Страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

25. (3) Найдите все значения $x$, при каждом из которых производная функции: $y=1+4\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)$ равна $10\sqrt{3}$.

Для нахождения всех значений $x$, при которых производная функции $y = 1 + 4\sin(5x + \frac{\pi}{3})$ равна $10\sqrt{3}$, сначала найдем производную данной функции.

Функция $y(x)$ является сложной. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная функции $y(x)$ равна:

$y'(x) = (1 + 4\sin(5x + \frac{\pi}{3}))' = 0 + 4\cos(5x + \frac{\pi}{3}) \cdot (5x + \frac{\pi}{3})' = 4\cos(5x + \frac{\pi}{3}) \cdot 5 = 20\cos(5x + \frac{\pi}{3})$.

Согласно условию задачи, производная должна быть равна $10\sqrt{3}$. Составим и решим уравнение:

$20\cos(5x + \frac{\pi}{3}) = 10\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на 20:

$\cos(5x + \frac{\pi}{3}) = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение находится по формуле $\alpha = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для нашего уравнения $\alpha = 5x + \frac{\pi}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$5x + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая.

1) $5x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$5x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$5x = \frac{\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n$

$5x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $5x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$5x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$5x = \frac{-\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n$

$5x = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n$

$5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{30} + \frac{2\pi n}{5}; -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

26. (4) Задана последовательность функций $f_n(x)$, $n=0,1,2......$, удовлетворяющая следующим условиям:

1) $f_0(x)=\sin x,$

2) $f_{n+1}(x)=f_n'(x)$ (каждая функция, кроме $f_0(x)$, равна производной предыдущей функции).

Найдите:

а) $f_4(x):$

б) $f_{10}(x):$

в) $f_{2014}(x).$

Согласно условию, задана последовательность функций $f_n(x)$, где $f_0(x) = \sin x$ и каждая следующая функция является производной предыдущей: $f_{n+1}(x) = f_n'(x)$.

Найдем несколько первых членов этой последовательности, чтобы определить закономерность:

$f_0(x) = \sin x$

$f_1(x) = f_0'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$f_2(x) = f_1'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$f_3(x) = f_2'(x) = (-\sin x)' = -\cos x$

$f_4(x) = f_3'(x) = (-\cos x)' = \sin x$

Мы видим, что $f_4(x) = f_0(x)$. Это означает, что последовательность функций является циклической с периодом 4. Таким образом, для любого $n \ge 0$, функция $f_n(x)$ зависит от остатка от деления $n$ на 4.

Общая формула: $f_n(x) = f_{n \pmod 4}(x)$.

Теперь можем найти требуемые функции.

a) $f_4(x)$:

Чтобы найти $f_4(x)$, определим остаток от деления 4 на 4. Остаток равен 0.

Следовательно, $f_4(x) = f_{4 \pmod 4}(x) = f_0(x) = \sin x$.

Этот результат также совпадает с нашим прямым вычислением выше.

Ответ: $f_4(x) = \sin x$.

б) $f_{10}(x)$:

Найдем остаток от деления 10 на 4.

$10 = 2 \cdot 4 + 2$. Остаток равен 2.

Следовательно, $f_{10}(x) = f_{10 \pmod 4}(x) = f_2(x)$.

Из наших первоначальных вычислений, $f_2(x) = -\sin x$.

Ответ: $f_{10}(x) = -\sin x$.

В) $f_{2014}(x)$:

Найдем остаток от деления 2014 на 4. Для этого достаточно рассмотреть остаток от деления на 4 числа, образованного последними двумя цифрами, то есть 14.

$14 = 3 \cdot 4 + 2$. Остаток равен 2.

Таким образом, $2014 \equiv 2 \pmod 4$.

Значит, $f_{2014}(x) = f_2(x) = -\sin x$.

Ответ: $f_{2014}(x) = -\sin x$.

27. (2) Решите уравнение $f'(x)=0$, если $f(x)=3x^4-4x^3$.

Для решения уравнения $f'(x)=0$, сначала необходимо найти производную функции $f(x) = 3x^4 - 4x^3$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности. Производная функции будет равна разности производных ее слагаемых.

