Страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 1

Предположим, в некотором учебном заведении стипендия назначается согласно следующей таблице:

(0;3,5] - 0

(3,5;4] - 10000

(4;4,5] - 20000

(4,5;5] - 40000

В верхней строчке – средний балл студента по итогам сдачи экзаменов последнего семестра, в нижней – размер соответствующей стипендии в тенге. В верхней строчке следующей таблицы – номера студентов по списку одной из учебных групп этого учебного заведения, в нижней – средний балл по итогам последней сессии.

1: 3,5, 2: 4, 3: 3,7, 4: 3,2, 5: 4,1, 6: 5, 7: 4,9, 8: 3

9: 3,3, 10: 4,75, 11: 4,5, 12: 3,6, 13: 4,5, 14: 4,9, 15: 3,1, 16: 5

Сколько студентов будут получать стипендию в размере 40000 тенге?

Сколько студентов будут получать стипендию от 10000 до 20000 тенге?

Рассмотрим две функции $f(x)=\sqrt{x}$ и $g(x)=3x+1$ на их естественных областях определения. Функция $g(x)$ числу 5 ставит в соответствие число 16, так как $g(5)=3 \cdot 5+1$. Функция $f(x)$ числу 16 ставит в соответствие число 4, так как $f(16)=\sqrt{16}=4$. В результате числу 5 поставлено в соответствие число 4 в два этапа: $5 \xrightarrow{g(x)} 16 \xrightarrow{f(x)} 4$.

Поскольку $16=g(5)$, то можно записать: $f(16)=f(g(5))=4$. Форма записи $f(g(5))=4$ хорошо отражает тот факт, что на число 5 сначала «подействовали» функцией $g$, а потом на то, что получилось, «подействовали» функцией $f(x)$. Аналогично, $f(g(10))=f(31)=\sqrt{31}$. Однако, например,

функция $g(x)$ числу $(-3)$ ставит в соответствие число $(-8)$, а функция $f(x)$ не имеет возможности числу $(-8)$ поставить в соответствие какое бы то ни было число, потому что $(-8)$ не входит в область ее определения. Разберемся, на какие числа можно «действовать» сначала функцией $g(x)$, а потом $f(x)$, а на какие нельзя. Так как функция $g(x)$ «превращает» число $x$ в число $3x+1$, а $f(x)$ – извлекает из них корень, то получаем условие $3x+1 \ge 0$ (корень извлекается только из неотрицательных чисел). Таким образом, мы понимаем, что если $x < -\frac{1}{3}$, то $g(x)$ мы посчитать сможем, а $f(g(x))$ – не сможем. Но для любого $x \ge -\frac{1}{3}$ мы сможем сначала вычислить число $g(x)$, а затем это число подставить в $f(x)$ и получить $f(g(x)) = \sqrt{g(x)}$. Получилась новая функция, которая каждому числу из множества $\left[-\frac{1}{3};+\infty\right)$

ставит в соответствие результат последовательного «применения» к нему двух функций: сначала $g(x)$, а затем $f(x)$. Если как-нибудь обозначить эту новую функцию, например $h(x)$, то $h(x)=f(g(x))$ и $D(h)=\left[-\frac{1}{3};+\infty\right)$. Кроме того, мы имеем возможность записать аналитическую формулу $h(x)=\sqrt{3x+1}$.

Функция $h(x)$ называется композицией функций, или суперпозицией функций, или сложной функцией.

Сколько студентов будут получать стипендию в размере 40000 тенге?

Для получения стипендии в размере 40000 тенге, согласно первой таблице, средний балл студента (GPA) должен находиться в промежутке $(4,5; 5]$. Это означает, что балл студента должен удовлетворять двойному неравенству $4,5 < \text{GPA} \le 5$.
Проанализируем данные о баллах студентов из второй таблицы, чтобы найти тех, кто соответствует этому критерию:
- Студент 6: средний балл 5,0. Условие $4,5 < 5,0 \le 5$ выполняется.
- Студент 7: средний балл 4,9. Условие $4,5 < 4,9 \le 5$ выполняется.
- Студент 10: средний балл 4,75. Условие $4,5 < 4,75 \le 5$ выполняется.
- Студент 14: средний балл 4,9. Условие $4,5 < 4,9 \le 5$ выполняется.
- Студент 16: средний балл 5,0. Условие $4,5 < 5,0 \le 5$ выполняется.
Таким образом, всего 5 студентов будут получать стипендию в размере 40000 тенге.
Ответ: 5

Сколько студентов будут получать стипендию от 10000 до 20000 тенге?

