Страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7. (4) Известно, что равенство $f(x+2)=-f(x)$ выполняется при всех $x \in (-\infty;+\infty)$. Докажите, что $f(x)$ является периодической с периодом $T=4$.

Чтобы доказать, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $T=4$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+4) = f(x)$.

По условию задачи нам дано, что для всех $x \in (-\infty; +\infty)$ справедливо равенство:

$f(x+2) = -f(x)$

Рассмотрим, чему равно значение функции в точке $x+4$. Мы можем представить аргумент $x+4$ как $(x+2)+2$. Тогда:

$f(x+4) = f((x+2)+2)$

Теперь мы можем применить данное нам условие к выражению $f((x+2)+2)$, считая в нем за "аргумент" выражение $(x+2)$. Получим:

$f((x+2)+2) = -f(x+2)$

Итак, мы установили, что $f(x+4) = -f(x+2)$.

Теперь в правой части полученного равенства мы снова можем применить исходное условие $f(x+2) = -f(x)$:

$f(x+4) = -f(x+2) = -(-f(x)) = f(x)$

Таким образом, мы получили, что $f(x+4) = f(x)$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ является периодической, и число $T=4$ является её периодом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

8. (1) Известно, что $f(x)$ - периодическая функция. Обязательно ли следующие функции являются периодическими: $y=f^2(x)$, $y=f(x^2)$, $y=|f(x)|$, $y=g(f(x))$, где $g(x)$ - некоторая функция?

y=f²(x)

Пусть $f(x)$ является периодической функцией с периодом $T > 0$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $y(x) = f^2(x)$. Чтобы проверить, является ли она периодической, найдем ее значение в точке $x+T$:

$y(x+T) = f^2(x+T) = (f(x+T))^2$

Так как $f(x)$ — периодическая функция, мы знаем, что $f(x+T) = f(x)$. Подставим это в наше выражение:

$y(x+T) = (f(x))^2 = f^2(x) = y(x)$

Равенство $y(x+T) = y(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения функции $f(x)$. Следовательно, функция $y=f^2(x)$ также является периодической. Ее период равен $T$ или может быть меньше (например, является делителем $T$), но наличие периода гарантировано.

Ответ: Да, обязательно.

y=f(x²)

Эта функция не обязательно является периодической. Для того чтобы функция $y(x) = f(x^2)$ была периодической с некоторым периодом $T' > 0$, должно выполняться условие $y(x+T') = y(x)$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что $f((x+T')^2) = f(x^2)$.

Поскольку $f(x)$ периодична с периодом $T$, это равенство будет выполняться, если аргументы функции отличаются на целое число периодов: $(x+T')^2 = x^2 + nT$ для некоторого целого числа $n$.

Раскроем скобки: $x^2 + 2xT' + (T')^2 = x^2 + nT$. Отсюда $2xT' + (T')^2 = nT$.

Это равенство должно выполняться для всех $x$ при постоянном $T'$. Однако левая часть уравнения зависит от $x$, в то время как правая (при фиксированном $n$) — нет. Это невозможно, если $T' \neq 0$. Следовательно, в общем случае такая функция не является периодической.

Приведем контрпример. Пусть $f(x) = \cos(x)$. Это периодическая функция с периодом $2\pi$. Рассмотрим функцию $y(x) = f(x^2) = \cos(x^2)$.

У периодической функции расстояния между однотипными точками (например, максимумами) должны быть постоянными. Максимумы функции $\cos(x^2)$ достигаются, когда $x^2 = 2k\pi$ ($k$ — целое неотрицательное число), то есть в точках $x_k = \sqrt{2k\pi}$.

Найдем расстояния между несколькими последовательными точками максимума (для $x \ge 0$):

$x_1 - x_0 = \sqrt{2\pi} - 0 = \sqrt{2\pi}$

$x_2 - x_1 = \sqrt{4\pi} - \sqrt{2\pi} = \sqrt{2\pi}(\sqrt{2}-1)$

$x_3 - x_2 = \sqrt{6\pi} - \sqrt{4\pi} = \sqrt{2\pi}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

Так как $\sqrt{2\pi} \neq \sqrt{2\pi}(\sqrt{2}-1) \neq \sqrt{2\pi}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$, расстояния между максимумами не постоянны. Следовательно, функция $\cos(x^2)$ не является периодической.

Ответ: Нет, не обязательно.

y=|f(x)|

Пусть $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T > 0$, то есть $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $y(x) = |f(x)|$. Проверим ее на периодичность с периодом $T$:

$y(x+T) = |f(x+T)|$

Используя свойство периодичности функции $f(x)$, заменяем $f(x+T)$ на $f(x)$:

$y(x+T) = |f(x)| = y(x)$

Равенство $y(x+T) = y(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения. Таким образом, функция $y=|f(x)|$ обязательно является периодической. Ее период может быть равен $T$ или меньше (например, для $f(x)=\sin(x)$ с периодом $2\pi$, функция $y=|\sin(x)|$ имеет период $\pi$).

Ответ: Да, обязательно.

y=g(f(x)), где g(x) - некоторая функция

Пусть $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T > 0$, так что $f(x+T) = f(x)$.

Рассмотрим сложную функцию $y(x) = g(f(x))$, где $g(x)$ — произвольная функция. Область определения $y(x)$ состоит из тех $x$, для которых определена функция $f(x)$, и значение $f(x)$ входит в область определения функции $g(x)$.

