Страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

49. (3) Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции $y=\frac{x^2+1}{x-3}$: первая в точке на графике с абсциссой $x=4$, а вторая в точке с абсциссой $x=-2$.

Для решения задачи необходимо найти уравнения двух касательных к графику функции $y = \frac{x^2 + 1}{x - 3}$ в заданных точках, а затем найти координаты точки их пересечения, решив систему уравнений этих касательных.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем производную функции.

Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3}$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^2+1)'(x-3) - (x^2+1)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$.

2. Найдем уравнение первой касательной в точке с абсциссой $x_0 = 4$.

Сначала найдем значение функции в этой точке: $f(4) = \frac{4^2 + 1}{4 - 3} = \frac{16 + 1}{1} = 17$.

Затем найдем значение производной (угловой коэффициент касательной) в этой точке: $f'(4) = \frac{4^2 - 6(4) - 1}{(4-3)^2} = \frac{16 - 24 - 1}{1^2} = -9$.

Теперь подставим найденные значения в уравнение касательной: $y = 17 + (-9)(x - 4) = 17 - 9x + 36 = -9x + 53$.

Таким образом, уравнение первой касательной: $y_1 = -9x + 53$.

3. Найдем уравнение второй касательной в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

Найдем значение функции в этой точке: $f(-2) = \frac{(-2)^2 + 1}{-2 - 3} = \frac{4+1}{-5} = \frac{5}{-5} = -1$.

Найдем значение производной в этой точке: $f'(-2) = \frac{(-2)^2 - 6(-2) - 1}{(-2-3)^2} = \frac{4 + 12 - 1}{(-5)^2} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.

Подставим значения в уравнение касательной: $y = -1 + \frac{3}{5}(x - (-2)) = -1 + \frac{3}{5}(x + 2) = -1 + \frac{3}{5}x + \frac{6}{5} = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}$.

Таким образом, уравнение второй касательной: $y_2 = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}$.

4. Найдем координаты точки пересечения двух касательных.

Для нахождения точки пересечения необходимо приравнять правые части уравнений касательных ($y_1 = y_2$): $-9x + 53 = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 5: $5(-9x + 53) = 5(\frac{3}{5}x + \frac{1}{5})$ $-45x + 265 = 3x + 1$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а константы — в другой: $265 - 1 = 3x + 45x$ $264 = 48x$.

Отсюда найдем абсциссу точки пересечения: $x = \frac{264}{48} = \frac{11}{2} = 5.5$.

Теперь найдем ординату точки пересечения, подставив найденное значение $x$ в уравнение любой из касательных. Воспользуемся уравнением первой касательной: $y = -9(\frac{11}{2}) + 53 = -\frac{99}{2} + \frac{106}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Координаты точки пересечения двух касательных: $(\frac{11}{2}; \frac{7}{2})$.

Ответ: $(\frac{11}{2}; \frac{7}{2})$.

50. (3) Найдите уравнение всех тех касательных к графику функции $y=\sqrt{1-2x^2}$, каждая из которых вместе с осями координат ограничивает треугольник площадью $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Задача состоит в том, чтобы найти уравнения всех касательных к графику функции $y = \sqrt{1 - 2x^2}$, которые вместе с осями координат образуют треугольник площадью $S = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

1. Находим производную функции.
Функция задана как $y(x) = \sqrt{1 - 2x^2}$. Для нахождения уравнения касательной нам понадобится ее производная. Используем правило дифференцирования сложной функции:$y'(x) = (\sqrt{1 - 2x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - 2x^2}} \cdot (1 - 2x^2)' = \frac{-4x}{2\sqrt{1 - 2x^2}} = \frac{-2x}{\sqrt{1 - 2x^2}}$.