Стипендия «от 10000 до 20000 тенге» означает, что студент получает либо 10000 тенге, либо 20000 тенге. Согласно первой таблице, условия для назначения этих стипендий следующие:
- стипендия 10000 тенге назначается за средний балл в промежутке $(3,5; 4]$.
- стипендия 20000 тенге назначается за средний балл в промежутке $(4; 4,5]$.
Следовательно, нам необходимо найти общее количество студентов, чей средний балл (GPA) принадлежит объединению этих двух промежутков: $(3,5; 4] \cup (4; 4,5]$. Это объединение представляет собой единый промежуток $(3,5; 4,5]$. Таким образом, балл студента должен удовлетворять неравенству $3,5 < \text{GPA} \le 4,5$.
Проверим средние баллы студентов из второй таблицы на соответствие этому условию:
- Студент 2: средний балл 4,0. Условие $3,5 < 4,0 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 3: средний балл 3,7. Условие $3,5 < 3,7 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 5: средний балл 4,1. Условие $3,5 < 4,1 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 11: средний балл 4,5. Условие $3,5 < 4,5 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 12: средний балл 3,6. Условие $3,5 < 3,6 \le 4,5$ выполняется.
- Студент 13: средний балл 4,5. Условие $3,5 < 4,5 \le 4,5$ выполняется.
Всего 6 студентов соответствуют этим критериям.
Ответ: 6

15. Найдите значения производной функции $f(x)$ в точке $x = x_0$, если:

a) $f(x) = x \sin x + \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$;

б) $f(x) = x^2 \cos 2x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

в) $f(x) = (4\pi x - \pi) \operatorname{tg}(3\pi x), x_0 = \frac{1}{12}$;

г) $f(x) = x \arccos 2x, x_0 = 0$.

а) $f(x) = x \sin x + \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти значение производной в точке $x_0$, сначала найдем производную функции $f'(x)$. Данная функция является суммой двух слагаемых, первое из которых — произведение. Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u'+v'$ и правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$f'(x) = (x \sin x + \cos x)' = (x \sin x)' + (\cos x)'$

Найдем производную каждого слагаемого:

$(x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$

$(\cos x)' = -\sin x$

Теперь сложим производные:

$f'(x) = (\sin x + x \cos x) - \sin x = x \cos x$

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{2}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

б) $f(x) = x^2 \cos 2x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$

Для нахождения производной функции, представляющей собой произведение $u(x)=x^2$ и $v(x)=\cos(2x)$, используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило для дифференцирования сложной функции $v(x)$.

$f'(x) = (x^2 \cos 2x)' = (x^2)' \cos 2x + x^2 (\cos 2x)'$

Найдем производные составляющих:

$(x^2)' = 2x$

$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2 \sin 2x$

Подставим их в формулу производной произведения:

$f'(x) = 2x \cos 2x + x^2 (-2 \sin 2x) = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x$

Теперь подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{4}$ в найденную производную:

$f'(-\frac{\pi}{4}) = 2(-\frac{\pi}{4}) \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) - 2(-\frac{\pi}{4})^2 \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4}))$

$f'(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2} \cos(-\frac{\pi}{2}) - 2(\frac{\pi^2}{16}) \sin(-\frac{\pi}{2})$

Так как $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем:

$f'(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2} \cdot 0 - \frac{\pi^2}{8} \cdot (-1) = \frac{\pi^2}{8}$

Ответ: $\frac{\pi^2}{8}$

в) $f(x) = (4\pi x - \pi) \tan(3\pi x), x_0 = \frac{1}{12}$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и цепное правило. Пусть $u(x) = 4\pi x - \pi$ и $v(x) = \tan(3\pi x)$.

$f'(x) = (4\pi x - \pi)' \tan(3\pi x) + (4\pi x - \pi) (\tan(3\pi x))'$

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$(4\pi x - \pi)' = 4\pi$

$(\tan(3\pi x))' = \frac{1}{\cos^2(3\pi x)} \cdot (3\pi x)' = \frac{3\pi}{\cos^2(3\pi x)}$

Собираем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 4\pi \tan(3\pi x) + (4\pi x - \pi) \frac{3\pi}{\cos^2(3\pi x)}$

Подставим $x_0 = \frac{1}{12}$ в выражение для производной. Сначала вычислим значения аргументов и множителей при $x_0 = \frac{1}{12}$:

$3\pi x_0 = 3\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{4}$

$4\pi x_0 - \pi = 4\pi \cdot \frac{1}{12} - \pi = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$

$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$

Теперь вычисляем значение производной:

$f'(\frac{1}{12}) = 4\pi \cdot \tan(\frac{\pi}{4}) + (-\frac{2\pi}{3}) \cdot \frac{3\pi}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = 4\pi \cdot 1 - \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{3\pi}{1/2} = 4\pi - \frac{2\pi}{3} \cdot 6\pi = 4\pi - 4\pi^2$

Ответ: $4\pi - 4\pi^2$

г) $f(x) = x \arccos 2x, x_0 = 0$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)'=u'v+uv'$ и цепное правило. Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \arccos(2x)$.

