Страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 2

График 1 отображает зависимость себестоимости $p$ единицы продукции $A$, выпущенной заводом $B$, от цены $q$ сырья $C$ на мировом рынке (рис. 1). График 2 отображает цены на сырье $C$ в течение 2010 года (по оси $OX$ – номера месяцев (рис.2)). Найдите приблизительную себестоимость продукции $A$ в конце каждого месяца.

Рис. 1

Рис. 2

Для нахождения себестоимости продукции А в конце каждого месяца необходимо выполнить два шага. Сначала с помощью графика 2 (Рис. 2) мы определяем приблизительную цену на сырье $q$ в конце соответствующего месяца. Затем, используя это значение $q$, мы находим по графику 1 (Рис. 1) соответствующую ему себестоимость $p$.

Январь (месяц 1)

На графике 2 для конца первого месяца (t=1) цена на сырье $q$ составляет приблизительно 10 у.е.По графику 1 находим, что при цене сырья $q \approx 10$ себестоимость продукции $p$ составляет примерно 40 у.е.

Ответ: 40.

Февраль (месяц 2)

На графике 2 для конца второго месяца (t=2) цена на сырье $q$ достигает пика и составляет примерно 12 у.е.По графику 1 видно, что при $q=12$ себестоимость $p$ составляет 60 у.е.

Ответ: 60.

Март (месяц 3)

На графике 2 для конца третьего месяца (t=3) цена на сырье $q$ составляет примерно 11,5 у.е.По графику 1, это значение находится между $q=10$ ($p \approx 40$) и $q=12$ ($p=60$). При $q \approx 11,5$ себестоимость $p$ будет примерно 55 у.е.

Ответ: 55.

Апрель (месяц 4)

На графике 2 для конца четвертого месяца (t=4) цена на сырье $q$ снова составляет примерно 10 у.е.Как и в январе, по графику 1 находим, что при $q \approx 10$ себестоимость $p$ составляет примерно 40 у.е.

Ответ: 40.

Май (месяц 5)

На графике 2 для конца пятого месяца (t=5) цена на сырье $q$ достигает минимума и составляет 8 у.е.По графику 1 (согласно пунктирным линиям) при $q=8$ себестоимость $p$ равна 30 у.е.

Ответ: 30.

Июнь (месяц 6)

На графике 2 для конца шестого месяца (t=6) цена на сырье $q$ составляет примерно 9 у.е.По графику 1, это значение $q$ находится между 8 ($p=30$) и 10 ($p \approx 40$). При $q \approx 9$ себестоимость $p$ составит примерно 35 у.е.

Ответ: 35.

Июль (месяц 7)

На графике 2 для конца седьмого месяца (t=7) цена на сырье $q$ составляет примерно 10,5 у.е.По графику 1, это значение $q$ находится между 10 ($p \approx 40$) и 12 ($p=60$). При $q \approx 10,5$ себестоимость $p$ будет примерно 45 у.е.

Ответ: 45.

Август (месяц 8)

На графике 2 для конца восьмого месяца (t=8) цена на сырье $q$ составляет примерно 11 у.е.По графику 1, при $q \approx 11$ (середина между $q=10$ и $q=12$), себестоимость $p$ составит примерно 50 у.е. (середина между $p \approx 40$ и $p=60$).

Ответ: 50.

Сентябрь (месяц 9)

На графике 2 для конца девятого месяца (t=9) цена на сырье $q$ составляет примерно 8,5 у.е.По графику 1, это значение $q$ немного больше 8 ($p=30$). Себестоимость $p$ будет немного выше 30 у.е., примерно 32 у.е.

Ответ: 32.

Октябрь (месяц 10)

На графике 2 для конца десятого месяца (t=10) цена на сырье $q$ достигает максимального значения за год, примерно 13 у.е.По графику 1, это значение $q$ находится между 12 ($p=60$) и 14 ($p$ значительно выше 120). Учитывая экспоненциальный рост, при $q \approx 13$ себестоимость $p$ будет около 90 у.е.

Ответ: 90.

Ноябрь (месяц 11)

На графике 2 для конца одиннадцатого месяца (t=11) цена на сырье $q$ снова составляет примерно 10 у.е.Как и в январе и апреле, при $q \approx 10$ себестоимость $p$ составляет примерно 40 у.е.

Ответ: 40.

Декабрь (месяц 12)

На графике 2 для конца двенадцатого месяца (t=12) цена на сырье $q$ составляет примерно 6 у.е.По графику 1, это значение меньше 8 ($p=30$). Экстраполируя кривую, находим, что при $q \approx 6$ себестоимость $p$ составляет примерно 20 у.е.

Ответ: 20.

1. (2)-(3) На рисунке изображены графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$; $D(f): [-2;7], D(g): [-4;4]$.

