Страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

28. (3)

Даны функции $g(x)=\frac{3x+1}{x}$ и $f(x)=x^2-5x+6$.

Решите неравенство $f(g(x)) > 0$.

Для решения неравенства $f(g(x)) > 0$ необходимо выполнить подстановку функции $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$. Однако, более рациональным подходом является решение в два этапа.

Сначала найдем, при каких значениях своего аргумента $y$ функция $f(y) = y^2 - 5y + 6$ принимает положительные значения. Для этого решим неравенство:
$y^2 - 5y + 6 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 5y + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.
Графиком функции $f(y)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция положительна при значениях аргумента, которые меньше меньшего корня или больше большего корня.
Таким образом, $f(y) > 0$ при $y < 2$ или $y > 3$.

Теперь вернемся к исходному неравенству. Так как $y = g(x)$, то неравенство $f(g(x)) > 0$ эквивалентно совокупности двух неравенств:
$g(x) < 2$ или $g(x) > 3$.

Решим каждое неравенство по отдельности.
1) $g(x) < 2$
$\frac{3x+1}{x} < 2$
$\frac{3x+1}{x} - 2 < 0$
$\frac{3x+1 - 2x}{x} < 0$
$\frac{x+1}{x} < 0$
Решая это неравенство методом интервалов, находим, что решение: $x \in (-1, 0)$.

2) $g(x) > 3$
$\frac{3x+1}{x} > 3$
$\frac{3x+1}{x} - 3 > 0$
$\frac{3x+1 - 3x}{x} > 0$
$\frac{1}{x} > 0$
Это неравенство выполняется, когда $x > 0$. Решение: $x \in (0, +\infty)$.

Общим решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в пунктах 1 и 2.
$x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Часы идут правильно. Через 5 минут их часовая и минутная стрелки совпадут. Через какое минимальное время угол между часовой и минутной стрелками станет таким же, как и 10 минут назад?

Для решения задачи определим угловые скорости движения стрелок и их относительную скорость.

1. Угловые скорости стрелок.
Полный оборот циферблата составляет $360^\circ$.
Минутная стрелка проходит $360^\circ$ за 60 минут. Ее угловая скорость:$ \omega_м = \frac{360^\circ}{60 \text{ мин}} = 6^\circ/\text{мин} $
Часовая стрелка проходит $360^\circ$ за 12 часов (720 минут). Ее угловая скорость:$ \omega_ч = \frac{360^\circ}{12 \times 60 \text{ мин}} = \frac{360^\circ}{720 \text{ мин}} = 0.5^\circ/\text{мин} $
Относительная скорость, с которой минутная стрелка догоняет часовую, равна разности их скоростей:$ \omega_{отн} = \omega_м - \omega_ч = 6 - 0.5 = 5.5^\circ/\text{мин} $

2. Угол между стрелками в настоящий момент.
По условию, через 5 минут стрелки совпадут. Это означает, что за эти 5 минут минутная стрелка сократит текущий разрыв с часовой стрелкой до нуля. Текущий угол $ \alpha_{сейчас} $ между ними равен:$ \alpha_{сейчас} = \omega_{отн} \times 5 \text{ мин} = 5.5^\circ/\text{мин} \times 5 \text{ мин} = 27.5^\circ $
В настоящий момент минутная стрелка отстает от часовой на $27.5^\circ$.

3. Угол между стрелками 10 минут назад.
Чтобы найти угол, который был 10 минут назад ($ \alpha_{назад} $), нужно учесть, что за прошедшие 10 минут минутная стрелка приблизилась к часовой на угол $ \Delta\alpha $:$ \Delta\alpha = \omega_{отн} \times 10 \text{ мин} = 5.5^\circ/\text{мин} \times 10 \text{ мин} = 55^\circ $
Поскольку сейчас минутная стрелка отстает на $27.5^\circ$, то 10 минут назад она отставала на еще больший угол:$ \alpha_{назад} = \alpha_{сейчас} + \Delta\alpha = 27.5^\circ + 55^\circ = 82.5^\circ $