$f'(x) = (x)' \arccos 2x + x (\arccos 2x)'$

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$(x)' = 1$

$(\arccos 2x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot (2x)' = -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

Собираем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 1 \cdot \arccos 2x + x \left(-\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}\right) = \arccos 2x - \frac{2x}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

Подставим значение $x_0 = 0$ в полученное выражение:

$f'(0) = \arccos(2 \cdot 0) - \frac{2 \cdot 0}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0^2}} = \arccos(0) - \frac{0}{\sqrt{1}} = \arccos(0) - 0$

Известно, что $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

$f'(0) = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

16. Вычислите:

а) $g'(-9)$, если $g(x) = x(x+10)^5$;

б) $h'(1)$, если $h(x) = 2x(3x-2)^7$;

в) $u'(-1)$, если $u(x) = (2x+1)^4(2+3x)^9$;

г) $f'(-3)$, если $g(x) = 3x\left(\frac{9}{x}+4\right)^3$.

а) g'(-9), если g(x) = x(x+10)⁵
Для нахождения производной функции $g(x)$, которая представляет собой произведение двух функций $u(x)=x$ и $v(x)=(x+10)^5$, используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (x)' = 1$
Для $v(x)$ используем правило производной сложной функции:
$v'(x) = ((x+10)^5)' = 5(x+10)^4 \cdot (x+10)' = 5(x+10)^4 \cdot 1 = 5(x+10)^4$
Теперь найдем производную $g'(x)$:
$g'(x) = 1 \cdot (x+10)^5 + x \cdot 5(x+10)^4 = (x+10)^5 + 5x(x+10)^4$.
Вычислим значение производной в точке $x = -9$:
$g'(-9) = (-9+10)^5 + 5(-9)(-9+10)^4 = (1)^5 - 45 \cdot (1)^4 = 1 - 45 = -44$.
Ответ: -44

б) h'(1), если h(x) = 2x(3x-2)⁷
Используем правило дифференцирования произведения для функции $h(x) = u(x)v(x)$, где $u(x)=2x$ и $v(x)=(3x-2)^7$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (2x)' = 2$
$v'(x) = ((3x-2)^7)' = 7(3x-2)^6 \cdot (3x-2)' = 7(3x-2)^6 \cdot 3 = 21(3x-2)^6$.
Найдем производную $h'(x)$:
$h'(x) = 2 \cdot (3x-2)^7 + 2x \cdot 21(3x-2)^6 = 2(3x-2)^7 + 42x(3x-2)^6$.
Вычислим значение производной в точке $x = 1$:
$h'(1) = 2(3 \cdot 1 - 2)^7 + 42 \cdot 1 \cdot (3 \cdot 1 - 2)^6 = 2(1)^7 + 42(1)^6 = 2 + 42 = 44$.
Ответ: 44

в) u'(-1), если u(x) = (2x+1)⁴(2+3x)⁹
Функция $u(x)$ является произведением двух функций $f(x) = (2x+1)^4$ и $g(x) = (2+3x)^9$. Используем правило дифференцирования произведения: $(fg)' = f'g + fg'$.
Найдем производные $f'(x)$ и $g'(x)$:
$f'(x) = ((2x+1)^4)' = 4(2x+1)^3 \cdot (2x+1)' = 4(2x+1)^3 \cdot 2 = 8(2x+1)^3$.
$g'(x) = ((2+3x)^9)' = 9(2+3x)^8 \cdot (2+3x)' = 9(2+3x)^8 \cdot 3 = 27(2+3x)^8$.
Найдем производную $u'(x)$:
$u'(x) = f'g + fg' = 8(2x+1)^3(2+3x)^9 + (2x+1)^4 \cdot 27(2+3x)^8$.
Вычислим значение производной в точке $x = -1$:
$u'(-1) = 8(2(-1)+1)^3(2+3(-1))^9 + (2(-1)+1)^4 \cdot 27(2+3(-1))^8$
$u'(-1) = 8(-1)^3(-1)^9 + (-1)^4 \cdot 27 \cdot (-1)^8 = 8(-1)(-1) + 1 \cdot 27 \cdot 1 = 8 + 27 = 35$.
Ответ: 35