2. Составляем общее уравнение касательной.
Уравнение касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.Подставим наши значения для $y(x_0)$ и $y'(x_0)$:$y(x_0) = \sqrt{1 - 2x_0^2}$$y'(x_0) = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$Получаем уравнение касательной:$y_{кас} = \sqrt{1 - 2x_0^2} + \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}(x - x_0)$.Преобразуем это уравнение, чтобы найти точки пересечения с осями:$y_{кас} = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{2x_0^2}{\sqrt{1 - 2x_0^2}} + \sqrt{1 - 2x_0^2}$$y_{кас} = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{2x_0^2 + (1 - 2x_0^2)}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$$y_{кас} = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.

3. Находим точки пересечения касательной с осями координат.
Касательная образует с осями координат прямоугольный треугольник. Его катеты равны модулям отрезков, отсекаемых касательной на осях OX и OY.Точка пересечения с осью OY (y-перехват): полагаем $x = 0$.$y_{перес} = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.Точка пересечения с осью OX (x-перехват): полагаем $y_{кас} = 0$.$0 = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.Умножим обе части на $\sqrt{1 - 2x_0^2}$ (это выражение не равно нулю, иначе касательная не определена):$0 = -2x_0 x + 1 \Rightarrow x_{перес} = \frac{1}{2x_0}$. (Это верно при $x_0 \ne 0$. Если $x_0=0$, касательная $y=1$ параллельна оси OX и не образует треугольника).

4. Вычисляем площадь треугольника и решаем уравнение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = \frac{1}{2} |x_{перес}| |y_{перес}| = \frac{1}{2} \left|\frac{1}{2x_0}\right| \left|\frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}\right| = \frac{1}{4|x_0|\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.По условию задачи, площадь равна $\frac{1}{\sqrt{2}}$:$\frac{1}{4|x_0|\sqrt{1 - 2x_0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.$4|x_0|\sqrt{1 - 2x_0^2} = \sqrt{2}$.Возведем обе части уравнения в квадрат:$16x_0^2(1 - 2x_0^2) = 2$.$8x_0^2(1 - 2x_0^2) = 1$.$8x_0^2 - 16x_0^4 = 1$.$16x_0^4 - 8x_0^2 + 1 = 0$.Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x_0^2$ (где $t \ge 0$):$16t^2 - 8t + 1 = 0$.Это полный квадрат: $(4t - 1)^2 = 0$.Отсюда $4t - 1 = 0$, то есть $t = \frac{1}{4}$.Возвращаемся к $x_0$:$x_0^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_0 = \pm\frac{1}{2}$.

5. Находим уравнения касательных.
Мы нашли две возможные абсциссы точки касания. Найдем уравнение для каждой из них.Общее уравнение касательной: $y = \frac{-2x_0}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}x + \frac{1}{\sqrt{1 - 2x_0^2}}$.Для $x_0^2 = 1/4$, знаменатель $\sqrt{1 - 2x_0^2} = \sqrt{1 - 2(\frac{1}{4})} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Случай 1: $x_0 = \frac{1}{2}$.Коэффициент наклона: $k = \frac{-2(\frac{1}{2})}{1/\sqrt{2}} = \frac{-1}{1/\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.Свободный член: $b = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.Уравнение касательной: $y = -\sqrt{2}x + \sqrt{2}$.

Случай 2: $x_0 = -\frac{1}{2}$.Коэффициент наклона: $k = \frac{-2(-\frac{1}{2})}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.Свободный член: $b = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.Уравнение касательной: $y = \sqrt{2}x + \sqrt{2}$.

Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $y = \sqrt{2}x + \sqrt{2}$ и $y = -\sqrt{2}x + \sqrt{2}$.

51. (3)

К графику функции $y=3x-x^2$ проведены две касательные. Первая касательная проведена в точке на графике с абсциссой $x_0=2$, вторая в точке максимума данной функции. Найдите площадь треугольника, образованного осью ординат и этими касательными.

