Страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (1) Дана функция $f(x) = x^2 - 6x$. Постройте графики функций:

а) $y = f(x) - 2$;

б) $y = f(x - 2)$;

в) $y = 2f(x)$;

г) $y = f(2x)$;

д) $y = -f(x)$;

е) $y = f(-x)$;

ж) $y = f(|x|)$;

з) $y = |f(x)|$;

и) $y = |f(|x|)|$.

Для построения графиков всех указанных функций, сначала проанализируем и построим базовый график функции $f(x) = x^2 - 6x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

Найдем вершину параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -(-6) / (2 \cdot 1) = 3$.

Ордината вершины: $y_v = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс (нули функции), решив уравнение $f(x) = 0$:

$x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 6) = 0$.

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Точка пересечения с осью ординат — $(0, f(0))$, что совпадает с точкой $(0, 0)$.

Таким образом, базовый график $y=f(x)$ — это парабола с вершиной в $(3, -9)$, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

а) y=f(x)−2;

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Новая функция имеет вид $y = x^2 - 6x - 2$. Вершина исходной параболы $(3, -9)$ смещается в точку $(3, -9-2) = (3, -11)$.

Ответ: График функции $y=f(x)-2$ — это парабола $y=x^2-6x$, смещенная на 2 единицы вниз. Ее вершина находится в точке $(3, -11)$.

б) y=f(x−2);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Новая функция имеет вид $y = (x-2)^2 - 6(x-2) = x^2 - 4x + 4 - 6x + 12 = x^2 - 10x + 16$. Вершина исходной параболы $(3, -9)$ смещается в точку $(3+2, -9) = (5, -9)$.

Ответ: График функции $y=f(x-2)$ — это парабола $y=x^2-6x$, смещенная на 2 единицы вправо. Ее вершина находится в точке $(5, -9)$.

в) y=2f(x);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем растяжения в 2 раза от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$). Новая функция: $y = 2(x^2 - 6x) = 2x^2 - 12x$. Каждая ордината графика умножается на 2. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(3, 2 \cdot (-9)) = (3, -18)$. Нули функции $(0, 0)$ и $(6, 0)$ остаются на месте.

Ответ: График функции $y=2f(x)$ — это парабола, растянутая в 2 раза вдоль оси $Oy$ по сравнению с исходной. Ее вершина находится в точке $(3, -18)$, а точки пересечения с осью $Ox$ те же: $(0,0)$ и $(6,0)$.

г) y=f(2x);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем сжатия в 2 раза к оси $Oy$ (вдоль оси $Ox$). Новая функция: $y = (2x)^2 - 6(2x) = 4x^2 - 12x$. Каждая абсцисса графика делится на 2. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(3/2, -9) = (1.5, -9)$. Нули функции $x=0$ и $x=6$ переходят в $x=0/2=0$ и $x=6/2=3$.

Ответ: График функции $y=f(2x)$ — это парабола, сжатая в 2 раза к оси $Oy$ по сравнению с исходной. Ее вершина находится в точке $(1.5, -9)$, а точки пересечения с осью $Ox$: $(0,0)$ и $(3,0)$.

д) y=−f(x);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$. Новая функция: $y = -(x^2 - 6x) = -x^2 + 6x$. Ветви параболы теперь направлены вниз. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(3, 9)$. Нули функции остаются на месте.

Ответ: График функции $y=-f(x)$ — это парабола, симметричная исходной относительно оси $Ox$. Ее ветви направлены вниз, вершина находится в точке $(3, 9)$.

е) y=f(−x);

График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $Oy$. Новая функция: $y = (-x)^2 - 6(-x) = x^2 + 6x$. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(-3, -9)$. Новые нули функции: $x=0$ и $x=-6$.

Ответ: График функции $y=f(-x)$ — это парабола, симметричная исходной относительно оси $Oy$. Ее вершина находится в точке $(-3, -9)$.

ж) y=f(|x|);

Для построения этого графика нужно часть графика $y=f(x)$, соответствующую $x \ge 0$, оставить без изменений, а затем отразить ее симметрично относительно оси $Oy$. Часть графика при $x < 0$ удаляется. Так как $y=f(|x|) = |x|^2 - 6|x| = x^2 - 6|x|$, это четная функция, и ее график симметричен относительно оси $Oy$. Правая часть графика — это часть исходной параболы с вершиной в $(3, -9)$. Левая часть — ее зеркальное отражение, то есть параболическая кривая с "вершиной" в $(-3, -9)$.