Проверим значение функции в точке $x+T$:

$y(x+T) = g(f(x+T))$

Поскольку $f(x)$ периодична, $f(x+T) = f(x)$. Подставим это в выражение:

$y(x+T) = g(f(x)) = y(x)$

Это равенство справедливо для всех $x$ из области определения функции $y(x)$. Следовательно, композиция функций $y=g(f(x))$ является периодической с периодом $T$ (или меньшим). Это верно для любой функции $g(x)$.

Ответ: Да, обязательно.

9. (3) Найдите значение выражения $f(1)+2f(-2)+4f(16)$, если известно,

что функция $y=f(x)$ нечетная и периодическая с периодом, равным

10, а на отрезке $[0;5]$ она определена формулой $f(x)=10x-2x^2$.

Для нахождения значения выражения нам понадобятся три свойства функции $y=f(x)$, указанные в условии:

1. Функция является нечетной, следовательно, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

2. Функция является периодической с периодом $T=10$, следовательно, для любого $x$ из области определения и любого целого числа $k$ выполняется равенство $f(x+10k) = f(x)$.

3. На отрезке $[0;5]$ функция задается формулой $f(x) = 10x - 2x^2$.

Вычислим поочередно каждое слагаемое в выражении $f(1) + 2f(-2) + 4f(16)$.

Найдем значение $f(1)$.

Аргумент $x=1$ принадлежит отрезку $[0;5]$, поэтому мы можем применить заданную формулу:

$f(1) = 10(1) - 2(1)^2 = 10 - 2 = 8$.

Найдем значение $f(-2)$.

Аргумент $x=-2$ не принадлежит отрезку $[0;5]$. Воспользуемся свойством нечетности функции:

$f(-2) = -f(2)$.

Аргумент $x=2$ принадлежит отрезку $[0;5]$, поэтому для $f(2)$ можно применить формулу:

$f(2) = 10(2) - 2(2)^2 = 20 - 2 \cdot 4 = 20 - 8 = 12$.

Таким образом, $f(-2) = -12$.

Найдем значение $f(16)$.

Аргумент $x=16$ не принадлежит отрезку $[0;5]$. Воспользуемся свойством периодичности функции, вычтя из аргумента период $T=10$:

$f(16) = f(16 - 10) = f(6)$.

Аргумент $x=6$ также не принадлежит отрезку $[0;5]$. Применим свойство периодичности еще раз, чтобы привести аргумент к отрицательному значению, с которым можно будет работать, используя свойство нечетности:

$f(6) = f(6 - 10) = f(-4)$.

Теперь воспользуемся свойством нечетности функции:

$f(-4) = -f(4)$.

Аргумент $x=4$ принадлежит отрезку $[0;5]$. Вычислим $f(4)$ по формуле:

$f(4) = 10(4) - 2(4)^2 = 40 - 2 \cdot 16 = 40 - 32 = 8$.

Следовательно, $f(-4) = -8$, а значит и $f(16) = -8$.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$f(1) + 2f(-2) + 4f(16) = 8 + 2 \cdot (-12) + 4 \cdot (-8) = 8 - 24 - 32 = -16 - 32 = -48$.

Ответ: -48

10. (3)

Функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 6. При каждом $x$ из промежутка $(-2;4]$ значение функции $f(x)$ совпадает со значением функции $g(x)$ определенной:

$$g(x)=\begin{cases} x^2-1,& -2 < x \le 2 \\ 3,& 2 < x \le 4 \end{cases}$$

Найдите значение выражения $f(6)+f(10)-2f(8)$.

По условию, функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом $T=6$. Это означает, что для любого $x$ и любого целого числа $k$ выполняется равенство $f(x+6k) = f(x)$. Мы будем использовать это свойство, чтобы найти значения функции для аргументов, которые не входят в основной промежуток определения $(-2; 4]$.

На промежутке $(-2; 4]$ значение функции $f(x)$ совпадает со значением функции $g(x)$, которая задана следующим образом:

$g(x) = \begin{cases} x^2-1, & \text{при } -2 < x \le 2 \\ 3, & \text{при } 2 < x \le 4 \end{cases}$

Чтобы найти значение выражения $f(6)+f(10)-2f(8)$, вычислим каждое значение функции по отдельности.

Найдем $f(6)$

Аргумент $x=6$ не входит в промежуток $(-2; 4]$. Воспользуемся периодичностью функции $f(x)$ с периодом $T=6$:

$f(6) = f(6-6) = f(0)$

Значение $x=0$ принадлежит промежутку $(-2; 2]$. Следовательно, $f(0) = g(0)$.

На этом промежутке $g(x) = x^2-1$, поэтому:

$f(0) = g(0) = 0^2 - 1 = -1$

Таким образом, $f(6) = -1$.

Найдем $f(10)$

Аргумент $x=10$ не входит в промежуток $(-2; 4]$. Воспользуемся периодичностью:

$f(10) = f(10-6) = f(4)$

Значение $x=4$ принадлежит промежутку $(2; 4]$. Следовательно, $f(4) = g(4)$.

На этом промежутке $g(x)=3$, поэтому:

$f(4) = g(4) = 3$

Таким образом, $f(10) = 3$.

Найдем $f(8)$

Аргумент $x=8$ не входит в промежуток $(-2; 4]$. Воспользуемся периодичностью:

$f(8) = f(8-6) = f(2)$

Значение $x=2$ принадлежит промежутку $(-2; 2]$. Следовательно, $f(2) = g(2)$.

На этом промежутке $g(x) = x^2-1$, поэтому:

$f(2) = g(2) = 2^2 - 1 = 4-1 = 3$

Таким образом, $f(8) = 3$.

