Страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Являются ли функции, графики которых изображены на рисунках, взаимно однозначными?

а)

б)

в)

г)

е)

Функция $y=f(x)$ взаимно однозначна, если для любого $y_0 \in E(f)$ существует ровно одно $x_0$ такое, что $y_0=f(x_0)$. На рисунке б) для любого $y_0 \in [4;7)$ существует два значения $x_0$, для которых $y_0=f(x_0)$.

Следовательно, функция на рисунке б) не является взаимно однозначной и, как следствие, не имеет обратной. Аналогично, на рисунке г) функция принимает значение 3 в двух точках ($x=-4$ и $x=-1$) и по этой причине не является взаимно однозначной.

Становится понятным, что если хотя бы одна горизонтальная прямая имеет с графиком две или более общих точек, то функция не является взаимно однозначной. Обратно, если каждая горизонтальная прямая имеет с графиком $y=f(x)$ не более одной общей точки, то $f(x)$ – взаимно однозначная функция (рисунки а), в)). Очевидно, что такое свойство графика имеет место для любых монотонных функций.

Поговорим теперь о практическом способе нахождения обратных функций. Пусть $y=f(x)$ – некоторая аналитически заданная функция. Формула для функции $f^{-1}$, если она существует, по определению должна выражать $x$ через $y$. Но выразить $x$ через $y$– это значит решить уравнение $y=f(x)$, где $y$ можно рассматривать в качестве параметра. При этом если для всех $x$ уравнение $y=f(x)$ имеет один корень, то это автоматически означает, что ответ найден. Если же ответ неоднозначен, то нужно выбрать тот корень, который лежит в $D(f)$.

Функция является взаимно однозначной, если любому значению функции $y$ из её области значений соответствует ровно одно значение аргумента $x$ из области её определения. Графически это можно проверить с помощью теста горизонтальной линии: функция является взаимно однозначной тогда и только тогда, когда любая горизонтальная прямая пересекает её график не более чем в одной точке.

a) График функции на рисунке а) является строго монотонно возрастающим на всей области определения. Любая горизонтальная прямая, проведенная на плоскости, пересечет этот график не более одного раза. Следовательно, данная функция является взаимно однозначной.
Ответ: Да, функция является взаимно однозначной.

б) График функции на рисунке б) не является монотонным: сначала функция возрастает, а затем убывает. Можно провести горизонтальную прямую, которая пересечет график в двух точках. Например, горизонтальная прямая $y=5$ пересекает график в двух различных точках. Это означает, что одному значению функции соответствуют два разных значения аргумента, поэтому функция не является взаимно однозначной.
Ответ: Нет, функция не является взаимно однозначной.

в) Анализируя график на рисунке в) в том виде, как он представлен, мы видим, что функция принимает значение $y=3$ в двух разных точках: при $x=-4$ и при $x=-1$. Это подтверждается наличием закрашенных точек $(-4, 3)$ и $(-1, 3)$ на графике. Поскольку существуют два разных значения аргумента ($x_1=-4$ и $x_2=-1$), которым соответствует одно и то же значение функции ($y=3$), данная функция не удовлетворяет определению взаимно однозначной.
Примечание: В тексте, сопровождающем задание, вероятно, содержится неточность, так как там утверждается, что функция на рисунке в) является взаимно однозначной. Это было бы правдой, если бы на графике точка $(-1, 3)$ была выколотой (пустой), а точка $(-1, 5)$ — закрашенной (сплошной).
Ответ: Нет, в том виде, как функция изображена на рисунке, она не является взаимно однозначной.

г) Для функции, изображенной на рисунке г), так же, как и в случае в), нарушается условие взаимной однозначности. Горизонтальная прямая $y=3$ пересекает график в двух точках, так как $f(-4)=3$ и $f(-1)=3$. Наличие двух различных значений аргумента, дающих одно и то же значение функции, означает, что функция не является взаимно однозначной.
Ответ: Нет, функция не является взаимно однозначной.

Найдите производные следующих функций (15-17):

15. (2) а) $f(x)=\sqrt{x}$;

б) $f(x)=3x+4\sqrt{x}$.

а) Чтобы найти производную функции $f(x)=\sqrt{x}$, представим корень в виде степени:

$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$

Теперь воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)'=n \cdot x^{n-1}$. В нашем случае $n=\frac{1}{2}$.

$f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$

Преобразуем выражение, избавившись от отрицательной степени и представив дробную степень снова в виде корня:

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

б) Чтобы найти производную функции $f(x)=3x+4\sqrt{x}$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $(u+v)' = u' + v'$.

