Страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

18. (2) a)

$y=|-x^2+6x-8|;$

б)

$y=-x^2+6|x|-8;$

а) $y = |-x^2 + 6x - 8|$

Для построения графика функции вида $y = |f(x)|$ необходимо сначала построить график функции $f(x)$, а затем часть графика, расположенную ниже оси Ox (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, расположенная выше или на оси Ox (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.

1. Рассмотрим функцию, стоящую под знаком модуля: $f(x) = -x^2 + 6x - 8$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$. Ордината вершины: $y_в = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$. Таким образом, вершина находится в точке $(3, 1)$.

3. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox (нули функции), решив уравнение $-x^2 + 6x - 8 = 0$. Умножим обе части на -1, получим $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения с осью Ox: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Построив параболу $y = -x^2 + 6x - 8$, применим преобразование модуля. Парабола находится выше или на оси Ox на отрезке $[2, 4]$, поэтому эта часть графика остается на месте. Части параболы на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(4, \infty)$ лежат ниже оси Ox, поэтому их следует симметрично отразить относительно оси Ox.

В результате отражения мы получим график, который на интервалах $(-\infty, 2) \cup (4, \infty)$ совпадает с графиком параболы $y = -(-x^2 + 6x - 8) = x^2 - 6x + 8$ (ветви вверх), а на отрезке $[2, 4]$ совпадает с частью параболы $y = -x^2 + 6x - 8$ (с вершиной в точке $(3,1)$).

Ответ: Сначала строится парабола $y = -x^2 + 6x - 8$. Затем та часть графика, которая находится под осью Ox, симметрично отражается относительно этой оси. Часть графика над осью Ox и на ней остается без изменений.

б) $y = -x^2 + 6|x| - 8$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 6|-x| - 8 = -x^2 + 6|x| - 8 = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси Oy. Поэтому для построения графика достаточно построить его для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить полученную часть относительно оси Oy.

1. Рассмотрим функцию при $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -x^2 + 6x - 8$. Это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(3, 1)$ и точками пересечения с осью Ox в $x=2$ и $x=4$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, -8)$.

2. Строим часть этой параболы для $x \ge 0$. Она начинается в точке $(0, -8)$ на оси Oy, поднимается, пересекая ось Ox в точке $(2, 0)$, достигает локального максимума в вершине $(3, 1)$, затем опускается, пересекая ось Ox в точке $(4, 0)$, и далее уходит вниз.

3. Отражаем построенную "правую" часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить "левую" часть для $x < 0$. Вершина $(3, 1)$ отразится в точку $(-3, 1)$, которая также будет локальным максимумом. Точки пересечения с осью Ox $(2, 0)$ и $(4, 0)$ отразятся в точки $(-2, 0)$ и $(-4, 0)$ соответственно. Точка $(0, -8)$ останется на месте, так как она лежит на оси симметрии.

Итоговый график состоит из двух симметричных частей парабол: $y = -x^2 + 6x - 8$ при $x \ge 0$ и $y = -x^2 - 6x - 8$ при $x < 0$. Внешне он напоминает букву "М", вершина которой находится в точке $(0,-8)$.

Ответ: Сначала строится график параболы $y = -x^2 + 6x - 8$ только для неотрицательных значений $x$ (в правой полуплоскости, включая ось Oy). Затем построенная часть отражается симметрично относительно оси Oy, чтобы получить полный график.

19. (3)

a) $y=2-\sqrt{3-|x|}$;

б) $y=\left|2-\sqrt{3-|x|}\right|$;

а) $y = 2 - \sqrt{3 - |x|}$

Для решения задачи проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Функция определена, когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно:

$3 - |x| \ge 0$

Перенесем $|x|$ в правую часть:

$|x| \le 3$

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3 \le x \le 3$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-3; 3]$.

2. Область значений функции.

Найдем множество значений, которые может принимать $y$, исходя из области определения $x$.

