Страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 1

На координатной плоскости постройте прямую $y=x$. Отметьте пары точек $(4;3)$ и $(3;4)$, $(-2;5)$ и $(5;-2)$, $(-3;-6)$ и $(-6;-3)$, $(5;0)$ и $(0;5)$. Что вы можете сказать о таких точках и прямой $y=x$?

Каждому гражданину Республики Казахстан не младше семнадцати лет поставим в соответствие номер его удостоверения личности. Два различных человека не могут иметь один и тот же номер удостоверения. Поэтому, зная номер удостоверения, можно однозначно установить личность его владельца.

Каждому гражданину Республики Казахстан поставим в соответствие последовательность букв, обозначающую его имя и фамилию. Два различных человека могут иметь одинаковые имена и фамилии. Поэтому, зная имя и фамилию, мы не можем однозначно установить личность их владельца.

Фактически, и в первом и во втором случаях описаны функции. Но в первом случае функция задает взаимно однозначное соответствие, а во втором случае соответствие не является взаимно однозначным.

Рассмотрим функцию $f(x)=x^2$. $D(f)=(-\infty;+\infty)$. Если $f(x)=4$, то мы не можем однозначно сказать, чему равно значение $x$, так как $f(-2)=4$ и $f(2)=4$. Рассмотрим функцию $g(x)=x^2$, $D(g)=(-\infty;0]$. Если $g(x)=a \ge 0$, то мы можем сказать, что $x=-\sqrt{a}$. Функция $g(x)$ является взаимно однозначной, в то время как $f(x)$ таковой не является.

Для решения задачи сначала построим прямую $y=x$. Эта прямая проходит через начало координат под углом 45° к оси Ох и является биссектрисой I и III координатных четвертей. Затем отметим на координатной плоскости заданные пары точек.

Рассмотрим каждую пару точек:

• (4;3) и (3;4)
• (–2;5) и (5;–2)
• (–3;–6) и (–6;–3)
• (5;0) и (0;5)

Можно заметить, что в каждой паре точек вида $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ их координаты поменялись местами, то есть $x_1 = y_2$ и $y_1 = x_2$. Общий вид таких пар точек — $M(a;b)$ и $N(b;a)$.

Точки вида $M(a;b)$ и $N(b;a)$ всегда симметричны относительно прямой $y=x$. Чтобы доказать это, нужно показать, что прямая $y=x$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MN$.

1. Проверка, что середина отрезка $MN$ лежит на прямой $y=x$.

Найдем координаты середины отрезка $MN$, точки $K(x_K; y_K)$:

$x_K = \frac{a+b}{2}$

$y_K = \frac{b+a}{2}$

Поскольку $x_K = y_K$, точка $K\left(\frac{a+b}{2}; \frac{a+b}{2}\right)$ лежит на прямой $y=x$.

2. Проверка перпендикулярности отрезка $MN$ и прямой $y=x$.

Найдем угловой коэффициент $k_{MN}$ прямой, проходящей через точки $M$ и $N$ (при условии $a \ne b$):

$k_{MN} = \frac{y_N - y_M}{x_N - x_M} = \frac{a-b}{b-a} = \frac{-(b-a)}{b-a} = -1$

Угловой коэффициент прямой $y=x$ равен $k_{y=x} = 1$.

Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно –1. Проверим это условие:

$k_{MN} \cdot k_{y=x} = -1 \cdot 1 = -1$

Условие выполняется, следовательно, отрезок $MN$ перпендикулярен прямой $y=x$.

Поскольку прямая $y=x$ проходит через середину отрезка, соединяющего каждую пару точек, и перпендикулярна этому отрезку, она является их осью симметрии.

Ответ: Все заданные пары точек являются парами точек, симметричных друг другу относительно прямой $y=x$.