Вычислим значение выражения

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$f(6)+f(10)-2f(8) = (-1) + 3 - 2 \cdot 3 = 2 - 6 = -4$

Ответ: $-4$

11. (3) Функция $y=f(x)$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 9. На рисунке 4 изображен график этой функции при $x \in (-5;4]$. Найдите значение выражения $f(-10)-f(-1)f(8)$.

Рис. 4

По условию, функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T=9$. Это означает, что для любого аргумента $x$ и любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x) = f(x + 9n)$. Нам дан график функции на промежутке $x \in (-5; 4]$. Длина этого промежутка $4 - (-5) = 9$, что в точности равно периоду. Для вычисления значения выражения $f(-10) - f(-1) \cdot f(8)$ найдем каждое из значений функции.

Нахождение $f(-1)$
Аргумент $x=-1$ принадлежит промежутку $(-5; 4]$, поэтому значение функции можно определить непосредственно по графику. Из графика следует, что при $x=-1$, $y=-2$. Таким образом, $f(-1) = -2$.

Нахождение $f(-10)$
Аргумент $x=-10$ не принадлежит промежутку $(-5; 4]$. Используя свойство периодичности, прибавим к аргументу период $T=9$:
$f(-10) = f(-10 + 9) = f(-1)$.
Поскольку мы уже нашли, что $f(-1) = -2$, то и $f(-10) = -2$.

Нахождение $f(8)$
Аргумент $x=8$ не принадлежит промежутку $(-5; 4]$. Используя свойство периодичности, вычтем из аргумента период $T=9$:
$f(8) = f(8 - 9) = f(-1)$.
Следовательно, $f(8) = -2$.

Вычисление итогового выражения
Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:
$f(-10) - f(-1) \cdot f(8) = (-2) - (-2) \cdot (-2)$
Сначала выполняем умножение, а затем вычитание:
$(-2) \cdot (-2) = 4$
$(-2) - 4 = -6$
Таким образом, значение выражения равно -6.

Ответ: -6

12. (2)

Периодическая функция $f(x)$ такова, что $f(-1)=5, f(5)=-6$, период функции $f(x)$ равен 10. Найдите $f(99)-f(-105)$. $f(-1)=5, f(5)=-6$.

По определению периодической функции $f(x)$ с периодом $T$, для любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x + nT) = f(x)$.

В условии задачи дано, что функция $f(x)$ является периодической с периодом $T = 10$. Также известны значения функции в некоторых точках: $f(-1) = 5$ и $f(5) = -6$. Нам необходимо найти значение выражения $f(99) - f(-105)$.

Для этого сначала вычислим $f(99)$, используя свойство периодичности. Мы можем представить аргумент $99$ через один из известных нам аргументов ($-1$ или $5$) и период $T=10$.

Представим $99$ в виде $99 = -1 + 100 = -1 + 10 \cdot 10$.

Здесь $x = -1$, $n = 10$ (целое число), $T = 10$. Следовательно, мы можем применить свойство периодичности:

$f(99) = f(-1 + 10 \cdot 10) = f(-1)$.

Так как по условию $f(-1) = 5$, то $f(99) = 5$.

Теперь аналогично вычислим $f(-105)$. Представим аргумент $-105$ через известный нам аргумент $5$ и период $T=10$.

Представим $-105$ в виде $-105 = 5 - 110 = 5 + (-11) \cdot 10$.

Здесь $x = 5$, $n = -11$ (целое число), $T = 10$. Снова применяем свойство периодичности:

$f(-105) = f(5 + (-11) \cdot 10) = f(5)$.

Так как по условию $f(5) = -6$, то $f(-105) = -6$.

Наконец, найдем значение искомого выражения, подставив найденные значения:

$f(99) - f(-105) = 5 - (-6) = 5 + 6 = 11$.

Ответ: 11

13. (3)

Функция $g(x)$ имеет период $T=7$, на множестве $x \in (-1;6]$ выполняется равенство $g(x) = -3x+7$. Найдите $g(2013)$.

По условию, функция $g(x)$ является периодической с периодом $T=7$. Это означает, что для любого целого числа $n$ выполняется равенство $g(x) = g(x + nT)$. Нам необходимо найти значение $g(2013)$.

Аргумент $2013$ не принадлежит множеству $x \in (-1; 6]$, на котором задана формула функции. Чтобы найти значение $g(2013)$, мы должны свести его к значению функции с аргументом из этого промежутка, используя свойство периодичности. Для этого из аргумента $2013$ нужно вычесть период $T=7$ некоторое количество раз. Это эквивалентно нахождению остатка от деления $2013$ на $7$.

Выполним деление с остатком:
$2013 = 7 \cdot 287 + 4$.

Из свойства периодичности $g(x_0 + nT) = g(x_0)$ следует, что:
$g(2013) =

14. (2)Изобразите график функции $y=f(x)$, если $f(x)$ имеет период $T=4$ и на множестве $[6;10)$ значения $f(x)$ задаются формулой $f(x)=-x+8$.

14.(2)

По условию задачи, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$, что означает $f(x+4) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Также известно, что на множестве $x \in [6, 10)$ функция задается формулой $f(x) = -x + 8$.

1. Построение основного фрагмента графика.

Сначала построим график функции на заданном интервале $[6, 10)$. На этом интервале $f(x) = -x + 8$ является линейной функцией, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек:

• При $x=6$ (левая граница интервала, точка включается):
  $f(6) = -6 + 8 = 2$.
  Следовательно, точка $(6, 2)$ принадлежит графику.
• При $x=10$ (правая граница интервала, точка не включается):
  Значение функции стремится к $f(10) = -10 + 8 = -2$.
  Следовательно, точка $(10, -2)$ является конечной точкой отрезка, но она не принадлежит графику (изображается "выколотой" или пустой точкой).