Ответ: График $y=f(|x|)$ симметричен относительно оси $Oy$. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=x^2-6x$. Для $x < 0$ он является отражением правой части. График имеет форму буквы 'W' с нижними точками в $(3, -9)$ и $(-3, -9)$ и проходит через точки $(-6,0)$, $(0,0)$ и $(6,0)$.

з) y=|f(x)|;

Для построения этого графика нужно часть графика $y=f(x)$, расположенную ниже оси $Ox$, отразить симметрично относительно этой оси, а часть, расположенную выше или на оси $Ox$, оставить без изменений. Исходная парабола $y=x^2-6x$ находится ниже оси $Ox$ на интервале $(0, 6)$. Эта часть графика отражается вверх. Вершина $(3, -9)$ переходит в точку $(3, 9)$, которая становится точкой локального максимума.

Ответ: График $y=|f(x)|$ получается из графика $y=f(x)$ отражением части, лежащей под осью $Ox$, вверх. График касается оси $Ox$ в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$, а между ними имеет максимум в точке $(3, 9)$.

и) y=|f(|x|)|.

Этот график можно получить, применив последовательно два преобразования. Сначала строим график $y=f(|x|)$ (как в пункте ж), а затем к нему применяем операцию взятия модуля (как в пункте з). График $y=f(|x|)$ (W-образная кривая) находится ниже оси $Ox$ на интервалах $(-6, 0)$ и $(0, 6)$. Эти части отражаются симметрично относительно оси $Ox$. Вершины $(3, -9)$ и $(-3, -9)$ переходят в точки $(3, 9)$ и $(-3, 9)$ соответственно.

Ответ: График функции $y=|f(|x|)|$ симметричен относительно оси $Oy$. Он касается оси $Ox$ в точках $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$. Имеет две точки максимума: $(-3, 9)$ и $(3, 9)$.

2. (1) Постройте графики функций на одной плоскости:

а) $y = x$;

б) $y = x - 2$;

В) $y = |x - 2|$;

Г) $y = |x - 2| - 1$;

Д) $y = ||x - 2| - 1|$.

По графику, полученному в Д), исследуйте функцию. Представьте, что Вам дано задание: построить график $y = ||x - 2| - 1||$. Проследите, как последовательность д)-г)-в)-б)-а) отражает составление плана построения.

Для построения графиков будем использовать метод последовательных преобразований.

а) $y = x$
Это простейшая линейная функция. Ее график – прямая линия, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0) и (1, 1). Это наш базовый график.
Ответ: График функции $y=x$ – прямая, проходящая через начало координат под углом 45° к оси Ox.

б) $y = x - 2$
Этот график получается из графика функции $y=x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы вправо. Это соответствует преобразованию вида $f(x) \rightarrow f(x-a)$. Вершиной в данном контексте можно считать точку пересечения с осью Ox. Она смещается из (0,0) в (2,0).
Ответ: График функции $y=x-2$ – прямая, полученная сдвигом графика $y=x$ на 2 единицы вправо.

в) $y = |x - 2|$
Этот график получается из графика функции $y = x - 2$ применением операции взятия модуля ко всей функции: $f(x) \rightarrow |f(x)|$. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \geq 0$), остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. Для $y = x - 2$, часть прямой при $x < 2$ находится ниже оси. Мы отражаем ее. В результате получается график, похожий на букву "V", с вершиной в точке (2, 0).
Ответ: График функции $y=|x-2|$ – график, полученный из $y=x-2$ путем отражения части прямой, лежащей под осью Ox, симметрично относительно этой оси.

г) $y = |x - 2| - 1$
Этот график получается из графика функции $y = |x - 2|$ путем сдвига (параллельного переноса) всего графика на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Это соответствует преобразованию вида $f(x) \rightarrow f(x) - b$. Вершина "V" смещается из точки (2, 0) в точку (2, -1).
Ответ: График функции $y=|x-2|-1$ – график, полученный сдвигом графика $y=|x-2|$ на 1 единицу вниз.

д) $y = ||x - 2| - 1|$
Этот график получается из графика функции $y = |x - 2| - 1$ путем снова применения операции взятия модуля ко всей функции: $f(x) \rightarrow |f(x)|$. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси Ox, симметрично отражается относительно оси Ox. В предыдущем шаге у нас получился "V"-образный график с вершиной в (2, -1). Часть этого графика между его нулями (точками $x=1$ и $x=3$) находится ниже оси Ox. Эту часть мы отражаем вверх. Вершина из (2, -1) переместится в точку (2, 1). В результате получится график, похожий на букву "W".
Ответ: График функции $y=||x-2|-1|$ – график, полученный из $y=|x-2|-1$ путем отражения части графика, лежащей под осью Ox, симметрично относительно этой оси.

