Страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

4. (2) Постройте графики функций на одной плоскости:

а) $y=\frac{3}{x}$;

б) $y=\frac{3}{x-2}$;

в) $y=\frac{3}{x-2}+3=\frac{3x-3}{x-2}$;

г) $y=\frac{|x|-3}{|x|-2}$;

д) $y=\left|\frac{3x-3}{x-2}\right|$.

а) $y=\frac{3}{x}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Она получается из графика базовой функции $y=\frac{1}{x}$ растяжением в 3 раза вдоль оси ординат (оси OY).

1. Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).

3. Построение: Так как коэффициент 3 положителен, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат. Для построения найдем несколько точек:

- если $x=1$, то $y=3$;

- если $x=3$, то $y=1$;

- если $x=-1$, то $y=-3$;

- если $x=-3$, то $y=-1$.

Соединяем точки плавными линиями, приближающимися к осям координат.

Ответ: Графиком является гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях и проходят через точки $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

б) $y=\frac{3}{x-2}$

Этот график можно получить из графика функции $y=\frac{3}{x}$ (пункт а) с помощью параллельного переноса.

1. Преобразование: Замена $x$ на $x-2$ означает сдвиг графика на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси OX).

2. Асимптоты: Вертикальная асимптота смещается на 2 единицы вправо и становится $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется.

3. Построение: Берем график из пункта (а) и смещаем его целиком на 2 единицы вправо. Центр симметрии гиперболы перемещается из точки $(0,0)$ в точку $(2,0)$. Ключевые точки смещаются соответственно:

- $(1, 3) \rightarrow (1+2, 3) = (3, 3)$;

- $(3, 1) \rightarrow (3+2, 1) = (5, 1)$;

- $(-1, -3) \rightarrow (-1+2, -3) = (1, -3)$;

- $(-3, -1) \rightarrow (-3+2, -1) = (-1, -1)$.

Ответ: Графиком является гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота — $x=2$, горизонтальная асимптота — $y=0$.

в) $y=\frac{3}{x-2}+3=\frac{3x-3}{x-2}$

Этот график можно получить из графика функции $y=\frac{3}{x-2}$ (пункт б) с помощью параллельного переноса. Удобнее использовать вид $y=\frac{3}{x-2}+3$.

1. Преобразование: Прибавление 3 к функции означает сдвиг графика на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (оси OY).

2. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=2$ не изменяется. Горизонтальная асимптота смещается на 3 единицы вверх и становится $y=3$.

3. Построение: Берем график из пункта (б) и смещаем его целиком на 3 единицы вверх. Центр симметрии гиперболы перемещается из точки $(2,0)$ в точку $(2,3)$.

- Точки пересечения с осями:

- С осью OY ($x=0$): $y = \frac{3(0)-3}{0-2} = \frac{-3}{-2} = 1.5$. Точка $(0, 1.5)$.

- С осью OX ($y=0$): $0 = \frac{3x-3}{x-2} \Rightarrow 3x-3=0 \Rightarrow x=1$. Точка $(1, 0)$.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=3$. График пересекает ось OX в точке $(1, 0)$ и ось OY в точке $(0, 1.5)$.

г) $y=\frac{3|x|-3}{|x|-2}$

График этой функции строится на основе графика функции $f(x)=\frac{3x-3}{x-2}$ из пункта (в). Данная функция имеет вид $y=f(|x|)$.

1. Правило построения графика $y=f(|x|)$: для построения нужно взять ту часть графика $y=f(x)$, которая находится правее оси OY (где $x \ge 0$), и отразить её симметрично относительно оси OY.

2. Построение:

- Рассматриваем график $y=\frac{3x-3}{x-2}$ из пункта (в) при $x \ge 0$. Эта часть графика имеет вертикальную асимптоту $x=2$, пересекает ось OY в точке $(0, 1.5)$ и ось OX в точке $(1, 0)$.

- Оставляем эту часть графика без изменений.

- Отражаем эту часть симметрично относительно оси OY. В результате:

- Появится вторая вертикальная асимптота $x=-2$ (отражение асимптоты $x=2$).

- Горизонтальная асимптота $y=3$ останется прежней, так как она симметрична относительно оси OY.

- Точка пересечения с осью OX $(1, 0)$ отразится в точку $(-1, 0)$.

- Точка на оси OY $(0, 1.5)$ является общей для обеих частей.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Он имеет две вертикальные асимптоты $x=2$ и $x=-2$, и одну горизонтальную асимптоту $y=3$. График пересекает ось OX в точках $(1,0)$ и $(-1,0)$ и ось OY в точке $(0,1.5)$.