Начнем с $x \in [-3; 3]$. Тогда для модуля $x$ имеем: $0 \le |x| \le 3$.

Умножим неравенство на $-1$, знаки неравенства изменятся на противоположные: $-3 \le -|x| \le 0$.

Прибавим ко всем частям неравенства 3: $3 - 3 \le 3 - |x| \le 3 + 0$, что дает $0 \le 3 - |x| \le 3$.

Теперь извлечем квадратный корень: $\sqrt{0} \le \sqrt{3 - |x|} \le \sqrt{3}$, то есть $0 \le \sqrt{3 - |x|} \le \sqrt{3}$.

Снова умножим на $-1$: $-\sqrt{3} \le -\sqrt{3 - |x|} \le 0$.

Наконец, прибавим 2 ко всем частям: $2 - \sqrt{3} \le 2 - \sqrt{3 - |x|} \le 2 + 0$.

Итак, область значений функции: $E(y) = [2 - \sqrt{3}; 2]$.

3. Четность функции.

Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$.

$y(-x) = 2 - \sqrt{3 - |-x|} = 2 - \sqrt{3 - |x|} = y(x)$.

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Минимальное значение $y = 2 - \sqrt{3}$ достигается при $x=0$, а максимальное значение $y=2$ достигается при $x=\pm3$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = [-3; 3]$. Область значений функции $E(y) = [2 - \sqrt{3}; 2]$. Функция является четной.

б) $y = |2 - \sqrt{3 - |x|}|$

1. Область определения функции (ОДЗ).

Область определения этой функции определяется тем же условием, что и в пункте а), так как подкоренное выражение не изменилось: $3 - |x| \ge 0$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-3; 3]$.

2. Область значений функции.

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля: $f(x) = 2 - \sqrt{3 - |x|}$.

Из решения пункта а) мы знаем, что область значений функции $f(x)$ — это отрезок $[2 - \sqrt{3}; 2]$.

Оценим знак нижней границы этого отрезка, $2 - \sqrt{3}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Так как $1 < 3 < 4$, то, извлекая корень, получаем $1 < \sqrt{3} < 2$.

Это означает, что разность $2 - \sqrt{3}$ положительна, так как $2 - \sqrt{3} > 2 - 2 = 0$.

Поскольку наименьшее значение выражения $2 - \sqrt{3 - |x|}$ равно $2 - \sqrt{3}$ и оно положительно, то все значения этого выражения на его области определения неотрицательны.

По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$. В нашем случае выражение под модулем всегда неотрицательно, поэтому знак модуля можно опустить:

$y = |2 - \sqrt{3 - |x|}| = 2 - \sqrt{3 - |x|}$.

Таким образом, данная функция полностью идентична функции из пункта а). Следовательно, все ее свойства, включая область значений и четность, совпадают.

Область значений функции: $E(y) = [2 - \sqrt{3}; 2]$.

Функция также является четной, так как $y(-x) = |2 - \sqrt{3 - |-x|}| = |2 - \sqrt{3 - |x|}| = y(x)$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = [-3; 3]$. Область значений функции $E(y) = [2 - \sqrt{3}; 2]$. Функция является четной.

20. (2)

$y = |2 - |1 - |x|||$

(2) Для построения графика функции $y = |2 - |1 - |x|||$ можно использовать метод последовательных графических преобразований или метод раскрытия модулей. Рассмотрим оба подхода.

I. Метод последовательных преобразований

Построение будет выполняться в несколько шагов, начиная с простейшего графика.

Шаг 1. Построение графика функции $y_1 = |x|$
Это базовый график модуля, который представляет собой две прямые, выходящие из начала координат: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$.

