Страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Найти уравнения касательной к графику функции в точках пересечения этого графика с осью абсцисс (38–39):

38. (2) $y=4x-x^2$.

38. (2) Чтобы найти уравнения касательных к графику функции в точках его пересечения с осью абсцисс, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графика с осью абсцисс.
Пересечение с осью абсцисс (осью Ox) происходит в точках, где ордината $y$ равна нулю. Приравняем данную функцию к нулю:
$y = 4x - x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4 - x) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Таким образом, мы имеем две точки касания: $A(0, 0)$ и $B(4, 0)$.

2. Найти производную функции.
Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Найдем производную функции $y(x) = 4x - x^2$:
$y'(x) = (4x - x^2)' = 4 - 2x$.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту $k$ касательной.

3. Найти уравнение касательной для каждой точки.

Для точки A(0, 0):
Абсцисса точки касания $x_0 = 0$.
Значение функции в этой точке: $y(0) = 4 \cdot 0 - 0^2 = 0$.
Угловой коэффициент касательной: $k_1 = y'(0) = 4 - 2 \cdot 0 = 4$.
Подставляем значения в уравнение касательной:
$y = 0 + 4(x - 0)$
$y = 4x$

Для точки B(4, 0):
Абсцисса точки касания $x_0 = 4$.
Значение функции в этой точке: $y(4) = 4 \cdot 4 - 4^2 = 16 - 16 = 0$.
Угловой коэффициент касательной: $k_2 = y'(4) = 4 - 2 \cdot 4 = 4 - 8 = -4$.
Подставляем значения в уравнение касательной:
$y = 0 + (-4)(x - 4)$
$y = -4x + 16$

Ответ: $y = 4x$ и $y = -4x + 16$.

39. (2) $y=6x^2-5x+1.$

Для полного исследования данной квадратичной функции $y = 6x^2 - 5x + 1$ проанализируем ее основные свойства.

1. Направление ветвей параболы
Функция является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты равны $a = 6$, $b = -5$, $c = 1$.
Поскольку старший коэффициент $a = 6$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.
Ответ: Ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины и ось симметрии
Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 6} = \frac{5}{12}$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:
$y_v = 6\left(\frac{5}{12}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{12}\right) + 1 = 6 \cdot \frac{25}{144} - \frac{25}{12} + 1 = \frac{25}{24} - \frac{50}{24} + \frac{24}{24} = \frac{25 - 50 + 24}{24} = -\frac{1}{24}$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(\frac{5}{12}, -\frac{1}{24})$.
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = \frac{5}{12}$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(\frac{5}{12}, -\frac{1}{24})$, уравнение оси симметрии $x = \frac{5}{12}$.

3. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью ординат (осью Oy):
Происходит при $x = 0$. Подставим это значение в функцию:
$y(0) = 6 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 + 1 = 1$.
Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 1)$.
Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):
Происходит при $y = 0$. Необходимо решить квадратное уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.
$x_1 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$. Точки пересечения с осью Ox: $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

4. Область определения и область значений
Область определения функции $D(y)$:
Квадратичная функция определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции $E(y)$:
Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Это значение равно ординате вершины $y_v = -\frac{1}{24}$.
Следовательно, функция принимает все значения, большие или равные $-\frac{1}{24}$.
$E(y) = [-\frac{1}{24}; +\infty)$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-\frac{1}{24}; +\infty)$.

40. Найдите уравнения касательной к графику функции в точках пересечения этого графика с осью ординат:

(3) $y=4+\sqrt[3]{x^5}+\operatorname{ctg}\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)$

(3) $y=4+\sqrt[3]{x^5}+\operatorname{ctg}\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)$

Общее уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдём точку пересечения графика функции с осью ординат. Пересечение с осью ординат происходит в точке, где абсцисса $x_0 = 0$.

Вычислим значение функции в этой точке (ординату точки касания):

$y_0 = f(0) = 4+\sqrt[3]{0^5}+\operatorname{ctg}\left(2 \cdot 0+\frac{\pi}{2}\right) = 4+0+\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4+0+0=4$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; 4)$.

2. Найдём производную функции $y = f(x)$.