д) $y=|\frac{3x-3}{x-2}|$

График этой функции строится на основе графика функции $f(x)=\frac{3x-3}{x-2}$ из пункта (в). Данная функция имеет вид $y=|f(x)|$.

1. Правило построения графика $y=|f(x)|$: для построения нужно ту часть графика $y=f(x)$, которая находится ниже оси OX (где $y < 0$), отразить симметрично относительно оси OX. Часть графика, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений.

2. Построение:

- Анализируем знак функции $f(x)=\frac{3x-3}{x-2}$. Она равна нулю при $x=1$ и не определена при $x=2$. Методом интервалов находим, что $f(x) < 0$ при $x \in (1, 2)$.

- Части графика из пункта (в), где $x \in (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$, находятся выше или на оси OX, поэтому мы их оставляем.

- Часть графика, где $x \in (1, 2)$, находится ниже оси OX. Эту ветвь, уходящую на $-\infty$ при приближении к $x=2$ слева, мы отражаем симметрично относительно оси OX. Отраженная часть будет начинаться в точке $(1,0)$ и уходить на $+\infty$ при приближении к $x=2$ слева.

3. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=2$ и горизонтальная асимптота $y=3$ сохраняются.

Ответ: График функции расположен полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=3$. График касается оси OX в точке $(1, 0)$. Часть графика функции $y=\frac{3x-3}{x-2}$ на интервале $(1, 2)$ отражена относительно оси OX.

5. (2)Постройте по алгоритму график $y=f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$ на множестве $x \in [-4;2]$.

Для построения графика функции $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 2x - 8$ на множестве $x \in [-4; 2]$, выполним следующие шаги:

1. Определение основных характеристик функции

Заданная функция $y = x^2 + 2x - 8$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины $(x_0; y_0)$ параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = f(x_0)$

В нашем случае $a=1$, $b=2$, $c=-8$.

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

$y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1; -9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1$. Абсцисса вершины $x_0 = -1$ принадлежит заданному отрезку $x \in [-4; 2]$.

3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат

Пересечение с осью OY:

Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8$

Точка пересечения с осью OY: $(0; -8)$.

Пересечение с осью OX:

Для этого нужно решить уравнение $y(x) = 0$:

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. $\sqrt{D}=6$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

Точки пересечения с осью OX: $(-4; 0)$ и $(2; 0)$.

4. Вычисление значений функции на концах заданного отрезка

Заданный отрезок $x \in [-4; 2]$. Найдем значения функции в точках $x=-4$ и $x=2$.

При $x=-4$: $y(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$. Точка $(-4; 0)$.

При $x=2$: $y(2) = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$. Точка $(2; 0)$.

Как мы видим, концы заданного отрезка являются корнями функции.

5. Составление таблицы значений и построение графика

Для построения графика используем найденные ключевые точки и несколько дополнительных. Составим таблицу значений на отрезке $[-4; 2]$ с шагом 1.

• $x = -4, y = 0$
• $x = -3, y = (-3)^2 + 2(-3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5$
• $x = -2, y = (-2)^2 + 2(-2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8$
• $x = -1, y = -9$ (вершина)
• $x = 0, y = -8$
• $x = 1, y = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$
• $x = 2, y = 0$

На координатной плоскости отмечаем эти точки: $(-4; 0), (-3; -5), (-2; -8), (-1; -9), (0; -8), (1; -5), (2; 0)$. Соединяем их плавной кривой, получая часть параболы на заданном множестве.

Ответ: Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ на множестве $x \in [-4; 2]$ является дуга параболы с ветвями, направленными вверх. Эта дуга ограничена точками $(-4; 0)$ и $(2; 0)$. Вершина параболы находится в точке $(-1; -9)$. График проходит через точку пересечения с осью OY $(0; -8)$. Для построения необходимо отметить на координатной плоскости точки $(-4; 0)$, $(-3; -5)$, $(-2; -8)$, $(-1; -9)$, $(0; -8)$, $(1; -5)$, $(2; 0)$ и соединить их плавной линией.

6. Составьте план и постройте графики следующих функций на основе графика $y = f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$, $D(f)=[-4;2]$.

а) $y = \frac{1}{3}f(x)$;

б) $y = f(2x)$;

в) $y = -f(x)$;

г) $y = f(-x)$;

д) $y = f(|x|)$;

е) $y = |f(x)|$;

ж) $y = f(x)-3$;

з) (2) $y = f(2x-4)$;

и) (3) $y = \left|\frac{1}{2}f(-x)-3\right|$;

к) (3) $y = |f(|x|)|$.

