Страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Найти уравнения всех тех касательных к графику функции $y=\frac{x^2+1}{x}$, каждая из которых вместе с осями координат ограничивает треугольник площадью 2.

Для решения задачи найдем общее уравнение касательной к графику функции $y = \frac{x^2+1}{x}$ в произвольной точке с абсциссой $x_0$. Затем определим точки пересечения этой касательной с осями координат и выразим площадь треугольника, который она отсекает от координатных осей. Приравняв эту площадь к 2, мы найдем абсциссы точек касания $x_0$ и, следовательно, уравнения самих касательных.

Сначала преобразуем функцию для удобства дифференцирования: $f(x) = \frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x}$. Область определения функции: $x \neq 0$.

Найдем производную функции $f(x)$, которая определяет угловой коэффициент касательной в любой точке:$f'(x) = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:$y = \left(\frac{x_0^2+1}{x_0}\right) + \left(\frac{x_0^2-1}{x_0^2}\right)(x - x_0)$.Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить уравнение вида $y = kx+b$:$y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{x_0^2+1}{x_0} - x_0 \cdot \frac{x_0^2-1}{x_0^2}$$y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{x_0^2+1}{x_0} - \frac{x_0^2-1}{x_0}$$y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{(x_0^2+1) - (x_0^2-1)}{x_0}$$y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{2}{x_0}$.

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат.Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y_{int} = \frac{2}{x_0}$.Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x_{int} + \frac{2}{x_0}$, откуда $x_{int} = -\frac{2/x_0}{(x_0^2-1)/x_0^2} = -\frac{2x_0}{x_0^2-1}$.Для существования невырожденного треугольника необходимо, чтобы $x_{int} \neq 0$ и $y_{int} \neq 0$. Это условие выполняется, если $x_0 \neq 0$ (из области определения) и $x_0^2-1 \neq 0$, то есть $x_0 \neq \pm 1$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника, образованного касательной и осями координат, равна половине произведения длин катетов, которые равны модулям координат пересечения:$S = \frac{1}{2} |x_{int}| \cdot |y_{int}| = \frac{1}{2} \left| -\frac{2x_0}{x_0^2-1} \right| \cdot \left| \frac{2}{x_0} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2|x_0|}{|x_0^2-1|} \cdot \frac{2}{|x_0|} = \frac{2}{|x_0^2-1|}$.

По условию задачи, площадь треугольника равна 2, поэтому:$\frac{2}{|x_0^2-1|} = 2$$|x_0^2-1| = 1$.Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:1) $x_0^2 - 1 = 1 \implies x_0^2 = 2 \implies x_0 = \sqrt{2}$ или $x_0 = -\sqrt{2}$.2) $x_0^2 - 1 = -1 \implies x_0^2 = 0 \implies x_0 = 0$. Это значение не входит в область определения функции, поэтому оно не является решением.

Мы получили две абсциссы точек касания: $x_{0,1} = \sqrt{2}$ и $x_{0,2} = -\sqrt{2}$. Найдем соответствующие уравнения касательных, подставляя эти значения в общее уравнение $y = \frac{x_0^2-1}{x_0^2} x + \frac{2}{x_0}$.Для $x_0 = \sqrt{2}$:$y = \frac{(\sqrt{2})^2-1}{(\sqrt{2})^2} x + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} x + \sqrt{2}$.Для $x_0 = -\sqrt{2}$:$y = \frac{(-\sqrt{2})^2-1}{(-\sqrt{2})^2} x + \frac{2}{-\sqrt{2}} = \frac{1}{2} x - \sqrt{2}$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{2}$ и $y = \frac{1}{2}x - \sqrt{2}$.

Упражнение 6

Найти уравнения общих касательных к графикам функции $y = x^2$ и функции $y = -x^2 + 4x - 6$.

Пусть искомая общая касательная задается уравнением $y = kx + b$. Эта прямая должна касаться графиков обеих функций: $f(x) = x^2$ и $g(x) = -x^2 + 4x - 6$.

Для нахождения уравнений касательных воспользуемся производными. Уравнение касательной к графику функции $h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = h(x_0) + h'(x_0)(x-x_0)$.

1. Рассмотрим касательную к графику функции $f(x) = x^2$.Пусть точка касания имеет абсциссу $x_1$.Найдем производную: $f'(x) = 2x$.В точке $x_1$ значение производной равно $f'(x_1) = 2x_1$, а значение функции $f(x_1) = x_1^2$.Уравнение касательной в этой точке:$y = f(x_1) + f'(x_1)(x - x_1) = x_1^2 + 2x_1(x - x_1) = x_1^2 + 2x_1 x - 2x_1^2$.$y = 2x_1 x - x_1^2$.Сравнивая это уравнение с $y = kx + b$, получаем:$k = 2x_1$$b = -x_1^2$

2. Рассмотрим касательную к графику функции $g(x) = -x^2 + 4x - 6$.Пусть точка касания имеет абсциссу $x_2$.Найдем производную: $g'(x) = -2x + 4$.В точке $x_2$ значение производной равно $g'(x_2) = -2x_2 + 4$, а значение функции $g(x_2) = -x_2^2 + 4x_2 - 6$.Уравнение касательной в этой точке:$y = g(x_2) + g'(x_2)(x - x_2) = (-x_2^2 + 4x_2 - 6) + (-2x_2 + 4)(x - x_2)$.Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$y = (-2x_2 + 4)x + (-x_2^2 + 4x_2 - 6) - x_2(-2x_2 + 4)$$y = (-2x_2 + 4)x - x_2^2 + 4x_2 - 6 + 2x_2^2 - 4x_2$$y = (-2x_2 + 4)x + x_2^2 - 6$.Сравнивая это уравнение с $y = kx + b$, получаем:$k = -2x_2 + 4$$b = x_2^2 - 6$