$f'(x) = (3x+4\sqrt{x})' = (3x)' + (4\sqrt{x})'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого $3x$ по правилу $(kx)'=k$ равна:

$(3x)' = 3$

Для второго слагаемого $4\sqrt{x}$ используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)'=c \cdot u'$ и результат из пункта а), где мы нашли, что $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$:

$(4\sqrt{x})' = 4 \cdot (\sqrt{x})' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{4}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

Теперь сложим полученные производные:

$f'(x) = 3 + \frac{2}{\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x)=3+\frac{2}{\sqrt{x}}$

16. (3) a) $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x-1}};$

6) $f(x)=\frac{x+8}{\sqrt{x-x}}.$

a)

Дана функция $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.Для нахождения области определения функции (ОДЗ) необходимо учесть два условия:
1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\sqrt{x} - 1 \neq 0$.
Решим второе условие:$\sqrt{x} \neq 1$.Возведя обе части в квадрат, получаем:$x \neq 1$.
Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 1$), находим область определения функции. Это все неотрицательные числа, кроме 1.

Ответ: $D(f) = [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x-x}}$.
Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выражение в знаменателе было определено и не равнялось нулю. В данном случае в знаменателе находится корень, поэтому нужно учесть два условия:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-x \ge 0$, что упрощается до $0 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.
2. Знаменатель не должен равняться нулю: $\sqrt{x-x} \neq 0$.
Упростим выражение в знаменателе: $\sqrt{x-x} = \sqrt{0} = 0$.
Таким образом, второе условие принимает вид $0 \neq 0$, что является ложным утверждением при любом значении $x$.
Поскольку знаменатель функции всегда равен нулю, функция не определена ни для одного значения $x$.

Ответ: Область определения функции — пустое множество, $D(f) = \emptyset$.

17.(3) a)

$f(x) = (\sqrt{5x + 1})^4$;

6)

$f(x) = \frac{1}{(7\sqrt{2x} + 8x)^3}$;

a) Для нахождения производной функции $f(x) = (\sqrt{5x+1})^4$ сначала упростим ее.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и то, что корень можно представить как степень $1/2$, получаем:
$f(x) = ((5x+1)^{1/2})^4 = (5x+1)^{4/2} = (5x+1)^2$.
Теперь задача сводится к нахождению производной функции $f(x) = (5x+1)^2$.
Это сложная функция, для дифференцирования которой мы используем цепное правило (производная сложной функции): $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$. В нашем случае, внешняя функция — это $u(v) = v^2$, а внутренняя — $v(x) = 5x+1$.
Формула производной степенной функции, совмещенная с цепным правилом, выглядит так: $(v^n)' = n \cdot v^{n-1} \cdot v'$.
Применим ее к нашей функции:
$f'(x) = 2 \cdot (5x+1)^{2-1} \cdot (5x+1)'$.
Найдем производную внутренней функции $(5x+1)'$:
$(5x+1)' = (5x)' + (1)' = 5 \cdot 1 + 0 = 5$.
Подставим найденное значение обратно:
$f'(x) = 2 \cdot (5x+1) \cdot 5 = 10(5x+1)$.
Раскроем скобки для получения окончательного ответа:
$f'(x) = 10 \cdot 5x + 10 \cdot 1 = 50x + 10$.
Ответ: $f'(x) = 50x + 10$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(7\sqrt{2x} + 8x)^3}$.
Для удобства дифференцирования представим ее в виде степени с отрицательным показателем:
$f(x) = (7\sqrt{2x} + 8x)^{-3}$.
Это сложная функция, и мы будем использовать цепное правило $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $n = -3$, а внутренняя функция $u(x) = 7\sqrt{2x} + 8x$.
Сначала найдем производную внутренней функции $u'(x)$:
$u'(x) = (7\sqrt{2x} + 8x)' = (7\sqrt{2x})' + (8x)'$.
Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.
Производная второго слагаемого: $(8x)' = 8$.
Для нахождения производной первого слагаемого $7\sqrt{2x}$ представим корень в виде степени и снова используем цепное правило:
$(7\sqrt{2x})' = (7(2x)^{1/2})' = 7 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (2x)' = 7 \cdot \frac{1}{2}(2x)^{-1/2} \cdot 2$.
Сокращаем множители $2$ и $\frac{1}{2}$ и переписываем степень с отрицательным показателем в виде корня:
$(7\sqrt{2x})' = 7(2x)^{-1/2} = \frac{7}{\sqrt{2x}}$.
Таким образом, производная внутренней функции $u'(x)$ равна:
$u'(x) = \frac{7}{\sqrt{2x}} + 8$.
Теперь применим основное цепное правило к функции $f(x)$:
$f'(x) = -3 \cdot (7\sqrt{2x} + 8x)^{-3-1} \cdot u'(x)$.
Подставляем найденное $u'(x)$:
$f'(x) = -3(7\sqrt{2x} + 8x)^{-4} \cdot \left(\frac{7}{\sqrt{2x}} + 8\right)$.
Запишем результат в виде дроби для большей наглядности:
$f'(x) = -\frac{3\left(\frac{7}{\sqrt{2x}} + 8\right)}{(7\sqrt{2x} + 8x)^4}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{3\left(\frac{7}{\sqrt{2x}} + 8\right)}{(7\sqrt{2x} + 8x)^4}$.