Для решения задачи сначала проанализируем исходную функцию $y=f(x)$, где $f(x)=x^2+2x-3$ на области определения $D(f)=[-4; 2]$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Для удобства построения графиков найдем ее ключевые точки.
1. Вершина параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.$y_в = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.Вершина находится в точке $(-1, -4)$.
2. Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $f(x) = 0 \implies x^2+2x-3=0$.По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.
3. Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.
4. Значения на концах области определения:$f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Точка $(-4, 5)$.$f(2) = (2)^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. Точка $(2, 5)$.
Таким образом, исходный график — это часть параболы с вершиной в $(-1, -4)$ и концами в точках $(-4, 5)$ и $(2, 5)$. Область значений функции $E(f) = [-4; 5]$.

Теперь составим план и опишем построение для каждой из заданных функций.

а) $y=\frac{1}{3}f(x)$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем вертикального сжатия к оси Ox в 3 раза. Каждая ордината (координата y) точки исходного графика умножается на $\frac{1}{3}$.

Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сжимается в 3 раза: $E(y) = [-\frac{4}{3}; \frac{5}{3}]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, \frac{5}{3})$ и $(2, \frac{5}{3})$, вершина $(-1, -\frac{4}{3})$. Нули функции остаются прежними: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

б) $y=f(2x)$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем горизонтального сжатия к оси Oy в 2 раза. Каждая абсцисса (координата x) точки исходного графика делится на 2.

Ответ:Область определения сжимается в 2 раза. Так как $-4 \le 2x \le 2$, то $-2 \le x \le 1$. $D(y) = [-2; 1]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(1, 5)$, вершина $(-\frac{1}{2}, -4)$, нули $(-\frac{3}{2}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

в) $y=-f(x)$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений отражается: $E(y) = [-5; 4]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, -5)$ и $(2, -5)$, вершина $(-1, 4)$. Нули функции остаются прежними.

г) $y=f(-x)$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Oy.

Ответ:Область определения отражается. Так как $-4 \le -x \le 2$, то $-2 \le x \le 4$. $D(y) = [-2; 4]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-2, 5)$ и $(4, 5)$, вершина $(1, -4)$, нули $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

д) $y=f(|x|)$

План построения:1. Сохраняем часть графика $y=f(x)$, где $x \ge 0$.2. Удаляем часть графика, где $x < 0$.3. Отражаем сохраненную часть графика ($x \ge 0$) симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

Ответ:Область определения становится симметричной. Так как $|x|$ должно принадлежать исходному отрезку $[-4, 2]$, а $|x| \ge 0$, то $0 \le |x| \le 2$, откуда $-2 \le x \le 2$. $D(y) = [-2; 2]$. График симметричен относительно оси Oy. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, локальные минимумы в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$, точка пересечения с осью Oy $(0,-3)$. Область значений $E(y) = [-3; 5]$.

е) $y=|f(x)|$

План построения:1. Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше или на оси Ox (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.2. Часть графика $y=f(x)$, расположенная ниже оси Ox (где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси Ox.

Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Все отрицательные значения функции становятся положительными, поэтому область значений $E(y) = [0; 5]$. Часть параболы между корнями $x=-3$ и $x=1$ (включая вершину) отражается вверх. Новые ключевые точки: концы $(-4, 5)$ и $(2, 5)$ остаются, бывшая вершина $(-1, -4)$ переходит в точку локального максимума $(-1, 4)$.

ж) $y=f(x)-3$

План построения:График этой функции получается из графика $y=f(x)$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

Ответ:Область определения не меняется: $D(y) = [-4; 2]$. Область значений сдвигается на 3 вниз: $E(y) = [-7; 2]$. Ключевые точки нового графика: концы $(-4, 2)$ и $(2, 2)$, вершина $(-1, -7)$.

з)(2) $y=f(2x-4)$

План построения:Преобразуем выражение: $y=f(2(x-2))$. График строится из графика $y=f(x)$ в два этапа:1. Горизонтальное сжатие к оси Oy в 2 раза (получаем график $y=f(2x)$).2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ:Найдем новую область определения: $-4 \le 2x-4 \le 2 \implies 0 \le 2x \le 6 \implies 0 \le x \le 3$. $D(y) = [0; 3]$. Область значений не меняется: $E(y) = [-4; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(0,5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(1.5, -4)$; точка $(2,5)$ переходит в $(3,5)$.

и)(3) $y=|\frac{1}{2}f(-x)-3|$

План построения:График строится последовательным применением четырех преобразований к графику $y=f(x)$:1. Отражение относительно оси Oy ($y=f(-x)$).2. Вертикальное сжатие к оси Ox в 2 раза ($y=\frac{1}{2}f(-x)$).3. Сдвиг на 3 единицы вниз вдоль оси Oy ($y=\frac{1}{2}f(-x)-3$).4. Отражение частей графика, лежащих ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.

