Страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Найдите в Интернете определение и примеры геометрических преобразований: параллельный перенос, осевая симметрия, центральная симметрия.

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это такое преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задается вектором, который называется вектором переноса.

Если точка $M$ с координатами $(x; y)$ переходит в точку $M'$ с координатами $(x'; y')$ в результате параллельного переноса на вектор $\vec{a} = (a_x; a_y)$, то новые координаты вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$

Параллельный перенос является движением, то есть он сохраняет расстояния между точками, а значит, и формы и размеры фигур. Любая прямая при параллельном переносе переходит либо в себя, либо в параллельную ей прямую.

Примеры параллельного переноса:
1. В быту: движение кабины лифта или вагона фуникулера, движение эскалатора.
2. В искусстве: орнаменты и узоры на обоях, тканях, бордюрах, где один и тот же элемент многократно повторяется со сдвигом.
3. В математике: график функции $y = f(x-a) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ параллельным переносом на вектор $\vec{v}(a; b)$.

Ответ: Параллельный перенос — это смещение всех точек плоскости в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Осевая симметрия

Осевая симметрия (или отражение относительно прямой) — это преобразование плоскости, при котором каждой точке $M$ сопоставляется точка $M'$, такая, что заданная прямая $l$ (ось симметрии) является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Если точка $M$ лежит на оси симметрии $l$, то она переходит сама в себя.

На координатной плоскости, если осью симметрии является ось абсцисс (Ox), то точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(x; -y)$. Если осью симметрии является ось ординат (Oy), то точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(-x; y)$.

Осевая симметрия, как и параллельный перенос, является движением — она сохраняет расстояния. Однако осевая симметрия меняет ориентацию фигуры (например, "левая" фигура становится "правой", как отражение в зеркале).

Примеры осевой симметрии:
1. В природе: крылья бабочки, лист дерева, снежинка (имеет 6 осей симметрии), отражение пейзажа в глади озера.
2. В архитектуре и быту: фасады многих зданий, человеческое лицо (приблизительно), некоторые буквы алфавита (А, М, П, Т, Ш имеют вертикальную ось; В, Е, З, С, Э имеют горизонтальную ось; Ж, Н, О, Ф, Х имеют обе).
3. В геометрии: равнобедренный треугольник (одна ось), ромб и прямоугольник (две оси), квадрат (четыре оси), окружность (бесконечно много осей).

Ответ: Осевая симметрия — это преобразование, при котором фигура отражается относительно прямой (оси симметрии), как в зеркале.

Центральная симметрия

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) — это преобразование плоскости, при котором каждой точке $M$ сопоставляется точка $M'$, такая, что заданная точка $O$ (центр симметрии) является серединой отрезка $MM'$. Центр симметрии $O$ является неподвижной точкой, то есть переходит сам в себя.

Центральная симметрия эквивалентна повороту на 180° вокруг центра симметрии.

Если центром симметрии является начало координат $O(0; 0)$, то точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(-x; -y)$.

Центральная симметрия также является движением, она сохраняет расстояния, формы и размеры фигур. В отличие от осевой симметрии, она сохраняет ориентацию (в плоскости).

Примеры центральной симметрии:
1. В технике и быту: колесо обозрения (противоположные кабинки), лопасти пропеллера (с четным числом лопастей), некоторые игральные карты (например, бубновый валет), знак "Инь-ян".
2. В алфавите: латинские буквы N, S, Z; русские буквы И, Ф.
3. В геометрии: параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник, окружность (центр фигуры является центром симметрии). Треугольник не имеет центра симметрии.

Ответ: Центральная симметрия — это преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно заданной точки (центра симметрии), что равносильно повороту фигуры на 180° вокруг этого центра.

Упражнение 2

Постройте на одной координатной плоскости графики функций $y = x^2$, $y = x^2 + 2$, $y = (x + 3)^2$, $y = -x^2$. С помощью каких геометрических преобразований три последние параболы получаются из первой?