Первая касательная, проведенная в точке на графике с абсциссой $x_0=2$

Для нахождения уравнения касательной используется формула $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = y = 3x - x^2$.
Найдем ее производную: $f'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$.
Первая касательная проведена в точке с абсциссой $x_0 = 2$. Вычислим значение функции и ее производной в этой точке:
$f(2) = 3 \cdot 2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$.
$f'(2) = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$.
Подставим найденные значения в формулу касательной:
$y = 2 + (-1)(x - 2) = 2 - x + 2 = 4 - x$.
Уравнение первой касательной: $y = -x + 4$.

Вторая касательная, проведенная в точке максимума данной функции

Чтобы найти точку максимума, необходимо найти точку, в которой производная функции равна нулю:
$f'(x) = 0 \implies 3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x_{max} = 1.5$.
Это абсцисса точки касания для второй касательной. Найдем ординату этой точки:
$f(1.5) = 3 \cdot 1.5 - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25$.
Значение производной в точке максимума равно нулю, $f'(1.5) = 0$. Это означает, что касательная является горизонтальной прямой.
Ее уравнение: $y = 2.25$.

Площадь треугольника, образованного осью ординат и этими касательными

Треугольник образован тремя прямыми: первой касательной $y = -x + 4$, второй касательной $y = 2.25$ и осью ординат, уравнение которой $x = 0$.
Найдем вершины этого треугольника как точки пересечения этих прямых:
1. Пересечение двух касательных:$ -x + 4 = 2.25 \implies x = 4 - 2.25 = 1.75$.Координаты первой вершины: $(1.75, 2.25)$.
2. Пересечение первой касательной с осью ординат ($x=0$):$y = -0 + 4 = 4$.Координаты второй вершины: $(0, 4)$.
3. Пересечение второй касательной с осью ординат ($x=0$):$y = 2.25$.Координаты третьей вершины: $(0, 2.25)$.
Основание треугольника лежит на оси ординат, его длина равна модулю разности ординат второй и третьей вершин:
$a = |4 - 2.25| = 1.75$.
Высота треугольника, проведенная к этому основанию, равна абсциссе первой вершины:
$h = 1.75$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} a \cdot h$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 1.75 \cdot 1.75 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{4})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{16} = \frac{49}{32}$.

Ответ: $\frac{49}{32}$

52. (2)

Если бы вчера был понедельник, то через 72 часа после сегодняшнего полудня был бы день недели, который на самом деле будет послезавтра. Из этого следует, что завтра будет...?

Для решения этой задачи необходимо последовательно разобрать ее условия, разделяя гипотетическую ситуацию и реальную.

1. Гипотетическая ситуация.
Условие начинается с допущения: "Если бы вчера был понедельник". Из этого следует, что в этом воображаемом мире:
• "Сегодня" был бы вторник.
• "Завтра" была бы среда.

2. Расчет в гипотетической ситуации.
Далее в задаче говорится о времени "через 72 часа после сегодняшнего полудня". Рассчитаем, какой это был бы день недели. 72 часа — это ровно трое суток, так как $72 \text{ часа} / 24 \text{ часа/сутки} = 3 \text{ суток}$.
Если бы "сегодня" был вторник, то через трое суток после вторника наступила бы пятница.

3. Связь с реальным временем.
Ключевая фраза задачи связывает гипотетический мир с реальным: вычисленный нами день (пятница) — это тот день, "который на самом деле будет послезавтра".

4. Вывод для реального времени.
Итак, мы знаем, что в реальности "послезавтра" — это пятница. Отталкиваясь от этого факта, мы можем определить, какой день будет завтра:
• Если послезавтра — пятница,
• то завтра — четверг,
• а сегодня — среда.

Вопрос задачи: "Из этого следует, что завтра будет...?". Наш расчет показывает, что завтра будет четверг.

Ответ: четверг

53. (3) В течение недели перед экзаменом ученик занимался 12 часов 15 минут, причем ежедневно он тратил на подготовку к экзамену на одно и то же число минут больше, чем в предыдущий день. В первые 3 дня он занимался в общей сложности 3 часа 45 минут. Сколько минут он занимался накануне экзамена?