Ответ:После шагов 1-3 промежуточная функция $g(x)=\frac{1}{2}f(-x)-3$ будет определена на отрезке $D(g) = [-2; 4]$ и иметь область значений $E(g) = [-5; -0.5]$. Так как вся эта область лежит ниже оси Ox, шаг 4 означает отражение всего графика $g(x)$ относительно оси Ox. Итоговая область определения $D(y) = [-2; 4]$. Область значений $E(y) = [0.5; 5]$. Ключевые точки: исходная точка $(-4,5)$ переходит в $(-(-4), |0.5 \cdot 5 - 3|) = (4, |-0.5|) = (4, 0.5)$; вершина $(-1,-4)$ переходит в $(-(-1), |0.5 \cdot (-4) - 3|) = (1, |-5|) = (1, 5)$; точка $(2,5)$ переходит в $(-2, |0.5 \cdot 5 - 3|) = (-2, 0.5)$.

к)(3) $y=|f(|x|)|$

План построения:Это комбинация двух преобразований, рассмотренных ранее (д и е):1. Строим график $y=f(|x|)$ (см. пункт д).2. Для полученного графика применяем преобразование модуля: части графика ниже оси Ox отражаем симметрично относительно этой оси (см. пункт е).

Ответ:На первом шаге получаем график $y=f(|x|)$ на области определения $D=[-2; 2]$ с областью значений $E=[-3; 5]$. Часть этого графика от $x=-1$ до $x=1$ лежит ниже оси Ox (с минимумом в $(0, -3)$). На втором шаге эта часть отражается вверх. Итоговый график определен на $D(y) = [-2; 2]$, его область значений $E(y)=[0; 5]$. Ключевые точки: концы $(-2, 5)$ и $(2, 5)$, нули в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, а бывший минимум $(0, -3)$ переходит в точку локального максимума $(0, 3)$.

Составьте план и постройте графики функций (7–10):

7. (2)

$f(x) = |x^2 - 4|x| + 3|$

План построения графика

Для построения графика функции $f(x) = |x^2 - 4|x| + 3|$ будем использовать метод последовательных преобразований:

1. Построить график базовой квадратичной функции $y = x^2 - 4x + 3$.

2. Используя правило построения графика $y = g(|x|)$, построить график промежуточной функции $y = x^2 - 4|x| + 3$. Для этого часть графика из пункта 1 для $x \ge 0$ оставить без изменений, а затем отразить ее симметрично относительно оси OY для $x < 0$.

3. Используя правило построения графика $y = |h(x)|$, построить итоговый график функции $y = |x^2 - 4|x| + 3|$. Для этого части графика из пункта 2, лежащие ниже оси OX, отразить симметрично относительно оси OX. Части, лежащие выше или на оси OX, оставить без изменений.

Построение графика

Следуем составленному плану.

Шаг 1: Анализ и построение графика функции $y = x^2 - 4x + 3$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).

• Вершина параболы: $x_v = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Координата $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Таким образом, вершина находится в точке $(2, -1)$.

• Нули функции (точки пересечения с осью OX): Решаем уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

• Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = 3$. Точка $(0, 3)$.

Шаг 2: Построение графика функции $g(x) = x^2 - 4|x| + 3$.

Функция является четной, так как $x^2 = |x|^2$ и $g(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = g(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

• При $x \ge 0$, функция совпадает с $y = x^2 - 4x + 3$. Используем часть параболы из Шага 1, находящуюся в правой полуплоскости ($x \ge 0$). Ключевые точки этой части: $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$ и $(3, 0)$.

• Симметрично отражаем эту часть относительно оси OY, чтобы получить график для $x < 0$. Новые ключевые точки: $(-1, 0)$, $(-2, -1)$ и $(-3, 0)$. Точка $(0,3)$ лежит на оси симметрии и остается на месте.

Полученный график $y = g(x)$ имеет форму 'W', с минимумами в точках $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.

Шаг 3: Построение графика итоговой функции $f(x) = |x^2 - 4|x| + 3|$.

Применяем преобразование $y = |g(x)|$. Все части графика, находящиеся под осью OX, отражаются симметрично относительно этой оси.

• Отрицательные значения $g(x)$ находятся на интервалах $(-3, -1)$ и $(1, 3)$. Эти участки параболы отражаются вверх.

• Точка минимума $(2, -1)$ становится точкой локального максимума $(2, 1)$.