Исследование функции $y=||x-2|-1|$ по графику, полученному в д)

1. Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Так как функция является модулем, ее значения всегда неотрицательны. Минимальное значение равно 0, максимальное не ограничено. $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$ при $||x-2|-1|=0$, что равносильно $|x-2|-1=0$, или $|x-2|=1$. Отсюда $x-2=1$ или $x-2=-1$. Значит, $x=3$ и $x=1$. Нули функции: $x_1=1$, $x_2=3$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$. $y=0$ при $x=1$ и $x=3$. Функция никогда не бывает отрицательной.
5. Промежутки монотонности:
- функция убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 3]$;
- функция возрастает на промежутках $[1; 2]$ и $[3; +\infty)$.
6. Точки экстремума:
- $x_{min1}=1$, $y_{min1}=0$;
- $x_{min2}=3$, $y_{min2}=0$ (точки локального и глобального минимума).
- $x_{max}=2$, $y_{max}=1$ (точка локального максимума).
7. Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат. Это функция общего вида. Она симметрична относительно прямой $x=2$.
8. Периодичность: Функция не является периодической.
Ответ: Функция исследована по 8 пунктам, свойства описаны выше.

Объяснение последовательности д)→г)→в)→б)→а)

Представим, что нам сразу дано задание построить график функции $y=||x-2|-1|$. Чтобы составить план построения, мы должны "разобрать" эту сложную функцию на последовательность простых шагов. Этот процесс "разбора" или анализа как раз и отражен в последовательности д)→г)→в)→б)→а).

1. (д) $y=||x-2|-1|$: Мы смотрим на самую внешнюю операцию. Это модуль. Значит, чтобы построить этот график, нам нужен график функции, стоящей под внешним модулем: $y=|x-2|-1$.

2. (г) $y=|x-2|-1|$: Теперь анализируем эту функцию. Это результат вычитания единицы из функции $y=|x-2|$. Значит, предпоследним шагом построения будет сдвиг вниз на 1.

3. (в) $y=|x-2|$: Анализируем эту функцию. Это модуль от выражения $y=x-2$. Значит, до этого нам нужно будет построить график $y=x-2$ и отразить его отрицательную часть.

4. (б) $y=x-2$: Анализируем эту функцию. Она получена из простейшей функции $y=x$ сдвигом аргумента.

5. (а) $y=x$: Это базовая, элементарная функция, с которой мы и начнем построение.

Таким образом, двигаясь от сложного к простому (от д) к а)), мы проводим анализ и декомпозицию задачи. Это позволяет нам составить план построения, который будет выполняться в обратном порядке (от а) к д)):

План построения:
1. Строим $y=x$ (а).
2. Сдвигаем его вправо на 2, получаем $y=x-2$ (б).
3. Отражаем отрицательную часть относительно оси Ox, получаем $y=|x-2|$ (в).
4. Сдвигаем вниз на 1, получаем $y=|x-2|-1$ (г).
5. Отражаем новую отрицательную часть относительно оси Ox, получаем итоговый график $y=||x-2|-1|$ (д).
Ответ: Последовательность д)→г)→в)→б)→а) представляет собой аналитический процесс "разбора" сложной функции на элементарные преобразования, что позволяет составить план ее пошагового построения, двигаясь в обратном направлении от простого к сложному (а→б→в→г→д).

3. (2) На одной координатной плоскости постройте график функций $f(x)=||x-2|-1|$ и $g(x)=\frac{1}{2}x$. Используя построенные графики,

а) решите уравнение $f(x)=g(x)$;

б) решите неравенство $f(x) \geq g(x)$;

в) ответьте на вопрос: «Сколько корней имеет уравнение $f(x)=a$ в зависимости от $a$?»

Для построения графика функции $f(x) = ||x-2|-1|$ выполним последовательные преобразования:

1. Строим график функции $y_1 = x-2$ – это прямая линия.

2. Строим график $y_2 = |x-2|$. Это график, полученный из $y_1$ путем отражения части прямой, лежащей ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси. Получаем "галочку" с вершиной в точке $(2, 0)$.

3. Строим график $y_3 = |x-2|-1$. Этот график получается сдвигом графика $y_2$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Вершина "галочки" перемещается в точку $(2, -1)$, а нули функции находятся в точках $x=1$ и $x=3$.

4. Строим итоговый график $f(x) = ||x-2|-1|$. Этот график получается из $y_3$ путем отражения части графика, лежащей ниже оси Ox (на интервале $(1, 3)$), симметрично относительно оси Ox. В результате получаем W-образный график с "вершинами" в точках $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(3, 0)$.