Пусть время, которое ученик занимался в первый день, составляет $a_1$ минут. Поскольку каждый день он занимался на одно и то же число минут больше, чем в предыдущий, время занятий по дням представляет собой арифметическую прогрессию. Обозначим эту постоянную разницу в минутах как $d$. Подготовка к экзамену длилась неделю, то есть 7 дней ($n=7$).

Для решения задачи переведем все временные интервалы в минуты:

Общее время занятий за неделю ($S_7$): 12 часов 15 минут = $12 \times 60 + 15 = 720 + 15 = 735$ минут.

Время занятий за первые 3 дня ($S_3$): 3 часа 45 минут = $3 \times 60 + 45 = 180 + 45 = 225$ минут.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$. Используем эту формулу, чтобы составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$.

1. Для суммы за 7 дней ($S_7$):
$S_7 = \frac{2a_1 + (7-1)d}{2} \cdot 7 = 735$
$\frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = 735$
$(a_1 + 3d) \cdot 7 = 735$
$a_1 + 3d = 105$

2. Для суммы за 3 дня ($S_3$):
$S_3 = \frac{2a_1 + (3-1)d}{2} \cdot 3 = 225$
$\frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = 225$
$(a_1 + d) \cdot 3 = 225$
$a_1 + d = 75$

Теперь решим систему уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 3d = 105 \\ a_1 + d = 75 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 105 - 75$
$2d = 30$
$d = 15$

Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 15 = 75$
$a_1 = 75 - 15$
$a_1 = 60$

Таким образом, в первый день ученик занимался 60 минут, а каждый следующий день — на 15 минут дольше.

Вопрос задачи — сколько минут ученик занимался накануне экзамена, то есть в последний, седьмой день. Нам нужно найти седьмой член прогрессии ($a_7$).

Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
$a_7 = 60 + 6 \cdot 15$
$a_7 = 60 + 90$
$a_7 = 150$

Ответ: 150 минут.

54. (3) Требуется приготовить определенное количество порций омлета. На рынке имеется два вида одинаковых по форме яиц, но высота яиц первого вида в 1,5 раза больше высоты яиц второго вида. Сколько яиц второго вида можно купить вместо 8 яиц первого?

A) 10 B) 12 C) 16 D) 27 E) 24

Для решения этой задачи необходимо найти соотношение объемов яиц двух видов, так как количество порций омлета, которое можно приготовить, прямо пропорционально общему объему яичной массы.

В условии сказано, что яйца обоих видов "одинаковых по форме". Это означает, что они являются геометрически подобными телами. Обозначим высоту яйца первого (большего) вида как $h_1$, а высоту яйца второго (меньшего) вида — как $h_2$. По условию, высота яиц первого вида в 1,5 раза больше высоты яиц второго вида. Запишем это в виде формулы:

$h_1 = 1.5 \cdot h_2$

Отношение линейных размеров подобных тел называется коэффициентом подобия $k$. В данном случае:

$k = \frac{h_1}{h_2} = 1.5$

Согласно свойству подобных тел, отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия. Обозначим объемы яиц первого и второго вида как $V_1$ и $V_2$ соответственно. Тогда их отношение будет:

$\frac{V_1}{V_2} = k^3 = (1.5)^3$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$:

$(1.5)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$

Это означает, что объем одного яйца первого вида равен объему $\frac{27}{8}$ яиц второго вида: $V_1 = \frac{27}{8} V_2$.

Теперь нам нужно определить, сколько яиц второго вида (обозначим это количество как $N_2$) потребуется, чтобы заменить 8 яиц первого вида ($N_1 = 8$) и получить тот же суммарный объем. Для этого приравняем общие объемы:

$N_1 \cdot V_1 = N_2 \cdot V_2$

Подставим в это равенство известные нам значения $N_1 = 8$ и соотношение $V_1 = \frac{27}{8} V_2$:

$8 \cdot \left(\frac{27}{8} V_2\right) = N_2 \cdot V_2$

Сокращаем $V_2$ в обеих частях уравнения (так как объем яйца не равен нулю) и производим вычисления:

$8 \cdot \frac{27}{8} = N_2$

$N_2 = 27$

Таким образом, для получения того же количества омлета вместо 8 яиц первого вида потребуется 27 яиц второго вида.

