Страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 3t^2 + 4t + 2$ измеряется в метрах, $t$ - в секундах. Найти путь, пройденный точкой с момента времени $t = 0$ к тому моменту времени, когда ее скорость стала равной 16 $м/с$.

Закон движения материальной точки задан уравнением $x(t) = 3t^2 + 4t + 2$, где $x$ измеряется в метрах, а время $t$ – в секундах.

Требуется найти путь, пройденный точкой с момента времени $t_1 = 0$ с до момента $t_2$, когда ее скорость стала равной 16 м/с.

1. Нахождение функции скорости.
Скорость $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени $t$.
$v(t) = x'(t) = (3t^2 + 4t + 2)'$
Используя правила дифференцирования, получаем:
$v(t) = 2 \cdot 3t^{2-1} + 1 \cdot 4t^{1-1} + 0 = 6t + 4$.
Итак, функция скорости: $v(t) = 6t + 4$.

2. Нахождение конечного момента времени.
Найдем момент времени $t_2$, когда скорость точки была равна 16 м/с. Для этого приравняем функцию скорости к заданному значению:
$v(t_2) = 16$
$6t_2 + 4 = 16$
$6t_2 = 16 - 4$
$6t_2 = 12$
$t_2 = \frac{12}{6} = 2$ с.

3. Вычисление пройденного пути.
Нам нужно найти путь, пройденный за промежуток времени от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 2$ с. Поскольку скорость $v(t) = 6t + 4$ является положительной для любого неотрицательного времени $t \ge 0$, точка движется в одном направлении, не меняя его. В этом случае пройденный путь $S$ равен разности координат в конечный и начальный моменты времени:
$S = x(t_2) - x(t_1) = x(2) - x(0)$.

Вычислим значения координат:
Координата в начальный момент времени $t_1 = 0$ с:
$x(0) = 3(0)^2 + 4(0) + 2 = 2$ м.
Координата в конечный момент времени $t_2 = 2$ с:
$x(2) = 3(2)^2 + 4(2) + 2 = 3 \cdot 4 + 8 + 2 = 12 + 8 + 2 = 22$ м.

Теперь найдем пройденный путь:
$S = x(2) - x(0) = 22 - 2 = 20$ м.

Ответ: 20 м.

2. (3)
Тело, выпущенное с поверхности земли вертикально вверх, движется по закону $h(t)=60t-5t^3$ ($h$ измеряется в метрах, $t$ – в секундах).
Через сколько времени оно достигнет верхней точки своего подъема?
Определить высоту, на которую ему удастся подняться.

Через сколько времени оно достигнет верхней точки своего подъема?

Закон движения тела задан уравнением $h(t) = 60t - 5t^2$, где $h$ — высота в метрах, а $t$ — время в секундах.Скорость тела $v(t)$ является производной от высоты по времени: $v(t) = h'(t)$. В верхней точке подъема скорость тела становится равной нулю.
1. Найдем производную функции высоты $h(t)$ для того, чтобы получить функцию скорости $v(t)$:
$v(t) = h'(t) = (60t - 5t^2)' = 60 \cdot 1 - 5 \cdot 2t = 60 - 10t$
2. Приравняем скорость к нулю и найдем момент времени $t$, когда тело достигнет максимальной высоты:
$v(t) = 0$
$60 - 10t = 0$
$10t = 60$
$t = \frac{60}{10} = 6$ (с)
Ответ: тело достигнет верхней точки своего подъема через 6 секунд.

Определить высоту, на которую ему удастся подняться.

Чтобы найти максимальную высоту, необходимо подставить найденное значение времени $t = 6$ с в исходное уравнение для высоты $h(t)$.
$h_{max} = h(6) = 60 \cdot 6 - 5 \cdot (6)^2$
$h_{max} = 360 - 5 \cdot 36$
$h_{max} = 360 - 180$
$h_{max} = 180$ (м)
Ответ: тело поднимется на высоту 180 метров.

Найдите силу $F$, действующую на материальную точку с массой $m$, движущуюся прямолинейно по закону $x(t) = 2t^3 - t^2$ при $t=2$.