Шаг 2. Построение графика функции $y_2 = 1 - |x|$
Этот график получается из $y_1 = |x|$ в два этапа:
1. Отражение графика $y_1$ относительно оси Ox, чтобы получить $y = -|x|$. График переворачивается, образуя перевернутую V-образную "галочку" с вершиной в $(0, 0)$.
2. Сдвиг полученного графика вверх на 1 единицу, чтобы получить $y_2 = 1 - |x|$. Вершина графика смещается в точку $(0, 1)$. График пересекает ось Ox в точках, где $1 - |x| = 0$, то есть при $|x| = 1$, что соответствует точкам $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

Шаг 3. Построение графика функции $y_3 = |1 - |x||$
Этот график получается из $y_2 = |1 - |x||$ применением операции взятия модуля ко всей функции. Это означает, что часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox, симметрично отражается относительно этой оси, а часть, которая находится выше или на оси, остается без изменений.
- На интервале $[-1, 1]$ график $y_2$ неотрицателен, поэтому он не меняется.
- На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ график $y_2$ отрицателен, поэтому эта часть отражается относительно оси Ox.
В результате получается график, имеющий W-образную форму с локальным максимумом в точке $(0, 1)$ и минимумами в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

Шаг 4. Построение графика функции $y_4 = 2 - |1 - |x||$
Этот график получается из $y_3 = |1 - |x||$ в два этапа:
1. Отражение графика $y_3$ относительно оси Ox, чтобы получить $y = -|1 - |x||$. W-образный график переворачивается и становится M-образным. Вершины теперь в точках $(-1, 0)$, $(0, -1)$ и $(1, 0)$.
2. Сдвиг полученного графика вверх на 2 единицы: $y_4 = 2 - |1 - |x||$. Весь M-образный график сдвигается вверх. Новые координаты ключевых точек: локальные максимумы в $(-1, 2)$ и $(1, 2)$, и локальный минимум в $(0, 1)$.
Найдем точки пересечения графика $y_4$ с осью Ox: $2 - |1 - |x|| = 0 \implies |1 - |x|| = 2$. Это равенство распадается на два: $1 - |x| = 2$ (решений нет, так как $|x| = -1$) и $1 - |x| = -2$ (дает $|x|=3$, то есть $x = \pm 3$). Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

Шаг 5. Построение итогового графика $y = |2 - |1 - |x|||$
Это финальное преобразование. Мы берем модуль от функции $y_4 = 2 - |1 - |x||$. Часть графика $y_4$, которая находится ниже оси Ox, отражается вверх, а остальная часть остается на месте.
- Мы выяснили, что $y_4 \ge 0$ при $x \in [-3, 3]$ и $y_4 < 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
- На отрезке $[-3, 3]$ итоговый график $y$ совпадает с графиком $y_4$. Он состоит из трех отрезков, соединяющих точки $(-3, 0)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(3, 0)$.
- Вне отрезка $[-3, 3]$ (т.е. при $|x|>3$) график $y_4$ был ниже оси Ox, поэтому он отражается относительно этой оси. Вместо лучей, уходящих в минус бесконечность, мы получаем лучи, уходящие в плюс бесконечность, начинающиеся в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

II. Метод раскрытия модулей (аналитический)

Функция $y = f(x) = |2 - |1 - |x|||$ является четной, так как $f(-x) = |2 - |1 - |-x||| = |2 - |1 - |x||| = f(x)$. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.
При $x \ge 0$, исходная функция принимает вид $y = |2 - |1 - x||$. Раскроем внутренний модуль:
1. Если $0 \le x \le 1$, то $1-x \ge 0$, и $|1-x|=1-x$. Функция принимает вид $y = |2 - (1-x)| = |1+x|$. Так как на этом отрезке $1+x > 0$, то $y = 1+x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$.
2. Если $x > 1$, то $1-x < 0$, и $|1-x|=-(1-x)=x-1$. Функция принимает вид $y = |2 - (x-1)| = |3-x|$. Раскроем оставшийся модуль:
а) Если $1 < x \le 3$, то $3-x \ge 0$, и $y = 3-x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 2)$ и $(3, 0)$.
б) Если $x > 3$, то $3-x < 0$, и $y = -(3-x) = x-3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ с угловым коэффициентом 1.
Построив график для $x \ge 0$ и отразив его относительно оси Oy, мы получим полный график функции.