• Точка минимума $(-2, -1)$ становится точкой локального максимума $(-2, 1)$.

• Части графика, где $g(x) \ge 0$, остаются на своих местах.

Итоговый график функции $f(x)$ имеет следующие характеристики:

• Область значений: $[0, +\infty)$. График полностью лежит не ниже оси OX.

• График симметричен относительно оси OY.

• Локальные максимумы находятся в точках $(-2, 1)$, $(0, 3)$ и $(2, 1)$.

• Локальные минимумы (нули функции) находятся в точках $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: План и пошаговое построение графика представлены выше. Итоговый график симметричен относительно оси OY, имеет локальные максимумы в точках $(-2, 1)$, $(0, 3)$, $(2, 1)$ и нули (являющиеся локальными минимумами) в точках $x = \pm 1$ и $x = \pm 3$.

8. (1) a)

$y = x^2 - |x| - 6;$

б)

$y = |x^2 - x - 6|;$

а)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - |x| - 6$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, функцию можно переписать в виде $y = |x|^2 - |x| - 6$. Эта функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - |-x| - 6 = x^2 - |x| - 6 = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
В связи с этим, можно построить график для $x \ge 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить полный график.
Шаг 1: Построение для $x \ge 0$.
При $x \ge 0$, модуль $|x|$ раскрывается как $x$. Функция принимает вид: $y = x^2 - x - 6$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее ключевые точки:
Вершина параболы: абсцисса вершины $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Так как $x_v = 0.5 \ge 0$, вершина находится в рассматриваемой области. Ордината вершины $y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25$. Координаты вершины: $(0.5, -6.25)$.
Пересечение с осью Oy: при $x = 0$, $y = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Точка пересечения: $(0, -6)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции): решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x_1 = 3$. Точка пересечения: $(3, 0)$.
Таким образом, для $x \ge 0$ мы имеем часть параболы с вершиной в точке $(0.5, -6.25)$, проходящую через точки $(0, -6)$ и $(3, 0)$.
Шаг 2: Построение полного графика.
Отразим построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Ключевые точки для $x < 0$ будут симметричны точкам для $x > 0$: вершина в $(-0.5, -6.25)$ и пересечение с Ox в $(-3, 0)$. Точка $(0, -6)$ на оси симметрии является точкой "излома" графика. Для $x < 0$ график соответствует функции $y = x^2 - (-x) - 6 = x^2 + x - 6$.
Итоговый график состоит из двух частей двух разных парабол, симметричных относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = x^2 - |x| - 6$ является объединением двух частей парабол. Для $x \ge 0$ это график $y = x^2 - x - 6$, а для $x < 0$ это график $y = x^2 + x - 6$. График симметричен относительно оси Oy, имеет две вершины в точках $(0.5, -6.25)$ и $(-0.5, -6.25)$, пересекает ось Oy в точке $(0, -6)$ и ось Ox в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = |x^2 - x - 6|$.
Построение графика функции вида $y = |f(x)|$ выполняется в два этапа. Сначала строится график функции $f(x)$, а затем та часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси Ox.

Шаг 1: Построение графика вспомогательной функции $f(x) = x^2 - x - 6$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).
Найдем ее ключевые точки:
Вершина параболы: абсцисса вершины $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. Ордината вершины $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Координаты вершины: $(0.5, -6.25)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции): решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(3, 0)$.
Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Точка пересечения: $(0, -6)$.

Шаг 2: Преобразование графика для $y = |x^2 - x - 6|$.
Определим знаки функции $f(x) = x^2 - x - 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, она отрицательна между корнями и положительна вне этого интервала.
$f(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$. На этих интервалах график $y = |x^2 - x - 6|$ совпадает с графиком $y = x^2 - x - 6$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-2, 3)$. На этом интервале часть параболы, находящуюся ниже оси Ox, нужно отразить вверх. Это означает, что для $x \in (-2, 3)$ график будет соответствовать функции $y = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$.
Ключевые точки после отражения:
Вершина $(0.5, -6.25)$ переходит в точку $(0.5, 6.25)$, которая становится локальным максимумом.
Точка пересечения с Oy $(0, -6)$ переходит в точку $(0, 6)$.
Точки пересечения с Ox $(-2, 0)$ и $(3, 0)$ остаются на месте и становятся точками "излома" графика.

Ответ: График функции $y = |x^2 - x - 6|$ получается из параболы $y = x^2 - x - 6$. Части параболы на интервалах $(-\infty, -2]$ и $[3, \infty)$ остаются без изменений. Часть параболы на интервале $(-2, 3)$ отражается симметрично относительно оси Ox. В результате получается график, который касается оси Ox в точках $(-2, 0)$ и $(3, 0)$, имеет локальный максимум в точке $(0.5, 6.25)$ и пересекает ось Oy в точке $(0, 6)$.