а) Найдите $f(g(2)), g(f(3)), f\left(g\left(-2\frac{1}{2}\right)\right)$.

б) Решите уравнение $f(g(x))=2$.

в) Решите уравнение $g(f(x))=-1$.

а)

Для нахождения значений сложных функций будем последовательно использовать графики.
1. Найдем $f(g(2))$.
Сначала найдем значение внутренней функции $g(2)$. По графику функции $y=g(x)$ находим точку с абсциссой $x=2$. Ордината этой точки равна $-2$. Таким образом, $g(2)=-2$.
Теперь найдем значение внешней функции $f(-2)$. По графику функции $y=f(x)$ находим точку с абсциссой $x=-2$. Ордината этой точки равна $2$. Таким образом, $f(-2)=2$.
Следовательно, $f(g(2)) = f(-2) = 2$.

2. Найдем $g(f(3))$.
Сначала найдем значение $f(3)$. По графику функции $y=f(x)$ находим точку с абсциссой $x=3$. Эта точка лежит на отрезке, соединяющем точки $(2, -1)$ и $(5, 2)$. Видно, что точка $(3, 0)$ принадлежит этому отрезку. Таким образом, $f(3)=0$.
Теперь найдем значение $g(0)$. По графику функции $y=g(x)$ находим точку с абсциссой $x=0$. Ордината этой точки равна $2$. Таким образом, $g(0)=2$.
Следовательно, $g(f(3)) = g(0) = 2$.

3. Найдем $f(g(-2\frac{1}{2}))$.
Сначала найдем значение $g(-2\frac{1}{2})$, то есть $g(-2.5)$. Точка с абсциссой $x=-2.5$ лежит на отрезке графика $y=g(x)$, соединяющем точки $(-4, 2)$ и $(-2, -2)$. Уравнение прямой, содержащей этот отрезок: $y-2 = \frac{-2-2}{-2-(-4)}(x-(-4))$, что упрощается до $y-2 = -2(x+4)$, или $y = -2x - 6$.
Подставим $x=-2.5$: $g(-2.5) = -2(-2.5) - 6 = 5 - 6 = -1$.
Теперь найдем значение $f(-1)$. Точка с абсциссой $x=-1$ лежит на отрезке графика $y=f(x)$, соединяющем точки $(-2, 2)$ и $(2, -1)$. Уравнение прямой, содержащей этот отрезок: $y-2 = \frac{-1-2}{2-(-2)}(x-(-2))$, что упрощается до $y-2 = -\frac{3}{4}(x+2)$, или $y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} + 2 = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$.
Подставим $x=-1$: $f(-1) = -\frac{3}{4}(-1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$.
Следовательно, $f(g(-2\frac{1}{2})) = f(-1) = 1.25$.
Ответ: $f(g(2))=2$, $g(f(3))=2$, $f(g(-2\frac{1}{2}))=1.25$.

б)

Решим уравнение $f(g(x)) = 2$.
Пусть $u = g(x)$. Тогда уравнение примет вид $f(u)=2$.
Найдем все значения $u$, для которых $f(u)=2$. По графику функции $y=f(x)$ видим, что прямая $y=2$ пересекает график в точках, где абсциссы равны $u=-2$ и $u=5$.
Теперь вернемся к замене и решим два уравнения:
1. $g(x) = -2$. По графику функции $y=g(x)$ видим, что прямая $y=-2$ пересекает график в точках с абсциссами $x=-2$ и $x=2$.
2. $g(x) = 5$. По графику функции $y=g(x)$ видим, что максимальное значение функции равно $2$. Следовательно, уравнение $g(x)=5$ не имеет решений.
Объединяя решения, получаем $x=-2$ и $x=2$.
Ответ: $x \in \{-2; 2\}$.

в)