$f'(x) = (3x^4 - 4x^3)' = (3x^4)' - (4x^3)'$

Применим правило к каждому слагаемому:

$(3x^4)' = 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3$

$(4x^3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2$

Теперь приравняем полученную производную к нулю и решим уравнение $f'(x) = 0$:

$12x^3 - 12x^2 = 0$

Для решения уравнения вынесем за скобки общий множитель $12x^2$:

$12x^2(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $12x^2 = 0$

Разделив обе части на 12, получаем $x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$.

2. $x - 1 = 0$

Отсюда находим второй корень $x_2 = 1$.

Таким образом, уравнение $f'(x)=0$ имеет два корня: 0 и 1.

Ответ: $0; 1$.

28. (3)
Решите уравнение $f'(x)=g'(x)$, если $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$, $g(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

Для решения уравнения $f'(x) = g'(x)$ необходимо найти производные заданных функций $f(x)$ и $g(x)$.

Найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$. Используем правило дифференцирования сложной функции, представив функцию в виде $f(x) = (x^2+1)^{-1}$:

$f'(x) = ((x^2+1)^{-1})' = -1 \cdot (x^2+1)^{-2} \cdot (x^2+1)' = -(x^2+1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

Далее, найдем производную функции $g(x) = \frac{2x}{x^2+1}$. Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$g'(x) = \frac{(2x)'(x^2+1) - 2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2 - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.

Теперь приравняем найденные производные, чтобы составить уравнение:

$f'(x) = g'(x)$

$-\frac{2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$

Поскольку знаменатель $(x^2+1)^2$ всегда положителен (не равен нулю), мы можем умножить обе части уравнения на него и приравнять числители:

$-2x = 2-2x^2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$-x = 1-x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - x - 1 = 0$

Для решения этого уравнения используем формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, где $a=1, b=-1, c=-1$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5$.

Найдем корни: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

29. (3) Решите неравенство $f'(x) < g'(x)$, если $f(x) = \frac{1}{2x^2+1}$, $g(x) = \frac{2x}{2x^2+1}$.

Для решения неравенства $f'(x) < g'(x)$ сначала необходимо найти производные заданных функций $f(x) = \frac{1}{2x^2+1}$ и $g(x) = \frac{2x}{2x^2+1}$.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования дроби $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$. В нашем случае $u = 2x^2+1$, тогда $u' = 4x$.

$f'(x) = -\frac{(2x^2+1)'}{(2x^2+1)^2} = -\frac{4x}{(2x^2+1)^2}$

2. Найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u=2x$ и $v=2x^2+1$. Их производные равны $u'=2$ и $v'=4x$.

$g'(x) = \frac{2(2x^2+1) - 2x(4x)}{(2x^2+1)^2} = \frac{4x^2+2 - 8x^2}{(2x^2+1)^2} = \frac{2-4x^2}{(2x^2+1)^2}$

3. Теперь составим и решим неравенство $f'(x) < g'(x)$:

$-\frac{4x}{(2x^2+1)^2} < \frac{2-4x^2}{(2x^2+1)^2}$

Знаменатель $(2x^2+1)^2$ всегда строго положителен для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0 \Rightarrow 2x^2+1 \ge 1$. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $(2x^2+1)^2$, при этом знак неравенства не изменится:

$-4x < 2-4x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - 4x - 2 < 0$

Для упрощения разделим обе части неравенства на 2:

$2x^2 - 2x - 1 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 2x - 1 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения равны:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Таким образом, корни $x_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$.

Парабола $y = 2x^2 - 2x - 1$ имеет ветви, направленные вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля), поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства $2x^2 - 2x - 1 < 0$ есть интервал $(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $x \in (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}; \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$.

30. (В)

Решите неравенство $\frac{f'(x)}{g(x)} < 0$, если $f(x) = 5x^3 - 25x^2$, $g(x) = 3x^3 + 9x^2$.

Для решения неравенства $\frac{f'(x)}{g(x)} < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Дана функция $f(x) = 5x^3 - 25x^2$.

Ее производная $f'(x)$ вычисляется по правилам дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (5x^3)' - (25x^2)' = 5 \cdot 3x^{3-1} - 25 \cdot 2x^{2-1} = 15x^2 - 50x$.

Теперь подставим выражения для $f'(x)$ и $g(x) = 3x^3 + 9x^2$ в исходное неравенство:

$\frac{15x^2 - 50x}{3x^3 + 9x^2} < 0$.

Для решения этого рационального неравенства разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $15x^2 - 50x = 5x(3x - 10)$.