Ответ: График функции $y = |2 - |1 - |x|||$ представляет собой ломаную линию, симметричную относительно оси Oy. Он имеет следующие ключевые точки (вершины ломаной):
- Точки пересечения с осью Ox (глобальные минимумы на этих лучах): $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.
- Локальные максимумы: $(-1, 2)$ и $(1, 2)$.
- Локальный минимум на оси Oy: $(0, 1)$.
График состоит из двух лучей и трех отрезков. Уравнения участков ломаной:
- $y = -x-3$ при $x < -3$
- $y = x+3$ при $x \in [-3, -1]$
- $y = 1-x$ при $x \in [-1, 0]$
- $y = 1+x$ при $x \in [0, 1]$
- $y = 3-x$ при $x \in [1, 3]$
- $y = x-3$ при $x > 3$
Визуально график напоминает корону или букву 'M', у которой "ножки" согнуты вверх в точках пересечения с осью абсцисс.

Ученики соревнуются в прыжках, причем каждый прыгает 5 раз. Судьи оценивают правильность каждого прыжка целым количеством баллов от 1 до 20, но в окончательном подсчете участнику засчитывают 4 его лучших прыжка. За 5 прыжков Данияр набрал 72 балла. Какой наименьший результат может получиться у него при окончательном подсчете?

Пусть оценки Данияра за 5 прыжков равны $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$. Сумма всех оценок по условию составляет 72 балла:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 72$

Каждая оценка $x_i$ является целым числом в диапазоне от 1 до 20.

В окончательный результат засчитывают 4 лучших прыжка. Это означает, что худший прыжок не учитывается. Итоговый результат — это сумма всех пяти оценок минус оценка за худший прыжок.

Чтобы итоговый результат был наименьшим, вычитаемая оценка за худший прыжок должна быть наибольшей.

Обозначим оценки, упорядоченные по возрастанию, как $x_{(1)} \le x_{(2)} \le x_{(3)} \le x_{(4)} \le x_{(5)}$. В этом случае $x_{(1)}$ — это оценка за худший прыжок.

Итоговый результат $S$ равен:

$S = x_{(2)} + x_{(3)} + x_{(4)} + x_{(5)} = (x_{(1)} + x_{(2)} + x_{(3)} + x_{(4)} + x_{(5)}) - x_{(1)} = 72 - x_{(1)}$

Чтобы минимизировать $S$, нам нужно максимизировать $x_{(1)}$.

Поскольку $x_{(1)}$ является наименьшей оценкой, то каждая из пяти оценок не меньше $x_{(1)}$. Следовательно, их сумма не может быть меньше, чем $5 \cdot x_{(1)}$:

$x_{(1)} + x_{(2)} + x_{(3)} + x_{(4)} + x_{(5)} \ge 5 \cdot x_{(1)}$

Подставим известную сумму:

$72 \ge 5 \cdot x_{(1)}$

Отсюда найдем максимальное значение для $x_{(1)}$:

$x_{(1)} \le \frac{72}{5}$

$x_{(1)} \le 14.4$

Так как оценка должна быть целым числом, максимальное возможное значение для худшей оценки $x_{(1)}$ равно 14.

Проверим, возможна ли такая ситуация. Если худшая оценка равна 14, то сумма четырех лучших оценок должна быть $72 - 14 = 58$. При этом каждая из этих четырех оценок должна быть не меньше 14 и не больше 20. Например, такой набор оценок возможен: {14, 14, 14, 15, 15}. Сумма всех пяти оценок равна $14 + 14 + 14 + 15 + 15 = 72$. Все условия выполнены.