г) f'(-3), если g(x) = 3x(9/x + 4)³
В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка, и требуется найти $g'(-3)$.
Функция $g(x) = 3x(\frac{9}{x} + 4)^3$. Для нахождения производной используем правило произведения для $u(x)=3x$ и $v(x)=(\frac{9}{x} + 4)^3$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (3x)' = 3$.
$v(x) = (9x^{-1} + 4)^3$, тогда по правилу производной сложной функции:
$v'(x) = 3(9x^{-1} + 4)^2 \cdot (9x^{-1} + 4)' = 3(\frac{9}{x} + 4)^2 \cdot (-9x^{-2}) = -\frac{27}{x^2}(\frac{9}{x} + 4)^2$.
Найдем производную $g'(x)$:
$g'(x) = u'v + uv' = 3(\frac{9}{x} + 4)^3 + 3x \left(-\frac{27}{x^2}(\frac{9}{x} + 4)^2\right) = 3(\frac{9}{x} + 4)^3 - \frac{81}{x}(\frac{9}{x} + 4)^2$.
Вычислим значение производной в точке $x = -3$:
$g'(-3) = 3(\frac{9}{-3} + 4)^3 - \frac{81}{-3}(\frac{9}{-3} + 4)^2 = 3(-3+4)^3 - (-27)(-3+4)^2 = 3(1)^3 + 27(1)^2 = 3+27=30$.
Ответ: 30

17. Решите следующие неравенства:

а) $f'(x) \geq 0$, если $f(x) = \cos 2x - x$;

б) $f'(x) \leq 1$, если $f(x) = \sin x - \cos x$;

в) $f'(x) \geq 5$, если $f(x) = \sin^2 x + 4x$;

г) $f'(x) \geq \cos x$, если $f(x) = \cos x$.

а) $f'(x)\ge0$, если $f(x)=\cos2x-x$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции для $\cos(2x)$ и правило для степенной функции для $-x$.
$f'(x) = (\cos(2x)-x)' = (\cos(2x))' - (x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' - 1 = -2\sin(2x) - 1$.

2. Подставим производную в неравенство $f'(x) \ge 0$:
$-2\sin(2x) - 1 \ge 0$.

3. Решим полученное тригонометрическое неравенство:
$-2\sin(2x) \ge 1$
Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$\sin(2x) \le -\frac{1}{2}$.

4. Решим неравенство $\sin(t) \le -\frac{1}{2}$, где $t=2x$.
На единичной окружности этому условию соответствуют значения $t$, для которых выполняется двойное неравенство:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Сделаем обратную замену $t=2x$:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

6. Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:
$-\frac{5\pi}{12} + \pi n \le x \le -\frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{12} + \pi n; -\frac{\pi}{12} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $f'(x)\le1$, если $f(x)=\sin x-\cos x$

1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.

2. Подставим производную в неравенство $f'(x) \le 1$:
$\cos x + \sin x \le 1$.

3. Решим полученное неравенство методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) \le 1$.
Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, можем применить формулу синуса суммы:
$\sqrt{2}(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}) \le 1$
$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 1$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le \frac{1}{\sqrt{2}}$.

4. Решим неравенство $\sin(t) \le \frac{1}{\sqrt{2}}$, где $t = x+\frac{\pi}{4}$.
Это неравенство выполняется для всех $t$, кроме интервала $(\frac{\pi}{4}+2\pi n; \frac{3\pi}{4}+2\pi n)$.
Следовательно, решением является:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, что то же самое, что и $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Сделаем обратную замену $t = x+\frac{\pi}{4}$:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le x+\frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4} + 2\pi n$.

6. Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:
$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{2\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{8\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n; 2\pi(n+1)]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $f'(x)\ge5$, если $f(x)=\sin^2 x+4x$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции для $\sin^2 x$:
$f'(x) = (\sin^2 x + 4x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' + 4 = 2\sin x \cos x + 4$.

2. Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$:
$f'(x) = \sin(2x) + 4$.

3. Подставим производную в неравенство $f'(x) \ge 5$:
$\sin(2x) + 4 \ge 5$.

4. Решим полученное неравенство:
$\sin(2x) \ge 1$.

