Страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (1) Определите, для каких из следующих функций существует обратная функция. Напишите формулу обратной функции:

а) $f(x)=3x-5$;

б) $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$;

в) $f(x)=x^2+2x$ при $x \ge -1$;

г) $f(x)=x^2+x, x \ge 0$.

Для того чтобы для функции существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы функция была биективной, то есть взаимно-однозначной. Для непрерывных функций на интервале это эквивалентно строгой монотонности (функция должна быть строго возрастающей или строго убывающей).

а) Функция $f(x) = 3x - 5$ является линейной. Ее область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$ и область значений $E(f) = (-\infty, +\infty)$. Так как угловой коэффициент $k=3 > 0$, функция является строго возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, для нее существует обратная функция.
Найдем формулу обратной функции. Пусть $y = 3x - 5$. Выразим $x$ через $y$:
$3x = y + 5$
$x = \frac{y+5}{3}$
Теперь заменим $x$ на $y$ (или $f^{-1}(x)$) и $y$ на $x$, чтобы получить стандартный вид обратной функции:
$y = \frac{x+5}{3}$

Ответ: обратная функция существует, ее формула $f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3}$.

б) Функция $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ является дробно-линейной. Ее область определения $D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$. Для проверки монотонности найдем производную:
$f'(x) = \frac{(2x+1)'(x-3) - (2x+1)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2(x-3) - (2x+1) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}$.
Поскольку $(x-3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) < 0$. Это означает, что функция строго убывает на каждом из интервалов своей области определения ($(-\infty, 3)$ и $(3, +\infty)$), и является взаимно-однозначной на всей области определения. Следовательно, обратная функция существует.
Найдем ее формулу. Пусть $y = \frac{2x+1}{x-3}$. Выразим $x$ через $y$:
$y(x-3) = 2x+1$
$yx - 3y = 2x+1$
$yx - 2x = 3y+1$
$x(y-2) = 3y+1$
$x = \frac{3y+1}{y-2}$
Заменяя переменные, получаем:
$y = \frac{3x+1}{x-2}$

Ответ: обратная функция существует, ее формула $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}$.

в) Функция $f(x) = x^2+2x$ является квадратичной, ее график — парабола. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Функция задана на промежутке $x \ge -1$. Этот промежуток включает вершину и правую ветвь параболы. На этом промежутке функция $f(x)$ строго возрастает (производная $f'(x)=2x+2 > 0$ при $x > -1$). Следовательно, обратная функция существует.
Найдем ее формулу. Пусть $y = x^2+2x$. Решим это уравнение относительно $x$:
$x^2+2x-y = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Можно решить его, выделив полный квадрат:
$(x^2+2x+1) - 1 - y = 0$
$(x+1)^2 = y+1$
$x+1 = \pm\sqrt{y+1}$
$x = -1 \pm\sqrt{y+1}$
Так как по условию $x \ge -1$, мы должны выбрать знак «плюс» перед корнем, поскольку $\sqrt{y+1} \ge 0$. Таким образом, $x = -1 + \sqrt{y+1}$.
Заменяя переменные, получаем:
$y = \sqrt{x+1}-1$
Область определения обратной функции — это область значений исходной: $E(f) = [f(-1), +\infty) = [-1, +\infty)$, что соответствует условию $x+1 \ge 0$.

Ответ: обратная функция существует, ее формула $f^{-1}(x) = \sqrt{x+1}-1$.

г) Функция $f(x) = x^2+x$ является квадратичной, ее график — парабола с вершиной в точке $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. Функция задана на промежутке $x \ge 0$. Поскольку этот промежуток лежит правее вершины параболы ($0 > -0.5$), функция на нем строго возрастает (производная $f'(x)=2x+1 > 0$ при $x \ge 0$). Следовательно, обратная функция существует.
Найдем ее формулу. Пусть $y = x^2+x$. Решим это уравнение относительно $x$:
$x^2+x-y = 0$
Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-y)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4y}}{2}$
По условию $x \ge 0$. Поскольку область значений исходной функции $E(f) = [f(0), +\infty) = [0, +\infty)$, то $y \ge 0$. При $y \ge 0$ имеем $\sqrt{1+4y} \ge 1$. Тогда корень со знаком «минус», $\frac{-1 - \sqrt{1+4y}}{2}$, будет отрицательным. Корень со знаком «плюс», $\frac{-1 + \sqrt{1+4y}}{2}$, будет неотрицательным. Поэтому мы выбираем знак «плюс».
$x = \frac{-1 + \sqrt{1+4y}}{2}$
Заменяя переменные, получаем:
$y = \frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$

Ответ: обратная функция существует, ее формула $f^{-1}(x) = \frac{\sqrt{4x+1}-1}{2}$.