Итак, максимальное значение худшей оценки равно 14. Тогда наименьший возможный итоговый результат равен:

$S_{мин} = 72 - 14 = 58$

Ответ: 58

22. (3) Упростите выражение $\left(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}\right) : \left(\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2-b^2}\right) \cdot \frac{1}{a-b}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках: $ \left(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}\right) $.
Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a+b)^2 $:
$ \frac{a^2(a+b)}{(a+b)^2} - \frac{a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2(a+b) - a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^3 + a^2b - a^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2b}{(a+b)^2} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках: $ \left(\frac{a}{a+b} - \frac{a^2}{a^2-b^2}\right) $.
Знаменатель второй дроби — это разность квадратов: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a-b)(a+b) $:
$ \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b) - a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - ab - a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{-ab}{(a-b)(a+b)} $.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним деление и умножение:
$ \frac{a^2b}{(a+b)^2} : \frac{-ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{1}{a-b} $
Заменим деление на умножение на обратную дробь и объединим все в одну дробь:
$ \frac{a^2b}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{-ab} \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{a^2b(a-b)(a+b)}{-ab(a+b)^2(a-b)} $
Сократим общие множители $ ab $, $ (a-b) $ и $ (a+b) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{a \cdot ab \cdot (a-b) \cdot (a+b)}{-ab \cdot (a+b) \cdot (a+b) \cdot (a-b)} = -\frac{a}{a+b} $.

Ответ: $ -\frac{a}{a+b} $.

23. (2) Решите уравнения:

а) $ \frac{4x^2 - 7x - 2}{x^2 - 5x + 6} = 0 $;

б) $ \frac{x-2}{x+1} + \frac{4(x+1)}{x-2} = 5 $.

а) $\frac{4x^2 - 7x - 2}{x^2 - 5x + 6} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 - 7x - 2 = 0 \\ x^2 - 5x + 6 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение (числитель): $4x^2 - 7x - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$.

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.

2. Теперь найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, чтобы исключить их из решения (область допустимых значений, ОДЗ).

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 6$.

Подбором находим корни: $x=2$ и $x=3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ.

Корень $x_1 = -\frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$. Следовательно, это посторонний корень.

Единственным решением уравнения является $x = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) $\frac{x-2}{x+1} + \frac{4(x+1)}{x-2} = 5$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = \frac{x-2}{x+1}$.

Тогда второе слагаемое $\frac{4(x+1)}{x-2}$ можно записать как $4 \cdot \frac{1}{t}$ или $\frac{4}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{4}{t} = 5$.

Умножим обе части уравнения на $t$, при условии, что $t \neq 0$. Если $t=0$, то $\frac{x-2}{x+1}=0$, откуда $x=2$, что не входит в ОДЗ. Значит $t \neq 0$.

$t^2 + 4 = 5t$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 5t + 4 = 0$.

Решим это уравнение относительно $t$. По теореме Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = 5$.

Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 4$.

Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t=1$:

$\frac{x-2}{x+1} = 1$.

$x-2 = x+1$.

$-2 = 1$.

Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Если $t=4$:

$\frac{x-2}{x+1} = 4$.

$x-2 = 4(x+1)$.

$x-2 = 4x + 4$.

$3x = -6$.

$x = -2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -2$ ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq 2$). Да, удовлетворяет.

Ответ: $-2$.

24. (3) Среди служащих некоторой компании 20% составляют женщины. Руководство компании планирует увеличить количество женщин на 80%, а количество мужчин сократить на 20%. Какое из следующих утверждений верно?

A) Количество служащих компании увеличится.

B) Количество служащих компании не изменится.

C) Количество служащих компании уменьшится на 10%.

D) Количество служащих компании уменьшится на 15%.

E) Недостаточно данных для однозначного ответа.

Для решения этой задачи давайте обозначим первоначальное общее количество служащих в компании через $N$.