Знаменатель: $3x^3 + 9x^2 = 3x^2(x + 3)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{5x(3x - 10)}{3x^2(x + 3)} < 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$3x^2(x + 3) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $x$:

$\frac{5(3x - 10)}{3x(x + 3)} < 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $3x - 10 = 0 \implies x = \frac{10}{3}$.

Нули знаменателя: $x = 0$ и $x = -3$.

Отметим эти точки на числовой оси. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю. Точки $-3$, $0$, $\frac{10}{3}$ разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, \frac{10}{3})$, $(\frac{10}{3}, +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{5(3x - 10)}{3x(x + 3)}$ в каждом интервале:

1. При $x \in (\frac{10}{3}, +\infty)$, например $x=4$: $\frac{5(3 \cdot 4 - 10)}{3 \cdot 4(4 + 3)} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 7} > 0$. Знак «+».

2. При $x \in (0, \frac{10}{3})$, например $x=1$: $\frac{5(3 \cdot 1 - 10)}{3 \cdot 1(1 + 3)} = \frac{5 \cdot (-7)}{3 \cdot 4} < 0$. Знак «−».

3. При $x \in (-3, 0)$, например $x=-1$: $\frac{5(3 \cdot (-1) - 10)}{3 \cdot (-1)(-1 + 3)} = \frac{5 \cdot (-13)}{(-3) \cdot 2} > 0$. Знак «+».

4. При $x \in (-\infty, -3)$, например $x=-4$: $\frac{5(3 \cdot (-4) - 10)}{3 \cdot (-4)(-4 + 3)} = \frac{5 \cdot (-22)}{(-12) \cdot (-1)} < 0$. Знак «−».

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак «−»). Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(0, \frac{10}{3})$.

Объединяя эти интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (0, \frac{10}{3})$.

31. (3)Решите систему неравенств $\begin{cases} f'(x) \le 0, \\ g'(x) \le 0, \end{cases}$

если $g(x)=\frac{1}{3}x^3+3x^2+8x$, $f(x)=\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x$.

Для решения системы неравенств необходимо найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$, а затем решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

1. Решение неравенства $f'(x) \le 0$

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 9x$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 9x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} + 3 \cdot 2x + 9 = x^2 + 6x + 9$.

Теперь решим неравенство $x^2 + 6x + 9 \le 0$.

Левая часть неравенства представляет собой формулу квадрата суммы (полный квадрат):

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид $(x+3)^2 \le 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+3)^2 \ge 0$, данное неравенство может выполняться только в одном случае — когда выражение равно нулю:

$(x+3)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $x+3 = 0$, то есть $x = -3$.

Решением первого неравенства является единственное значение $x = -3$.

2. Решение неравенства $g'(x) \le 0$

Теперь найдем производную функции $g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x$.

$g'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 8x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x + 8 = x^2 + 6x + 8$.

Решим полученное квадратное неравенство $x^2 + 6x + 8 \le 0$.

Для этого сначала найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $8$. Корнями являются $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, мы можем разложить квадратный трехчлен на множители: $(x+4)(x+2) \le 0$.

Графиком функции $y = x^2 + 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции будут меньше или равны нулю на промежутке между корнями (включая сами корни).

Решением второго неравенства является отрезок $x \in [-4; -2]$.

3. Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям:

$x = -3$ (из первого неравенства) и $x \in [-4; -2]$ (из второго неравенства).

Необходимо проверить, принадлежит ли значение $x = -3$ отрезку $[-4; -2]$.

Поскольку неравенство $-4 \le -3 \le -2$ является верным, точка $x = -3$ принадлежит данному отрезку.

Следовательно, пересечение этих двух решений состоит из одного числа $x = -3$.

Ответ: $x = -3$.

Найти те значения аргумента, при которых производная функции $y = x^5 - \frac{5}{4}x$ принимает отрицательные значения.

Чтобы найти те значения аргумента, при которых производная функции $y = x^5 - \frac{5}{4}x^4$ принимает отрицательные значения, необходимо найти производную функции и решить неравенство $y' < 0$.

1. Найдем производную функции $y(x)$, используя правила дифференцирования степенной функции и разности функций:

$y' = (x^5 - \frac{5}{4}x^4)' = (x^5)' - (\frac{5}{4}x^4)' = 5x^{5-1} - \frac{5}{4} \cdot 4x^{4-1} = 5x^4 - 5x^3$.

