Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 4

Изобразите на координатной плоскости точку $A(4,6)$. Передвиньте точку на наименьшее расстояние так, чтобы она стала в 2 раза ближе к оси Oy, чем была. Как изменились ее координаты? Повторите все действия с точками $B(-4,6)$, $C(-1,-3)$, $D(5,-8)$, $E(0,4)$.

В задаче требуется переместить каждую точку так, чтобы она стала в 2 раза ближе к оси Oy. Расстояние от точки $(x, y)$ до оси Oy равно модулю ее абсциссы, то есть $|x|$. Чтобы переместить точку на наименьшее расстояние, нужно двигать ее перпендикулярно оси Oy, то есть параллельно оси Ox. Это означает, что изменяться будет только координата $x$, а координата $y$ останется прежней. Чтобы расстояние до оси Oy уменьшилось в 2 раза, нужно, чтобы новая абсцисса $x'$ была такой, что $|x'| = |x|/2$. Это достигается делением исходной абсциссы на 2: $x' = x/2$. Таким образом, преобразование для каждой точки $(x, y)$ будет выглядеть как $(x/2, y)$.

Для точки A(4, 6)
Исходные координаты: $A(4, 6)$. Расстояние до оси Oy равно $|4| = 4$. Чтобы расстояние стало в 2 раза меньше, оно должно быть равно $4/2=2$. Для этого абсциссу точки нужно разделить на 2, а ординату оставить без изменений.
Новая абсцисса: $x' = 4 / 2 = 2$.
Новая ордината: $y' = 6$.
Новые координаты точки A' равны $(2, 6)$.
Изменение координат: абсцисса уменьшилась в 2 раза, ордината не изменилась.
Ответ: Новые координаты A'(2, 6). Абсцисса уменьшилась в 2 раза, ордината не изменилась.

Для точки B(-4, 6)
Исходные координаты: $B(-4, 6)$. Расстояние до оси Oy равно $|-4| = 4$. Чтобы расстояние стало в 2 раза меньше, оно должно быть равно $4/2=2$. Для этого абсциссу точки нужно разделить на 2, а ординату оставить без изменений.
Новая абсцисса: $x' = -4 / 2 = -2$.
Новая ордината: $y' = 6$.
Новые координаты точки B' равны $(-2, 6)$.
Изменение координат: абсцисса разделилась на 2 (изменилась с -4 на -2), ордината не изменилась.
Ответ: Новые координаты B'(-2, 6). Абсцисса разделилась на 2, ордината не изменилась.

Для точки C(-1, -3)
Исходные координаты: $C(-1, -3)$. Расстояние до оси Oy равно $|-1| = 1$. Чтобы расстояние стало в 2 раза меньше, оно должно быть равно $1/2=0.5$. Для этого абсциссу точки нужно разделить на 2, а ординату оставить без изменений.
Новая абсцисса: $x' = -1 / 2 = -0.5$.
Новая ордината: $y' = -3$.
Новые координаты точки C' равны $(-0.5, -3)$.
Изменение координат: абсцисса разделилась на 2, ордината не изменилась.
Ответ: Новые координаты C'(-0.5, -3). Абсцисса разделилась на 2, ордината не изменилась.

Для точки D(5, -8)
Исходные координаты: $D(5, -8)$. Расстояние до оси Oy равно $|5| = 5$. Чтобы расстояние стало в 2 раза меньше, оно должно быть равно $5/2=2.5$. Для этого абсциссу точки нужно разделить на 2, а ординату оставить без изменений.
Новая абсцисса: $x' = 5 / 2 = 2.5$.
Новая ордината: $y' = -8$.
Новые координаты точки D' равны $(2.5, -8)$.
Изменение координат: абсцисса разделилась на 2, ордината не изменилась.
Ответ: Новые координаты D'(2.5, -8). Абсцисса разделилась на 2, ордината не изменилась.

Для точки E(0, 4)
Исходные координаты: $E(0, 4)$. Расстояние до оси Oy равно $|0| = 0$. Точка уже находится на оси Oy, ее расстояние до оси минимально и равно нулю. Если уменьшить это расстояние в 2 раза, оно останется равным нулю ($0/2=0$).
Новая абсцисса: $x' = 0 / 2 = 0$.
Новая ордината: $y' = 4$.
Новые координаты точки E' равны $(0, 4)$. Точка не сдвинулась.
Изменение координат: координаты не изменились.
Ответ: Новые координаты E'(0, 4). Координаты не изменились.