5. Поскольку область значений функции синус $[-1; 1]$, данное неравенство может выполняться только в одном случае, когда $\sin(2x)$ равен своему максимальному значению, то есть 1.
$\sin(2x) = 1$.

6. Решим это уравнение:
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7. Разделим на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) $f'(x)\ge \cos x$, если $f(x)=\cos x$

1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Подставим производную в неравенство $f'(x) \ge \cos x$:
$-\sin x \ge \cos x$.

3. Перенесем все члены в левую часть и решим неравенство:
$-\sin x - \cos x \ge 0$
$\sin x + \cos x \le 0$.

4. Как и в пункте б), используем метод вспомогательного угла:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) \le 0$
$\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 0$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 0$.

5. Решим неравенство $\sin(t) \le 0$, где $t = x+\frac{\pi}{4}$.
Синус не положителен в третьей и четвертой четвертях, то есть:
$\pi + 2\pi n \le t \le 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Сделаем обратную замену $t = x+\frac{\pi}{4}$:
$\pi + 2\pi n \le x+\frac{\pi}{4} \le 2\pi + 2\pi n$.

7. Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:
$\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

18. Найдите производные следующих функций:

a) $f(x)=-x$, $g(x)=\frac{x^2}{2}$, $h(x)=\frac{x^3}{3}$, $u(x)=\frac{x^4}{4}$, $v(x)=\frac{x^m}{m}$;

б) $f(x)=-\frac{1}{5x^5}$, $g(x)=\frac{1}{6x^3}$, $h(x)=\frac{1}{14x^7}$, $u(x)=\frac{1}{24x^8}$, $v(x)=-\frac{1}{3^{95}(x^3)^{91}}$.

a) Для нахождения производных будем использовать формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
Для функции $f(x)=-x = -1 \cdot x^1$:
$f'(x) = (-x)' = (-1 \cdot x^1)' = -1 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -1 \cdot x^0 = -1$.
Ответ: $f'(x) = -1$.

Для функции $g(x) = \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^2$:
$g'(x) = (\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = x$.
Ответ: $g'(x) = x$.

Для функции $h(x) = -\frac{x^3}{3} = -\frac{1}{3}x^3$:
$h'(x) = (-\frac{1}{3}x^3)' = -\frac{1}{3} \cdot (x^3)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = -x^2$.
Ответ: $h'(x) = -x^2$.

Для функции $u(x) = \frac{x^4}{4} = \frac{1}{4}x^4$:
$u'(x) = (\frac{1}{4}x^4)' = \frac{1}{4} \cdot (x^4)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3$.
Ответ: $u'(x) = x^3$.

Для функции $v(x) = \frac{x^m}{m} = \frac{1}{m}x^m$ (где $m$ - константа):
$v'(x) = (\frac{1}{m}x^m)' = \frac{1}{m} \cdot (x^m)' = \frac{1}{m} \cdot mx^{m-1} = x^{m-1}$.
Ответ: $v'(x) = x^{m-1}$.

б) Для нахождения производных представим функции в виде $C \cdot x^n$, используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, и применим те же правила дифференцирования.
Для функции $f(x) = -\frac{1}{5x^5} = -\frac{1}{5}x^{-5}$:
$f'(x) = (-\frac{1}{5}x^{-5})' = -\frac{1}{5} \cdot (x^{-5})' = -\frac{1}{5} \cdot (-5)x^{-5-1} = x^{-6} = \frac{1}{x^6}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x^6}$.

Для функции $g(x) = \frac{1}{6x^3} = \frac{1}{6}x^{-3}$:
$g'(x) = (\frac{1}{6}x^{-3})' = \frac{1}{6} \cdot (x^{-3})' = \frac{1}{6} \cdot (-3)x^{-3-1} = -\frac{3}{6}x^{-4} = -\frac{1}{2}x^{-4} = -\frac{1}{2x^4}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{1}{2x^4}$.

Для функции $h(x) = -\frac{1}{14x^7} = -\frac{1}{14}x^{-7}$:
$h'(x) = (-\frac{1}{14}x^{-7})' = -\frac{1}{14} \cdot (x^{-7})' = -\frac{1}{14} \cdot (-7)x^{-7-1} = \frac{7}{14}x^{-8} = \frac{1}{2}x^{-8} = \frac{1}{2x^8}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{1}{2x^8}$.

