Страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

8. (2) Функция вида $y=kx+m$, где $k$ и $m$ - некоторые числа, называется линейной. Докажите, что композиция любых двух линейных функций есть снова линейная функция.

По определению, линейная функция имеет вид $y = kx + m$, где $k$ и $m$ — некоторые числа (коэффициенты).
Чтобы доказать, что композиция двух линейных функций является снова линейной функцией, рассмотрим две произвольные линейные функции.
Пусть первая функция задана формулой $f(x) = k_1x + m_1$, а вторая — $g(x) = k_2x + m_2$, где $k_1, m_1, k_2, m_2$ — некоторые действительные числа.
Композиция функций $f$ и $g$, обозначаемая как $f(g(x))$ или $(f \circ g)(x)$, представляет собой применение функции $f$ к результату функции $g$.
Найдем выражение для композиции $f(g(x))$, подставив выражение для $g(x)$ вместо переменной $x$ в формулу для $f(x)$:
$f(g(x)) = k_1 \cdot (g(x)) + m_1$
Теперь подставим само выражение для $g(x) = k_2x + m_2$:
$f(g(x)) = k_1(k_2x + m_2) + m_1$
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$f(g(x)) = k_1k_2x + k_1m_2 + m_1$
Сгруппируем члены:
$f(g(x)) = (k_1k_2)x + (k_1m_2 + m_1)$
Полученное выражение имеет вид $y = Kx + M$, где:
- Новый угловой коэффициент $K = k_1k_2$. Так как $k_1$ и $k_2$ являются числами, их произведение $K$ также является числом.
- Новый свободный член $M = k_1m_2 + m_1$. Так как $k_1, m_2, m_1$ являются числами, результат их произведения и сложения $M$ также является числом.
Таким образом, результирующая функция $f(g(x))$ имеет вид $y = Kx + M$, что полностью соответствует определению линейной функции. Следовательно, композиция двух линейных функций всегда является линейной функцией.

Ответ: Композиция двух линейных функций $f(x) = k_1x + m_1$ и $g(x) = k_2x + m_2$ есть функция $h(x) = f(g(x)) = (k_1k_2)x + (k_1m_2 + m_1)$, которая также является линейной, так как имеет вид $y=Kx+M$ с коэффициентами $K = k_1k_2$ и $M = k_1m_2 + m_1$. Что и требовалось доказать.

9. (4) Известно, что $f(x+3)=2f(x)-5$ при всех $x$. Выразите $f(x+6)$ и $f(x+9)$ через $f(x)$.

f(x+6)
Нам дано рекуррентное соотношение $f(x+3) = 2f(x) - 5$, которое справедливо для любого $x$.
Чтобы найти выражение для $f(x+6)$, мы можем представить аргумент $x+6$ в виде $(x+3)+3$.
Теперь применим данное соотношение, подставив в него $x+3$ вместо $x$:
$f((x+3)+3) = 2f(x+3) - 5$
$f(x+6) = 2f(x+3) - 5$
Мы получили выражение для $f(x+6)$ через $f(x+3)$. Чтобы выразить его через $f(x)$, подставим в него исходное соотношение $f(x+3) = 2f(x) - 5$:
$f(x+6) = 2(2f(x) - 5) - 5$
Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$f(x+6) = 4f(x) - 10 - 5$
$f(x+6) = 4f(x) - 15$
Ответ: $f(x+6) = 4f(x) - 15$

f(x+9)
Аналогично, чтобы найти $f(x+9)$, представим аргумент $x+9$ в виде $(x+6)+3$.
Применим исходное соотношение, подставив в него $x+6$ вместо $x$:
$f((x+6)+3) = 2f(x+6) - 5$
$f(x+9) = 2f(x+6) - 5$
Теперь подставим в это равенство найденное ранее выражение для $f(x+6)$, то есть $f(x+6) = 4f(x) - 15$:
$f(x+9) = 2(4f(x) - 15) - 5$
Раскроем скобки и упростим:
$f(x+9) = 8f(x) - 30 - 5$
$f(x+9) = 8f(x) - 35$
Ответ: $f(x+9) = 8f(x) - 35$

10. (3) Пусть $h(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x^2$. Найдите область определения каждой из функций $f_1(x)=h(g(x))$ и $f_2(x)=g(h(x))$. Чему равно $f_1(x)$ при $x<0$?