2. (2) При каких соотношениях между числами $a,b,c,d$ функция $\frac{ax+b}{cx+d}$ обратна самой себе?

Для того чтобы функция $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ была обратна самой себе, она должна совпадать со своей обратной функцией $f^{-1}(x)$.

Сначала найдем обратную функцию. Пусть $y = f(x)$. Выразим $x$ через $y$:

$y = \frac{ax+b}{cx+d} \implies y(cx+d) = ax+b \implies cxy + dy = ax+b \implies x(cy-a) = b-dy \implies x = \frac{-dy+b}{cy-a}$.

Заменив $y$ на $x$, получим выражение для обратной функции: $f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$.

Теперь приравняем $f(x)$ и $f^{-1}(x)$: $\frac{ax+b}{cx+d} = \frac{-dx+b}{cx-a}$.

Это равенство должно быть тождеством, то есть выполняться для всех $x$ из области определения. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициенты многочленов в числителе и знаменателе пропорциональны. Перекрестное умножение и приведение подобных членов приводит к полиномиальному тождеству:

$(ac+cd)x^2 + (d^2-a^2)x - (ab+bd) = 0$

Это равенство справедливо для всех $x$ только в том случае, если все коэффициенты многочлена равны нулю:

$c(a+d) = 0$

$(d-a)(d+a) = 0$

$b(a+d) = 0$

Из второго уравнения следует, что либо $d=a$, либо $d=-a$.

Если $d=-a$ (то есть $a+d=0$), то первое и третье уравнения системы ($c(a+d)=0$ и $b(a+d)=0$) выполняются автоматически. Это дает первый набор искомых соотношений.

Если же $d=a$, то второе уравнение выполняется, а первое и третье принимают вид $2ac=0$ и $2ab=0$. Это означает, что ($a=0$ или $c=0$) и ($a=0$ или $b=0$). Если $a=0$, то и $d=0$, что является частным случаем условия $a+d=0$. Если же $a \neq 0$, то для выполнения условий необходимо, чтобы $b=0$ и $c=0$. Это дает второй, независимый набор соотношений.

Также необходимо, чтобы функция не была вырожденной (константой), для чего должно выполняться условие $ad-bc \neq 0$.

Ответ: Соотношения между числами $a, b, c, d$, при которых функция $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ обратна самой себе, делятся на два взаимоисключающих случая:

1. $d = -a$. Для того чтобы функция не была константой, должно выполняться условие невырожденности $ad-bc \neq 0$, которое при $d=-a$ принимает вид $-a^2-bc \neq 0$, или $a^2+bc \neq 0$. Этот случай охватывает, например, функции $f(x)=-x$ (где $b=c=0, d=-a, a\neq 0$) или $f(x) = 1/x$ (где $a=d=0, b=1, c=1$).

2. $b = 0$, $c = 0$ и $a=d$. В этом случае, чтобы функция была определена и не была тождественным нулем, требуется $a \neq 0$. Это соответствует тождественной функции $f(x)=x$. Условие невырожденности $ad-bc = a^2-0 = a^2 \neq 0$ здесь выполняется автоматически.