2. Теперь решим неравенство $y' < 0$:

$5x^4 - 5x^3 < 0$

Вынесем за скобки общий множитель $5x^3$:

$5x^3(x - 1) < 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем нули выражения в левой части, решив уравнение $5x^3(x - 1) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак выражения $5x^3(x - 1)$ на каждом из этих интервалов:

- На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x = -1$, выражение $5(-1)^3(-1 - 1) = 10$ положительно.

- На интервале $(0; 1)$, например, при $x = 0.5$, выражение $5(0.5)^3(0.5 - 1) = -0.3125$ отрицательно.

- На интервале $(1; +\infty)$, например, при $x = 2$, выражение $5(2)^3(2 - 1) = 40$ положительно.

Неравенство $y' < 0$ выполняется на том интервале, где производная отрицательна. Из анализа интервалов следует, что это интервал $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

33. (2)
Найти те значения аргумента, при которых производная функции $y=\sqrt{x}+x$ принимает неотрицательные значения.

(2) Требуется найти значения аргумента $x$, при которых производная функции $y = \sqrt{x} + x$ принимает неотрицательные значения, то есть $y' \ge 0$.

1. Нахождение производной функции.
Сначала найдем производную данной функции. Функцию можно представить в виде $y = x^{1/2} + x$.
Используя правила дифференцирования суммы и степенной функции $((u+v)' = u' + v'$ и $(x^n)' = n \cdot x^{n-1})$, получаем:
$y' = (x^{1/2} + x)' = (x^{1/2})' + (x)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 1 = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 1$.
Преобразуем выражение:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$.

2. Определение области определения производной.
Производная $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$ определена, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как корень находится в знаменателе, он не может быть равен нулю, и подкоренное выражение не может быть отрицательным).
Следовательно, $x > 0$.
Область определения производной $D(y') = (0, +\infty)$.

3. Решение неравенства.
Теперь необходимо решить неравенство $y' \ge 0$ на области определения производной.
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 \ge 0$.
Рассмотрим это неравенство для $x \in (0, +\infty)$.
При любом $x > 0$, значение $\sqrt{x}$ является положительным числом.
Следовательно, дробь $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ также всегда будет положительной.
Сумма двух положительных чисел ($\frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $1$) всегда является положительным числом.
Таким образом, выражение $\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$ всегда больше нуля для всех $x$ из области определения производной.
Это означает, что неравенство $y' \ge 0$ выполняется для всех $x$, при которых производная существует.

4. Формулировка ответа.
Производная функции принимает неотрицательные (в данном случае — строго положительные) значения на всей своей области определения, то есть при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

Вычислите производные следующих функций (34-35):

34. (2) а) $f(x)=x\sqrt{x}$;

б) $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x}};

в) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$;

г) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+5}$;

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x\sqrt{x}$ сначала представим ее в виде степенной функции. Так как $\sqrt{x} = x^{1/2}$, то $f(x) = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2}$. Теперь воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. В нашем случае $n = 3/2$.

$f'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{1/2}$

Возвращаясь к записи с корнем, получаем $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: $\frac{3}{2}\sqrt{x}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x}}$ удобно сначала упростить выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}} = x^{1-1/2} + x^{-1/2} = x^{1/2} + x^{-1/2}$

Теперь найдем производную как сумму производных, используя правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{1/2})' + (x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{2}x^{-3/2}$

Представим результат в виде дроби с корнями и приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x}{2x\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$.

в) Функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$ можно упростить, представив ее в виде степени. Так как $\sqrt{x} = x^{1/2}$, то:

$f(x) = \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^{1/2 - 1} = x^{-1/2}$

Теперь найдем производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{-1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$

Запишем ответ в виде дроби с радикалом:

$f'(x) = -\frac{1}{2x^{3/2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+5}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = x+5$. Найдем их производные:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (x+5)' = 1$

Подставим все в формулу:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (x+5) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+5)^2}$

Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$f'(x) = \frac{\frac{x+5 - \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(x+5)^2} = \frac{\frac{x+5 - 2x}{2\sqrt{x}}}{(x+5)^2} = \frac{5-x}{2\sqrt{x}(x+5)^2}$

Ответ: $\frac{5-x}{2\sqrt{x}(x+5)^2}$.