Согласно условию, женщины составляют 20% от общего числа служащих. Значит, первоначальное количество женщин $W$ равно:
$W = 0.20 \times N = 0.2N$

Следовательно, мужчины составляют оставшиеся $100\% - 20\% = 80\%$. Первоначальное количество мужчин $M$ равно:
$M = 0.80 \times N = 0.8N$

Далее, руководство планирует увеличить количество женщин на 80%. Новое количество женщин $W_{new}$ составит:
$W_{new} = W + 0.80 \times W = 1.8W$
Выразим новое количество женщин через $N$:
$W_{new} = 1.8 \times (0.2N) = 0.36N$

Одновременно с этим количество мужчин планируется сократить на 20%. Новое количество мужчин $M_{new}$ составит:
$M_{new} = M - 0.20 \times M = 0.8M$
Выразим новое количество мужчин через $N$:
$M_{new} = 0.8 \times (0.8N) = 0.64N$

Чтобы найти новое общее количество служащих в компании $N_{new}$, сложим новое количество женщин и новое количество мужчин:
$N_{new} = W_{new} + M_{new} = 0.36N + 0.64N$
$N_{new} = (0.36 + 0.64)N = 1.00N = N$

Как мы видим, новое общее количество служащих $N_{new}$ равно первоначальному количеству $N$. Это означает, что общее количество служащих в компании не изменится. Следовательно, верным является утверждение B.

Ответ: B) Количество служащих компании не изменится.

Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ (1-8):

1. (1) $f(x)=0,5x^2+x+1,x_0=2.$

1. (1)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для функции $f(x) = 0,5x^2 + x + 1$ и точки $x_0 = 2$ найдем все необходимые компоненты.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = 0,5 \cdot 2^2 + 2 + 1 = 0,5 \cdot 4 + 3 = 2 + 3 = 5$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (0,5x^2 + x + 1)' = 0,5 \cdot (2x) + 1 + 0 = x + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(2) = 2 + 1 = 3$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 2$, $f(x_0) = 5$ и $f'(x_0) = 3$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 5 + 3(x - 2)$

5. Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$y = 5 + 3x - 6$

$y = 3x - 1$

Ответ: $y = 3x - 1$.

2. (1)

$f(x) = \frac{x^2}{6}, x_0 = 2.$

(1)

Поскольку в задаче даны функция и точка, стандартной задачей является нахождение уравнения касательной к графику функции в этой точке. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = 2$. Это будет ордината точки касания $y_0$.

$y_0 = f(x_0) = f(2) = \frac{2^2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

2. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = \left(\frac{x^2}{6}\right)' = \frac{1}{6} \cdot (x^2)' = \frac{1}{6} \cdot 2x = \frac{2x}{6} = \frac{x}{3}$

3. Найдем угловой коэффициент касательной $k$, который равен значению производной в точке $x_0 = 2$.

$k = f'(x_0) = f'(2) = \frac{2}{3}$

4. Подставим найденные значения $x_0 = 2$, $f(x_0) = \frac{2}{3}$ и $f'(x_0) = \frac{2}{3}$ в формулу уравнения касательной.

$y = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}(x - 2)$

5. Упростим полученное уравнение, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$.

$y = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} \cdot 2$

$y = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$

Ответ: $y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$.

3.

(1) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{4}$.

(1)

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с функцией, наиболее вероятной задачей является нахождение уравнения касательной к графику функции $f(x) = \cos x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет следующий вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Подставим найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в общую формулу уравнения касательной.

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (x - \frac{\pi}{4})$

5. Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки.

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{4}$

$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$

Приведем свободные члены к общему знаменателю:

$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{4\sqrt{2}}{8} + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$

$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{4\sqrt{2} + \pi\sqrt{2}}{8}$

$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}(4+\pi)}{8}$

Это и есть искомое уравнение касательной.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}(4+\pi)}{8}$

$f(x) = \frac{2x-1}{x+1}, x_0 = 1.$

(1) Поскольку условие задачи на изображении приведено не полностью (дана только функция и точка), наиболее вероятным является задание найти уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$. Решим эту задачу.