Область определения функции $f_1(x) = h(g(x))$
Даны функции $h(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = x^2$.
Составим композицию функций $f_1(x) = h(g(x))$. Для этого подставим выражение для $g(x)$ в функцию $h(x)$:
$f_1(x) = h(g(x)) = h(x^2) = \sqrt{x^2}$.
Область определения функции $h(t) = \sqrt{t}$ — это множество неотрицательных чисел, то есть $t \ge 0$. В нашем случае аргументом для $h$ является $g(x) = x^2$. Следовательно, должно выполняться условие $x^2 \ge 0$.
Это неравенство справедливо для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Ответ: Область определения функции $f_1(x)$ — это множество всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Область определения функции $f_2(x) = g(h(x))$
Составим композицию функций $f_2(x) = g(h(x))$. Для этого подставим выражение для $h(x)$ в функцию $g(x)$:
$f_2(x) = g(h(x)) = g(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2$.
Область определения сложной функции $g(h(x))$ — это множество всех $x$, которые принадлежат области определения внутренней функции $h(x)$, и при этом значения $h(x)$ принадлежат области определения внешней функции $g(x)$.
Область определения внутренней функции $h(x) = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$.
Область определения внешней функции $g(t) = t^2$ — это все действительные числа.
Таким образом, единственным ограничением является требование к аргументу внутренней функции: $x \ge 0$.
Ответ: Область определения функции $f_2(x)$ — это множество неотрицательных действительных чисел, $x \in [0; +\infty)$.

Чему равно $f_1(x)$ при $x < 0$
Как было найдено ранее, $f_1(x) = \sqrt{x^2}$.
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$). Таким образом, $f_1(x) = |x|$.
Определение модуля числа:
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$
По условию, нас интересует случай $x < 0$. Для этих значений $x$ функция $|x|$ равна $-x$.
Ответ: При $x < 0$ значение функции $f_1(x) = -x$.

11. (2) Даны функции

Даны функции $g(x)=\frac{1}{x}$ и $f(x)=x^2-4x+3$. При каких значениях $x$ значение функции $f(g(x))$ меньше нуля?

Даны функции $g(x) = \frac{1}{x}$ и $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Мы ищем значения $x$, при которых значение сложной функции $f(g(x))$ меньше нуля.

Сначала найдем выражение для функции $f(g(x))$. Для этого подставим $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$:

$f(g(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = \left(\frac{1}{x}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{x}\right) + 3 = \frac{1}{x^2} - \frac{4}{x} + 3$

Теперь нам нужно решить неравенство $f(g(x)) < 0$:

$\frac{1}{x^2} - \frac{4}{x} + 3 < 0$

Для решения этого неравенства приведем все слагаемые к общему знаменателю $x^2$. Заметим, что $x \neq 0$, так как функция $g(x)$ не определена в этой точке.

$\frac{1 - 4x + 3x^2}{x^2} < 0$

Поскольку знаменатель $x^2$ всегда положителен для любого $x \neq 0$, знак всей дроби определяется знаком ее числителя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$3x^2 - 4x + 1 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Графиком функции $y = 3x^2 - 4x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения этой функции отрицательны между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства $3x^2 - 4x + 1 < 0$ — это интервал $\left(\frac{1}{3}; 1\right)$. Этот интервал не включает $x=0$, поэтому он полностью удовлетворяет области допустимых значений исходной задачи.

Ответ: $x \in \left(\frac{1}{3}; 1\right)$

12. (3) «Нули» функции $f(x)$, то есть значения аргумента $x$, при которых $f(x)=0$, образуют множество $\{-4;2;0\}$. Найдите «нули» функции $h(x)=f(2x)$.

По условию задачи, «нули» функции $f(x)$ – это значения аргумента $x$, при которых $f(x) = 0$. Известно, что множество нулей функции $f(x)$ это $\{-4; 2; 0\}$. Это означает, что выполняются следующие равенства: $f(-4)=0$, $f(2)=0$ и $f(0)=0$.
Нам необходимо найти нули функции $h(x) = f(2x)$. Нули функции $h(x)$ – это такие значения $x$, для которых $h(x) = 0$. Подставляя выражение для $h(x)$, получаем уравнение:$f(2x) = 0$.
Мы знаем, что функция $f$ обращается в ноль, когда её аргумент принимает значения из множества $\{-4; 2; 0\}$. В функции $h(x) = f(2x)$ аргументом для $f$ является выражение $2x$. Следовательно, чтобы $f(2x)$ было равно нулю, выражение $2x$ должно быть равно одному из нулей функции $f$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1. Аргумент $2x$ равен первому нулю функции $f$:
$2x = -4$
$x = \frac{-4}{2} = -2$
2. Аргумент $2x$ равен второму нулю функции $f$:
$2x = 2$
$x = \frac{2}{2} = 1$
3. Аргумент $2x$ равен третьему нулю функции $f$:
$2x = 0$
$x = \frac{0}{2} = 0$
Таким образом, нулями функции $h(x)$ являются значения $x$, равные -2, 1 и 0. Множество нулей функции $h(x)$ есть $\{-2; 1; 0\}$.
Ответ: $\{-2; 1; 0\}$

13. (3) Известно, что естественная область определения $D(f)$ функции $f(x)$ есть множество $(-\infty;5) \cup (5;9)$. Найдите естественную область определения функции $h(x)=f(2x+3)$.