4. Расчет времени в будущем.
Нам нужно найти минимальное время $ t $, через которое угол между стрелками снова станет равен $82.5^\circ$. Процесс можно разделить на два этапа:
- Сначала минутная стрелка должна догнать часовую, чтобы угол между ними стал равен $0^\circ$. На это уйдет 5 минут (согласно условию). - Затем минутная стрелка начнет обгонять часовую, и угол между ними будет увеличиваться со скоростью $5.5^\circ/\text{мин}$. Нам нужно найти время $ t' $, за которое этот угол достигнет $82.5^\circ$.
$ t' = \frac{82.5^\circ}{\omega_{отн}} = \frac{82.5^\circ}{5.5^\circ/\text{мин}} = 15 \text{ мин} $
Общее время от настоящего момента равно сумме времени до совпадения и времени после совпадения до достижения нужного угла:$ t = 5 \text{ мин} + t' = 5 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 20 \text{ мин} $

Ответ: Через 20 минут.

30. (2)

Сумма четвертого и шестого членов арифметической прогрессии $a_4 + a_6 = 14$. Найдите сумму первых девяти членов прогрессии.

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию задачи, сумма четвертого и шестого членов прогрессии равна 14, то есть $a_4 + a_6 = 14$.

Выразим $a_4$ и $a_6$ через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

Теперь подставим эти выражения в уравнение из условия:

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 14$

Упростим полученное выражение, сгруппировав подобные члены:

$2a_1 + 8d = 14$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 4d = 7$

Далее нам нужно найти сумму первых девяти членов прогрессии, $S_9$. Для этого воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим $n=9$ в эту формулу:

$S_9 = \frac{2a_1 + (9-1)d}{2} \cdot 9 = \frac{2a_1 + 8d}{2} \cdot 9$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе дроби:

$S_9 = \frac{2(a_1 + 4d)}{2} \cdot 9$

Сократив дробь на 2, получим:

$S_9 = (a_1 + 4d) \cdot 9$

Из ранее выведенного уравнения мы знаем, что $a_1 + 4d = 7$. Подставим это значение в выражение для $S_9$:

$S_9 = 7 \cdot 9 = 63$

Ответ: 63

31. (2) Упростите:

$( \frac{3-\sqrt{a}}{9-a} + \frac{1}{3-\sqrt{a}} - 6\frac{a^2+162}{729-a^3} )^{-1} + \frac{a(a+9)}{54}$

Для упрощения данного выражения, сначала выполним действия в скобках. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$ определяется условиями $a \ge 0$ и $a \ne 9$.

Сначала упростим сумму первых двух дробей. Для этого разложим знаменатель первой дроби $9-a$ на множители как разность квадратов: $9-a = (3-\sqrt{a})(3+\sqrt{a})$.

$ \frac{3-\sqrt{a}}{9-a} + \frac{1}{3-\sqrt{a}} = \frac{3-\sqrt{a}}{(3-\sqrt{a})(3+\sqrt{a})} + \frac{1}{3-\sqrt{a}} = \frac{1}{3+\sqrt{a}} + \frac{1}{3-\sqrt{a}} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(3+\sqrt{a})(3-\sqrt{a}) = 9-a$:

$ \frac{1(3-\sqrt{a}) + 1(3+\sqrt{a})}{(3+\sqrt{a})(3-\sqrt{a})} = \frac{3-\sqrt{a} + 3+\sqrt{a}}{9-a} = \frac{6}{9-a} $

Теперь вычтем из полученного результата третью дробь из скобок. Знаменатель $729-a^3$ представим как разность кубов: $729-a^3 = 9^3-a^3 = (9-a)(81+9a+a^2)$.