18. (3) Вычислите значения производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

a) $f(x)=x^4(2\sqrt{x}+3x)^4$, $x_0=1;$

б) $f(x)=(x^2-8x+16)^2(\frac{2}{3}x\sqrt{x}+2\sqrt{x})^3$, $x_0=4.$

а) Дана функция $f(x) = x^4(2\sqrt{x} + 3x)^4$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной сначала упростим выражение для функции, используя свойство степеней $(ab)^n = a^n b^n$:
$f(x) = [x(2\sqrt{x} + 3x)]^4 = (2x\sqrt{x} + 3x^2)^4$.
Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$, тогда $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.
Функция примет вид: $f(x) = (2x^{3/2} + 3x^2)^4$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$, где $u(x) = 2x^{3/2} + 3x^2$ и $n=4$.
$f'(x) = 4(2x^{3/2} + 3x^2)^{3} \cdot (2x^{3/2} + 3x^2)'$.
Найдем производную внутренней функции:
$(2x^{3/2} + 3x^2)' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} + 3 \cdot 2x^{2-1} = 3x^{1/2} + 6x = 3\sqrt{x} + 6x$.
Подставим это обратно в выражение для $f'(x)$:
$f'(x) = 4(2x^{3/2} + 3x^2)^3 (3\sqrt{x} + 6x)$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 4(2 \cdot 1^{3/2} + 3 \cdot 1^2)^3 (3\sqrt{1} + 6 \cdot 1)$.
$f'(1) = 4(2 \cdot 1 + 3 \cdot 1)^3 (3 \cdot 1 + 6)$.
$f'(1) = 4(2 + 3)^3 (3 + 6)$.
$f'(1) = 4 \cdot 5^3 \cdot 9$.
$f'(1) = 4 \cdot 125 \cdot 9 = 500 \cdot 9 = 4500$.
Ответ: $4500$.

б) Дана функция $f(x) = (x^2 - 8x + 16)^2 (\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x})^3$ и точка $x_0 = 4$.
Упростим первый множитель в выражении для функции. Заметим, что $x^2 - 8x + 16$ является полным квадратом:
$x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.
Тогда функция $f(x)$ принимает вид:
$f(x) = ((x-4)^2)^2 \left(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}\right)^3 = (x-4)^4 \left(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}\right)^3$.
Для нахождения производной $f'(x)$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = (x-4)^4$ и $v(x) = \left(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x}\right)^3$.
Найдем производную $u'(x)$:
$u'(x) = 4(x-4)^3 \cdot (x-4)' = 4(x-4)^3$.
Теперь вычислим значения $u(x)$ и $u'(x)$ в точке $x_0 = 4$:
$u(4) = (4-4)^4 = 0^4 = 0$.
$u'(4) = 4(4-4)^3 = 4 \cdot 0^3 = 0$.
Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 4$ равно:
$f'(4) = u'(4)v(4) + u(4)v'(4)$.
Подставляем найденные значения:
$f'(4) = 0 \cdot v(4) + 0 \cdot v'(4)$.
Чтобы это выражение было равно нулю, необходимо убедиться, что значения $v(4)$ и $v'(4)$ конечны.
Вычислим $v(4)$:
$v(4) = \left(\frac{2}{3}(4)\sqrt{4} + 2\sqrt{4}\right)^3 = \left(\frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2\right)^3 = \left(\frac{16}{3} + 4\right)^3 = \left(\frac{16+12}{3}\right)^3 = \left(\frac{28}{3}\right)^3$.
Это конечное число. Производная $v'(x)$ также будет конечной в точке $x=4$, так как она представляет собой комбинацию степенных функций, которые определены и конечны при $x=4$.
Таким образом, $f'(4) = 0 \cdot \left(\frac{28}{3}\right)^3 + 0 \cdot v'(4) = 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

Найдите производные следующих функций (19-24):

19. (1) а) $y=-\cos x$; б) $y=5\sin x$; в) $y=x^2\sin x$.