По условию, естественная область определения $D(f)$ функции $f(x)$ есть множество $(-\infty; 5) \cup (5; 9)$. Это означает, что функция $f$ определена для любого своего аргумента, который мы можем обозначить как $t$, если этот аргумент удовлетворяет условию $t \in (-\infty; 5) \cup (5; 9)$, то есть $t < 5$ или $5 < t < 9$.

Мы ищем естественную область определения функции $h(x) = f(2x+3)$. Эта функция является сложной, и ее значение определено только тогда, когда ее аргумент, выражение $(2x+3)$, принадлежит области определения внешней функции $f$.

Следовательно, мы должны найти все значения $x$, для которых выражение $2x+3$ удовлетворяет условиям, наложенным на аргумент функции $f$. Это приводит нас к совокупности двух неравенств:
1) $2x+3 < 5$
2) $5 < 2x+3 < 9$

Решим каждое неравенство отдельно.
1) Решаем первое неравенство:
$2x+3 < 5$
$2x < 5 - 3$
$2x < 2$
$x < 1$
Это соответствует интервалу $(-\infty; 1)$.

2) Решаем второе, двойное, неравенство:
$5 < 2x+3 < 9$
Вычтем 3 из всех трех частей неравенства:
$5 - 3 < 2x+3 - 3 < 9 - 3$
$2 < 2x < 6$
Разделим все три части на 2:
$\frac{2}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{6}{2}$
$1 < x < 3$
Это соответствует интервалу $(1; 3)$.

Область определения функции $h(x)$ является объединением множеств решений, полученных в пунктах 1 и 2.
Таким образом, $D(h) = (-\infty; 1) \cup (1; 3)$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (1; 3)$.

14. (3) Известно, что естественная область определения $D(f)$ функции $f(x)$ есть множество $[7;+\infty)$. Найдите естественную область определения функции $h(x)=f(-2x+1)$.

По условию, естественная область определения $D(f)$ функции $f(x)$ — это множество $[7; +\infty)$. Это означает, что для того, чтобы функция $f(t)$ была определена, ее аргумент $t$ должен удовлетворять неравенству $t \ge 7$.

Мы ищем область определения функции $h(x) = f(-2x + 1)$. Эта функция является композицией, где аргументом для внешней функции $f$ служит выражение $-2x + 1$.

Чтобы функция $h(x)$ была определена, ее аргумент, то есть выражение $-2x + 1$, должен принадлежать области определения функции $f$. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$-2x + 1 \ge 7$

Теперь решим это линейное неравенство относительно переменной $x$.

1. Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$-2x \ge 7 - 1$

$-2x \ge 6$

2. Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{6}{-2}$

$x \le -3$

Таким образом, естественная область определения функции $h(x)$ — это множество всех значений $x$, которые меньше или равны -3. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; -3]$.

Ответ: $(-\infty; -3]$.

15. (3) Известно, что естественная область определения $D(f)$ функции $f(x)$ есть множество $[17;26)$. Найдите естественную область определения функции $h(x)=f(3x+2)$.

По условию, естественная область определения $D(f)$ для функции $f(x)$ представляет собой множество $[17; 26]$. Это означает, что аргумент функции $f$ может принимать любое значение в пределах от 17 до 26 включительно.

Рассмотрим функцию $h(x) = f(3x + 2)$. В этой композиции функций аргументом для внешней функции $f$ является выражение $3x + 2$.

Для того чтобы функция $h(x)$ была определена, значение выражения $3x + 2$ должно принадлежать области определения функции $f$.

Таким образом, мы должны найти все значения $x$, для которых выполняется следующее двойное неравенство:

$17 \le 3x + 2 \le 26$

Для решения этого неравенства относительно $x$, сначала вычтем 2 из всех его частей:

$17 - 2 \le 3x + 2 - 2 \le 26 - 2$

$15 \le 3x \le 24$

Теперь разделим все части неравенства на 3 (так как 3 — положительное число, знаки неравенства не меняются):

$\frac{15}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{24}{3}$

$5 \le x \le 8$

Следовательно, естественная область определения функции $h(x)$ — это все значения $x$, принадлежащие отрезку $[5; 8]$.