Для функции $u(x) = \frac{1}{24x^8} = \frac{1}{24}x^{-8}$:
$u'(x) = (\frac{1}{24}x^{-8})' = \frac{1}{24} \cdot (x^{-8})' = \frac{1}{24} \cdot (-8)x^{-8-1} = -\frac{8}{24}x^{-9} = -\frac{1}{3}x^{-9} = -\frac{1}{3x^9}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{1}{3x^9}$.

Для функции $v(x) = -\frac{1}{3^{95}(x^2)^{91}}$:
Сначала упростим выражение: $v(x) = -\frac{1}{3^{95}x^{2 \cdot 91}} = -\frac{1}{3^{95}x^{182}}$.
Теперь представим в виде $v(x) = -\frac{1}{3^{95}}x^{-182}$.
$v'(x) = (-\frac{1}{3^{95}}x^{-182})' = -\frac{1}{3^{95}} \cdot (x^{-182})' = -\frac{1}{3^{95}} \cdot (-182)x^{-182-1} = \frac{182}{3^{95}}x^{-183} = \frac{182}{3^{95}x^{183}}$.
Ответ: $v'(x) = \frac{182}{3^{95}x^{183}}$.

19. Найдите производные следующих функций: $f(x)=1-3x$, $g(x)=2-3x^2$, $h(x)=3\left(1-\frac{x}{3}\right)^5$, $u(x)=\frac{1}{15}\left(2-3x^2\right)^5$.

f(x) = 1 - 3x
Для нахождения производной используем основные правила дифференцирования. Производная разности функций равна разности их производных.
$f'(x) = (1 - 3x)' = (1)' - (3x)'$
Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.
Постоянный множитель можно вынести за знак производной, а производная $x$ равна 1: $(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.
Таким образом, получаем:
$f'(x) = 0 - 3 = -3$
Ответ: $f'(x) = -3$.

g(x) = 2 - 3x²
Применяем правило дифференцирования разности и степенное правило $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$g'(x) = (2 - 3x^2)' = (2)' - (3x^2)'$
Производная константы $(2)' = 0$.
Производная для второго слагаемого: $(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$.
Следовательно:
$g'(x) = 0 - 6x = -6x$
Ответ: $g'(x) = -6x$.

h(x) = 3(1 - x/3)⁵
Для нахождения производной этой сложной функции используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Вынесем константу 3 за знак производной:
$h'(x) = 3 \cdot \left(\left(1 - \frac{x}{3}\right)^5\right)'$
Здесь внешняя функция — это степенная функция $y(u) = u^5$, а внутренняя — $u(x) = 1 - \frac{x}{3}$.
Производная внешней функции: $y'(u) = 5u^4$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = (1 - \frac{x}{3})' = (1)' - (\frac{1}{3}x)' = 0 - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$.
Применяем цепное правило:
$h'(x) = 3 \cdot \left[5\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right]$
Упростим полученное выражение:
$h'(x) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot 5\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4 = -1 \cdot 5\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4 = -5\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4$
Ответ: $h'(x) = -5(1 - \frac{x}{3})^4$.

u(x) = 1/15(2 - 3x²)⁵
Эта функция также является сложной, поэтому мы снова применим цепное правило.
$u'(x) = \left(\frac{1}{15}(2 - 3x^2)^5\right)'$
Вынесем константу $\frac{1}{15}$:
$u'(x) = \frac{1}{15} \cdot ((2 - 3x^2)^5)'$
Внешняя функция: $y(v) = v^5$, ее производная $y'(v) = 5v^4$.
Внутренняя функция: $v(x) = 2 - 3x^2$, ее производная $v'(x) = (2)' - (3x^2)' = 0 - 6x = -6x$.
Подставляем в цепное правило:
$u'(x) = \frac{1}{15} \cdot [5(2 - 3x^2)^4 \cdot (-6x)]$
Упростим выражение, перемножив константы и переменные:
$u'(x) = \frac{5 \cdot (-6)}{15} \cdot x(2 - 3x^2)^4 = \frac{-30}{15} x(2 - 3x^2)^4 = -2x(2 - 3x^2)^4$
Ответ: $u'(x) = -2x(2 - 3x^2)^4$.