Решим уравнение $g(f(x)) = -1$.
Пусть $v = f(x)$. Тогда уравнение примет вид $g(v)=-1$.
Найдем все значения $v$, для которых $g(v)=-1$. Для этого рассмотрим четыре участка графика $y=g(x)$:
1. На отрезке $[-4, -2]$ уравнение прямой $y = -2x - 6$. Решаем $-1 = -2v - 6 \Rightarrow 2v = -5 \Rightarrow v=-2.5$.
2. На отрезке $[-2, 0]$ уравнение прямой $y = 2x + 2$. Решаем $-1 = 2v + 2 \Rightarrow 2v = -3 \Rightarrow v=-1.5$.
3. На отрезке $[0, 2]$ уравнение прямой $y = -2x + 2$. Решаем $-1 = -2v + 2 \Rightarrow 2v = 3 \Rightarrow v=1.5$.
4. На отрезке $[2, 4]$ уравнение прямой $y = 2x - 6$. Решаем $-1 = 2v - 6 \Rightarrow 2v = 5 \Rightarrow v=2.5$.
Таким образом, мы получили четыре возможных значения для $v$: $-2.5, -1.5, 1.5, 2.5$.
Теперь вернемся к замене $v = f(x)$. По графику функции $y=f(x)$ ее область значений $E(f) = [-1, 2]$. Это значит, что $f(x)$ может принимать значения только в этом промежутке.
Рассмотрим полученные значения $v$:
- $f(x) = -2.5$: нет решений, так как $-2.5 \notin [-1, 2]$.
- $f(x) = -1.5$: нет решений, так как $-1.5 \notin [-1, 2]$.
- $f(x) = 2.5$: нет решений, так как $2.5 \notin [-1, 2]$.
- $f(x) = 1.5$: есть решения, так как $1.5 \in [-1, 2]$.
Нам осталось решить уравнение $f(x) = 1.5$. Найдем, в каких точках прямая $y=1.5$ пересекает график $y=f(x)$. Это происходит на трех участках:
1. На отрезке $[-2, 2]$, где уравнение прямой $y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$. Решаем $1.5 = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \Rightarrow 1 = -\frac{3}{4}x \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$.
2. На отрезке $[2, 5]$, где уравнение прямой $y = x - 3$. Решаем $1.5 = x - 3 \Rightarrow x = 4.5$.
3. На отрезке $[5, 7]$, где уравнение прямой $y = -x + 7$. Решаем $1.5 = -x + 7 \Rightarrow x = 5.5$.
Все найденные значения $x$ принадлежат соответствующим отрезкам и области определения функции $f(x)$.
Ответ: $x \in \{-\frac{4}{3}; 4.5; 5.5\}$.

27. Решите следующие неравенства:

а) $f'(x) \geq \frac{2}{3(4x-x^2)}$, если $f(x)=\frac{1}{x^2-4x}$;

б) $f'(x) < \frac{4}{(2x^2-1)}$, если $f(x)=\frac{1}{2x^2-1}$.

а) Решим неравенство $f'(x) \geq \frac{2}{3(4x-x^2)}$, если $f(x) = \frac{1}{x^2-4x}$.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$. Функцию можно представить в виде $f(x) = (x^2-4x)^{-1}$.

Используя правило дифференцирования сложной функции $(\text{u}^{-1})' = -\text{u}^{-2} \cdot \text{u}'$, где $\text{u} = x^2-4x$ и $\text{u}' = 2x-4$, получаем:

$f'(x) = -(x^2-4x)^{-2} \cdot (2x-4) = -\frac{2x-4}{(x^2-4x)^2} = \frac{4-2x}{(x^2-4x)^2}$.

2. Подставим найденную производную в исходное неравенство:

$\frac{4-2x}{(x^2-4x)^2} \geq \frac{2}{3(4x-x^2)}$

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x^2-4x \neq 0 \Rightarrow x(x-4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$.

4. Преобразуем и решим неравенство. Заметим, что $(x^2-4x)^2 = (-(4x-x^2))^2 = (4x-x^2)^2$. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{4-2x}{(4x-x^2)^2} - \frac{2}{3(4x-x^2)} \geq 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $3(4x-x^2)^2$:

$\frac{3(4-2x) - 2(4x-x^2)}{3(4x-x^2)^2} \geq 0$

$\frac{12 - 6x - 8x + 2x^2}{3(4x-x^2)^2} \geq 0$

$\frac{2x^2 - 14x + 12}{3(4x-x^2)^2} \geq 0$

Знаменатель $3(4x-x^2)^2$ в ОДЗ всегда строго больше нуля, поэтому знак дроби определяется знаком числителя:

$2x^2 - 14x + 12 \geq 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - 7x + 6 \geq 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=6$.

Неравенство можно записать как $(x-1)(x-6) \geq 0$. Решением является объединение промежутков $(-\infty, 1] \cup [6, \infty)$.

5. Учтем ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 4$).

Точка $x=0$ входит в промежуток $(-\infty, 1]$, поэтому ее необходимо исключить. Точка $x=4$ не входит в найденное решение.

Итоговое решение: $(-\infty, 0) \cup (0, 1] \cup [6, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 1] \cup [6, \infty)$.

б) Решим неравенство $f'(x) < \frac{4}{(2x^2-1)^2}$, если $f(x) = \frac{1}{2x^2-1}$.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$. Функцию можно представить в виде $f(x) = (2x^2-1)^{-1}$.

Используя правило дифференцирования сложной функции $(\text{u}^{-1})' = -\text{u}^{-2} \cdot \text{u}'$, где $\text{u} = 2x^2-1$ и $\text{u}' = 4x$, получаем:

$f'(x) = -(2x^2-1)^{-2} \cdot (4x) = -\frac{4x}{(2x^2-1)^2}$.