3. (3) На какое множество отображает функция множество, если:

а) $f(x)=\frac{x}{x-3}, A=(3;5];$

б) $f(x)=4-\frac{x}{2}, A=[-4;6);$

в) $f(x)=x^2-x-2, A=[0;3]?$

а) Дана функция $f(x) = \frac{x}{x-3}$ и множество $A=(3;5]$. Чтобы найти множество, на которое функция отображает данное множество $A$, нужно исследовать поведение функции на этом интервале. Найдем производную функции, чтобы определить ее монотонность: $f'(x) = (\frac{x}{x-3})' = \frac{1 \cdot (x-3) - x \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{-3}{(x-3)^2}$. Поскольку $(x-3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) < 0$. Это означает, что функция является строго убывающей на всем своем домене, включая интервал $(3;5]$. Так как функция убывает, для нахождения множества значений (образа) нам нужно найти значения функции на границах интервала $A$. На правой границе, в точке $x=5$ (которая включена в интервал): $f(5) = \frac{5}{5-3} = \frac{5}{2} = 2.5$. На левой границе, при $x$ стремящемся к $3$ справа (точка 3 не включена в интервал), найдем предел: $\lim_{x \to 3^+} \frac{x}{x-3} = \frac{3}{+0} = +\infty$. Поскольку функция убывающая, она принимает все значения от значения в правой точке до предела в левой точке. Таким образом, образ множества $A=(3;5]$ есть множество $[2.5; +\infty)$.
Ответ: $[2.5; +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = 4 - \frac{x}{2}$ и множество $A=[-4;6)$. Эта функция является линейной с угловым коэффициентом $k = -1/2$. Так как угловой коэффициент отрицательный ($k < 0$), функция является строго убывающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $A=[-4;6)$. Чтобы найти образ множества, найдем значения функции на его границах. На левой границе, в точке $x=-4$ (которая включена в интервал): $f(-4) = 4 - \frac{-4}{2} = 4 + 2 = 6$. На правой границе, в точке $x=6$ (которая не включена в интервал): $f(6) = 4 - \frac{6}{2} = 4 - 3 = 1$. Так как функция убывающая, а интервал $A=[-4;6)$ включает левую границу и не включает правую, то образ множества будет интервалом, который не включает значение в правой точке и включает значение в левой. Интервал значений будет "перевернут" по сравнению с интервалом аргументов. Таким образом, образ множества $A=[-4;6)$ есть множество $(1; 6]$.
Ответ: $(1; 6]$.

в) Дана функция $f(x) = x^2 - x - 2$ и множество $A=[0;3]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем вершину параболы, так как в ней достигается минимальное значение функции. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. Координата $x_v = 0.5$ принадлежит отрезку $A=[0;3]$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке будет в вершине. $f_{min} = f(0.5) = (0.5)^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$. Наибольшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Сравним значения функции в точках $x=0$ и $x=3$: $f(0) = 0^2 - 0 - 2 = -2$. $f(3) = 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4$. Сравнивая значения, видим, что $f_{max} = f(3) = 4$. Таким образом, на отрезке $[0;3]$ функция принимает все значения от своего минимума до своего максимума. Образ множества $A=[0;3]$ есть отрезок $[-2.25; 4]$.
Ответ: $[-2.25; 4]$.

4. (3) Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

а) $y=2x$;

б) $y=-3x$;

в) $y=5x-1$;

г) $y=8-4x$;

д) $y=\frac{3}{x-1}$;

е) $y=\frac{2}{2-x}$;

ж) $y=\frac{3x}{2x-1}$;

з) $y=\frac{1-x}{x+2}$.

а) Дана функция $y=2x$.

1. Нахождение обратной функции.

Для нахождения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$:

$x = 2y$

$y = \frac{1}{2}x$

Таким образом, обратная функция: $y = \frac{1}{2}x$.

2. Область определения и область значений.

Исходная функция $y=2x$ является линейной, её область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$ — все действительные числа.

$D(y): x \in (-\infty; +\infty)$

$E(y): y \in (-\infty; +\infty)$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, а область значений обратной функции — с областью определения исходной. Следовательно, для обратной функции $y = \frac{1}{2}x$:

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=2x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$.

График обратной функции $y=\frac{1}{2}x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

Графики обеих функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{1}{2}x$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

б) Дана функция $y=-3x$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = -3y$.

Выражаем $y$: $y = -\frac{1}{3}x$.

Обратная функция: $y = -\frac{1}{3}x$.

2. Область определения и область значений.

Исходная функция $y=-3x$ — линейная, её область определения и область значений — все действительные числа.

$D(y): x \in (-\infty; +\infty)$, $E(y): y \in (-\infty; +\infty)$.