20. Найдите производные следующих функций:

а)

$f(x)=2\sin\frac{x}{2}$, $g(x)=\frac{7}{3}\sin 3x$, $h(x)=-\frac{1}{7}\sin\left(14x+\frac{\pi}{6}\right)$,

$u(x)=\frac{1}{5\pi}\sin\left(\frac{\pi}{8}-10\pi x\right)$;

б)

$f(x)=-22\cos\frac{x}{11}$, $g(x)=\frac{1}{18}\cos 27x$, $h(x)=-\frac{2}{9}\cos\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{7}\right)$,

$u(x)=-\frac{8}{9}\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{27\pi x}{16}\right)$;

в)

$f(x)=4\tan\frac{x}{4}$, $g(x)=\frac{3}{4}\tan\frac{8x}{9}$, $h(x)=\frac{4}{45}\tan\left(\frac{15x}{2}-\frac{\pi}{9}\right)$,

$u(x)=\frac{1}{2\pi}\tan\left(\frac{\pi}{5}-5\pi x\right)$;

г)

$f(x)=-\frac{1}{3}\cot\frac{x}{3}$, $g(x)=\frac{9}{11}\cot\frac{22x}{3}$, $h(x)=\frac{3}{5}\cot\left(\frac{10x}{9}-\frac{\pi}{21}\right)$,

$u(x)=-\frac{1}{25\pi}\cot\left(\frac{\pi}{11}-75\pi x\right)$.

а)

$f(x)=2\sin\frac{x}{2}$
$f'(x) = (2\sin\frac{x}{2})' = 2 \cdot \cos(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = 2 \cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \cos(\frac{x}{2})$.
Ответ: $f'(x) = \cos(\frac{x}{2})$.

$g(x) = \frac{7}{3}\sin 3x$
$g'(x) = (\frac{7}{3}\sin 3x)' = \frac{7}{3} \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = \frac{7}{3} \cos(3x) \cdot 3 = 7\cos(3x)$.
Ответ: $g'(x) = 7\cos(3x)$.

$h(x)=-\frac{1}{7}\sin(14x+\frac{\pi}{6})$
$h'(x) = (-\frac{1}{7}\sin(14x+\frac{\pi}{6}))' = -\frac{1}{7} \cdot \cos(14x+\frac{\pi}{6}) \cdot (14x+\frac{\pi}{6})' = -\frac{1}{7} \cos(14x+\frac{\pi}{6}) \cdot 14 = -2\cos(14x+\frac{\pi}{6})$.
Ответ: $h'(x) = -2\cos(14x+\frac{\pi}{6})$.

$u(x) = \frac{1}{5\pi}\sin(\frac{\pi}{8}-10\pi x)$
$u'(x) = (\frac{1}{5\pi}\sin(\frac{\pi}{8}-10\pi x))' = \frac{1}{5\pi} \cdot \cos(\frac{\pi}{8}-10\pi x) \cdot (\frac{\pi}{8}-10\pi x)' = \frac{1}{5\pi} \cos(\frac{\pi}{8}-10\pi x) \cdot (-10\pi) = -2\cos(\frac{\pi}{8}-10\pi x)$.
Ответ: $u'(x) = -2\cos(\frac{\pi}{8}-10\pi x)$.

б)

$f(x)=-22\cos\frac{x}{11}$
$f'(x) = (-22\cos\frac{x}{11})' = -22 \cdot (-\sin\frac{x}{11}) \cdot (\frac{x}{11})' = 22\sin(\frac{x}{11}) \cdot \frac{1}{11} = 2\sin(\frac{x}{11})$.
Ответ: $f'(x) = 2\sin(\frac{x}{11})$.

$g(x) = \frac{1}{18}\cos 27x$
$g'(x) = (\frac{1}{18}\cos 27x)' = \frac{1}{18} \cdot (-\sin 27x) \cdot (27x)' = -\frac{1}{18}\sin(27x) \cdot 27 = -\frac{27}{18}\sin(27x) = -\frac{3}{2}\sin(27x)$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{3}{2}\sin(27x)$.

$h(x)=-\frac{2}{9}\cos(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{7})$
$h'(x) = (-\frac{2}{9}\cos(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{7}))' = -\frac{2}{9} \cdot (-\sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{7})) \cdot (\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{7})' = \frac{2}{9}\sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{7}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{3}\sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{7})$.
Ответ: $h'(x) = \frac{1}{3}\sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{7})$.

$u(x)=-\frac{8}{9}\cos(\frac{\pi}{8}-\frac{27\pi x}{16})$
$u'(x) = (-\frac{8}{9}\cos(\frac{\pi}{8}-\frac{27\pi x}{16}))' = -\frac{8}{9} \cdot (-\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{27\pi x}{16})) \cdot (\frac{\pi}{8}-\frac{27\pi x}{16})' = \frac{8}{9}\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{27\pi x}{16}) \cdot (-\frac{27\pi}{16}) = -\frac{3\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{27\pi x}{16})$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{3\pi}{2}\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{27\pi x}{16})$.