2. Подставим найденную производную в исходное неравенство:

$-\frac{4x}{(2x^2-1)^2} < \frac{4}{(2x^2-1)^2}$

3. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$2x^2-1 \neq 0 \Rightarrow 2x^2 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq \frac{1}{2} \Rightarrow x \neq \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть $x \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Решим неравенство. Перенесем все члены в правую часть:

$0 < \frac{4}{(2x^2-1)^2} + \frac{4x}{(2x^2-1)^2}$

$\frac{4+4x}{(2x^2-1)^2} > 0$

Знаменатель $(2x^2-1)^2$ в ОДЗ всегда строго больше нуля, поэтому знак дроби определяется знаком числителя:

$4+4x > 0$

$4x > -4$

$x > -1$

5. Учтем ОДЗ ($x \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$).

Решением является интервал $(-1, \infty)$. Необходимо исключить из этого интервала точки $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Обе эти точки принадлежат интервалу $(-1, \infty)$, так как $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ и $-1 < \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$.

Разбивая интервал $(-1, \infty)$ в этих точках, получаем итоговое решение.

Ответ: $(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$.

28. При каких значениях переменной значение функции $g(x)$ равно значению производной функции $f(x)$, если:

а) $f(x) = -\frac{2\cos5x}{5} + \cos\frac{\pi}{3}$, $g(x) = \sin3x + \sin7x$;

б) $f(x) = 2x + \cos^2\frac{4\pi}{17}$, $g(x) = \sin^2 2x + \sin^2 3x + \sin^2 4x + \sin^2 5x$;

в) $f(x) = \frac{\cos8x}{8} - \frac{\cos2x}{2}$, $g(x) = 2\sin3x \cos x$;

г) $f(x) = \frac{\sin4x}{8} + \frac{3}{4}x + \frac{\sin2\pi}{21}$, $g(x) = \sin^4 x + \cos^4 x?$

а)

Сначала найдем производную функции $f(x) = -\frac{2\cos{5x}}{5} + \cos{\frac{\pi}{3}}$.

Поскольку $\cos{\frac{\pi}{3}}$ является константой, ее производная равна нулю. Производная от $\cos{5x}$ равна $-5\sin{5x}$.

$f'(x) = \left(-\frac{2}{5}\cos{5x} + \cos{\frac{\pi}{3}}\right)' = -\frac{2}{5}(-\sin{5x} \cdot 5) + 0 = 2\sin{5x}$.

Теперь приравняем значение функции $g(x)$ к значению производной $f'(x)$:

$g(x) = f'(x)$

$\sin{3x} + \sin{7x} = 2\sin{5x}$

Используем формулу суммы синусов: $\sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$.

$2\sin{\frac{3x+7x}{2}}\cos{\frac{7x-3x}{2}} = 2\sin{5x}$

$2\sin{5x}\cos{2x} = 2\sin{5x}$

$2\sin{5x}\cos{2x} - 2\sin{5x} = 0$

$2\sin{5x}(\cos{2x} - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin{5x} = 0$

$5x = \pi k, \quad k \in Z$

$x = \frac{\pi k}{5}, \quad k \in Z$

2) $\cos{2x} - 1 = 0 \implies \cos{2x} = 1$

$2x = 2\pi n, \quad n \in Z$

$x = \pi n, \quad n \in Z$

Заметим, что множество решений $x = \pi n$ является подмножеством множества решений $x = \frac{\pi k}{5}$ (при $k=5n$). Следовательно, общее решение - это $x = \frac{\pi k}{5}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{5}, \quad k \in Z$.

б)

Найдем производную функции $f(x) = 2x + \cos^2{\frac{4\pi}{17}}$.

Слагаемое $\cos^2{\frac{4\pi}{17}}$ является константой, поэтому его производная равна нулю.

$f'(x) = (2x)' + (\cos^2{\frac{4\pi}{17}})' = 2 + 0 = 2$.

Приравниваем $g(x)$ к $f'(x)$:

$\sin^2{2x} + \sin^2{3x} + \sin^2{4x} + \sin^2{5x} = 2$

Используем формулу понижения степени $\sin^2{\alpha} = \frac{1-\cos{2\alpha}}{2}$:

$\frac{1-\cos{4x}}{2} + \frac{1-\cos{6x}}{2} + \frac{1-\cos{8x}}{2} + \frac{1-\cos{10x}}{2} = 2$

$1-\cos{4x} + 1-\cos{6x} + 1-\cos{8x} + 1-\cos{10x} = 4$

$4 - (\cos{4x} + \cos{6x} + \cos{8x} + \cos{10x}) = 4$

$\cos{4x} + \cos{6x} + \cos{8x} + \cos{10x} = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$:

$(\cos{10x} + \cos{4x}) + (\cos{8x} + \cos{6x}) = 0$

$2\cos{\frac{10x+4x}{2}}\cos{\frac{10x-4x}{2}} + 2\cos{\frac{8x+6x}{2}}\cos{\frac{8x-6x}{2}} = 0$

$2\cos{7x}\cos{3x} + 2\cos{7x}\cos{x} = 0$

$2\cos{7x}(\cos{3x} + \cos{x}) = 0$

Снова применяем формулу суммы косинусов:

$2\cos{7x}(2\cos{\frac{3x+x}{2}}\cos{\frac{3x-x}{2}}) = 0$

$4\cos{7x}\cos{2x}\cos{x} = 0$

Получаем три уравнения:

1) $\cos{x} = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z$

2) $\cos{2x} = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z$

3) $\cos{7x} = 0 \implies 7x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi m}{7}, \quad m \in Z$

Решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются подмножеством решений $x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi m}{7}$ (при $m = 3+7k$), поэтому первые можно не указывать в ответе.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z; \quad x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi m}{7}, \quad m \in Z$.

в)

Найдем производную функции $f(x) = -\frac{\cos{8x}}{8} - \frac{\cos{2x}}{2}$.

$f'(x) = \left(-\frac{1}{8}\cos{8x}\right)' - \left(\frac{1}{2}\cos{2x}\right)' = -\frac{1}{8}(-\sin{8x} \cdot 8) - \frac{1}{2}(-\sin{2x} \cdot 2) = \sin{8x} + \sin{2x}$.

Преобразуем функцию $g(x)$ по формуле произведения синуса на косинус $2\sin{\alpha}\cos{\beta} = \sin{(\alpha+\beta)} + \sin{(\alpha-\beta)}$:

$g(x) = 2\sin{3x}\cos{x} = \sin(3x+x) + \sin(3x-x) = \sin{4x} + \sin{2x}$.

Приравняем $g(x)$ к $f'(x)$:

$\sin{4x} + \sin{2x} = \sin{8x} + \sin{2x}$

$\sin{4x} = \sin{8x}$

$\sin{8x} - \sin{4x} = 0$

Используем формулу разности синусов $\sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$:

$2\cos{\frac{8x+4x}{2}}\sin{\frac{8x-4x}{2}} = 0$

$2\cos{6x}\sin{2x} = 0$

Получаем два уравнения:

1) $\sin{2x} = 0$

$2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z$

2) $\cos{6x} = 0$

$6x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}, \quad k \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z; \quad x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}, \quad k \in Z$.

г)

Найдем производную функции $f(x) = \frac{\sin{4x}}{8} + \frac{3}{4}x + \frac{\sin{2\pi}}{21}$.

Слагаемое $\frac{\sin{2\pi}}{21}$ является константой (равно 0), его производная равна нулю.

$f'(x) = \left(\frac{1}{8}\sin{4x}\right)' + \left(\frac{3}{4}x\right)' + 0 = \frac{1}{8}(\cos{4x} \cdot 4) + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\cos{4x} + \frac{3}{4}$.

Теперь преобразуем функцию $g(x) = \sin^4{x} + \cos^4{x}$:

$g(x) = (\sin^2{x} + \cos^2{x})^2 - 2\sin^2{x}\cos^2{x} = 1^2 - 2(\sin{x}\cos{x})^2 = 1 - 2\left(\frac{\sin{2x}}{2}\right)^2 = 1 - 2\frac{\sin^2{2x}}{4} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2{2x}$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2{\alpha} = \frac{1-\cos{2\alpha}}{2}$:

$g(x) = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1-\cos{4x}}{2}\right) = 1 - \frac{1-\cos{4x}}{4} = \frac{4 - (1-\cos{4x})}{4} = \frac{3+\cos{4x}}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos{4x}$.

Приравняем $g(x)$ к $f'(x)$:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos{4x} = \frac{1}{2}\cos{4x} + \frac{3}{4}$

$\frac{1}{4}\cos{4x} = \frac{1}{2}\cos{4x}$

$\frac{1}{2}\cos{4x} - \frac{1}{4}\cos{4x} = 0$

$\frac{1}{4}\cos{4x} = 0$

$\cos{4x} = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in Z$.

29. Дана функция $f(x)=\sin x+\cos 3x-7x^2$. Найдите производную функции, вторую производную, производную третьего порядка, производную четвертого порядка.

Производная функции

Дана функция $f(x) = \sin x + \cos 3x - 7x^2$.

Для нахождения первой производной $f'(x)$ необходимо продифференцировать каждый член функции, используя правило суммы $(u+v)'=u'+v'$ и основные правила дифференцирования.

1. Производная от первого слагаемого: $(\sin x)' = \cos x$.

2. Производная от второго слагаемого, $\cos 3x$, находится как производная сложной функции по формуле $(\cos(u))' = -u' \cdot \sin(u)$, где $u = 3x$ и $u' = 3$. Таким образом, $(\cos 3x)' = -3\sin(3x)$.