а) Для нахождения производной функции $y = -\cos x$ воспользуемся правилом дифференцирования функции, умноженной на константу, и производной основной тригонометрической функции.
Общее правило: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Применяя эти правила, получаем:
$y' = (-\cos x)' = -1 \cdot (\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.
Ответ: $y' = \sin x$.

б) Для нахождения производной функции $y = 5\sin x$ воспользуемся тем же правилом дифференцирования функции, умноженной на константу, и производной синуса.
Общее правило: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Применяя эти правила, получаем:
$y' = (5\sin x)' = 5 \cdot (\sin x)' = 5\cos x$.
Ответ: $y' = 5\cos x$.

в) Для нахождения производной функции $y = x^2\sin x$, которая является произведением двух функций, необходимо использовать правило дифференцирования произведения (правило Лейбница).
Правило произведения: $(u(x) \cdot v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
В данном случае, пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$.
Найдем производные каждой из этих функций:
Производная степенной функции: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.
Производная синуса: $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Теперь подставим найденные производные в правило произведения:
$y' = (x^2\sin x)' = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$.
Ответ: $y' = 2x\sin x + x^2\cos x$.

20. (2)

a) $y = 2 \sin x \cos x;$

б) $y = x^2 + \cos 2x \sin 8x.$

а) Найдём производную функции $y = 2\sin{x}\cos{x}$.

Для нахождения производной сначала упростим данную функцию. Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

Применив эту формулу к нашей функции, получаем: $y = \sin{2x}$.

Теперь найдём производную этой функции. Это сложная функция, поэтому для её дифференцирования необходимо применить правило производной сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция — это синус, а внутренняя — $2x$.

Производная внешней функции: $(\sin{u})' = \cos{u}$.

Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.

Таким образом, производная исходной функции равна:

$y' = (\sin{2x})' = \cos{2x} \cdot (2x)' = \cos{2x} \cdot 2 = 2\cos{2x}$.

Ответ: $y' = 2\cos{2x}$.

б) Найдём производную функции $y = x^2 + \cos{2x}\sin{3x}$.

Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых. Производная суммы равна сумме производных: $(u+v)' = u' + v'$.

Следовательно, $y' = (x^2)' + (\cos{2x}\sin{3x})'$.

1. Найдём производную первого слагаемого:

$(x^2)' = 2x$.

2. Найдём производную второго слагаемого, которое является произведением двух функций: $\cos{2x}$ и $\sin{3x}$. Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = \cos{2x}$ и $v = \sin{3x}$.

Найдём производные $u'$ и $v'$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$u' = (\cos{2x})' = -\sin{2x} \cdot (2x)' = -2\sin{2x}$.

$v' = (\sin{3x})' = \cos{3x} \cdot (3x)' = 3\cos{3x}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$(\cos{2x}\sin{3x})' = u'v + uv' = (-2\sin{2x})(\sin{3x}) + (\cos{2x})(3\cos{3x}) = -2\sin{2x}\sin{3x} + 3\cos{2x}\cos{3x}$.

3. Сложим производные обоих слагаемых, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = 2x - 2\sin{2x}\sin{3x} + 3\cos{2x}\cos{3x}$.

Ответ: $y' = 2x + 3\cos{2x}\cos{3x} - 2\sin{2x}\sin{3x}$.

21. (2) a) $y=\cos^2x;$

б) $y=\frac{7}{\sin^7 x};$

В) $y=\cos^3x\sin^2x;$

Г) $y=\frac{1}{\sin^2 x};$

Д) $y=\text{tg}^2x \cdot \text{ctg}^2x;$

е) $y=-\frac{1}{9}\sin^3 3x;$

Ж) $y=(x^2+5\sin x)^3.$

а) Для нахождения производной функции $y = \cos^2 x$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Пусть внутренняя функция $u = \cos x$, тогда внешняя функция $y = u^2$.
Производная сложной функции находится как произведение производной внешней функции по внутренней и производной внутренней функции: $y' = (u^2)' \cdot u' = 2u \cdot (\cos x)'$.
Подставляем $u = \cos x$ и находим производную от $\cos x$:
$y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, упрощаем выражение:
$y' = -\sin(2x)$.
Ответ: $y' = -\sin(2x)$.