Для построения всех графиков на одной координатной плоскости за основу берется график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Осью симметрии является ось ординат $Oy$. Для построения можно использовать несколько ключевых точек: $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$. Остальные три графика получаются из этого базового графика с помощью следующих геометрических преобразований.

y = x² + 2
График этой функции представляет собой параболу, полученную из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат ($Oy$) на 2 единицы вверх. Каждая точка базовой параболы смещается на 2 единицы вверх. Вершина новой параболы будет находиться в точке $(0, 2)$.
Ответ: График функции $y = x^2 + 2$ получается из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

y = (x + 3)²
График этой функции является параболой, полученной из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 3 единицы влево. Каждая точка базовой параболы смещается на 3 единицы влево. Вершина новой параболы будет находиться в точке $(-3, 0)$.
Ответ: График функции $y = (x + 3)^2$ получается из графика $y = x^2$ с помощью параллельного переноса на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

y = -x²
График этой функции — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Значения $y$ для каждого $x$ становятся противоположными. Ветви этой параболы направлены вниз, а вершина остается в точке $(0, 0)$.
Ответ: График функции $y = -x^2$ получается из графика $y = x^2$ с помощью симметричного отражения относительно оси $Ox$.

Упражнение 3 а

Изобразите на координатной плоскости несколько пар точек. В каждой паре абсциссы должны быть равны, а ординаты противоположны. Каким геометрическим преобразованием связаны друг с другом точки в каждой паре?

Упражнение 3 б

Изобразите на координатной плоскости несколько пар точек. В каждой паре абсциссы должны быть противоположны, а ординаты равны. Каким геометрическим преобразованием связаны друг с другом точки в каждой паре?

Упражнение 3 а

Согласно условию, для каждой пары точек их абсциссы (координаты по оси $x$) должны быть равны, а ординаты (координаты по оси $y$) — противоположны. Это означает, что если мы возьмем точку $A$ с координатами $(x, y)$, то вторая точка в паре, назовем ее $A'$, будет иметь координаты $(x, -y)$.

Рассмотрим несколько примеров:

• Пусть точка $A$ имеет координаты $(3, 5)$. Тогда парная ей точка $A'$ будет иметь координаты $(3, -5)$.
• Пусть точка $B$ имеет координаты $(-2, 4)$. Тогда парная ей точка $B'$ будет иметь координаты $(-2, -4)$.
• Пусть точка $C$ имеет координаты $(4, -1)$. Тогда парная ей точка $C'$ будет иметь координаты $(4, -(-1)) = (4, 1)$.

Если изобразить эти пары точек на координатной плоскости, можно заметить, что отрезок, соединяющий точки в каждой паре (например, $AA'$), перпендикулярен оси абсцисс ($Ox$). Кроме того, ось $Ox$ делит этот отрезок на две равные части. Такое геометрическое преобразование, при котором каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно некоторой прямой (оси), называется осевой симметрией. В данном случае осью симметрии является ось абсцисс ($Ox$).

Ответ: Точки в каждой паре связаны друг с другом осевой симметрией относительно оси абсцисс ($Ox$).

Упражнение 3 б

Согласно условию, для каждой пары точек их абсциссы должны быть противоположны, а ординаты — равны. Это означает, что если мы возьмем точку $A$ с координатами $(x, y)$, то вторая точка в паре, $A'$, будет иметь координаты $(-x, y)$.

Рассмотрим несколько примеров:

• Пусть точка $A$ имеет координаты $(2, 3)$. Тогда парная ей точка $A'$ будет иметь координаты $(-2, 3)$.
• Пусть точка $B$ имеет координаты $(-5, 1)$. Тогда парная ей точка $B'$ будет иметь координаты $(-(-5), 1) = (5, 1)$.
• Пусть точка $C$ имеет координаты $(4, -2)$. Тогда парная ей точка $C'$ будет иметь координаты $(-4, -2)$.

Если изобразить эти пары точек на координатной плоскости, можно заметить, что отрезок, соединяющий точки в каждой паре (например, $AA'$), перпендикулярен оси ординат ($Oy$). Кроме того, ось $Oy$ делит этот отрезок на две равные части. Это преобразование также является осевой симметрией, но в данном случае осью симметрии является ось ординат ($Oy$).

Ответ: Точки в каждой паре связаны друг с другом осевой симметрией относительно оси ординат ($Oy$).