3. Производная от третьего слагаемого, $-7x^2$, находится по правилу степенной функции $(ax^n)' = anx^{n-1}$. Таким образом, $(-7x^2)' = -7 \cdot 2x = -14x$.

Складывая полученные производные, находим производную всей функции:

$f'(x) = \cos x - 3\sin(3x) - 14x$.

Ответ: $f'(x) = \cos x - 3\sin(3x) - 14x$.

Вторая производная

Вторая производная $f''(x)$ является производной от первой производной $f'(x)$.

$f''(x) = (f'(x))' = (\cos x - 3\sin(3x) - 14x)'$.

Дифференцируем каждый член $f'(x)$:

1. $(\cos x)' = -\sin x$.

2. $(-3\sin(3x))' = -3(\sin(3x))' = -3(\cos(3x) \cdot 3) = -9\cos(3x)$.

3. $(-14x)' = -14$.

Складывая результаты, получаем вторую производную:

$f''(x) = -\sin x - 9\cos(3x) - 14$.

Ответ: $f''(x) = -\sin x - 9\cos(3x) - 14$.

Производная третьего порядка

Производная третьего порядка $f'''(x)$ является производной от второй производной $f''(x)$.

$f'''(x) = (f''(x))' = (-\sin x - 9\cos(3x) - 14)'$.

Дифференцируем каждый член $f''(x)$:

1. $(-\sin x)' = -\cos x$.

2. $(-9\cos(3x))' = -9(\cos(3x))' = -9(-\sin(3x) \cdot 3) = 27\sin(3x)$.

3. Производная от константы $(-14)'$ равна 0.

Складывая результаты, получаем производную третьего порядка:

$f'''(x) = -\cos x + 27\sin(3x)$.

Ответ: $f'''(x) = -\cos x + 27\sin(3x)$.

Производная четвертого порядка

Производная четвертого порядка $f^{(4)}(x)$ является производной от производной третьего порядка $f'''(x)$.

$f^{(4)}(x) = (f'''(x))' = (-\cos x + 27\sin(3x))'$.

Дифференцируем каждый член $f'''(x)$:

1. $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.

2. $(27\sin(3x))' = 27(\sin(3x))' = 27(\cos(3x) \cdot 3) = 81\cos(3x)$.

Складывая результаты, получаем производную четвертого порядка:

$f^{(4)}(x) = \sin x + 81\cos(3x)$.

Ответ: $f^{(4)}(x) = \sin x + 81\cos(3x)$.

30. Дана функция $f(x)=\frac{1}{12}x^4+2x^2-85x+2015^2$. Найдите производную четвертого порядка от функции $f(x)$.

Для того чтобы найти производную четвертого порядка функции $f(x)$, необходимо последовательно вычислить производные первого, второго, третьего и четвертого порядков. Будем использовать правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и тот факт, что производная константы равна нулю.

Исходная функция:

$f(x) = \frac{1}{12}x^4 + 2x^2 - 85x + 2015^2$

1. Нахождение первой производной $f'(x)$

Дифференцируем каждый член функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{12}x^4\right)' + (2x^2)' - (85x)' + (2015^2)'$

Применяя правило дифференцирования, получаем:

$f'(x) = \frac{1}{12} \cdot 4x^{4-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} - 85 \cdot 1x^{1-1} + 0$

$f'(x) = \frac{4}{12}x^3 + 4x^1 - 85x^0$

После упрощения:

$f'(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x - 85$

2. Нахождение второй производной $f''(x)$

Теперь дифференцируем полученную функцию $f'(x)$:

$f''(x) = \left(\frac{1}{3}x^3\right)' + (4x)' - (85)'$

$f''(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 4 \cdot 1x^{1-1} - 0$

$f''(x) = 1x^2 + 4x^0$

После упрощения:

$f''(x) = x^2 + 4$

3. Нахождение третьей производной $f'''(x)$

Дифференцируем функцию $f''(x)$:

$f'''(x) = (x^2)' + (4)'$

$f'''(x) = 2x^{2-1} + 0$

$f'''(x) = 2x$

4. Нахождение четвертой производной $f^{(4)}(x)$

Наконец, дифференцируем функцию $f'''(x)$:

$f^{(4)}(x) = (2x)'$

$f^{(4)}(x) = 2 \cdot 1x^{1-1}$

$f^{(4)}(x) = 2x^0$

После упрощения получаем окончательный результат:

$f^{(4)}(x) = 2$

Ответ: $2$

31. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=4\sqrt{\cos x}$ , $g(x)=\sqrt{\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)}$ , $h(x)=\cos \sqrt{x}$ , $u(x)=\cos \sqrt{x^2+1}$;

б) $f(x)=\operatorname{arctg}^3 x$ , $g(x)=\operatorname{arctg}^2 (5x)$ , $h(x)=\operatorname{arctg}(2x^3)$ , $u(x)=\operatorname{arctg}^2 (x^2+1)$.