б) Функцию $y = \frac{7}{\sin^7 x}$ можно переписать в виде $y = 7(\sin x)^{-7}$.
Это сложная функция. Применяем цепное правило, где $u = \sin x$ и $y = 7u^{-7}$.
$y' = (7u^{-7})' \cdot u' = 7 \cdot (-7)u^{-8} \cdot (\sin x)'$.
$y' = -49u^{-8} \cdot \cos x$.
Подставляем обратно $u = \sin x$:
$y' = -49(\sin x)^{-8} \cdot \cos x = -\frac{49\cos x}{\sin^8 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{49\cos x}{\sin^8 x}$.

в) Для функции $y = \cos^3 x \sin^2 x$ используем правило дифференцирования произведения $(f \cdot g)' = f'g + fg'$.
Пусть $f(x) = \cos^3 x$ и $g(x) = \sin^2 x$.
Найдём производные $f'(x)$ и $g'(x)$ с помощью цепного правила:
$f'(x) = (\cos^3 x)' = 3\cos^2 x \cdot (\cos x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$.
$g'(x) = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:
$y' = (-3\cos^2 x \sin x) \cdot (\sin^2 x) + (\cos^3 x) \cdot (2\sin x \cos x)$.
$y' = -3\cos^2 x \sin^3 x + 2\cos^4 x \sin x$.
Вынесем общий множитель $\sin x \cos^2 x$ за скобки для упрощения:
$y' = \sin x \cos^2 x (-3\sin^2 x + 2\cos^2 x)$.
Ответ: $y' = \sin x \cos^2 x (2\cos^2 x - 3\sin^2 x)$.

г) Функцию $y = \frac{1}{\sin^2 x}$ запишем как $y = (\sin x)^{-2}$.
Применяем цепное правило для $u = \sin x$ и $y = u^{-2}$.
$y' = (u^{-2})' \cdot u' = -2u^{-3} \cdot (\sin x)'$.
$y' = -2(\sin x)^{-3} \cdot \cos x$.
$y' = -\frac{2\cos x}{\sin^3 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{2\cos x}{\sin^3 x}$.

д) Упростим функцию $y = \tg^2 x \cdot \ctg^2 x$ перед нахождением производной.
Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, то $\tg x \cdot \ctg x = 1$ (для всех $x$, где обе функции определены).
Следовательно, $y = (\tg x \cdot \ctg x)^2 = 1^2 = 1$.
Функция является константой на всей своей области определения.
Производная от константы равна нулю.
$y' = (1)' = 0$.
Ответ: $y' = 0$.

е) Для функции $y = -\frac{1}{9}\sin^3(3x)$ применяем цепное правило несколько раз.
$y' = -\frac{1}{9} \cdot (\sin^3(3x))'$.
Сначала дифференцируем степенную функцию:
$y' = -\frac{1}{9} \cdot 3\sin^2(3x) \cdot (\sin(3x))'$.
$y' = -\frac{1}{3}\sin^2(3x) \cdot (\sin(3x))'$.
Затем дифференцируем синус:
$y' = -\frac{1}{3}\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)'$.
И наконец, производную аргумента:
$y' = -\frac{1}{3}\sin^2(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3$.
$y' = -\sin^2(3x)\cos(3x)$.
Ответ: $y' = -\sin^2(3x)\cos(3x)$.

ж) Для функции $y = (x^2 + 5\sin x)^3$ используем цепное правило.
Пусть $u = x^2 + 5\sin x$, тогда $y = u^3$.
$y' = (u^3)' \cdot u' = 3u^2 \cdot (x^2 + 5\sin x)'$.
Находим производную $u'$:
$(x^2 + 5\sin x)' = (x^2)' + (5\sin x)' = 2x + 5\cos x$.
Подставляем все вместе:
$y' = 3(x^2 + 5\sin x)^2 \cdot (2x + 5\cos x)$.
Ответ: $y' = 3(2x + 5\cos x)(x^2 + 5\sin x)^2$.

22. (3)

а) $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$;

б) $f(x)=\sqrt{x\sin 2x}$;

в) $f(x)=\sqrt{\cos x\sin x}$;

г) $f(x)=\cot^2\sqrt{2x^3-3x^2}$;

д) $f(x)=\sin\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$;

е) $f(x)=\frac{\sin\sqrt{2x^3+6x}}{\cos\sqrt{2x^3+6x}}$.