9. (3) a) $y=2-\sqrt{|x-3|}$;

б) $y=|2-\sqrt{|x-3||}$;

а) $y=2-\sqrt{|x-3|}$

Для построения графика данной функции выполним последовательность преобразований графика базовой функции $y=\sqrt{x}$.

1. Построим график функции $y_1=\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти.

2. Построим график функции $y_2=\sqrt{|x|}$. Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ имеем $|x|=x$, поэтому график $y_2$ совпадает с графиком $y_1$. Для $x < 0$ график $y_2$ получается отражением части графика для $x > 0$ симметрично относительно оси OY. Получаем график, состоящий из двух ветвей, выходящих из точки $(0, 0)$.

3. Построим график функции $y_3=\sqrt{|x-3|}$. Этот график получается сдвигом графика $y_2=\sqrt{|x|}$ на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$. Ось симметрии графика — прямая $x=3$.

4. Построим график функции $y_4=-\sqrt{|x-3|}$. Этот график получается симметричным отражением графика $y_3$ относительно оси OX. Ветви графика теперь направлены вниз, вершина остается в точке $(3, 0)$.

5. Построим искомый график функции $y=2-\sqrt{|x-3|}$. Этот график получается сдвигом графика $y_4$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вершина графика переместится из точки $(3, 0)$ в точку $(3, 2)$.

Проанализируем полученную функцию:

– Область определения: выражение под корнем $|x-3|$ всегда неотрицательно, поэтому $x$ может быть любым действительным числом. $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

– Область значений: максимальное значение функции достигается в вершине при $x=3$, $y(3)=2-\sqrt{|3-3|}=2$. Ветви уходят в минус бесконечность. $E(y)=(-\infty; 2]$.

– Точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = 2-\sqrt{|0-3|} = 2-\sqrt{3}$. Точка пересечения: $(0, 2-\sqrt{3})$.

С осью OX (при $y=0$): $0=2-\sqrt{|x-3|} \Rightarrow \sqrt{|x-3|}=2 \Rightarrow |x-3|=4$. Отсюда получаем два уравнения: $x-3=4 \Rightarrow x=7$ и $x-3=-4 \Rightarrow x=-1$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(7, 0)$.

Ответ: График функции $y=2-\sqrt{|x-3|}$ представляет собой две симметричные относительно прямой $x=3$ ветви, выходящие из точки $(3, 2)$ и направленные вниз. График пересекает ось OY в точке $(0, 2-\sqrt{3})$ и ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(7, 0)$.

б) $y=|2-\sqrt{|x-3|}|$

График этой функции можно получить из графика функции $f(x)=2-\sqrt{|x-3|}$, построенного в пункте а), с помощью преобразования $y=|f(x)|$.

Правило построения графика $y=|f(x)|$ на основе графика $y=f(x)$:

1. Часть графика $y=f(x)$, которая находится выше или на оси OX (то есть где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.

2. Часть графика $y=f(x)$, которая находится ниже оси OX (то есть где $f(x) < 0$), отражается симметрично относительно оси OX.

Из анализа в пункте а) мы знаем:

– График функции $f(x)=2-\sqrt{|x-3|}$ находится на или выше оси OX ($y \ge 0$) на отрезке между корнями, то есть при $x \in [-1, 7]$. Эту часть графика мы оставляем без изменений.

– График функции $f(x)$ находится ниже оси OX ($y < 0$) при $x \in (-\infty, -1) \cup (7, +\infty)$. Эти две ветви, уходящие в минус бесконечность, мы должны отразить симметрично относительно оси OX.

В результате преобразования получим:

– Часть графика на отрезке $[-1, 7]$ останется прежней — это "шапочка" с вершиной в точке $(3, 2)$ и концами в точках $(-1, 0)$ и $(7, 0)$.

– Ветви графика для $x < -1$ и $x > 7$ будут отражены вверх и будут уходить в плюс бесконечность.

Проанализируем полученную функцию:

– Область определения: не изменяется, $D(y)=(-\infty; +\infty)$.

– Область значений: так как функция является модулем, ее значения всегда неотрицательны. Минимальное значение равно 0, а максимального нет. $E(y)=[0; +\infty)$.

– Точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = |2-\sqrt{|0-3|}| = |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$. Точка пересечения: $(0, 2-\sqrt{3})$.