Для удобства дифференцирования сначала упростим функцию, используя формулу приведения $\operatorname{ctg}\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\operatorname{tg}(\alpha)$. Также представим корень в виде степени:

$y = 4+x^{5/3}-\operatorname{tg}(2x)$.

Теперь найдём производную этой функции:

$y' = f'(x) = (4+x^{5/3}-\operatorname{tg}(2x))' = (4)' + (x^{5/3})' - (\operatorname{tg}(2x))'$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = 0 + \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} - \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k$.

$k = f'(0) = \frac{5}{3}(0)^{2/3} - \frac{2}{\cos^2(2 \cdot 0)} = \frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{2}{\cos^2(0)}$.

Так как $\cos(0) = 1$, то:

$k = 0 - \frac{2}{1^2} = -2$.

Угловой коэффициент касательной равен $-2$.

4. Составим уравнение касательной, подставив найденные значения $x_0=0$, $y_0=4$ и $k=-2$ в общую формулу:

$y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = 4 + (-2)(x - 0)$

$y = 4 - 2x$

Ответ: $y=-2x+4$.

41. Найти абсциссу $x_0$ точки графика функции $y = f(x)$, в которой касательная к нему параллельна заданной прямой.

(3) $y = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4$, прямая $y = 3 + x$.

(3)

Для того чтобы найти абсциссу $x_0$ точки, в которой касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна заданной прямой, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции $f'(x)$. Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной в этой точке.
2. Определить угловой коэффициент $k$ заданной прямой.
3. Приравнять производную к угловому коэффициенту ($f'(x_0) = k$), так как параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
4. Решить полученное уравнение относительно $x_0$.

Выполним эти шаги для заданной функции $y = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4$ и прямой $y = 3 + x$.

1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x - 4)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 10 - 0 = x^2 - 6x + 10$.

2. Определим угловой коэффициент прямой $y = 3 + x$. Уравнение можно записать в стандартном виде $y = 1 \cdot x + 3$. Угловой коэффициент $k$ равен 1.

3. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой:
$f'(x_0) = k$
$x_0^2 - 6x_0 + 10 = 1$.

4. Решим полученное квадратное уравнение:
$x_0^2 - 6x_0 + 10 - 1 = 0$
$x_0^2 - 6x_0 + 9 = 0$
Это уравнение представляет собой полный квадрат разности:
$(x_0 - 3)^2 = 0$
Отсюда следует:
$x_0 - 3 = 0$
$x_0 = 3$.

Ответ: 3.

Составьте уравнение той касательной к графику функции $y = f(x)$, которая образует с осью заданный угол $\alpha$, (42-43):

42. (2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$, $\alpha = 60^{\circ}$;

42. (2)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания $f'(x_0)$, а также тангенсу угла наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси Ox: $k = f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$ и угла $\alpha = 60^\circ$ найдем искомые уравнения.

1. Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x\right)' = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (3x^2) - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3}$.

3. Найдем абсциссы точек касания $x_0$, приравняв производную к угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = k$
$\sqrt{3}x_0^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$
$\sqrt{3}x_0^2 = 4\sqrt{3}$
$x_0^2 = 4$
Отсюда получаем две абсциссы: $x_{0,1} = 2$ и $x_{0,2} = -2$. Значит, существует две касательные, удовлетворяющие заданному условию.

4. Найдем уравнения для каждой касательной.

Для $x_0 = 2$:
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(2)^3 - 3\sqrt{3}(2) = \frac{8}{\sqrt{3}} - 6\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} - \frac{18\sqrt{3}}{3} = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$.
Уравнение касательной:
$y - (-\frac{10\sqrt{3}}{3}) = \sqrt{3}(x - 2)$
$y + \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$
$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x - \frac{6\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Для $x_0 = -2$:
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = f(-2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3 - 3\sqrt{3}(-2) = -\frac{8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{18\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.
Уравнение касательной:
$y - \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}(x - (-2))$
$y - \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}(x + 2)$
$y = \sqrt{3}x + 2\sqrt{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x + \frac{6\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$ и $y = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

43. (2) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$, $\alpha=30^\circ$.