Для обратной функции $y = -\frac{1}{3}x$:

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=-3x$ — прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, -3)$.

График обратной функции $y = -\frac{1}{3}x$ — прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(-3, 1)$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = -\frac{1}{3}x$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) Дана функция $y=5x-1$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = 5y-1$.

Выражаем $y$: $5y = x+1 \implies y = \frac{x+1}{5}$.

Обратная функция: $y = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}$.

2. Область определения и область значений.

Исходная функция $y=5x-1$ — линейная, её область определения и область значений — все действительные числа.

$D(y): x \in (-\infty; +\infty)$, $E(y): y \in (-\infty; +\infty)$.

Для обратной функции $y = \frac{x+1}{5}$:

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=5x-1$ — прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(1, 4)$.

График обратной функции $y=\frac{x+1}{5}$ — прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(4, 1)$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{x+1}{5}$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

г) Дана функция $y=8-4x$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = 8-4y$.

Выражаем $y$: $4y = 8-x \implies y = \frac{8-x}{4}$.

Обратная функция: $y = 2 - \frac{1}{4}x$.

2. Область определения и область значений.

Исходная функция $y=8-4x$ — линейная, её область определения и область значений — все действительные числа.

$D(y): x \in (-\infty; +\infty)$, $E(y): y \in (-\infty; +\infty)$.

Для обратной функции $y = 2 - \frac{1}{4}x$:

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=8-4x$ — прямая, проходящая через точки $(0, 8)$ и $(2, 0)$.

График обратной функции $y = 2 - \frac{1}{4}x$ — прямая, проходящая через точки $(8, 0)$ и $(0, 2)$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 2 - \frac{1}{4}x$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.

д) Дана функция $y=\frac{3}{x-1}$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{3}{y-1}$.

Выражаем $y$: $y-1 = \frac{3}{x} \implies y = 1 + \frac{3}{x}$.

Обратная функция: $y = 1 + \frac{3}{x}$.

2. Область определения и область значений.

Для исходной функции $y=\frac{3}{x-1}$: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Область значений — все числа, кроме 0, так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю.

$D(y): x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

$E(y): y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для обратной функции $y = 1 + \frac{3}{x}$:

Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=\frac{3}{x-1}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

График обратной функции $y=1+\frac{3}{x}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=1$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 1 + \frac{3}{x}$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

е) Дана функция $y=\frac{2}{2-x}$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{2}{2-y}$.

Выражаем $y$: $2-y = \frac{2}{x} \implies y = 2 - \frac{2}{x}$.

Обратная функция: $y = 2 - \frac{2}{x}$.

2. Область определения и область значений.

Для исходной функции $y=\frac{2}{2-x}$: $2-x \neq 0 \implies x \neq 2$. Область значений — все числа, кроме 0.

$D(y): x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

$E(y): y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для обратной функции $y = 2 - \frac{2}{x}$:

Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=\frac{2}{2-x}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

График обратной функции $y=2-\frac{2}{x}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=2$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 2 - \frac{2}{x}$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

ж) Дана функция $y=\frac{3x}{2x-1}$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{3y}{2y-1}$.

Выражаем $y$: $x(2y-1) = 3y \implies 2xy - x = 3y \implies 2xy - 3y = x \implies y(2x-3) = x \implies y = \frac{x}{2x-3}$.

Обратная функция: $y = \frac{x}{2x-3}$.

2. Область определения и область значений.

Для исходной функции $y=\frac{3x}{2x-1}$: $2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$. Горизонтальная асимптота находится как отношение коэффициентов при старших степенях $x$, т.е. $y=\frac{3}{2}$.

$D(y): x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

$E(y): y \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

Для обратной функции $y = \frac{x}{2x-3}$:

Область определения: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=\frac{3x}{2x-1}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=\frac{1}{2}$ и горизонтальной асимптотой $y=\frac{3}{2}$.

График обратной функции $y=\frac{x}{2x-3}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=\frac{3}{2}$ и горизонтальной асимптотой $y=\frac{1}{2}$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{x}{2x-3}$. Область определения: $(-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

з) Дана функция $y=\frac{1-x}{x+2}$.

1. Нахождение обратной функции.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{1-y}{y+2}$.