а)

Для функции $f(x) = 4\sqrt{\cos x}$ используем правило дифференцирования сложной функции и правило для производной произведения константы на функцию. Внешняя функция — $4\sqrt{u}$, внутренняя — $u = \cos x$.
$f'(x) = 4 \cdot (\sqrt{\cos x})' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{2\sin x}{\sqrt{\cos x}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{2\sin x}{\sqrt{\cos x}}$.

Для функции $g(x) = \sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Внешняя функция — $\sqrt{u}$, промежуточная — $\cos v$, внутренняя — $v = 2x - \frac{\pi}{3}$.
$g'(x) = (\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}} \cdot (\cos(2x - \frac{\pi}{3}))' = \frac{1}{2\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}} \cdot (-\sin(2x - \frac{\pi}{3})) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' = \frac{-2\sin(2x - \frac{\pi}{3})}{2\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{\sin(2x - \frac{\pi}{3})}{\sqrt{\cos(2x - \frac{\pi}{3})}}$.

Для функции $h(x) = \cos\sqrt{x}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — $\cos u$, внутренняя — $u = \sqrt{x}$.
$h'(x) = (\cos\sqrt{x})' = -\sin(\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x})' = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

Для функции $u(x) = \cos\sqrt{x^2+1}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Внешняя функция — $\cos v$, промежуточная — $\sqrt{w}$, внутренняя — $w = x^2+1$.
$u'(x) = (\cos\sqrt{x^2+1})' = -\sin(\sqrt{x^2+1}) \cdot (\sqrt{x^2+1})' = -\sin(\sqrt{x^2+1}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = -\sin(\sqrt{x^2+1}) \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{x\sin\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$.

б)

Для функции $f(x) = \text{arctg}^3 x = (\text{arctg } x)^3$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — $u^3$, внутренняя — $u = \text{arctg } x$.
$f'(x) = 3(\text{arctg } x)^2 \cdot (\text{arctg } x)' = 3\text{arctg}^2 x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{3\text{arctg}^2 x}{1+x^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{3\text{arctg}^2 x}{1+x^2}$.

Для функции $g(x) = \text{arctg}^2(5x) = (\text{arctg}(5x))^2$ используем цепное правило. Внешняя функция — $u^2$, промежуточная — $\text{arctg } v$, внутренняя — $v=5x$.
$g'(x) = 2\text{arctg}(5x) \cdot (\text{arctg}(5x))' = 2\text{arctg}(5x) \cdot \frac{1}{1+(5x)^2} \cdot (5x)' = 2\text{arctg}(5x) \cdot \frac{5}{1+25x^2}$.
Ответ: $g'(x) = \frac{10\text{arctg}(5x)}{1+25x^2}$.

Для функции $h(x) = \text{arctg}(2x^3)$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — $\text{arctg } u$, внутренняя — $u = 2x^3$.
$h'(x) = \frac{1}{1+(2x^3)^2} \cdot (2x^3)' = \frac{1}{1+4x^6} \cdot 6x^2 = \frac{6x^2}{1+4x^6}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{6x^2}{1+4x^6}$.

Для функции $u(x) = \text{arctg}^2(x^2+1) = (\text{arctg}(x^2+1))^2$ используем цепное правило. Внешняя функция — $v^2$, промежуточная — $\text{arctg } w$, внутренняя — $w=x^2+1$.
$u'(x) = 2\text{arctg}(x^2+1) \cdot (\text{arctg}(x^2+1))' = 2\text{arctg}(x^2+1) \cdot \frac{1}{1+(x^2+1)^2} \cdot (x^2+1)' = 2\text{arctg}(x^2+1) \cdot \frac{2x}{1+(x^4+2x^2+1)} = \frac{4x\text{arctg}(x^2+1)}{x^4+2x^2+2}$.
Ответ: $u'(x) = \frac{4x\text{arctg}(x^2+1)}{x^4+2x^2+2}$.

32. Найдите значения производной функции $f(x)$ в точке $x = x_0$, если:

а) $f(x) = x \cos x - \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

б) $f(x) = 4x^2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right)$, $x_0 = \frac{2\pi}{3}$;

в) $f(x) = \operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi x}{8}\right)$, $x_0 = 2$;

г) $f(x) = x \arcsin(x+1)$, $x_0 = 0$.