Таким образом, на интервале $[6, 10)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(6, 2)$ (включительно) и точку $(10, -2)$ (невключительно).

2. Использование свойства периодичности.

Так как период функции $T=4$, весь график состоит из копий основного фрагмента, смещенных вдоль оси Ox на величину, кратную 4.

• Сдвиг влево на 4: Интервал $[6, 10)$ смещается на $[6-4, 10-4) = [2, 6)$. График на этом интервале будет таким же по форме, соединяя точку $(2, 2)$ (включительно) и $(6, -2)$ (невключительно). Формула функции на этом участке: $f(x) = f(x+4) = -(x+4)+8 = -x+4$.
• Сдвиг влево еще на 4: Интервал $[2, 6)$ смещается на $[-2, 2)$. График соединяет точку $(-2, 2)$ (включительно) и $(2, -2)$ (невключительно). Формула: $f(x)=f(x+4) = -(x+4)+4 = -x$.
• Сдвиг вправо на 4: Интервал $[6, 10)$ смещается на $[10, 14)$. График соединяет точку $(10, 2)$ (включительно) и $(14, -2)$ (невключительно). Формула: $f(x)=f(x-4) = -(x-4)+8 = -x+12$.

Продолжая эти сдвиги, мы получаем весь график функции.

3. Итоговый график.

График функции состоит из бесконечного набора параллельных отрезков с наклоном $-1$. В то

15. (2) Изобразите график функции $y=f(x)$, если $f(x)$ имеет период $T=2$ и на множестве $[0;2]$ значения $f(x)$ задаются формулой $f(x)=x^2-2x$.

Для построения графика функции $y=f(x)$ необходимо сначала рассмотреть ее поведение на заданном отрезке $[0;2]$, а затем использовать свойство периодичности.

1. Анализ функции на отрезке $[0;2]$.

На отрезке $[0;2]$ функция задана формулой $f(x) = x^2 - 2x$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем ключевые точки этой параболы на указанном отрезке.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = f(x_v) = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$. Эта точка принадлежит отрезку $[0;2]$.

Найдем значения функции на концах отрезка, которые также являются точками пересечения с осью абсцисс:
$f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$.
$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0$.
Таким образом, на отрезке $[0;2]$ график функции представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(0;0)$, опускается до вершины в точке $(1;-1)$ и поднимается до точки $(2;0)$.

2. Построение графика с учетом периодичности.

По условию, функция $f(x)$ имеет период $T=2$. Это означает, что $f(x+2) = f(x)$ для любого $x$. Следовательно, весь график функции получается путем повторения (копирования) построенной дуги параболы на всех смежных интервалах длиной 2.

Иными словами, график на интервале $[2;4]$ будет точной копией графика на интервале $[0;2]$, сдвинутой на 2 единицы вправо. Аналогично, график на интервале $[-2;0]$ будет копией, сдвинутой на 2 единицы влево, и так далее для всех интервалов вида $[2k, 2k+2]$, где $k$ - любое целое число.

В результате график будет состоять из бесконечного числа одинаковых параболических дуг. Вершины этих дуг будут находиться в точках с абсциссами $..., -3, -1, 1, 3, 5, ...$ и ординатой $-1$, то есть в точках вида $(1+2k; -1)$. График будет пересекать ось абсцисс во всех четных целых числах: $..., -4, -2, 0, 2, 4, ...$, то есть в точках вида $(2k; 0)$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: График функции $y=f(x)$ является периодическим с периодом $T=2$ и представляет собой бесконечную последовательность одинаковых дуг параболы. На основном отрезке $[0;2]$ это дуга параболы $y=x^2-2x$ с вершиной в точке $(1; -1)$ и концами в точках $(0;0)$ и $(2;0)$. Весь график получается путем параллельного переноса этой дуги вдоль оси $Ox$ на $2k$ единиц, где $k$ – любое целое число. График изображен на рисунке выше.

16. (2) Четная функция $f(x)$ имеет период $T=4$, на множестве $[-2,0)$ задается формулой $f(x)=\frac{4}{x}$ и не определена в точке 0. Изобразите график функции $y=f(x)$.

Для построения графика функции $y=f(x)$ используем все заданные условия по шагам.

1. Сначала построим график на интервале, где задана формула: $[-2, 0)$. Функция $f(x) = \frac{4}{x}$ является гиперболой. В точке $x=-2$ ее значение $f(-2) = \frac{4}{-2} = -2$. Таким образом, точка $(-2, -2)$ принадлежит графику. В точке $x=0$ функция не определена. При приближении $x$ к нулю слева ($x \to 0^-$), $f(x)$ стремится к $-\infty$. Это значит, что ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой. Итак, на интервале $[-2, 0)$ график представляет собой ветвь гиперболы, которая начинается в точке $(-2,-2)$ и уходит вниз вдоль оси ординат.

2. Далее используем свойство четности функции: $f(-x)=f(x)$. Это означает, что график симметричен относительно оси $Oy$. Отразив построенную часть графика относительно оси $Oy$, мы получим его вид на интервале $(0, 2]$. Точка $(-2, -2)$ перейдет в точку $(2, -2)$. Асимптота $x=0$ останется асимптотой и для $x > 0$, при $x \to 0^+$ функция также будет стремиться к $-\infty$. В результате мы получаем вид графика на интервале $[-2, 2]$ (за исключением точки $x=0$).