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона, который связывает силу $F$, массу $m$ и ускорение $a$ материальной точки:

$F = m \cdot a$

Ускорение $a$ является второй производной от координаты по времени $x(t)$. Чтобы его найти, необходимо последовательно продифференцировать закон движения по времени $t$.

1. Находим скорость. Скорость $v(t)$ — это первая производная от координаты $x(t)$ по времени:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(2t^3 - t^2)$

Используя правила дифференцирования степенной функции, получаем:

$v(t) = 2 \cdot 3t^{3-1} - 2t^{2-1} = 6t^2 - 2t$

2. Находим ускорение. Ускорение $a(t)$ — это первая производная от скорости $v(t)$ по времени:

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(6t^2 - 2t)$

Снова применяем правила дифференцирования:

$a(t) = 6 \cdot 2t^{2-1} - 2 = 12t - 2$

3. Вычисляем ускорение в заданный момент времени. По условию, нас интересует момент времени $t=2$. Подставим это значение в полученную формулу для ускорения:

$a(2) = 12 \cdot 2 - 2 = 24 - 2 = 22$

Таким образом, ускорение материальной точки в момент времени $t=2$ равно 22 (в единицах СИ, м/с²).

4. Находим силу. Теперь подставим найденное значение ускорения во второй закон Ньютона:

$F = m \cdot a(2) = m \cdot 22 = 22m$

Ответ: $F=22m$.

4. (2)

Количества заряда, прошедшего через сечение электрического проводника, изменяется по закону $q(t)=5t^3 + 2t^2 - 5$. Найдите величину тока в момент $t=2$.

По определению, сила тока $I$ есть скорость изменения заряда $q$ со временем $t$. Математически это выражается как первая производная функции заряда по времени:

$I(t) = q'(t)$

В задаче дана функция, описывающая количество заряда в зависимости от времени:

$q(t) = 5t^3 + 2t^2 - 5$

Чтобы найти функцию для силы тока $I(t)$, найдем производную от функции $q(t)$. Используем правило дифференцирования для степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и тот факт, что производная константы равна нулю.

$I(t) = q'(t) = (5t^3 + 2t^2 - 5)' = (5t^3)' + (2t^2)' - (5)'$

$I(t) = 5 \cdot 3t^{3-1} + 2 \cdot 2t^{2-1} - 0$

$I(t) = 15t^2 + 4t$

Теперь необходимо найти величину тока в конкретный момент времени $t=2$. Для этого подставим значение $t=2$ в полученное уравнение для силы тока $I(t)$:

$I(2) = 15 \cdot (2)^2 + 4 \cdot 2$

$I(2) = 15 \cdot 4 + 8$

$I(2) = 60 + 8 = 68$

Ответ: 68.

Количество работы, совершенной топливным двигателем машины, изменяется по закону $A(t) = 3t^2 + 5t$. Какова мощность двигателя на момент $t=1$?

Для решения задачи необходимо найти мгновенную мощность двигателя. Мгновенная мощность $N(t)$ по определению является производной от работы $A(t)$ по времени $t$.

Формула для мощности: $N(t) = A'(t) = \frac{dA}{dt}$.

Нам дана функция, описывающая количество работы, совершенной двигателем:

$A(t) = 3t^2 + 5t$

Найдем производную этой функции по времени $t$, чтобы получить функцию мощности $N(t)$:

$N(t) = A'(t) = (3t^2 + 5t)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$N(t) = (3t^2)' + (5t)' = 3 \cdot 2t + 5 = 6t + 5$

Теперь, чтобы найти мощность двигателя в момент времени $t=1$, подставим это значение в полученное выражение для мощности:

$N(1) = 6 \cdot 1 + 5 = 6 + 5 = 11$

Ответ: 11

6. (2)Если уравнение мощности двигателя $N(t)=2t+16$, то какое количество работы совершит двигатель через 12 секунд? Найдите уравнение работы.

Для решения задачи воспользуемся физической связью между мощностью и работой. Мощность $N(t)$ является производной от работы $A(t)$ по времени $t$, то есть $N(t) = \frac{dA(t)}{dt}$. Следовательно, чтобы найти работу, нужно проинтегрировать функцию мощности по времени.