в)

$f(x)=4\text{tg}\frac{x}{4}$
$f'(x) = (4\text{tg}\frac{x}{4})' = 4 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{4})} \cdot (\frac{x}{4})' = \frac{4}{\cos^2(\frac{x}{4})} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{4})}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{4})}$.

$g(x) = \frac{3}{4}\text{tg}\frac{8x}{9}$
$g'(x) = (\frac{3}{4}\text{tg}\frac{8x}{9})' = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{8x}{9})} \cdot (\frac{8x}{9})' = \frac{3}{4\cos^2(\frac{8x}{9})} \cdot \frac{8}{9} = \frac{2}{3\cos^2(\frac{8x}{9})}$.
Ответ: $g'(x) = \frac{2}{3\cos^2(\frac{8x}{9})}$.

$h(x) = \frac{4}{45}\text{tg}(\frac{15x}{2}-\frac{\pi}{9})$
$h'(x) = (\frac{4}{45}\text{tg}(\frac{15x}{2}-\frac{\pi}{9}))' = \frac{4}{45} \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{15x}{2}-\frac{\pi}{9})} \cdot (\frac{15x}{2}-\frac{\pi}{9})' = \frac{4}{45\cos^2(\frac{15x}{2}-\frac{\pi}{9})} \cdot \frac{15}{2} = \frac{2}{3\cos^2(\frac{15x}{2}-\frac{\pi}{9})}$.
Ответ: $h'(x) = \frac{2}{3\cos^2(\frac{15x}{2}-\frac{\pi}{9})}$.

$u(x) = \frac{1}{2\pi}\text{tg}(\frac{\pi}{5}-5\pi x)$
$u'(x) = (\frac{1}{2\pi}\text{tg}(\frac{\pi}{5}-5\pi x))' = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{5}-5\pi x)} \cdot (\frac{\pi}{5}-5\pi x)' = \frac{1}{2\pi\cos^2(\frac{\pi}{5}-5\pi x)} \cdot (-5\pi) = -\frac{5}{2\cos^2(\frac{\pi}{5}-5\pi x)}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{5}{2\cos^2(\frac{\pi}{5}-5\pi x)}$.

г)

$f(x)=-\frac{1}{3}\text{ctg}\frac{x}{3}$
$f'(x) = (-\frac{1}{3}\text{ctg}\frac{x}{3})' = -\frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})}) \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9\sin^2(\frac{x}{3})}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{9\sin^2(\frac{x}{3})}$.

$g(x) = \frac{9}{11}\text{ctg}\frac{22x}{3}$
$g'(x) = (\frac{9}{11}\text{ctg}\frac{22x}{3})' = \frac{9}{11} \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{22x}{3})}) \cdot (\frac{22x}{3})' = -\frac{9}{11\sin^2(\frac{22x}{3})} \cdot \frac{22}{3} = -\frac{6}{\sin^2(\frac{22x}{3})}$.
Ответ: $g'(x) = -\frac{6}{\sin^2(\frac{22x}{3})}$.

$h(x) = \frac{3}{5}\text{ctg}(\frac{10x}{9}-\frac{\pi}{21})$
$h'(x) = (\frac{3}{5}\text{ctg}(\frac{10x}{9}-\frac{\pi}{21}))' = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{10x}{9}-\frac{\pi}{21})}) \cdot (\frac{10x}{9}-\frac{\pi}{21})' = -\frac{3}{5\sin^2(\frac{10x}{9}-\frac{\pi}{21})} \cdot \frac{10}{9} = -\frac{2}{3\sin^2(\frac{10x}{9}-\frac{\pi}{21})}$.
Ответ: $h'(x) = -\frac{2}{3\sin^2(\frac{10x}{9}-\frac{\pi}{21})}$.

$u(x) = -\frac{1}{25\pi}\text{ctg}(\frac{\pi}{11}-75\pi x)$
$u'(x) = (-\frac{1}{25\pi}\text{ctg}(\frac{\pi}{11}-75\pi x))' = -\frac{1}{25\pi} \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{11}-75\pi x)}) \cdot (\frac{\pi}{11}-75\pi x)' = \frac{1}{25\pi\sin^2(\frac{\pi}{11}-75\pi x)} \cdot (-75\pi) = -\frac{3}{\sin^2(\frac{\pi}{11}-75\pi x)}$.
Ответ: $u'(x) = -\frac{3}{\sin^2(\frac{\pi}{11}-75\pi x)}$.