3. Наконец, используем свойство периодичности с периодом $T=4$. Построенный на интервале $[-2, 2]$ (длина которого равна 4) фрагмент графика повторяется вдоль всей оси $Ox$ со сдвигом на $4k$ для любого целого $k$. Это означает, что вертикальные асимптоты будут находиться во всех точках вида $x=4k$. А "вершины" кривых, аналогичные точкам $(-2, -2)$ и $(2, -2)$, будут находиться в точках с координатами $(-2+4k, -2)$ и $(2+4k, -2)$.

Итоговый график представляет собой бесконечную последовательность одинаковых "арок", обращенных вниз. Каждая арка расположена между точками вида $(4k-2, -2)$ и $(4k+2, -2)$, и разделена посередине вертикальной асимптотой $x=4k$, к которой стремятся ее ветви, уходя в минус бесконечность.

Ответ: График функции $y=f(x)$ является периодическим с периодом $T=4$. Он имеет вертикальные асимптоты в точках $x=4k$ для всех целых $k$. В каждом интервале $(4k-2, 4k+2)$ график состоит из двух симметричных ветвей. Одна ветвь идет от точки $(4k-2, -2)$ вниз к асимптоте $x=4k$, стремясь к $-\infty$. Другая ветвь идет от асимптоты $x=4k$ (от $-\infty$) вверх до точки $(4k+2, -2)$.

1. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=x$, $g(x)=x^2$, $h(x)=x^3$, $u(x)=x^4$, $v(x)=x^{2014}$;

б) $f(x)=1$, $g(x)=\frac{1}{2x^2}$, $h(x)=\frac{1}{3x^3}$, $u(x)=-\frac{1}{4x^4}$, $v(x)=-\frac{1}{2^{15}(x^2)^{12}}$.

а)

Для нахождения производных данных функций воспользуемся общей формулой производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Для функции $f(x) = x$. Здесь показатель степени $n=1$.
$f'(x) = (x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1 \cdot 1 = 1$.

Для функции $g(x) = x^2$. Здесь $n=2$.
$g'(x) = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

Для функции $h(x) = x^3$. Здесь $n=3$.
$h'(x) = (x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.

Для функции $u(x) = x^4$. Здесь $n=4$.
$u'(x) = (x^4)' = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3$.

Для функции $v(x) = x^{2014}$. Здесь $n=2014$.
$v'(x) = (x^{2014})' = 2014 \cdot x^{2014-1} = 2014x^{2013}$.

Ответ: $f'(x) = 1$; $g'(x) = 2x$; $h'(x) = 3x^2$; $u'(x) = 4x^3$; $v'(x) = 2014x^{2013}$.

б)

Для нахождения производных будем использовать правило дифференцирования произведения константы на функцию $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$, формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (в том числе для отрицательных показателей степени) и правило, что производная константы равна нулю, $(C)'=0$. Для удобства представим функции в виде $C \cdot x^n$.

Для функции $f(x) = 1$.
Это константа, поэтому ее производная равна нулю.
$f'(x) = (1)' = 0$.

Для функции $g(x) = \frac{1}{2x^2}$.
Представим функцию в виде $g(x) = \frac{1}{2} x^{-2}$.
$g'(x) = (\frac{1}{2} x^{-2})' = \frac{1}{2} \cdot (x^{-2})' = \frac{1}{2} \cdot (-2)x^{-2-1} = -1 \cdot x^{-3} = -\frac{1}{x^3}$.

Для функции $h(x) = \frac{1}{3x^3}$.
Представим функцию в виде $h(x) = \frac{1}{3} x^{-3}$.
$h'(x) = (\frac{1}{3} x^{-3})' = \frac{1}{3} \cdot (x^{-3})' = \frac{1}{3} \cdot (-3)x^{-3-1} = -1 \cdot x^{-4} = -\frac{1}{x^4}$.

Для функции $u(x) = -\frac{1}{4x^4}$.
Представим функцию в виде $u(x) = -\frac{1}{4} x^{-4}$.
$u'(x) = (-\frac{1}{4} x^{-4})' = -\frac{1}{4} \cdot (x^{-4})' = -\frac{1}{4} \cdot (-4)x^{-4-1} = 1 \cdot x^{-5} = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$.

Для функции $v(x) = -\frac{1}{2^{15}(x^2)^{12}}$.
Сначала упростим выражение для функции, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $(x^2)^{12} = x^{2 \cdot 12} = x^{24}$.
Тогда $v(x) = -\frac{1}{2^{15}x^{24}}$. Представим функцию в виде $v(x) = -\frac{1}{2^{15}} x^{-24}$.
Теперь найдем производную:
$v'(x) = (-\frac{1}{2^{15}} x^{-24})' = -\frac{1}{2^{15}} \cdot (x^{-24})' = -\frac{1}{2^{15}} \cdot (-24)x^{-24-1} = \frac{24}{2^{15}} x^{-25}$.
Упростим числовой коэффициент: $\frac{24}{2^{15}} = \frac{3 \cdot 8}{2^{15}} = \frac{3 \cdot 2^3}{2^{15}} = 3 \cdot 2^{3-15} = 3 \cdot 2^{-12} = \frac{3}{2^{12}} = \frac{3}{4096}$.
Таким образом, $v'(x) = \frac{3}{4096}x^{-25} = \frac{3}{4096x^{25}}$.

Ответ: $f'(x) = 0$; $g'(x) = -\frac{1}{x^3}$; $h'(x) = -\frac{1}{x^4}$; $u'(x) = \frac{1}{x^5}$; $v'(x) = \frac{3}{4096x^{25}}$.

2. Найдите производные следующих функций:

$f(x)=2x-1, g(x)=x^2-2x-1, h(x)=(2x-1)^2, u(x)=(x^2-2x-1)^4$.

f(x)=2x-1

Для нахождения производной функции $f(x) = 2x - 1$ мы используем правило дифференцирования суммы/разности функций и таблицу производных элементарных функций. Производная суммы/разности равна сумме/разности производных.