а) Для функции $f(x) = \sqrt{x + \sin x}$ область определения задается условием неотрицательности выражения под знаком квадратного корня:$x + \sin x \ge 0$.Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = x + \sin x$. Найдем ее производную:$g'(x) = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$.Поскольку значение косинуса находится в пределах $-1 \le \cos x \le 1$, производная $g'(x)$ всегда неотрицательна: $0 \le 1 + \cos x \le 2$.Это означает, что функция $g(x)$ является неубывающей на всей числовой прямой.Найдем значение функции в точке $x=0$:$g(0) = 0 + \sin 0 = 0$.Так как функция $g(x)$ не убывает, то для всех $x \ge 0$ будет выполняться $g(x) \ge g(0)$, то есть $x + \sin x \ge 0$.Для всех $x < 0$ будет выполняться $g(x) < g(0)$, то есть $x + \sin x < 0$.Таким образом, область определения функции $f(x)$ — это множество всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б) Для функции $f(x) = \sqrt{x \sin 2x}$ область определения задается условием:$x \sin 2x \ge 0$.Это неравенство выполняется в двух случаях:1. Оба множителя неотрицательны: $x \ge 0$ и $\sin 2x \ge 0$. Условие $\sin 2x \ge 0$ выполняется, когда $2k\pi \le 2x \le (2k+1)\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $k\pi \le x \le k\pi + \frac{\pi}{2}$. Учитывая, что $x \ge 0$, получаем $k \ge 0$. Таким образом, решения в этом случае: $x \in \bigcup_{k=0}^{\infty} [k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$.2. Оба множителя неположительны: $x \le 0$ и $\sin 2x \le 0$. Условие $\sin 2x \le 0$ выполняется, когда $(2k-1)\pi \le 2x \le 2k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $k\pi - \frac{\pi}{2} \le x \le k\pi$. Учитывая, что $x \le 0$, получаем $k\pi \le 0$, то есть $k \le 0$. Таким образом, решения в этом случае: $x \in \bigcup_{k=-\infty}^{0} [k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi]$.Объединяя решения обоих случаев, получаем область определения функции.

Ответ: $x \in \left(\bigcup_{k=-\infty}^{0} [k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi]\right) \cup \left(\bigcup_{k=0}^{\infty} [k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Для функции $f(x) = \sqrt{\cos x \sin x}$ область определения задается условием:$\cos x \sin x \ge 0$.Используя формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$, преобразуем неравенство:$\frac{1}{2} \sin 2x \ge 0 \implies \sin 2x \ge 0$.Это неравенство выполняется, когда аргумент $2x$ находится в первой или второй четверти (включая границы), то есть:$2k\pi \le 2x \le (2k+1)\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.Разделив все части неравенства на 2, получим:$k\pi \le x \le k\pi + \frac{\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$.

г) Для функции $f(x) = \text{ctg}^2 \sqrt{2x^3 - 8x^2}$ необходимо выполнить два условия:1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $2x^3 - 8x^2 \ge 0 \implies 2x^2(x-4) \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, это неравенство сводится к $x-4 \ge 0$ или $x=0$. Таким образом, $x \in \{0\} \cup [4, +\infty)$.2. Аргумент котангенса не должен быть равен $n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как котангенс в этих точках не определен. $\sqrt{2x^3 - 8x^2} \ne n\pi$. Поскольку корень всегда неотрицателен, рассматриваем $n \ge 0$. При $n=0$: $\sqrt{2x^3 - 8x^2} \ne 0 \implies 2x^2(x-4) \ne 0$, то есть $x \ne 0$ и $x \ne 4$. Из множества $\{0\} \cup [4, +\infty)$ исключаем точки $0$ и $4$, получая интервал $(4, +\infty)$. При $n \ge 1$ ($n \in \mathbb{N}$): необходимо исключить значения $x$, для которых $2x^3 - 8x^2 = (n\pi)^2$. Функция $g(x) = 2x^3 - 8x^2$ строго возрастает на $(4, +\infty)$, поэтому для каждого $n \in \mathbb{N}$ существует единственное решение $x_n > 4$, которое нужно исключить.

Ответ: $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 4 \text{ и } 2x^3 - 8x^2 \ne (n\pi)^2 \text{ для любого } n \in \mathbb{N}\}$.