Ответ: $[5; 8]$

16. (2) Используя условие и рисунки задачи №1 из части 1, выполните задания:

а) найдите $g(f(2))$, $f\left(g\left(2\frac{1}{2}\right)\right)$, $g(f(7))$:

б) решите уравнение $g(f(x))=2$;

в) решите уравнение $f(g(x))=-2$.

Поскольку в условии задачи указано использовать рисунки из задачи №1, которые не предоставлены, решение будет основано на наиболее распространенном варианте графиков для подобных задач. Предположим, что функции $f(x)$ и $g(x)$ являются линейными и их графики проходят через следующие точки:

• График функции $f(x)$ — прямая, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(0, -1)$.

• График функции $g(x)$ — прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 0)$.

Сначала найдем аналитические выражения для этих функций в виде $y=kx+b$.

Для функции $f(x)$: график пересекает ось OY в точке $(0, -1)$, следовательно, свободный член $b = -1$. Уравнение принимает вид $f(x)=kx-1$. Используем вторую точку $(-2, 0)$: $0 = k(-2) - 1$, откуда $-2k = 1$ и $k = -1/2$. Таким образом, уравнение функции: $f(x) = -\frac{1}{2}x - 1$.

Для функции $g(x)$: график пересекает ось OY в точке $(0, 3)$, следовательно, свободный член $b = 3$. Уравнение принимает вид $g(x)=kx+3$. Используем вторую точку $(2, 0)$: $0 = k(2) + 3$, откуда $2k = -3$ и $k = -3/2$. Таким образом, уравнение функции: $g(x) = -\frac{3}{2}x + 3$.

а) найдите $g(f(2))$, $f(g(2\frac{1}{2}))$, $g(f(7))$

Для нахождения значения сложной функции, сначала вычисляем значение внутренней функции, а затем подставляем результат во внешнюю функцию.

• Чтобы найти $g(f(2))$, сначала вычислим $f(2)$: $f(2) = -\frac{1}{2}(2) - 1 = -1 - 1 = -2$. Теперь подставим это значение в $g(x)$: $g(f(2)) = g(-2) = -\frac{3}{2}(-2) + 3 = 3 + 3 = 6$.

• Чтобы найти $f(g(2\frac{1}{2}))$, сначала вычислим $g(2\frac{1}{2}) = g(2.5)$: $g(2.5) = -\frac{3}{2}(2.5) + 3 = -3.75 + 3 = -0.75$. Теперь подставим это значение в $f(x)$: $f(g(2.5)) = f(-0.75) = -\frac{1}{2}(-0.75) - 1 = 0.375 - 1 = -0.625$.

• Чтобы найти $g(f(7))$, сначала вычислим $f(7)$: $f(7) = -\frac{1}{2}(7) - 1 = -3.5 - 1 = -4.5$. Теперь подставим это значение в $g(x)$: $g(f(7)) = g(-4.5) = -\frac{3}{2}(-4.5) + 3 = 6.75 + 3 = 9.75$.

Ответ: $g(f(2))=6$; $f(g(2\frac{1}{2})) = -0.625$; $g(f(7))=9.75$.

б) решите уравнение $g(f(x))=2$

Для решения уравнения $g(f(x))=2$ введем замену: пусть $y = f(x)$. Тогда уравнение примет вид $g(y)=2$. Найдем значение $y$:$-\frac{3}{2}y + 3 = 2$$-\frac{3}{2}y = 2 - 3$$-\frac{3}{2}y = -1$$y = \frac{2}{3}$Теперь вернемся к исходной переменной, решив уравнение $f(x) = y$, то есть $f(x) = \frac{2}{3}$:$-\frac{1}{2}x - 1 = \frac{2}{3}$$-\frac{1}{2}x = \frac{2}{3} + 1$$-\frac{1}{2}x = \frac{5}{3}$$x = -\frac{10}{3}$

Ответ: $x = -\frac{10}{3}$.

в) решите уравнение $f(g(x))=-2$

Для решения уравнения $f(g(x))=-2$ введем замену: пусть $y = g(x)$. Тогда уравнение примет вид $f(y)=-2$. Найдем значение $y$:$-\frac{1}{2}y - 1 = -2$$-\frac{1}{2}y = -2 + 1$$-\frac{1}{2}y = -1$$y = 2$Теперь вернемся к исходной переменной, решив уравнение $g(x) = y$, то есть $g(x) = 2$:$-\frac{3}{2}x + 3 = 2$$-\frac{3}{2}x = 2 - 3$$-\frac{3}{2}x = -1$$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.