Формулы, которые нам понадобятся:

1. Производная линейной функции: $(kx)' = k$.

2. Производная константы: $(C)' = 0$.

Применяя эти правила, получаем:

$f'(x) = (2x - 1)' = (2x)' - (1)' = 2 - 0 = 2$.

Ответ: $f'(x) = 2$.

g(x)=x²-2x-1

Для нахождения производной функции $g(x) = x^2 - 2x - 1$ мы также используем правило дифференцирования суммы/разности и таблицу производных.

Формулы, которые нам понадобятся:

1. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

2. Производная линейной функции: $(kx)' = k$.

3. Производная константы: $(C)' = 0$.

Найдем производную каждого слагаемого в функции:

$(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

$(2x)' = 2$.

$(1)' = 0$.

Теперь объединим результаты:

$g'(x) = (x^2)' - (2x)' - (1)' = 2x - 2 - 0 = 2x - 2$.

Ответ: $g'(x) = 2x - 2$.

h(x)=(2x-1)²

Эта функция является сложной. Для нахождения её производной используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это возведение в квадрат $f(u) = u^2$, а внутренняя функция — это выражение в скобках $g(x) = 2x - 1$.

Сначала найдем производные этих функций по отдельности:

Производная внешней функции: $f'(u) = (u^2)' = 2u$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x - 1)' = 2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила, заменив $u$ на $g(x)$:

$h'(x) = 2(2x - 1) \cdot 2$.

Упростим полученное выражение:

$h'(x) = 4(2x - 1) = 8x - 4$.

Ответ: $h'(x) = 8x - 4$.

u(x)=(x²-2x-1)⁴

Эта функция также является сложной, и для нахождения её производной мы снова применим цепное правило: $(f(v(x)))' = f'(v(x)) \cdot v'(x)$.

Здесь внешняя функция — это возведение в четвертую степень $f(v) = v^4$, а внутренняя функция — $v(x) = x^2 - 2x - 1$.

Найдем производные этих функций:

Производная внешней функции: $f'(v) = (v^4)' = 4v^3$.

Производная внутренней функции: $v'(x) = (x^2 - 2x - 1)' = 2x - 2$.

Подставим производные в формулу, заменив $v$ на $v(x)$:

$u'(x) = 4(x^2 - 2x - 1)^3 \cdot (2x - 2)$.

Для упрощения можно вынести общий множитель 2 из второго множителя $(2x-2)$:

$u'(x) = 4(x^2 - 2x - 1)^3 \cdot 2(x - 1) = 8(x - 1)(x^2 - 2x - 1)^3$.

Ответ: $u'(x) = 8(x - 1)(x^2 - 2x - 1)^3$.

3. Найдите производные следующих функций:

а) $f(x)=\sin x$, $g(x)=\sin 2x$, $h(x)=\frac{1}{6}\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)$, $u(x)=-\frac{1}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{5}-4\pi x\right)$;

б) $f(x)=-\cos x$, $g(x)=\cos 3x$, $h(x)=\frac{1}{4}\cos\left(8x-\frac{\pi}{7}\right)$, $u(x)=-\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{3\pi x}{2}\right)$;

в) $f(x)=2\operatorname{tg}x$, $g(x)=\operatorname{tg}\frac{5x}{2}$, $h(x)=\frac{3}{7}\operatorname{tg}\left(\frac{14x}{3}-\frac{\pi}{9}\right)$, $u(x)=-\frac{1}{3}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{5}-9x\right)$;

г) $f(x)=-3\operatorname{ctg}x$, $g(x)=7\operatorname{ctg}\frac{8x}{7}$, $h(x)=-\frac{4}{9}\operatorname{ctg}\left(\frac{27x}{2}-\frac{\pi}{21}\right)$, $u(x)=-\frac{1}{11\pi}\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{11}-22\pi x\right)$.

а)

Для функции $f(x) = \sin x$ производная является табличной.
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Ответ: $f'(x) = \cos x$.

Для функции $g(x) = \sin 2x$ применяем правило дифференцирования сложной функции: $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$.
$g'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.
Ответ: $g'(x) = 2\cos 2x$.

Для функции $h(x) = \frac{1}{6}\sin(3x - \frac{\pi}{3})$ применяем правило дифференцирования сложной функции и вынесение константы за знак производной.
$h'(x) = \frac{1}{6}(\sin(3x - \frac{\pi}{3}))' = \frac{1}{6} \cos(3x - \frac{\pi}{3}) \cdot (3x - \frac{\pi}{3})' = \frac{1}{6} \cos(3x - \frac{\pi}{3}) \cdot 3 = \frac{3}{6}\cos(3x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $h'(x) = \frac{1}{2}\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.

Для функции $u(x) = -\frac{1}{\pi}\sin(\frac{\pi}{5} - 4\pi x)$ применяем те же правила.
$u'(x) = -\frac{1}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{5} - 4\pi x))' = -\frac{1}{\pi}\cos(\frac{\pi}{5} - 4\pi x) \cdot (\frac{\pi}{5} - 4\pi x)' = -\frac{1}{\pi}\cos(\frac{\pi}{5} - 4\pi x) \cdot (-4\pi) = 4\cos(\frac{\pi}{5} - 4\pi x)$.
Ответ: $u'(x) = 4\cos(\frac{\pi}{5} - 4\pi x)$.

б)

Для функции $f(x) = -\cos x$ производная равна:
$f'(x) = -(\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.
Ответ: $f'(x) = \sin x$.