3. Так как это одна и та же общая касательная, ее параметры $k$ и $b$ должны совпадать. Приравняем полученные выражения для $k$ и $b$:$ \begin{cases} 2x_1 = -2x_2 + 4 \\ -x_1^2 = x_2^2 - 6 \end{cases} $

Из первого уравнения системы выразим $x_1$:$x_1 = -x_2 + 2$.Подставим это выражение во второе уравнение системы:$-(-x_2 + 2)^2 = x_2^2 - 6$$-(x_2^2 - 4x_2 + 4) = x_2^2 - 6$$-x_2^2 + 4x_2 - 4 = x_2^2 - 6$$2x_2^2 - 4x_2 - 2 = 0$Разделим обе части уравнения на 2:$x_2^2 - 2x_2 - 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение для $x_2$:$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$x_2 = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Таким образом, мы получили две абсциссы точек касания, что означает существование двух общих касательных. Найдем их уравнения.

Случай 1: $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.Найдем параметры касательной $k$ и $b$:$k = -2x_2 + 4 = -2(1 + \sqrt{2}) + 4 = -2 - 2\sqrt{2} + 4 = 2 - 2\sqrt{2}$.$b = x_2^2 - 6 = (1 + \sqrt{2})^2 - 6 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 6 = 3 + 2\sqrt{2} - 6 = -3 + 2\sqrt{2}$.Уравнение первой касательной: $y = (2 - 2\sqrt{2})x - 3 + 2\sqrt{2}$.

Случай 2: $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.Найдем параметры касательной $k$ и $b$:$k = -2x_2 + 4 = -2(1 - \sqrt{2}) + 4 = -2 + 2\sqrt{2} + 4 = 2 + 2\sqrt{2}$.$b = x_2^2 - 6 = (1 - \sqrt{2})^2 - 6 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 6 = 3 - 2\sqrt{2} - 6 = -3 - 2\sqrt{2}$.Уравнение второй касательной: $y = (2 + 2\sqrt{2})x - 3 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $y = (2 + 2\sqrt{2})x - 3 - 2\sqrt{2}$ и $y = (2 - 2\sqrt{2})x - 3 + 2\sqrt{2}$.

Найти уравнения двух параллельных касательных соответственно к графикам $y=\sin 2x$ и $y=\frac{x^3}{3}+2x^2+6x$.

Условие параллельности двух прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Таким образом, нам нужно найти такой угловой коэффициент $k$, который может быть одновременно значением производной для обеих функций.

Обозначим данные функции: $f(x) = \sin(2x)$ и $g(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 6x$.

Найдем их производные:
$f'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$
$g'(x) = (\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 6x)' = x^2 + 4x + 6$

Теперь необходимо найти общее значение для $f'(x)$ и $g'(x)$. Для этого исследуем области значений каждой производной.

Область значений функции $f'(x) = 2\cos(2x)$ определяется областью значений косинуса. Так как $-1 \le \cos(2x) \le 1$, то $-2 \le 2\cos(2x) \le 2$. Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику $y=\sin(2x)$ может принимать значения из отрезка $E(f') = [-2, 2]$.

Функция $g'(x) = x^2 + 4x + 6$ является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем координаты вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Минимальное значение производной $g'(x)$ равно $g'(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$.
Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику $y=\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 6x$ может принимать значения из промежутка $E(g') = [2, +\infty)$.

Общий угловой коэффициент $k$ должен принадлежать пересечению областей значений $E(f')$ и $E(g')$. Единственным общим значением является $k=2$.

Теперь найдем уравнения касательных с этим угловым коэффициентом. Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = \sin(2x)$, найдем точку касания $(x_1, y_1)$, где $f'(x_1) = 2$:
$2\cos(2x_1) = 2 \implies \cos(2x_1) = 1$.
$2x_1 = 2\pi n \implies x_1 = \pi n$, где $n$ — целое число.
Для простоты выберем $n=0$, тогда $x_1 = 0$. Соответствующая ордината $y_1 = f(0) = \sin(0) = 0$.
Точка касания — $(0, 0)$. Уравнение первой касательной: $y - 0 = 2(x - 0) \implies y = 2x$.

Для функции $g(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 6x$, найдем точку касания $(x_2, y_2)$, где $g'(x_2) = 2$:
$x_2^2 + 4x_2 + 6 = 2 \implies x_2^2 + 4x_2 + 4 = 0 \implies (x_2 + 2)^2 = 0 \implies x_2 = -2$.
Соответствующая ордината $y_2 = g(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 6(-2) = -\frac{8}{3} + 8 - 12 = -\frac{8}{3} - 4 = -\frac{20}{3}$.
Точка касания — $(-2, -\frac{20}{3})$. Уравнение второй касательной: $y - (-\frac{20}{3}) = 2(x - (-2)) \implies y + \frac{20}{3} = 2x + 4 \implies y = 2x + 4 - \frac{20}{3} \implies y = 2x - \frac{8}{3}$.

Ответ: $y = 2x$ и $y = 2x - \frac{8}{3}$.