Страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 7

Докажите корректность остальных преобразований. Указание к упр.7: если $(x_0, y_0)$ – точка на графике $y = f(x)$, то $y_0 = f(x_0)$. Основная идея состоит в том, чтобы понять, в какую точку переходит $(x_0, y_0)$ при данном преобразовании. После этого остается подставить новые координаты в новую функцию и доказать, что равенство выполняется.

Следующие примеры очень важны для понимания всей темы.

Следуя указанию, докажем корректность основных преобразований графиков функций.

Основная идея доказательства: пусть $(x_0, y_0)$ — произвольная точка на графике функции $y=f(x)$, что означает выполнение равенства $y_0 = f(x_0)$. Мы определяем, в какую точку $(x_{new}, y_{new})$ она переходит в результате преобразования, а затем проверяем, удовлетворяют ли новые координаты $(x_{new}, y_{new})$ уравнению преобразованной функции, подставив их в него.

1. Преобразование $y = f(x) + b$: сдвиг вдоль оси ординат

При сдвиге графика вдоль оси ординат на $b$ единиц, каждая его точка $(x, y)$ переходит в точку с той же абсциссой и ординатой, увеличенной на $b$. Таким образом, точка $(x_0, y_0)$ переходит в новую точку $(x_{new}, y_{new})$ с координатами:

$x_{new} = x_0$

$y_{new} = y_0 + b$

Проверим, принадлежит ли точка $(x_{new}, y_{new})$ графику функции $y = f(x) + b$. Для этого подставим ее координаты в уравнение этой функции:

$y_{new} = f(x_{new}) + b$

Заменяя $x_{new}$ на $x_0$ и $y_{new}$ на $y_0 + b$, получаем:

$y_0 + b = f(x_0) + b$

Поскольку точка $(x_0, y_0)$ лежит на графике $y=f(x)$, то $y_0 = f(x_0)$. Подставив это в наше равенство, получим тождество:

$f(x_0) + b = f(x_0) + b$

Равенство верно, что доказывает корректность преобразования. График функции $y = f(x) + b$ действительно получается из графика $y=f(x)$ сдвигом на $b$ единиц вдоль оси ординат.

Ответ: Доказано, что график функции $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси ординат на $b$ единиц.

2. Преобразование $y = f(x+a)$: сдвиг вдоль оси абсцисс

При преобразовании $y = f(x+a)$ точка $(x_0, y_0)$ с графика $y=f(x)$ переходит в новую точку $(x_{new}, y_{new})$. Чтобы найти ее координаты, заметим, что значение новой функции в точке $x_{new}$ должно быть равно значению старой функции в точке $x_0$. Чтобы получить ту же ординату $y_0 = f(x_0)$, аргумент новой функции должен быть равен $x_0$. То есть, $x_{new} + a = x_0$, откуда $x_{new} = x_0 - a$. Ордината при этом не меняется, $y_{new} = y_0$. Таким образом, точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0 - a, y_0)$.

Проверим, принадлежит ли точка $(x_{new}, y_{new}) = (x_0 - a, y_0)$ графику функции $y = f(x+a)$:

$y_{new} = f(x_{new} + a)$

Подставляем координаты новой точки:

$y_0 = f((x_0 - a) + a)$

$y_0 = f(x_0)$

Так как $y_0 = f(x_0)$ по определению, мы получили тождество. Это доказывает, что график функции $y=f(x+a)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом на $-a$ единиц вдоль оси абсцисс (то есть на $a$ единиц влево, если $a>0$, и вправо, если $a<0$).

Ответ: Доказано, что график функции $y = f(x+a)$ получается из графика функции $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси абсцисс на $-a$ единиц.

3. Преобразование $y = k \cdot f(x)$: растяжение/сжатие вдоль оси ординат

При этом преобразовании для каждой точки графика $y=f(x)$ ее абсцисса сохраняется, а ордината умножается на коэффициент $k$. Точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_{new}, y_{new})$ с координатами:

$x_{new} = x_0$

$y_{new} = k \cdot y_0$

Проверим, принадлежит ли точка $(x_{new}, y_{new})$ графику функции $y = k \cdot f(x)$:

$y_{new} = k \cdot f(x_{new})$

Подставляем координаты новой точки:

$k \cdot y_0 = k \cdot f(x_0)$

Так как $y_0 = f(x_0)$, то, разделив обе части на $k$ (если $k \neq 0$), получаем тождество $y_0 = f(x_0)$. Таким образом, преобразование корректно. График функции $y=k \cdot f(x)$ получается из графика $y=f(x)$ растяжением (если $|k|>1$) или сжатием (если $0<|k|<1$) вдоль оси ординат в $k$ раз. Если $k<0$, дополнительно происходит отражение относительно оси абсцисс.

Ответ: Доказано, что график функции $y=k \cdot f(x)$ получается из графика $y=f(x)$ растяжением/сжатием вдоль оси ординат в $k$ раз.

4. Преобразование $y = f(k \cdot x)$: растяжение/сжатие вдоль оси абсцисс

Рассуждаем аналогично сдвигу по оси ОХ. Чтобы получить ту же ординату $y_0 = f(x_0)$, аргумент новой функции $k \cdot x_{new}$ должен быть равен $x_0$. Отсюда $x_{new} = x_0 / k$ (при $k \neq 0$). Ордината остается прежней, $y_{new} = y_0$. Таким образом, точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0/k, y_0)$.

Проверим, принадлежит ли точка $(x_{new}, y_{new}) = (x_0/k, y_0)$ графику функции $y = f(k \cdot x)$:

$y_{new} = f(k \cdot x_{new})$

Подставляем координаты новой точки:

$y_0 = f(k \cdot (x_0 / k))$

$y_0 = f(x_0)$

Мы получили тождество, так как $y_0 = f(x_0)$. Это доказывает, что график функции $y=f(k \cdot x)$ получается из графика $y=f(x)$ сжатием (если $|k|>1$) или растяжением (если $0<|k|<1$) вдоль оси абсцисс в $1/k$ раз. Если $k<0$, дополнительно происходит отражение относительно оси ординат.

Ответ: Доказано, что график функции $y=f(k \cdot x)$ получается из графика $y=f(x)$ растяжением/сжатием вдоль оси абсцисс в $1/k$ раз.

5. Преобразование $y = -f(x)$: отражение относительно оси абсцисс

Это частный случай преобразования $y = k \cdot f(x)$ при $k=-1$. Точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$.

Проверим, принадлежит ли точка $(x_{new}, y_{new}) = (x_0, -y_0)$ графику функции $y = -f(x)$:

$y_{new} = -f(x_{new})$

Подставляем координаты:

$-y_0 = -f(x_0)$

Умножив на $-1$, получаем $y_0 = f(x_0)$, что является тождеством. Преобразование корректно.

Ответ: Доказано, что график функции $y = -f(x)$ получается из графика $y=f(x)$ отражением относительно оси абсцисс.

6. Преобразование $y = f(-x)$: отражение относительно оси ординат

Это частный случай преобразования $y = f(k \cdot x)$ при $k=-1$. Точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$.

Проверим, принадлежит ли точка $(x_{new}, y_{new}) = (-x_0, y_0)$ графику функции $y = f(-x)$:

$y_{new} = f(-x_{new})$

Подставляем координаты:

$y_0 = f(-(-x_0))$

$y_0 = f(x_0)$

Это тождество, следовательно, преобразование корректно.

Ответ: Доказано, что график функции $y = f(-x)$ получается из графика $y=f(x)$ отражением относительно оси ординат.