \cdot 11^7}{7} = \frac{216 \cdot 11^7}{7}$

Наконец, чтобы найти $g(3)$, разделим обе части полученного равенства на 3:$g(3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{216 \cdot 11^7}{7} = \frac{216}{3 \cdot 7} \cdot 11^7$

Поскольку $216 / 3 = 72$, получаем окончательное выражение для $g(3)$:$g(3) = \frac{72 \cdot 11^7}{7}$

Ответ: $g(3) = \frac{72 \cdot 11^7}{7}$.

27. (2) Известно, что $f(x)$ – нечетная функция, возрастающая на интервале $(-3;-1)$, $D(f)=R$. Что можно сказать о характере монотонности $f(x)$ на интервале:

a) $(0;6)$;

б) $(-4;0)$;

в) $(1;3)$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами нечетной функции. Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Важное свойство нечетных функций, касающееся монотонности: если нечетная функция возрастает (убывает) на некотором интервале $(a, b)$, то она также возрастает (убывает) на интервале $(-b, -a)$, симметричном относительно начала координат.

Докажем это. Пусть нечетная функция $f(x)$ возрастает на интервале $(-3, -1)$. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Рассмотрим интервал $(1, 3)$, симметричный интервалу $(-3, -1)$. Возьмем любые $x_3, x_4$ из интервала $(1, 3)$ такие, что $x_3 < x_4$. Тогда $-x_3$ и $-x_4$ принадлежат интервалу $(-3, -1)$, и при этом $-x_4 < -x_3$.

Так как $f(x)$ возрастает на $(-3, -1)$, то из $-x_4 < -x_3$ следует, что $f(-x_4) < f(-x_3)$.

Поскольку $f(x)$ — нечетная функция, $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, $-f(x_4) < -f(x_3)$.

Умножив обе части последнего неравенства на $-1$, мы изменим знак неравенства на противоположный: $f(x_4) > f(x_3)$, или $f(x_3) < f(x_4)$.

Таким образом, мы показали, что для любых $x_3, x_4$ из интервала $(1, 3)$ из $x_3 <