Ответ: D) 27

55. (2) Решите уравнения:

a) $x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0$

б) $(3|x + 1| + \frac{1}{3})^2 = 6(x + 1)^2 + \frac{10}{9}$

а) $x^2+4|x-3|-7x+11=0$

Данное уравнение содержит модуль, поэтому для его решения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x-3 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 3$.

В этом случае $|x-3|=x-3$, и уравнение принимает вид:

$x^2+4(x-3)-7x+11=0$

$x^2+4x-12-7x+11=0$

$x^2-3x-1=0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2-4ac = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9+4=13$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = \frac{3+\sqrt{13}}{2}$. Так как $\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$, то $3 < \sqrt{13} < 4$. Следовательно, $\frac{3+3}{2} < \frac{3+\sqrt{13}}{2}$, то есть $3 < x_1$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Корень $x_2 = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_2 \approx \frac{3-3.6}{2} = -0.3$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, то есть $x-3 < 0$, что эквивалентно $x < 3$.

В этом случае $|x-3|=-(x-3)=3-x$, и уравнение принимает вид:

$x^2+4(3-x)-7x+11=0$

$x^2+12-4x-7x+11=0$

$x^2-11x+23=0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = b^2-4ac = (-11)^2-4 \cdot 1 \cdot 23 = 121-92=29$

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{11 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 3$.

Корень $x_3 = \frac{11+\sqrt{29}}{2}$. Так как $\sqrt{25} < \sqrt{29} < \sqrt{36}$, то $5 < \sqrt{29} < 6$. Следовательно, $x_3 > \frac{11+5}{2} = 8$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 3$.

Корень $x_4 = \frac{11-\sqrt{29}}{2}$. Так как $5 < \sqrt{29} < 6$, то $\frac{11-6}{2} < x_4 < \frac{11-5}{2}$, то есть $2.5 < x_4 < 3$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 3$.

Объединяя результаты из двух случаев, получаем два решения.

Ответ: $\frac{3+\sqrt{13}}{2}; \frac{11-\sqrt{29}}{2}$.

б) $(3|x+1|+\frac{1}{3})^2=6(x+1)^2+\frac{10}{9}$

Заметим, что $(x+1)^2 = |x+1|^2$. Это позволяет переписать уравнение, используя только $|x+1|$:

$(3|x+1|+\frac{1}{3})^2=6|x+1|^2+\frac{10}{9}$

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $y = |x+1|$. Так как модуль любого числа является неотрицательной величиной, то $y \ge 0$.

Уравнение с новой переменной:

$(3y+\frac{1}{3})^2=6y^2+\frac{10}{9}$

Раскроем скобки в левой части и приведем подобные слагаемые:

$9y^2+2 \cdot 3y \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = 6y^2+\frac{10}{9}$

$9y^2+2y+\frac{1}{9} = 6y^2+\frac{10}{9}$

$9y^2-6y^2+2y+\frac{1}{9}-\frac{10}{9}=0$

$3y^2+2y-1=0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D = 2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4+12=16=4^2$

$y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-2-4}{6} = \frac{-6}{6}=-1$

Согласно условию $y \ge 0$, корень $y_2=-1$ является посторонним. Используем единственный подходящий корень $y_1=\frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену:

$|x+1|=\frac{1}{3}$

Это уравнение распадается на два:

1) $x+1 = \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{3}-1 = -\frac{2}{3}$

2) $x+1 = -\frac{1}{3} \implies x = -\frac{1}{3}-1 = -\frac{4}{3}$

Оба найденных значения являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-\frac{4}{3}; -\frac{2}{3}$.