(2)

Задача заключается в нахождении координат точек на графике функции $f(x)$, в которых касательная образует угол $\alpha = 30^\circ$ с положительным направлением оси абсцисс.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту $k$ касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$, в свою очередь, связан с углом наклона $\alpha$ касательной к оси Ox соотношением $k = \tan\alpha$.

1. Найдем угловой коэффициент касательной $k$.
По условию, угол наклона $\alpha = 30^\circ$.
$k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

2. Найдем производную функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$.
$f'(x) = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3\right)' = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}x\right)' - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}x^3\right)'$.
Используя правила дифференцирования, получаем:
$f'(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}x^2$.

3. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к найденному угловому коэффициенту $k$, чтобы найти абсциссы искомых точек.
$f'(x_0) = k$
$\frac{4}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}x_0^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}x_0^2 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}x_0^2 = \frac{3}{\sqrt{3}}$
Так как $\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$, получаем:
$\sqrt{3}x_0^2 = \sqrt{3}$
$x_0^2 = 1$
Отсюда следует, что есть две абсциссы: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -1$.

4. Найдем соответствующие ординаты точек касания $y_0 = f(x_0)$, подставив найденные значения $x_0$ в исходное уравнение функции.
Для $x_0 = 1$:
$y_0 = f(1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(1)^3 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Приводя дроби к общему знаменателю $3$, получаем:
$y_0 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.
Первая точка имеет координаты $(1, \sqrt{3})$.

Для $x_0 = -1$:
$y_0 = f(-1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(-1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3 = -\frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3}(-1) = -\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$y_0 = -\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{-3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$.
Вторая точка имеет координаты $(-1, -\sqrt{3})$.

Ответ: $(1, \sqrt{3})$ и $(-1, -\sqrt{3})$.

44. (2) К параболе $y=4-x^2$ в точке на ней с абсциссой $x_0=1$ проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью $Oy$.

Для решения задачи необходимо сначала составить уравнение касательной к параболе $y = 4 - x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$, а затем найти точку пересечения этой касательной с осью ординат (Оу).

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Находим координаты точки касания.

Абсцисса точки касания дана по условию: $x_0 = 1$.

Найдем ординату этой точки, подставив значение $x_0$ в уравнение параболы:

$y_0 = f(x_0) = 4 - x_0^2 = 4 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1; 3)$.

2. Находим уравнение касательной.

Сначала найдем производную функции $f(x) = 4 - x^2$:

$f'(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

Теперь найдем значение производной в точке касания $x_0 = 1$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной $k$.

$k = f'(x_0) = f'(1) = -2 \cdot 1 = -2$.

Подставим найденные значения $x_0 = 1$, $y_0 = f(x_0) = 3$ и $k = f'(x_0) = -2$ в уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0)$

$y = 3 + (-2)(x - 1)$

$y = 3 - 2x + 2$

$y = -2x + 5$

Это и есть уравнение касательной.

3. Находим точку пересечения касательной с осью Оу.

Пересечение с осью Оу происходит в точке, где абсцисса $x$ равна нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение касательной:

$y = -2 \cdot 0 + 5 = 5$.

Следовательно, точка пересечения касательной с осью Оу имеет координаты $(0; 5)$.

Ответ: $(0; 5)$.

45. (2) К параболе $y=4x-x^2$ в точке на ней с абсциссой $x_0=3$ проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью $Ox$.

Для решения задачи сначала найдем уравнение касательной к параболе $y = 4x - x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$, а затем определим точку пересечения этой касательной с осью абсцисс (Ox).

1. Нахождение координат точки касания
Нам дана абсцисса точки касания $x_0 = 3$. Чтобы найти ординату $y_0$, подставим значение $x_0$ в уравнение параболы: $y_0 = 4(3) - (3)^2 = 12 - 9 = 3$.
Таким образом, точка касания $M_0$ имеет координаты $(3; 3)$.