Выражаем $y$: $x(y+2) = 1-y \implies xy + 2x = 1-y \implies xy+y = 1-2x \implies y(x+1) = 1-2x \implies y = \frac{1-2x}{x+1}$.

Обратная функция: $y = \frac{1-2x}{x+1}$.

2. Область определения и область значений.

Для исходной функции $y=\frac{1-x}{x+2}$: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Горизонтальная асимптота $y=\frac{-1}{1}=-1$.

$D(y): x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

$E(y): y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Для обратной функции $y = \frac{1-2x}{x+1}$:

Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Область значений: $y \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3. Построение графиков.

График функции $y=\frac{1-x}{x+2}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$.

График обратной функции $y=\frac{1-2x}{x+1}$ — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-1$ и горизонтальной асимптотой $y=-2$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{1-2x}{x+1}$. Область определения: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

5. (2) Пусть $f(x)$ - функция, для которой существует обратная функция $f^{-1}(x)$. Что можно сказать о функции $f^{-1}(x)$, если:

а) функция $f(x)$ - нечетная;

б) $f(x)$ - возрастающая;

в) $f(x)$ - убывающая?

а) Пусть функция $f(x)$ является нечетной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ нечетной функции симметричны относительно нуля.
Пусть $y = f^{-1}(x)$. По определению обратной функции это эквивалентно тому, что $x = f(y)$.
Нам нужно определить четность функции $f^{-1}(x)$, то есть найти выражение для $f^{-1}(-x)$.
Пусть $z = f^{-1}(-x)$. Это означает, что $-x = f(z)$.
Мы имеем два равенства:
1) $x = f(y)$
2) $-x = f(z)$
Из второго равенства получаем $x = -f(z)$. Поскольку функция $f(x)$ нечетная, $-f(z) = f(-z)$.
Таким образом, $x = f(-z)$.
Теперь мы имеем $x = f(y)$ и $x = f(-z)$, следовательно, $f(y) = f(-z)$.
Так как для функции $f(x)$ существует обратная, она является взаимно-однозначной (инъективной). Из равенства значений функции следует равенство аргументов: $y = -z$.
Вспомним, что $y = f^{-1}(x)$ и $z = f^{-1}(-x)$. Подставив эти выражения в равенство $y = -z$, получим:
$f^{-1}(x) = -f^{-1}(-x)$
Умножив обе части на $-1$, получим $f^{-1}(-x) = -f^{-1}(x)$.
Это равенство является определением нечетной функции. Следовательно, если функция $f(x)$ нечетная, то и обратная ей функция $f^{-1}(x)$ также является нечетной.
Ответ: функция $f^{-1}(x)$ является нечетной.

б) Пусть функция $f(x)$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Чтобы определить характер монотонности обратной функции $f^{-1}(x)$, возьмем два произвольных значения $y_1$ и $y_2$ из ее области определения (которая совпадает с областью значений функции $f(x)$), такие что $y_1 < y_2$.
Пусть $x_1 = f^{-1}(y_1)$ и $x_2 = f^{-1}(y_2)$. По определению обратной функции, это означает, что $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.
Нам нужно сравнить $x_1$ и $x_2$. Допустим, что $x_1 \ge x_2$.
1. Если $x_1 = x_2$, то $f(x_1) = f(x_2)$, а значит $y_1 = y_2$. Это противоречит нашему начальному условию $y_1 < y_2$.
2. Если $x_1 > x_2$, то, поскольку $f(x)$ — возрастающая функция, должно выполняться неравенство $f(x_1) > f(x_2)$, то есть $y_1 > y_2$. Это также противоречит условию $y_1 < y_2$.
Оба предположения привели к противоречию. Следовательно, единственно возможным вариантом является $x_1 < x_2$.
Таким образом, мы показали, что из $y_1 < y_2$ следует $f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2)$. Это означает, что функция $f^{-1}(x)$ является возрастающей.
Ответ: функция $f^{-1}(x)$ является возрастающей.