С осью OX (при $y=0$): $|2-\sqrt{|x-3|}|=0$, что эквивалентно уравнению из пункта а). Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(7, 0)$.

– Экстремумы: Точка $(3, 2)$ является точкой локального максимума. Точки $(-1, 0)$ и $(7, 0)$ являются точками минимума (и глобального, и локального).

Ответ: График функции $y=|2-\sqrt{|x-3|}|$ симметричен относительно прямой $x=3$. Он состоит из центральной части, совпадающей с графиком из пункта а) на отрезке $x \in [-1, 7]$ (с вершиной в точке $(3, 2)$), и двух ветвей, которые являются отражением соответствующих ветвей графика из пункта а) относительно оси OX и уходят в плюс бесконечность при $x \to \pm\infty$. Точки $(-1, 0)$ и $(7, 0)$ являются точками минимума.

10. (3)

$y=||x|-2|-3|.$

Для построения графика функции $y = |||x| - 2| - 3|$ будем использовать метод последовательных преобразований, начиная с базового графика $y = |x|$.

Шаг 1: Построим график функции $y_1 = |x|$. Это стандартный V-образный график ("галочка") с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$.

Шаг 2: Построим график функции $y_2 = y_1 - 2 = |x| - 2$. Этот график получается путем сдвига графика $y_1$ на 2 единицы вниз по оси ординат (Oy). Вершина графика перемещается в точку $(0, -2)$. Нули функции находятся из уравнения $|x| - 2 = 0$, то есть при $x = -2$ и $x = 2$.

Шаг 3: Построим график функции $y_3 = |y_2| = ||x| - 2||$. Для этого часть графика $y_2$, которая находится ниже оси абсцисс (Ox), то есть на интервале $(-2, 2)$, симметрично отражается относительно этой оси. Часть графика, которая была выше или на оси Ox, остается без изменений. Получается W-образный график с вершинами (точками излома) в точках $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Шаг 4: Построим график функции $y_4 = y_3 - 3 = ||x| - 2| - 3$. Этот график получается сдвигом графика $y_3$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Ключевые точки смещаются: $(0, 2)$ переходит в $(0, -1)$; точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ переходят в $(-2, -3)$ и $(2, -3)$. Найдем новые нули функции из уравнения $||x| - 2| - 3 = 0$, откуда $||x| - 2| = 3$. Это уравнение эквивалентно двум: $|x| - 2 = 3$ (что дает $|x| = 5$, т.е. $x = \pm 5$) и $|x| - 2 = -3$ (что дает $|x| = -1$, решений нет). Итак, нули функции находятся в точках $x = -5$ и $x = 5$.

Шаг 5: Построим итоговый график $y = |y_4| = |||x| - 2| - 3||$. Для этого часть графика $y_4$, лежащую ниже оси Ox (на интервале $(-5, 5)$), симметрично отражаем относительно этой оси. Части графика, которые были выше или на оси Ox (при $x \le -5$ и $x \ge 5$), оставляем без изменений.
При этом преобразовании ключевые точки изменяются следующим образом:
- Точки $(-5, 0)$ и $(5, 0)$ остаются на месте и являются точками локального минимума.
- Точка $(0, -1)$ отражается в точку $(0, 1)$, которая также является точкой локального минимума.
- Точки $(-2, -3)$ и $(2, -3)$ отражаются в точки $(-2, 3)$ и $(2, 3)$, которые становятся точками локального максимума.

Итоговый график представляет собой ломаную линию, симметричную относительно оси Oy, с точками излома в $(-5, 0), (-2, 3), (0, 1), (2, 3), (5, 0)$.

Ответ: График функции $y = |||x| - 2| - 3||$ представляет собой ломаную линию, симметричную относительно оси ординат. Его можно получить последовательными преобразованиями: сдвиг, отражение, сдвиг, отражение. Ключевые точки графика (точки излома): локальные минимумы в $(-5, 0)$, $(0, 1)$, $(5, 0)$ и локальные максимумы в $(-2, 3)$, $(2, 3)$.

11. (3) Постройте на одной координатной плоскости графики $f(x)=||3-|x||-5|$ и $g(x)=x+2$.

а) Решите уравнение $f(x)=g(x)$.

б) Решите неравенство $f(x)\ge g(x)$.

в) Решите неравенство $f(x)>g(x)$.

Сначала построим графики функций $f(x) = ||3 - |x|| - 5|$ и $g(x) = x + 2$ на одной координатной плоскости.