Найдите уравнение работы.

Работа $A(t)$ находится как неопределенный интеграл от функции мощности $N(t) = 2t + 16$:

$A(t) = \int N(t) dt = \int (2t + 16) dt$

Вычисляем интеграл:

$A(t) = \int 2t \, dt + \int 16 \, dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} + 16t + C = t^2 + 16t + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования. Чтобы ее найти, примем начальное условие, что в момент времени $t=0$ совершенная работа равна нулю, то есть $A(0) = 0$.

Подставим $t=0$ в уравнение работы:

$A(0) = 0^2 + 16 \cdot 0 + C = C$

Так как $A(0) = 0$, то $C = 0$.

Таким образом, уравнение работы имеет вид:

$A(t) = t^2 + 16t$

Ответ: Уравнение работы: $A(t) = t^2 + 16t$.

Какое количество работы совершит двигатель через 12 секунд?

Чтобы найти работу, совершенную за 12 секунд, нужно подставить значение $t=12$ в найденное уравнение работы $A(t)$.

$A(12) = 12^2 + 16 \cdot 12$

Выполним вычисления:

$A(12) = 144 + 192 = 336$

Если мощность измеряется в ваттах (Вт), а время в секундах (с), то работа измеряется в джоулях (Дж).

Ответ: Через 12 секунд двигатель совершит работу, равную 336 Дж.

7. (2)

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=-\frac{1}{2}t^2+4t+2$: Найти отношение средней скорости точки за время $t=1$ к ее мгновенной скорости в момент времени $t=2$.

Для решения задачи необходимо последовательно найти среднюю скорость за указанный промежуток времени, мгновенную скорость в указанный момент времени, а затем их отношение.

1. Нахождение средней скорости точки за время t=1
Средняя скорость $v_{ср}$ на временном промежутке от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$.
Промежуток "за время t=1" означает интервал времени от $t_1=0$ до $t_2=1$. Закон движения точки задан функцией $x(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 4t + 2$.
Найдем положения точки в моменты времени $t_1=0$ и $t_2=1$:
$x(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 4(0) + 2 = 2$.
$x(1) = -\frac{1}{2}(1)^2 + 4(1) + 2 = -0.5 + 4 + 2 = 5.5$.
Теперь рассчитаем среднюю скорость: $v_{ср} = \frac{x(1) - x(0)}{1 - 0} = \frac{5.5 - 2}{1} = 3.5$.

2. Нахождение мгновенной скорости в момент времени t=2
Мгновенная скорость $v(t)$ является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$. Найдем производную функции $x(t)$: $v(t) = x'(t) = \left(-\frac{1}{2}t^2 + 4t + 2\right)' = -t + 4$.
Подставим значение $t=2$ в полученное выражение для скорости: $v(2) = -2 + 4 = 2$.

3. Нахождение отношения средней скорости к мгновенной
Теперь найдем искомое отношение средней скорости за время $t=1$ к мгновенной скорости в момент $t=2$: $\frac{v_{ср}}{v(2)} = \frac{3.5}{2} = 1.75$.
Ответ: 1,75.

8. (2)

Человек, рост которого равен 1,8 м, удаляется от источника света, находящегося на высоте 12 м, со скоростью 50 м/мин. С какой скоростью перемещается тень его головы?

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим подходом, основанным на подобии треугольников. Создадим схему ситуации.

Пусть $H$ — высота источника света, а $h$ — рост человека. Согласно условию, $H = 12$ м и $h = 1,8$ м.

Пусть $x$ — это расстояние от человека до точки на земле прямо под источником света. Человек удаляется от источника, значит, это расстояние меняется со временем. Его скорость задана как $\frac{dx}{dt} = 50$ м/мин.

Пусть $s$ — это расстояние от точки на земле под источником света до кончика тени, отбрасываемой головой человека. Скорость, с которой перемещается кончик тени, это $\frac{ds}{dt}$, и именно ее нам нужно найти.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника:

1. Большой треугольник, образованный источником света, точкой на земле под ним и кончиком тени. Его катеты равны высоте источника света $H$ и расстоянию $s$.
2. Малый треугольник, образованный головой человека, его ногами и кончиком тени. Его катеты равны росту человека $h$ и длине тени, которая составляет $s - x$.