в) Пусть функция $f(x)$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Действуем аналогично пункту б). Возьмем два произвольных значения $y_1$ и $y_2$ из области определения $f^{-1}(x)$, такие что $y_1 < y_2$.
Пусть $x_1 = f^{-1}(y_1)$ и $x_2 = f^{-1}(y_2)$. Отсюда следует, что $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$.
Нам нужно сравнить $x_1$ и $x_2$. Допустим, что $x_1 \le x_2$.
1. Если $x_1 = x_2$, то $f(x_1) = f(x_2)$, а значит $y_1 = y_2$. Это противоречит нашему начальному условию $y_1 < y_2$.
2. Если $x_1 < x_2$, то, поскольку $f(x)$ — убывающая функция, должно выполняться неравенство $f(x_1) > f(x_2)$, то есть $y_1 > y_2$. Это также противоречит условию $y_1 < y_2$.
Оба предположения привели к противоречию. Следовательно, единственно возможным вариантом является $x_1 > x_2$.
Таким образом, мы показали, что из $y_1 < y_2$ следует $f^{-1}(y_1) > f^{-1}(y_2)$. Это означает, что функция $f^{-1}(x)$ является убывающей.
Ответ: функция $f^{-1}(x)$ является убывающей.

6. (2) Какие из следующих функций имеют обратные функции:

а) $f(x)=x+x^3$;

б) $f(x)=x-x^3$;

в) $f(x)=x|x|$?

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения (т.е. либо строго возрастать, либо строго убывать). Строгая монотонность является достаточным условием обратимости функции, так как гарантирует ее взаимную однозначность (инъективность).

а) $f(x) = x + x^3$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Для исследования на монотонность найдем производную функции: $f'(x) = (x + x^3)' = 1 + 3x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$, и следовательно, $f'(x) = 1 + 3x^2 \ge 1$. Так как производная $f'(x)$ всегда положительна ($f'(x) > 0$) на всей области определения, функция $f(x)$ является строго возрастающей. Следовательно, функция имеет обратную.
Ответ: имеет обратную функцию.

б) $f(x) = x - x^3$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Найдем производную функции: $f'(x) = (x - x^3)' = 1 - 3x^2$. Знак производной зависит от значения $x$. Найдем точки, в которых производная меняет знак: $1 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. При $x \in (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$, производная $f'(x) > 0$, и функция возрастает. При $x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty)$, производная $f'(x) < 0$, и функция убывает. Поскольку функция не является строго монотонной на всей области определения, она не имеет обратной функции. Например, можно найти различные значения $x$, для которых $f(x)$ одинаково: $f(0) = 0 - 0^3 = 0$ и $f(1) = 1 - 1^3 = 0$. Так как $f(0) = f(1)$, функция не является взаимно-однозначной (инъективной).
Ответ: не имеет обратной функции.

в) $f(x) = x|x|$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Раскроем модуль, чтобы представить функцию в кусочном виде: $f(x) = \begin{cases} x \cdot x = x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ x \cdot (-x) = -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Исследуем на монотонность на каждом промежутке. При $x > 0$, $f(x) = x^2$. Эта функция строго возрастает. При $x < 0$, $f(x) = -x^2$. Эта функция также строго возрастает (например, при увеличении $x$ от $-2$ до $-1$, значение $f(x)$ увеличивается от $-4$ до $-1$). В точке $x=0$ функция непрерывна: $\lim_{x\to 0^-} (-x^2) = 0$ и $\lim_{x\to 0^+} (x^2) = 0$, и $f(0)=0$. Поскольку функция строго возрастает при $x<0$ и при $x>0$ и непрерывна в точке $x=0$, она является строго возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, функция имеет обратную.
Ответ: имеет обратную функцию.

7. (2) Для следующих функций $f(x)$ напишите формулу обратной функции $f^{-1}(x)$ и укажите область ее определения:

a) $f(x)=2x+7;$

б) $f(x)=\frac{x-2}{8x+5};$

в) $f(x)=\sqrt{3-2x}+1.$

а) Дана функция $f(x) = 2x+7$. Чтобы найти обратную функцию, сначала запишем ее в виде $y = 2x+7$.
Затем поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = 2y+7$
Теперь выразим $y$ через $x$, чтобы получить формулу для обратной функции $f^{-1}(x)$:
$x - 7 = 2y$
$y = \frac{x-7}{2}$
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{x-7}{2}$.
Область определения исходной функции $f(x) = 2x+7$ (линейная функция) — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Область значений $E(f)$ также все действительные числа, $E(f) = (-\infty, +\infty)$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$.
Следовательно, область определения $f^{-1}(x)$ — это все действительные числа.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{x-7}{2}$, область определения: $x \in (-\infty, +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{x-2}{8x+5}$. Запишем ее как $y = \frac{x-2}{8x+5}$.
Поменяем местами $x$ и $y$:
$x = \frac{y-2}{8y+5}$
Выразим $y$ из этого уравнения:
$x(8y+5) = y-2$
$8xy + 5x = y - 2$
$8xy - y = -5x - 2$
$y(8x - 1) = -5x - 2$
$y = \frac{-5x-2}{8x-1}$
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{-5x-2}{8x-1}$.
Область определения обратной функции находится из условия, что знаменатель не должен быть равен нулю:
$8x - 1 \neq 0$
$8x \neq 1$
$x \neq \frac{1}{8}$
Эта область определения $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{-5x-2}{8x-1}$, область определения: $x \in (-\infty, \frac{1}{8}) \cup (\frac{1}{8}, +\infty)$.

в) Дана функция $f(x) = \sqrt{3-2x} + 1$.
Сначала найдем область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ исходной функции.
Область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$3 - 2x \ge 0 \implies 3 \ge 2x \implies x \le \frac{3}{2}$. Значит, $D(f) = (-\infty, \frac{3}{2}]$.
Область значений: так как значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно ($\sqrt{3-2x} \ge 0$), то $f(x) = \sqrt{3-2x} + 1 \ge 1$. Значит, $E(f) = [1, +\infty)$.
Теперь найдем обратную функцию. Запишем $y = \sqrt{3-2x} + 1$ и поменяем местами $x$ и $y$:
$x = \sqrt{3-2y} + 1$
Выразим $y$:
$x - 1 = \sqrt{3-2y}$
Так как левая часть равна арифметическому корню, она должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Это условие определяет область определения обратной функции, которая совпадает с областью значений исходной функции.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x-1)^2 = 3 - 2y$
$2y = 3 - (x-1)^2$
$y = \frac{3 - (x^2 - 2x + 1)}{2}$
$y = \frac{3 - x^2 + 2x - 1}{2}$
$y = \frac{-x^2 + 2x + 2}{2}$
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{-x^2+2x+2}{2}$.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: $f^{-1}(x) = \frac{-x^2+2x+2}{2}$, область определения: $x \in [1, +\infty)$.

8. (2) Пусть $g(x)$ - функция, обратная к функции $f(x)=x+x^3$. Вычислите $g(34)$.

Пусть $g(x)$ — функция, обратная к функции $f(x) = x + x^5$. Нам нужно вычислить значение $g(34)$.

По определению обратной функции, если $g(y) = x$, то $f(x) = y$.

Пусть $g(34) = a$. Тогда, согласно определению обратной функции, мы можем записать, что $f(a) = 34$.

Подставим $a$ в выражение для функции $f(x)$:

$f(a) = a + a^5$

Таким образом, нам нужно найти такое значение $a$, для которого выполняется равенство:

$a + a^5 = 34$

Это уравнение пятой степени. Решить его аналитически в общем виде сложно, но можно попробовать найти решение подбором, проверив небольшие целые числа.

Проверим $a=1$:$1 + 1^5 = 1 + 1 = 2 \neq 34$

Проверим $a=2$:$2 + 2^5 = 2 + 32 = 34$

Мы нашли, что $a=2$ является решением уравнения.

Чтобы убедиться, что это единственное действительное решение, исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x + x^5)' = 1 + 5x^4$

Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $5x^4 \ge 0$. Следовательно, производная $f'(x) = 1 + 5x^4 \ge 1$ для всех $x$.

Так как $f'(x) > 0$ на всей числовой оси, функция $f(x)$ является строго возрастающей. Строго монотонная функция каждое свое значение принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение $f(x) = 34$ имеет единственный действительный корень.

Поскольку мы нашли корень $a=2$, он является единственным.

Итак, из $g(34) = a$ и $a=2$ следует, что $g(34) = 2$.

Ответ: 2