График функции $g(x) = \frac{1}{2}x$ – это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(2, 1)$.

Построим оба графика в одной системе координат.

a) решите уравнение $f(x)=g(x)$

Корни уравнения $f(x)=g(x)$ – это абсциссы точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Из графика видно, что таких точек три. Одна из них очевидна: $(2, 1)$, следовательно, $x=2$ является корнем.

Для нахождения остальных корней решим уравнение аналитически, раскрыв модули в функции $f(x)$ на разных участках:

$f(x) = \begin{cases} 1-x, & \text{если } x \le 1 \\ x-1, & \text{если } 1 < x < 2 \\ 3-x, & \text{если } 2 \le x < 3 \\ x-3, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$

Приравняем $g(x)=\frac{1}{2}x$ к каждому из выражений для $f(x)$ на соответствующем промежутке:

1. На промежутке $x \le 1$: $1-x = \frac{1}{2}x \Rightarrow 1 = \frac{3}{2}x \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Корень $x=\frac{2}{3}$ принадлежит промежутку $x \le 1$.

2. На промежутке $1 < x < 2$: $x-1 = \frac{1}{2}x \Rightarrow \frac{1}{2}x = 1 \Rightarrow x=2$. Этот корень не входит в интервал $(1, 2)$.

3. На промежутке $2 \le x < 3$: $3-x = \frac{1}{2}x \Rightarrow 3 = \frac{3}{2}x \Rightarrow x=2$. Этот корень мы уже нашли, он принадлежит промежутку $[2, 3)$.

4. На промежутке $x \ge 3$: $x-3 = \frac{1}{2}x \Rightarrow \frac{1}{2}x = 3 \Rightarrow x=6$. Корень $x=6$ принадлежит промежутку $x \ge 3$.

Таким образом, графики пересекаются в трех точках с абсциссами $x=\frac{2}{3}$, $x=2$ и $x=6$.

Ответ: $x \in \{\frac{2}{3}, 2, 6\}$.

б) решите неравенство $f(x) \geq g(x)$

Решение неравенства $f(x) \ge g(x)$ – это множество всех значений $x$, при которых график функции $y=f(x)$ расположен на или выше графика функции $y=g(x)$.

Используя найденные в пункте а) точки пересечения, рассмотрим промежутки, на которые они разбивают числовую ось:

1. При $x \le \frac{2}{3}$, график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$. В точке $x=\frac{2}{3}$ графики пересекаются. Значит, промежуток $(-\infty, \frac{2}{3}]$ является решением.

2. При $\frac{2}{3} < x < 2$, график $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$.

3. В точке $x=2$ графики пересекаются, т.е. $f(2)=g(2)$, значит, $x=2$ входит в решение.

4. При $2 < x < 6$, график $f(x)$ находится ниже графика $g(x)$.

5. При $x \ge 6$, график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$. В точке $x=6$ графики пересекаются. Значит, промежуток $[6, \infty)$ является решением.

Объединяя полученные результаты, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{2}{3}] \cup \{2\} \cup [6, \infty)$.

в) ответьте на вопрос: «Сколько корней имеет уравнение $f(x)=a$ в зависимости от $a$?»

Количество корней уравнения $f(x)=a$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$. Проанализируем количество пересечений в зависимости от значения параметра $a$.

Из построенного графика $y=f(x)$ видно, что:

- Минимальное значение функции равно 0, которое достигается в точках $x=1$ и $x=3$.

- Локальный максимум равен 1 и достигается в точке $x=2$.

Рассмотрим различные случаи для $a$:

- Если $a < 0$, прямая $y=a$ проходит ниже оси Ox и не имеет общих точек с графиком $f(x)$, так как $f(x) \ge 0$. Уравнение не имеет корней.

- Если $a = 0$, прямая $y=a$ совпадает с осью Ox и касается графика в двух точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$. Уравнение имеет два корня.

- Если $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает график $f(x)$ в четырех точках. Уравнение имеет четыре корня.

- Если $a = 1$, прямая $y=a$ проходит через локальный максимум $(2, 1)$ и пересекает две другие ветви графика. Уравнение имеет три корня ($x=0, x=2, x=4$).

- Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает "крайние" ветви графика в двух точках. Уравнение имеет два корня.

Ответ:
- при $a < 0$ – нет корней;
- при $a = 0$ – 2 корня;
- при $0 < a < 1$ – 4 корня;
- при $a = 1$ – 3 корня;
- при $a > 1$ – 2 корня.