2. Нахождение уравнения касательной
Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x_0; y_0)$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Сначала найдем производную функции $f(x) = 4x - x^2$:
$f'(x) = (4x - x^2)' = 4 - 2x$.
Теперь вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 3$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной:
$k = f'(3) = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$.
Теперь подставим известные значения $x_0=3$, $f(x_0)=3$ и $f'(x_0)=-2$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = 3 + (-2)(x - 3)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y = 3 - 2x + 6$
$y = -2x + 9$.
Итак, уравнение касательной: $y = -2x + 9$.

3. Нахождение точки пересечения касательной с осью Ox
Точка пересечения прямой с осью Ox имеет ординату $y=0$. Подставим это значение в уравнение касательной, чтобы найти соответствующую абсциссу $x$:
$0 = -2x + 9$
$2x = 9$
$x = \frac{9}{2} = 4.5$.
Таким образом, точка пересечения касательной с осью Ox имеет координаты $(4.5; 0)$.

Ответ: $(4.5; 0)$.

46. (2) Найдите уравнение касательной к функции $y = \sqrt{4-2x-x^2}$, проходящей через точку $(3; 0)$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В данном случае, касательная проходит через точку $(3; 0)$, которая не обязательно является точкой касания. Пусть $x_0$ — это абсцисса точки касания на графике функции $f(x) = \sqrt{4 - 2x - x^2}$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{4 - 2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} \cdot (4 - 2x - x^2)' = \frac{-2 - 2x}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} = -\frac{1 + x}{\sqrt{4 - 2x - x^2}}$.

2. Составим уравнение касательной в точке $x_0$:

$y_0 = f(x_0) = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$

$k = f'(x_0) = -\frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}$

Уравнение касательной: $y = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2} - \frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(x - x_0)$.

3. Используем тот факт, что касательная проходит через точку $(3; 0)$. Подставим $x = 3$ и $y = 0$ в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$0 = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2} - \frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(3 - x_0)$.

Перенесем второе слагаемое в левую часть и умножим обе части на знаменатель $\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$ (он не равен нулю, так как в точке касания производная существует):

$\frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(3 - x_0) = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$

$(1 + x_0)(3 - x_0) = (\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2})^2$

$3 - x_0 + 3x_0 - x_0^2 = 4 - 2x_0 - x_0^2$

$3 + 2x_0 = 4 - 2x_0$

$4x_0 = 1$

$x_0 = \frac{1}{4}$.

4. Теперь, зная абсциссу точки касания $x_0 = \frac{1}{4}$, мы можем найти угловой коэффициент касательной $k = f'(x_0)$:

$k = f'(\frac{1}{4}) = -\frac{1 + \frac{1}{4}}{\sqrt{4 - 2(\frac{1}{4}) - (\frac{1}{4})^2}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{4 - \frac{1}{2} - \frac{1}{16}}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{64 - 8 - 1}{16}}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{55}{16}}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{55}}{4}} = -\frac{5}{\sqrt{55}}$.

Упростим выражение для $k$, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{55}$:

$k = -\frac{5\sqrt{55}}{55} = -\frac{\sqrt{55}}{11}$.

5. Мы знаем угловой коэффициент касательной $k = -\frac{\sqrt{55}}{11}$ и точку $(3; 0)$, через которую она проходит. Составим уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту $y - y_1 = k(x - x_1)$:

$y - 0 = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$

$y = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$.

47. (2) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции $y = \frac{3x-1}{x+8}$, которые образуют угол $45^{\circ}$ с осью $Ox$.

Условие, что касательная образует угол $45^\circ$ с осью $Ox$, означает, что её угловой коэффициент $k$ равен тангенсу этого угла. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$ в этой точке.
$k = y'(x_0) = \tan(45^\circ) = 1$.

Найдем производную функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(3x - 1)'(x + 8) - (3x - 1)(x + 8)'}{(x + 8)^2} = \frac{3(x + 8) - (3x - 1) \cdot 1}{(x + 8)^2} = \frac{3x + 24 - 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2}$.