д) Для функции $f(x) = \sin \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$ область определения задается условиями для подкоренного выражения:1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$.2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{x+1}{x-1} \ge 0$.Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $x=-1$ (числитель равен 0) и $x=1$ (знаменатель равен 0).Они разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, +\infty)$.- На интервале $(-\infty, -1)$: например, при $x=-2$, $\frac{-2+1}{-2-1} = \frac{1}{3} > 0$.- На интервале $(-1, 1)$: например, при $x=0$, $\frac{0+1}{0-1} = -1 < 0$.- На интервале $(1, +\infty)$: например, при $x=2$, $\frac{2+1}{2-1} = 3 > 0$.Точка $x=-1$ включается в решение, так как неравенство нестрогое. Точка $x=1$ исключается.Область определения — это объединение интервалов, где дробь неотрицательна.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (1, +\infty)$.

е) Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{\sin \sqrt{2x^3+6x}}{\cos \sqrt{2x^3+6x}} = \tan(\sqrt{2x^3+6x})$.Область определения задается двумя условиями:1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $2x^3 + 6x \ge 0 \implies 2x(x^2+3) \ge 0$. Поскольку $x^2+3$ всегда больше нуля, это неравенство эквивалентно $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.2. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как в этих точках тангенс не определен (знаменатель $\cos(\dots)$ равен нулю). $\sqrt{2x^3+6x} \ne \frac{\pi}{2} + n\pi$. Поскольку корень неотрицателен, выражение $\frac{\pi}{2} + n\pi$ также должно быть неотрицательным, что выполняется при $n \ge 0$ ($n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$). Значит, нужно исключить из области $x \ge 0$ все значения $x$, для которых $2x^3+6x = (\frac{\pi}{2} + n\pi)^2$ для $n=0, 1, 2, ...$ Функция $h(x) = 2x^3+6x$ строго возрастает на $[0, +\infty)$, поэтому для каждого $n \ge 0$ существует единственное решение $x_n$, которое нужно исключить.

Ответ: $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0 \text{ и } 2x^3+6x \ne (\frac{\pi}{2} + n\pi)^2 \text{ для любого целого } n \ge 0\}$.

23. (3)

a) $f(x)=\sin \sin x;$

б) $f(x)=\cos (\sin x);$

в) $f(x)=\tan \sqrt{\tan 2x};$

г) $f(x)=\cos (\cos x)\sin (\sin x).$

а) Для функции $f(x) = \sin(\sin x)$

Это сложная функция, поэтому для нахождения производной мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \sin u$, а внутренняя функция $h(x) = \sin x$.

Находим производные этих функций:

Производная внешней функции: $g'(u) = (\sin u)' = \cos u$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь подставляем $u = h(x) = \sin x$ в производную внешней функции, получая $g'(h(x)) = \cos(\sin x)$.

Наконец, перемножаем производные, чтобы найти итоговую производную:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \cos(\sin x) \cdot \cos x$.

Ответ: $f'(x) = \cos(\sin x) \cos x$

б) Для функции $f(x) = \cos(\sin x)$

Эта функция также является сложной. Применяем цепное правило, как и в предыдущем пункте.

Здесь внешняя функция $g(u) = \cos u$, а внутренняя функция $h(x) = \sin x$.

Находим производные:

Производная внешней функции: $g'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Подставляем $u = h(x) = \sin x$ в производную внешней функции: $g'(h(x)) = -\sin(\sin x)$.

Перемножаем производные:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\sin(\sin x) \cdot \cos x$.

Ответ: $f'(x) = -\sin(\sin x) \cos x$

в) Для функции $f(x) = \tan(\sqrt{\tan(2x)})$ (в исходном задании используется обозначение tg)

Это многократно вложенная сложная функция. Для нахождения ее производной применим цепное правило последовательно для каждой вложенной функции.

Представим функцию в виде цепочки: $y = \tan(u)$, где $u = \sqrt{v}$, где $v = \tan(w)$, где $w = 2x$.

Производная $y$ по $x$ будет произведением производных по цепочке: $f'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$.

1. Производная самой внутренней функции: $\frac{dw}{dx} = (2x)' = 2$.

2. Производная функции $v = \tan(w)$: $\frac{dv}{dw} = (\tan w)' = \sec^2 w = \frac{1}{\cos^2 w} = \frac{1}{\cos^2(2x)}$.

3. Производная функции $u = \sqrt{v}$: $\frac{du}{dv} = (\sqrt{v})' = \frac{1}{2\sqrt{v}} = \frac{1}{2\sqrt{\tan(2x)}}$.

4. Производная внешней функции $y = \tan(u)$: $\frac{dy}{du} = (\tan u)' = \sec^2 u = \frac{1}{\cos^2 u} = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\tan(2x)})}$.

Теперь перемножим все полученные производные:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\tan(2x)})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\tan(2x)}} \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2$.