а)Дана функция $f(x) = x \cos x - \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения для первого слагаемого $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования разности.
$f'(x) = (x \cos x - \sin x)' = (x \cos x)' - (\sin x)'$
$(x \cos x)' = (x)' \cos x + x (\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$
$(\sin x)' = \cos x$
Следовательно, $f'(x) = (\cos x - x \sin x) - \cos x = -x \sin x$.
2. Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3} \sin(\frac{\pi}{3})$
Зная, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

б)Дана функция $f(x) = 4x^2 \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})$ и точка $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.
1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило для сложной функции.
Пусть $u(x) = 4x^2$ и $v(x) = \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})$.
$u'(x) = 8x$
$v'(x) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) \cdot (\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})' = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})$
$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 8x \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) + 4x^2 (-\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})) = 8x \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) - 2x^2 \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2})$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.
$f'(\frac{2\pi}{3}) = 8(\frac{2\pi}{3}) \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3}) - 2(\frac{2\pi}{3})^2 \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3})$
Вычислим аргумент тригонометрических функций: $\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 0$.
$f'(\frac{2\pi}{3}) = \frac{16\pi}{3} \sin(0) - 2(\frac{4\pi^2}{9}) \cos(0)$
Зная, что $\sin(0) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:
$f'(\frac{2\pi}{3}) = \frac{16\pi}{3} \cdot 0 - \frac{8\pi^2}{9} \cdot 1 = -\frac{8\pi^2}{9}$.
Ответ: $f'(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{8\pi^2}{9}$.

в)Дана функция $f(x) = \text{tg}^2(\frac{\pi x}{8})$ и точка $x_0 = 2$.
1. Найдем производную функции $f(x) = (\tan(\frac{\pi x}{8}))^2$. Используем цепное правило.
Пусть $u(y) = y^2$ и $y(x) = \tan(\frac{\pi x}{8})$.
$f'(x) = 2 \tan(\frac{\pi x}{8}) \cdot (\tan(\frac{\pi x}{8}))'$
Производная тангенса: $(\tan z)' = \frac{1}{\cos^2 z}$. Применяем цепное правило еще раз:
$(\tan(\frac{\pi x}{8}))' = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi x}{8})} \cdot (\frac{\pi x}{8})' = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi x}{8})} \cdot \frac{\pi}{8}$
Тогда $f'(x) = 2 \tan(\frac{\pi x}{8}) \cdot \frac{\pi}{8 \cos^2(\frac{\pi x}{8})} = \frac{\pi}{4} \frac{\tan(\frac{\pi x}{8})}{\cos^2(\frac{\pi x}{8})}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$.
$f'(2) = \frac{\pi}{4} \frac{\tan(\frac{\pi \cdot 2}{8})}{\cos^2(\frac{\pi \cdot 2}{8})} = \frac{\pi}{4} \frac{\tan(\frac{\pi}{4})}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$
Зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$f'(2) = \frac{\pi}{4} \frac{1}{1/2} = \frac{\pi}{4} \cdot 2 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $f'(2) = \frac{\pi}{2}$.

г)Дана функция $f(x) = x \arcsin(x+1)$ и точка $x_0 = 0$.
1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило.
$f'(x) = (x)' \arcsin(x+1) + x (\arcsin(x+1))'$
Производная арксинуса: $(\arcsin z)' = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$.
$(\arcsin(x+1))' = \frac{1}{\sqrt{1-(x+1)^2}} \cdot (x+1)' = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2+2x+1)}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2-2x}}$.
$f'(x) = 1 \cdot \arcsin(x+1) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{-x^2-2x}} = \arcsin(x+1) + \frac{x}{\sqrt{-x^2-2x}}$.
2. Область определения функции $f(x)$ задается условием $-1 \le x+1 \le 1$, что эквивалентно $-2 \le x \le 0$. Точка $x_0 = 0$ является правым концом области определения. Производная в этой точке не определена (знаменатель обращается в ноль). В таких случаях значение производной в конечной точке области определения находят как односторонний предел (в данном случае, слева).
$f'(0) = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} \left( \arcsin(x+1) + \frac{x}{\sqrt{-x^2-2x}} \right)$.
Найдем предел каждого слагаемого отдельно:
$\lim_{x \to 0^-} \arcsin(x+1) = \arcsin(0+1) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{x}{\sqrt{-x^2-2x}} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{\sqrt{-x(x+2)}}$. Так как $x \to 0^-$, то $x < 0$, и мы можем записать $x = -\sqrt{x^2}$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{-\sqrt{x^2}}{\sqrt{-x(x+2)}} = \lim_{x \to 0^-} -\sqrt{\frac{x^2}{-x(x+2)}} = \lim_{x \to 0^-} -\sqrt{\frac{x}{-(x+2)}} = \lim_{x \to 0^-} -\sqrt{\frac{-x}{x+2}}$.
Подставляя $x=0$, получаем $-\sqrt{\frac{0}{2}} = 0$.
Складывая пределы, получаем: $f'(0) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $f'(0) = \frac{\pi}{2}$.