$ \frac{6}{9-a} - 6\frac{a^2+162}{729-a^3} = \frac{6}{9-a} - \frac{6(a^2+162)}{(9-a)(a^2+9a+81)} $

Приводим выражение к общему знаменателю $(9-a)(a^2+9a+81)$:

$ \frac{6(a^2+9a+81) - 6(a^2+162)}{(9-a)(a^2+9a+81)} = \frac{6a^2+54a+486 - 6a^2-972}{(9-a)(a^2+9a+81)} $

После упрощения числителя получаем:

$ \frac{54a-486}{(9-a)(a^2+9a+81)} $

Вынесем в числителе общий множитель 54 за скобки и преобразуем выражение:

$ \frac{54(a-9)}{(9-a)(a^2+9a+81)} = \frac{-54(9-a)}{(9-a)(a^2+9a+81)} $

Так как $a \ne 9$, мы можем сократить дробь на $(9-a)$, в результате чего выражение в скобках равно:

$ \frac{-54}{a^2+9a+81} $

Теперь возведем полученное выражение в степень -1, что эквивалентно переворачиванию дроби:

$ \left(\frac{-54}{a^2+9a+81}\right)^{-1} = \frac{a^2+9a+81}{-54} = -\frac{a^2+9a+81}{54} $

На последнем шаге прибавим к результату второе слагаемое из исходного выражения $\frac{a(a+9)}{54}$:

$ -\frac{a^2+9a+81}{54} + \frac{a(a+9)}{54} = \frac{-(a^2+9a+81) + a(a+9)}{54} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{-a^2-9a-81+a^2+9a}{54} = \frac{-81}{54} $

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, равный 27:

$ \frac{-81 \div 27}{54 \div 27} = -\frac{3}{2} $

Ответ: $-\frac{3}{2}$

32. (3) Найдите решения уравнений:

а) $|-x^2-16|=8x$;

б) $x^2-4|x|+3=0$.

а) $|x^2 - 16| = 8x$

По определению модуля, левая часть уравнения неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательна. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ): $8x \ge 0$, откуда следует $x \ge 0$.

Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух уравнений при условии $B \ge 0$. Раскрываем модуль:

1) $x^2 - 16 = 8x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 16 = 0$

Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128$.

$\sqrt{D} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 4\sqrt{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 0$:

$x_1 = 4 + 4\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $x_1 > 0$. Этот корень подходит.

$x_2 = 4 - 4\sqrt{2}$. Сравним $4$ и $4\sqrt{2}$. Так как $1 < \sqrt{2}$, то $4 < 4\sqrt{2}$, и, следовательно, $4 - 4\sqrt{2} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$ и является посторонним.

2) $x^2 - 16 = -8x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 8x - 16 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128$.

$\sqrt{D} = 8\sqrt{2}$.

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{2}$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 0$:

$x_3 = -4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 4$. Так как $4\sqrt{2} \approx 4 \cdot 1.414 = 5.656 > 4$, то $x_3 > 0$. Этот корень подходит.

$x_4 = -4 - 4\sqrt{2}$. Сумма двух отрицательных чисел отрицательна, $x_4 < 0$. Этот корень является посторонним.

Объединяя подходящие корни из обоих случаев, получаем решения исходного уравнения.

Ответ: $4\sqrt{2} - 4; 4\sqrt{2} + 4$.

б) $x^2 - 4|x| + 3 = 0$

Заметим, что $x^2 = (|x|)^2$. Поэтому данное уравнение можно переписать в виде:

$(|x|)^2 - 4|x| + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $t = |x|$. Учитывая, что модуль любого числа является неотрицательной величиной, имеем ограничение $t \ge 0$.

Получаем следующее квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корни легко подбираются:

$t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Оба найденных значения для $t$ неотрицательны, следовательно, оба удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1) Если $t=1$, то $|x| = 1$. Отсюда получаем два корня: $x = 1$ и $x = -1$.

2) Если $t=3$, то $|x| = 3$. Отсюда получаем еще два корня: $x = 3$ и $x = -3$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре решения.

Ответ: $-3; -1; 1; 3$.