График функции $g(x) = x + 2$ — это прямая линия. Найдем две точки, чтобы ее построить:
- При $x=0$, $g(0) = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
- При $x=-2$, $g(-2) = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Для построения графика функции $f(x) = ||3 - |x|| - 5|$ воспользуемся преобразованиями. Функция является четной, так как $f(-x) = ||3 - |-x|| - 5| = ||3 - |x|| - 5| = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично.

При $x \ge 0$, функция имеет вид $f(x) = ||3 - x| - 5|$.
Раскроем модули последовательно:
1. Если $0 \le x \le 3$, то $|3-x| = 3-x$. Функция принимает вид $f(x) = |(3-x) - 5| = |-x-2| = |-(x+2)| = x+2$.
2. Если $x > 3$, то $|3-x| = x-3$. Функция принимает вид $f(x) = |(x-3) - 5| = |x-8|$.
- Если $3 < x \le 8$, то $|x-8| = 8-x$.
- Если $x > 8$, то $|x-8| = x-8$.

Итак, для $x \ge 0$ функция $f(x)$ задается кусочно:
$f(x) = \begin{cases} x+2, & \text{если } 0 \le x \le 3 \\ 8-x, & \text{если } 3 < x \le 8 \\ x-8, & \text{если } x > 8 \end{cases}$

Ключевые точки графика для $x \ge 0$:
- $(0, 2)$
- $(3, 3+2) = (3, 5)$
- $(8, 8-8) = (8, 0)$
Отражая эти точки относительно оси OY, получаем ключевые точки для $x < 0$:$
- $(-3, 5)$
- $(-8, 0)$

График $f(x)$ состоит из отрезков, соединяющих точки $(-8, 0)$, $(-3, 5)$, $(0, 2)$, $(3, 5)$, $(8, 0)$, и двух лучей, продолжающихся от крайних точек. График $g(x)$ — прямая, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$.
Заметим, что на отрезке $[0, 3]$ графики функций $f(x)$ и $g(x)$ совпадают.

а) Решите уравнение $f(x)=g(x)$.
Решить уравнение $f(x) = g(x)$ — значит найти абсциссы точек пересечения их графиков. Из построения видно, что графики совпадают на отрезке $[0, 3]$, так как на этом отрезке обе функции равны $x+2$. Проверим другие промежутки аналитически.
- При $x \in (-\infty, -8]$: $-x-8=x+2 \implies -2x=10 \implies x=-5$. Не входит в промежуток.
- При $x \in (-8, -3)$: $x+8=x+2 \implies 8=2$. Решений нет.
- При $x \in [-3, 0)$: $2-x=x+2 \implies -x=x \implies 2x=0 \implies x=0$. Не входит в промежуток.
- При $x \in (3, 8]$: $8-x=x+2 \implies 6=2x \implies x=3$. Не входит в промежуток.
- При $x \in (8, +\infty)$: $x-8=x+2 \implies -8=2$. Решений нет.
Таким образом, решения существуют только на отрезке $[0, 3]$.
Ответ: $x \in [0, 3]$.

б) Решите неравенство $f(x)\ge g(x)$.
Решить неравенство $f(x) \ge g(x)$ — значит найти все значения $x$, при которых график $f(x)$ лежит не ниже графика $g(x)$. На отрезке $[0, 3]$ выполняется равенство, значит, он входит в решение.
Рассмотрим остальные промежутки:
- При $x \in (-\infty, -8]$: $-x-8 \ge x+2 \implies -10 \ge 2x \implies x \le -5$. Пересечение с $x \le -8$ дает $x \le -8$.
- При $x \in (-8, -3)$: $x+8 \ge x+2 \implies 8 \ge 2$. Верно для всего промежутка.
- При $x \in [-3, 0)$: $2-x \ge x+2 \implies 0 \ge 2x \implies x \le 0$. Верно для всего промежутка.
- При $x > 3$ неравенство не выполняется, так как $f(x) < g(x)$.
Объединяя решения $(-\infty, -8] \cup (-8, -3) \cup [-3, 0) \cup [0, 3]$, получаем единый промежуток.
Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.

в) Решите неравенство $f(x)> g(x)$.
Решить неравенство $f(x) > g(x)$ — значит найти все значения $x$, при которых график $f(x)$ лежит строго выше графика $g(x)$.
Это решение неравенства $f(x) \ge g(x)$ за исключением тех точек, где $f(x) = g(x)$.
Мы знаем, что $f(x) \ge g(x)$ при $x \in (-\infty, 3]$ и $f(x) = g(x)$ при $x \in [0, 3]$.
Исключая отрезок $[0, 3]$ из промежутка $(-\infty, 3]$, получаем $(-\infty, 0)$.
Проверка по промежуткам, как в пункте б), но со строгим неравенством, подтверждает этот результат.
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.