Для функции $g(x) = \cos 3x$ применяем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$.
$g'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x$.
Ответ: $g'(x) = -3\sin 3x$.

Для функции $h(x) = \frac{1}{4}\cos(8x - \frac{\pi}{7})$:
$h'(x) = \frac{1}{4}(\cos(8x - \frac{\pi}{7}))' = \frac{1}{4}(-\sin(8x - \frac{\pi}{7})) \cdot (8x - \frac{\pi}{7})' = -\frac{1}{4}\sin(8x - \frac{\pi}{7}) \cdot 8 = -2\sin(8x - \frac{\pi}{7})$.
Ответ: $h'(x) = -2\sin(8x - \frac{\pi}{7})$.

Для функции $u(x) = \frac{2}{\pi}\cos(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})$:
$u'(x) = \frac{2}{\pi}(\cos(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2}))' = \frac{2}{\pi}(-\sin(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})) \cdot (\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})' = -\frac{2}{\pi}\sin(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2}) \cdot (-\frac{3\pi}{2}) = 3\sin(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})$.
Ответ: $u'(x) = 3\sin(\frac{\pi}{8} - \frac{3\pi x}{2})$.

в)

Для функции $f(x) = 2\tan x$, используя табличную производную $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$:
$f'(x) = 2(\tan x)' = \frac{2}{\cos^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{2}{\cos^2 x}$.

Для функции $g(x) = \tan \frac{5x}{2}$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$g'(x) = (\tan \frac{5x}{2})' = \frac{1}{\cos^2(\frac{5x}{2})} \cdot (\frac{5x}{2})' = \frac{1}{\cos^2(\frac{5x}{2})} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2\cos^2(\frac{5x}{2})}$.
Ответ: $g'(x) = \frac{5}{2\cos^2(\frac{5x}{2})}$.

Для функции $h(x) = \frac{3}{7}\tan(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})$:
$h'(x) = \frac{3}{7}(\tan(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9}))' = \frac{3}{7}\frac{1}{\cos^2(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})} \cdot (\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})' = \frac{3}{7}\frac{1}{\cos^2(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})} \cdot \frac{14}{3} = \frac{2}{\cos^2(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{2}{\cos^2(\frac{14x}{3} - \frac{\pi}{9})}$.

Для функции $u(x) = -\frac{1}{3}\tan(\frac{\pi}{5} - 9x)$:
$u'(x) = -\frac{1}{3}(\tan(\frac{\pi}{5} - 9x))' = -\frac{1}{3}\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{5} - 9x)} \cdot (\frac{\pi}{5} - 9x)' = -\frac{1}{3}\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{5} - 9x)} \cdot (-9) = \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{5} - 9x)}$.
Ответ: $u'(x) = \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{5} - 9x)}$.

г)

Для функции $f(x) = -3\cot x$, используя табличную производную $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$:
$f'(x) = -3(\cot x)' = -3(-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{3}{\sin^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{3}{\sin^2 x}$.

Для функции $g(x) = 7\cot \frac{8x}{7}$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$g'(x) = 7(\cot \frac{8x}{7})' = 7(-\frac{1}{\sin^2(\frac{8x}{7})}) \cdot (\frac{8x}{7})' = -7\frac{1}{\sin^2(\frac{8x}{7})} \cdot \frac{8}{7} = -\frac{8}{\sin^2(\frac{8x}{7})}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{8}{\sin^2(\frac{8x}{7})}$.

Для функции $h(x) = \frac{4}{9}\cot(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})$:
$h'(x) = \frac{4}{9}(\cot(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21}))' = \frac{4}{9}(-\frac{1}{\sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})}) \cdot (\frac{27x}{2})' = -\frac{4}{9}\frac{1}{\sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})} \cdot \frac{27}{2} = -\frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 2 \cdot \sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})} = -\frac{6}{\sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{6}{\sin^2(\frac{27x}{2} - \frac{\pi}{21})}$.

Для функции $u(x) = -\frac{1}{11\pi}\cot(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)$:
$u'(x) = -\frac{1}{11\pi}(\cot(\frac{\pi}{11} - 22\pi x))' = -\frac{1}{11\pi}(-\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)}) \cdot (\frac{\pi}{11} - 22\pi x)' = \frac{1}{11\pi}\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)} \cdot (-22\pi) = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{11} - 22\pi x)}$.

4. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=\arcsin x$, $g(x)=\arcsin 2x$, $h(x)=2\arcsin(2x^2)$,

$u(x)=\frac{1}{2}\arcsin(x^2+1)$;

б) $f(x)=0,1\arctan x$, $g(x)=0,3\arctan \left(27x+\frac{\pi}{9}\right)$, $h(x)=\frac{1}{6}\arctan(2x^3)$,

$u(x)=\frac{1}{5}\arctan(x^3-1)$.

а)

Для функции $f(x)=\arcsin x$ производная является табличной:
$f'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Для функции $g(x)=\arcsin(2x)$ используем правило дифференцирования сложной функции $(\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$, где $u=2x$.
$g'(x) = (\arcsin(2x))' = \frac{(2x)'}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.
Ответ: $g'(x) = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Для функции $h(x)=2\arcsin(2x^2)$ используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило для сложной функции. Пусть $u = 2x^2$, тогда $u' = 4x$.
$h'(x) = (2\arcsin(2x^2))' = 2 \cdot (\arcsin(2x^2))' = 2 \cdot \frac{(2x^2)'}{\sqrt{1-(2x^2)^2}} = 2 \cdot \frac{4x}{\sqrt{1-4x^4}} = \frac{8x}{\sqrt{1-4x^4}}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{8x}{\sqrt{1-4x^4}}$.