Теперь найдем абсциссы $x_0$ точек касания, приравняв производную к угловому коэффициенту $k=1$:
$\frac{25}{(x_0 + 8)^2} = 1$
$(x_0 + 8)^2 = 25$
Это уравнение имеет два решения:
1) $x_0 + 8 = 5 \implies x_{0_1} = -3$
2) $x_0 + 8 = -5 \implies x_{0_2} = -13$

Для каждой найденной абсциссы $x_0$ найдем соответствующую ординату $y_0 = y(x_0)$ и составим уравнение касательной по формуле $y - y_0 = k(x - x_0)$.
Для первой касательной (при $x_0 = -3$):
Ордината точки касания: $y_0 = \frac{3(-3) - 1}{-3 + 8} = \frac{-10}{5} = -2$.
Уравнение касательной: $y - (-2) = 1 \cdot (x - (-3)) \implies y + 2 = x + 3 \implies y = x + 1$.
Для второй касательной (при $x_0 = -13$):
Ордината точки касания: $y_0 = \frac{3(-13) - 1}{-13 + 8} = \frac{-40}{-5} = 8$.
Уравнение касательной: $y - 8 = 1 \cdot (x - (-13)) \implies y - 8 = x + 13 \implies y = x + 21$.

Наконец, найдем координаты точек пересечения этих касательных с осью $Oy$. Для этого в уравнениях касательных нужно положить $x=0$:
1) Для касательной $y = x + 1$: при $x=0$, получаем $y=1$. Точка пересечения $(0, 1)$.
2) Для касательной $y = x + 21$: при $x=0$, получаем $y=21$. Точка пересечения $(0, 21)$.

Ответ: $(0, 1)$ и $(0, 21)$.

48. (3)
Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции $y=\sin 3x$: первая в точке на графике с абсциссой $x=\frac{\pi}{18}$, а вторая в точке с абсциссой $x=\frac{5\pi}{18}$.

Для нахождения координат точки пересечения двух касательных необходимо сначала составить уравнения этих касательных.
Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \sin(3x)$.
Найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

1. Составим уравнение первой касательной.
Касательная проведена в точке на графике с абсциссой $x_1 = \frac{\pi}{18}$.
Найдем значение функции в этой точке (ординату точки касания):
$f(x_1) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{18}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Найдем значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной):
$f'(x_1) = 3\cos(3 \cdot \frac{\pi}{18}) = 3\cos(\frac{\pi}{6}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Подставим найденные значения в общую формулу уравнения касательной:
$y = f(x_1) + f'(x_1)(x - x_1)$
$y = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{18})$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}x - \frac{3\sqrt{3}\pi}{2 \cdot 18}$
$y = \frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$.

2. Составим уравнение второй касательной.
Касательная проведена в точке на графике с абсциссой $x_2 = \frac{5\pi}{18}$.
Найдем значение функции в этой точке:
$f(x_2) = \sin(3 \cdot \frac{5\pi}{18}) = \sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Найдем значение производной в этой точке:
$f'(x_2) = 3\cos(3 \cdot \frac{5\pi}{18}) = 3\cos(\frac{5\pi}{6}) = 3\cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -3\cos(\frac{\pi}{6}) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной:
$y = f(x_2) + f'(x_2)(x - x_2)$
$y = \frac{1}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}(x - \frac{5\pi}{18})$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y = \frac{1}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{3\sqrt{3} \cdot 5\pi}{2 \cdot 18}$
$y = -\frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{5\sqrt{3}\pi}{12}$.

3. Найдем координаты точки пересечения касательных.
Для этого решим систему из двух полученных уравнений. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения $x$:
$\frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{5\sqrt{3}\pi}{12}$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а остальные — в правую:
$\frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{3\sqrt{3}}{2}x = \frac{5\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$
$3\sqrt{3}x = \frac{6\sqrt{3}\pi}{12}$
$3\sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$
Разделим обе части на $3\sqrt{3}$:
$x = \frac{\sqrt{3}\pi}{2 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$.
Теперь найдем ординату $y$, подставив найденное значение $x = \frac{\pi}{6}$ в уравнение любой из касательных. Возьмем уравнение первой касательной:
$y = \frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$
$y = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$
$y = \frac{3\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{12}$
$y = \frac{2\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{1}{2}$
$y = \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{1}{2}$.
Таким образом, координаты точки пересечения двух касательных: $(\frac{\pi}{6}; \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{6})$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6}; \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{6})$.