Эти два треугольника подобны, так как они оба прямоугольные и имеют один общий острый угол (у кончика тени). Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно:

$\frac{H}{s} = \frac{h}{s - x}$

Подставим известные значения $H$ и $h$:

$\frac{12}{s} = \frac{1,8}{s - x}$

Теперь решим это уравнение, чтобы выразить $s$ через $x$:

$12 \cdot (s - x) = 1,8 \cdot s$

$12s - 12x = 1,8s$

$12s - 1,8s = 12x$

$10,2s = 12x$

$s = \frac{12}{10,2}x = \frac{120}{102}x = \frac{20}{17}x$

Мы получили зависимость положения кончика тени $s$ от положения человека $x$. Чтобы найти зависимость их скоростей, нужно продифференцировать обе части этого уравнения по времени $t$:

$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{20}{17}x\right)$

$\frac{ds}{dt} = \frac{20}{17} \cdot \frac{dx}{dt}$

Теперь подставим известную скорость человека $\frac{dx}{dt} = 50$ м/мин:

$\frac{ds}{dt} = \frac{20}{17} \cdot 50$

$\frac{ds}{dt} = \frac{1000}{17}$ м/мин.

Можно представить этот результат в виде смешанной дроби: $1000 \div 17 = 58$ и $14$ в остатке, то есть $58 \frac{14}{17}$ м/мин.

Ответ: Скорость перемещения тени головы равна $\frac{1000}{17}$ м/мин (или примерно $58,82$ м/мин).

9. (3) Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону $x(t)=t^2+t+1$. Координата $x$ измеряется в сантиметрах, время $t$ – в секундах. Найдите:

а) действующую силу;

б) кинетическую энергию $E$ тела через 2 с после начала движения.

Для решения задачи сначала переведем все величины в Международную систему единиц (СИ). Масса тела $m = 2 \text{ кг}$ уже дана в СИ.

Координата $x$ измеряется в сантиметрах, а для расчетов в СИ требуются метры. Переведем закон движения в метры, зная, что 1 м = 100 см:

$x(t) = (t^2 + t + 1) \text{ см} = \frac{t^2 + t + 1}{100} \text{ м} = 0.01t^2 + 0.01t + 0.01 \text{ м}$.

а) действующую силу

Согласно второму закону Ньютона, действующая на тело сила $F$ равна произведению массы тела $m$ на его ускорение $a$:

$F = m \cdot a$

Ускорение $a$ является второй производной от координаты $x$ по времени $t$. Найдем сначала зависимость скорости $v(t)$ от времени, взяв первую производную от координаты:

$v(t) = x'(t) = (0.01t^2 + 0.01t + 0.01)' = 2 \cdot 0.01t + 0.01 = 0.02t + 0.01 \text{ (м/с)}$

Теперь найдем ускорение $a(t)$, взяв производную от скорости:

$a(t) = v'(t) = (0.02t + 0.01)' = 0.02 \text{ (м/с}^2\text{)}$

Ускорение тела постоянно и равно $0.02 \text{ м/с}^2$. Теперь можем вычислить действующую силу:

$F = m \cdot a = 2 \text{ кг} \cdot 0.02 \text{ м/с}^2 = 0.04 \text{ Н}$

Ответ: $0.04 \text{ Н}$.

б) кинетическую энергию E тела через 2 с после начала движения

Кинетическая энергия $E_к$ вычисляется по формуле:

$E_к = \frac{m v^2}{2}$

Сначала найдем скорость тела в момент времени $t = 2 \text{ с}$, используя полученную ранее формулу $v(t) = 0.02t + 0.01$:

$v(2) = 0.02 \cdot 2 + 0.01 = 0.04 + 0.01 = 0.05 \text{ м/с}$

Теперь подставим значения массы и скорости в формулу для кинетической энергии:

$E_к = \frac{2 \text{ кг} \cdot (0.05 \text{ м/с})^2}{2} = (0.05)^2 \text{ Дж} = 0.0025 \text{ Дж}$

Ответ: $0.0025 \text{ Дж}$.