Для функции $u(x)=\frac{1}{2}\arcsin(x^2+1)$ используем те же правила. Пусть $v = x^2+1$, тогда $v' = 2x$.
$u'(x) = \left(\frac{1}{2}\arcsin(x^2+1)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+1)'}{\sqrt{1-(x^2+1)^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{1-(x^4+2x^2+1)}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^4-2x^2-1}} = \frac{x}{\sqrt{-x^4-2x^2}}$.
(Примечание: область определения исходной функции состоит из единственной точки $x=0$, так как должно выполняться условие $-1 \le x^2+1 \le 1$, что эквивалентно $x^2 \le 0$. Производная в этой точке не определена. Приведено формальное выражение для производной).
Ответ: $u'(x) = \frac{x}{\sqrt{-x^4-2x^2}}$.

б)

Для функции $f(x)=0,1\operatorname{arctg}x$ используем правило для производной произведения константы на функцию и табличную производную арктангенса $(\operatorname{arctg}x)' = \frac{1}{1+x^2}$.
$f'(x) = (0,1\operatorname{arctg}x)' = 0,1 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{0,1}{1+x^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{0,1}{1+x^2}$.

Для функции $g(x)=0,3\operatorname{arctg}\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)$ используем правило дифференцирования сложной функции $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{u'}{1+u^2}$. Пусть $u = 27x+\frac{\pi}{9}$, тогда $u' = 27$.
$g'(x) = \left(0,3\operatorname{arctg}\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)\right)' = 0,3 \cdot \frac{\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)'}{1+\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)^2} = 0,3 \cdot \frac{27}{1+\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)^2} = \frac{8,1}{1+\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)^2}$.
Ответ: $g'(x) = \frac{8,1}{1+\left(27x+\frac{\pi}{9}\right)^2}$.

Для функции $h(x)=\frac{1}{6}\operatorname{arctg}(2x^3)$ используем правило для сложной функции. Пусть $u = 2x^3$, тогда $u' = 6x^2$.
$h'(x) = \left(\frac{1}{6}\operatorname{arctg}(2x^3)\right)' = \frac{1}{6} \cdot \frac{(2x^3)'}{1+(2x^3)^2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6x^2}{1+4x^6} = \frac{x^2}{1+4x^6}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{x^2}{1+4x^6}$.

Для функции $u(x)=\frac{1}{5}\operatorname{arctg}(x^5-1)$ используем правило для сложной функции. Пусть $v = x^5-1$, тогда $v' = 5x^4$.
$u'(x) = \left(\frac{1}{5}\operatorname{arctg}(x^5-1)\right)' = \frac{1}{5} \cdot \frac{(x^5-1)'}{1+(x^5-1)^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5x^4}{1+(x^{10}-2x^5+1)} = \frac{x^4}{x^{10}-2x^5+2}$.
Ответ: $u'(x) = \frac{x^4}{x^{10}-2x^5+2}$.

5. Найдите производные следующих функций: $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=\sqrt{3-4x}$, $h(x)=\sqrt{5-4x^2}$, $u(x)=\sqrt{2+\cos x}$.

f(x) = $\sqrt{x}$
Для нахождения производной этой функции, представим квадратный корень в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$.
Теперь применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
В данном случае $n = \frac{1}{2}$.
$f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$.
Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательной степени, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

g(x) = $\sqrt{3-4x}$
Данная функция является сложной. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(v(x)))' = f'(v) \cdot v'(x)$.
Здесь внешняя функция — это квадратный корень $f(v) = \sqrt{v}$, а внутренняя — подкоренное выражение $v(x) = 3 - 4x$.
Найдём производные этих функций:
Производная внешней функции: $f'(v) = (\sqrt{v})' = \frac{1}{2\sqrt{v}}$.
Производная внутренней функции: $v'(x) = (3 - 4x)' = (3)' - (4x)' = 0 - 4 = -4$.
Теперь подставим найденные производные в формулу, заменив $v$ на $3-4x$:
$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3-4x}} \cdot (-4)$.
Упростим полученное выражение:
$g'(x) = \frac{-4}{2\sqrt{3-4x}} = -\frac{2}{\sqrt{3-4x}}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{2}{\sqrt{3-4x}}$

h(x) = $\sqrt{5-4x^2}$
Эта функция также является сложной. Применим цепное правило.
Внешняя функция: $f(v) = \sqrt{v}$, её производная $f'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}$.
Внутренняя функция: $v(x) = 5 - 4x^2$, её производная $v'(x) = (5 - 4x^2)' = (5)' - (4x^2)' = 0 - 4 \cdot 2x = -8x$.
Подставляем в формулу для производной сложной функции:
$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5-4x^2}} \cdot (-8x)$.
Сократим дробь:
$h'(x) = \frac{-8x}{2\sqrt{5-4x^2}} = -\frac{4x}{\sqrt{5-4x^2}}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{4x}{\sqrt{5-4x^2}}$

u(x) = $\sqrt{2+\cos x}$
И снова используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция: $f(v) = \sqrt{v}$, её производная $f'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}$.
Внутренняя функция: $v(x) = 2 + \cos x$. Её производная, учитывая что $(\cos x)' = -\sin x$: $v'(x) = (2 + \cos x)' = (2)' + (\cos x)' = 0 - \sin x = -\sin x$.
Подставляем в общую формулу:
$u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+\cos x}} \cdot (-\sin x)$.
Запишем результат в более аккуратном виде:
$u'(x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{2+\cos x}}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{2+\cos x}}$