Упражнение 5

Изобразите на координатной плоскости точку $A(4,2)$. Передвиньте точку на наименьшее расстояние так, чтобы она стала в 3 раза дальше от оси Ox, чем была. Как изменились ее координаты? Повторите все действия с точками $B(-4,2)$, $C(-1,3)$, $D(5,-1.5)$, $E(-3,0)$. Преобразование, описанное в упражнении 4, будем называть сжатием в 2 раза вдоль оси Ox относительно оси Oy. Преобразование, описанное в упражнении 5, будем называть растяжением в 3 раза вдоль оси Oy относительно оси Ox.

Основной вопрос, который мы будем рассматривать: как простейшие алгебраические преобразования аналитической формулы, которой задается функция, отражаются на преобразованиях графика? При этом будем считать, что график функции $y=f(x)$ уже построен.

В следующей таблице укажем алгебраические преобразования функции $y=f(x)$, соответствующие им геометрические преобразования графика и примеры. Во всех примерах черным цветом изображен график функции, красным – результат преобразования.

Функция: $y=f(x)+b$

Преобразование графика и обозначение: Параллельный перенос на $b$ единиц вдоль оси Oy (P1). Примечание. Если, например, $b=-2$, то фраза «перенос на -2 единицы вдоль оси Oy» означает сдвиг вниз.

Пример:

Функция: $y=f(x+a)$

Преобразование графика и обозначение: Параллельный перенос на $a$ единиц вдоль оси Ox (P2)

Пример:

Функция: $y=f(kx), k>0$

Преобразование графика и обозначение: Сжатие в $k$ раз вдоль оси Ox относительно оси Oy при $k>1$; растяжение в $k$ раз вдоль Ox относительно оси Oy при $0

Пример:

Функция: $y=kf(x), k>0$

Преобразование графика и обозначение: Растяжение в $k$ раз вдоль Oy относительно оси Ox при $k>1$; сжатие $\frac{1}{k}$ раз вдоль Oy относительно оси Ox при $0

Пример:

Функция: $y=-f(x)$

Преобразование графика и обозначение: Симметрия относительно оси Ox (P5)

Пример:

Функция: $y=f(-x)$

Преобразование графика и обозначение: Симметрия относительно оси Oy (P6)

Пример:

Функция: $y=|f(x)|$

Преобразование графика и обозначение: Часть графика, лежащая в верхней полуплоскости относительно Ox, не изменяется. Часть графика, лежащая в нижней полуплоскости, отражается симметрично относительно Ox (P7)

Пример:

Функция: $y=f(|x|)$

Преобразование графика и обозначение: Часть графика, лежащая в правой относительно Oy полуплоскости, остается без изменений; часть графика, лежащая в левой относительно Oy полуплоскости, заменяем на симметричное отражение правой относительно Oy (P8)

Пример:

Докажем, что описанные преобразования корректны.

1) Преобразование P1: $y=f(x)+b$. Точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y=f(x)$, т.е. $y_0=f(x_0)$. В результате сдвига на $b$ единиц вдоль оси Oy точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, y_0+b)$. Подставляя эти координаты в уравнение $y=f(x)+b$, получаем равенство $y_0+b=f(x_0)+b$, которое является верным в силу того, что равенство $y_0=f(x_0)$ верно.

2) Преобразование P8: $y=f(|x|)$. Это значит, что на множестве $x \ge 0$, т.е. в правой относительно Oy полуплоскости, графики $y=f(|x|)$ и $y=f(x)$ совпадают. Заметим теперь, что $f(|-x|)=f(|x|)$, так как $|-x|=|x|$. Это значит, что функция $y=f(|x|)$ – четная и ось Oy является осью симметрии ее графика. Приходится левую часть графика $y=f(x)$ заменить на симметричное отражение правой.

3) Преобразование P3: $y=f(kx)$, $0 Пусть $(x_0, y_0)$ – точка графика $y=f(x)$. Растяжение в $\frac{1}{k}$ раз вдоль оси Ox относительно оси Oy означает, что точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(\frac{1}{k}x_0, y_0)$. Для доказательства того, что эта новая точка лежит на графике $y=f(kx)$, требуется показать, что ее координаты удовлетворяют уравнению $y=f(kx)$. Действительно, подставляем вместо $y$ число $y_0$, а вместо $x$ число $\frac{1}{k}x_0$: $y_0=f(k \cdot \frac{1}{k}x_0) \Leftrightarrow y_0=f(x_0)$. Последнее равенство является верным, так как, по предположению, $(x_0, y_0)$ – точка графика функции $y=f(x)$.

Корректность остальных преобразований доказывается аналогично.