Сократив 2 в числителе и знаменателе, получаем окончательный результат:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\tan(2x)}) \sqrt{\tan(2x)} \cos^2(2x)}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\tan(2x)}) \sqrt{\tan(2x)} \cos^2(2x)}$

г) Для функции $f(x) = \cos(\cos x)\sin(\sin x)$

Эта функция является произведением двух сложных функций. Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \cos(\cos x)$ и $v(x) = \sin(\sin x)$.

Сначала найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$, используя цепное правило.

Для $u(x) = \cos(\cos x)$:

$u'(x) = (\cos(\cos x))' = -\sin(\cos x) \cdot (\cos x)' = -\sin(\cos x) \cdot (-\sin x) = \sin x \sin(\cos x)$.

Для $v(x) = \sin(\sin x)$ (эта производная уже найдена в пункте а):

$v'(x) = (\sin(\sin x))' = \cos(\sin x) \cdot (\sin x)' = \cos x \cos(\sin x)$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$f'(x) = (\sin x \sin(\cos x)) \cdot (\sin(\sin x)) + (\cos(\cos x)) \cdot (\cos x \cos(\sin x))$.

Для удобства чтения сгруппируем множители:

$f'(x) = \sin x \sin(\cos x) \sin(\sin x) + \cos x \cos(\cos x) \cos(\sin x)$.

Ответ: $f'(x) = \sin x \sin(\cos x) \sin(\sin x) + \cos x \cos(\cos x) \cos(\sin x)$

24. (3)

a) $f(x) = \arccos 2x;$

б) $f(x) = \operatorname{arctg}(x^2);$

в) $f(x) = \operatorname{arcctg} \sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}};$

г) $f(x) = x^2 \arcsin x.$

а) $f(x) = \arccos(2x)$

Для нахождения производной этой функции мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Если функция имеет вид $y = g(h(x))$, то её производная равна $y' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Нам также понадобится формула производной арккосинуса: $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \arccos u$, а внутренняя функция $h(x) = 2x$.

Найдём производную внутренней функции: $h'(x) = (2x)' = 2$.

Теперь применим цепное правило, подставляя $u = 2x$:

$f'(x) = (\arccos(2x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot (2x)'$

$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot 2$

Упростим выражение:

$f'(x) = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

б) $f(x) = \arctan(x^2)$

Эта функция также является сложной. Мы снова используем цепное правило. Формула производной арктангенса: $(\arctan u)' = \frac{1}{1+u^2}$.

Здесь внешняя функция $g(u) = \arctan u$, а внутренняя функция $h(x) = x^2$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (x^2)' = 2x$.

Применяем цепное правило с $u = x^2$:

$f'(x) = (\arctan(x^2))' = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x^2)'$

$f'(x) = \frac{1}{1+x^4} \cdot 2x$

Запишем итоговый результат:

$f'(x) = \frac{2x}{1+x^4}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x}{1+x^4}$

в) $f(x) = \text{arccotg} \sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}$

Это более сложная композиция функций, поэтому цепное правило применяется последовательно. Формула производной арккотангенса: $(\text{arccotg } u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}$. Сначала найдём производную $u'(x)$.

$u(x)$ сама является сложной функцией, где внешняя функция — это квадратный корень, а внутренняя — $v(x) = x^2 - \frac{\pi}{6}$.

$u'(x) = (\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}})' = ((x^2 - \frac{\pi}{6})^{1/2})' = \frac{1}{2}(x^2 - \frac{\pi}{6})^{-1/2} \cdot (x^2 - \frac{\pi}{6})'$

$u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

Теперь мы можем найти производную исходной функции $f(x)$:

$f'(x) = (\text{arccotg } u)' = -\frac{1}{1+u^2} \cdot u'(x)$

$f'(x) = -\frac{1}{1 + (\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}})^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

$f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2 - \frac{\pi}{6}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

Окончательно:

$f'(x) = -\frac{x}{(x^2 + 1 - \frac{\pi}{6})\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{x}{(x^2 + 1 - \frac{\pi}{6})\sqrt{x^2 - \frac{\pi}{6}}}$

г) $f(x) = x^2 \arcsin x$

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = x^2$ и $v(x) = \arcsin x$. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдём производные каждой из функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Теперь подставим эти производные в правило произведения:

$f'(x) = (x^2)' \cdot \arcsin x + x^2 \cdot (\arcsin x)'$

$f'(x) = 2x \cdot \arcsin x + x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Запишем результат в более аккуратном виде:

$f'(x) = 2x \arcsin x + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

Ответ: $f'(x) = 2x \arcsin x + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$