Дана функция $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ и точка $x_0 = 1$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет следующий вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нахождения уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке $x_0 = 1$, то есть найти ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$.

$f(1) = \frac{2 \cdot 1 - 1}{1 + 1} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1; \frac{1}{2})$.

2. Найти производную функции $f'(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = x + 1$. Тогда их производные: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \frac{(2x - 1)'(x + 1) - (2x - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{2(x + 1) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$f'(x) = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$

3. Найти значение производной в точке $x_0 = 1$. Это значение является угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) касательной в данной точке, $k = f'(x_0)$.

$k = f'(1) = \frac{3}{(1 + 1)^2} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}$

4. Составить уравнение касательной, подставив найденные значения $f(x_0) = \frac{1}{2}$, $f'(x_0) = \frac{3}{4}$ и $x_0 = 1$ в общую формулу уравнения касательной.

$y = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}(x - 1)$

Теперь приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$.

$y = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{2}{4} - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$

Ответ: Уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ в точке $x_0 = 1$ имеет вид $y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.

5.

(1) $f(x)=x^4-7x^3+12x-45, x_0=0.$

(1) Задача заключается в том, чтобы разложить функцию $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0 = 0$. Разложение в ряд в окрестности точки $x_0=0$ является частным случаем ряда Тейлора и называется рядом Маклорена.

Общая формула ряда Тейлора для функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots$

Для данной задачи $x_0 = 0$, поэтому мы используем формулу ряда Маклорена:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

Для нахождения коэффициентов ряда необходимо последовательно вычислить производные функции $f(x)$ и их значения в точке $x_0=0$.

Исходная функция:

$f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$

Найдем значение функции и ее производных в точке $x_0=0$:

Значение функции (нулевая производная):

$f(0) = 0^4 - 7(0)^3 + 12(0) - 45 = -45$

Первая производная:

$f'(x) = 4x^3 - 21x^2 + 12$

$f'(0) = 4(0)^3 - 21(0)^2 + 12 = 12$

Вторая производная:

$f''(x) = 12x^2 - 42x$

$f''(0) = 12(0)^2 - 42(0) = 0$

Третья производная:

$f'''(x) = 24x - 42$

$f'''(0) = 24(0) - 42 = -42$

Четвертая производная:

$f^{(4)}(x) = 24$

$f^{(4)}(0) = 24$

Пятая производная и все последующие производные равны нулю, так как четвертая производная является константой:

$f^{(n)}(x) = 0$ для $n \ge 5$, следовательно, $f^{(n)}(0) = 0$ для $n \ge 5$.

Теперь подставим найденные значения в формулу ряда Маклорена. Поскольку все производные порядка выше 4 равны нулю, ряд будет конечным:

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4$

$f(x) = -45 + \frac{12}{1}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-42}{3!}x^3 + \frac{24}{4!}x^4$

Вычислим значения факториалов: $1!=1$, $2!=2$, $3!=6$, $4!=24$.

$f(x) = -45 + 12x + \frac{0}{2}x^2 - \frac{42}{6}x^3 + \frac{24}{24}x^4$

$f(x) = -45 + 12x + 0 \cdot x^2 - 7x^3 + 1 \cdot x^4$

Запишем итоговый многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:

$f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$

Результат совпадает с исходной функцией. Это ожидаемо, так как ряд Маклорена для любого многочлена является самим этим многочленом.

Ответ: Разложением функции $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ является сама эта функция: $f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45$.

6. (1)

$f(x)=(x-2)(x^2+2x+4), x_0=3.$

(1)

Поскольку в условии задачи задана функция $f(x)$ и точка $x_0$, наиболее вероятной задачей является нахождение значения производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$.

Шаг 1: Упрощение функции
Исходная функция: $f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
Данное выражение является формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
Применим эту формулу, где $a=x$ и $b=2$:
$f(x) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.
Работа с упрощенной функцией значительно облегчит дальнейшие вычисления.

Шаг 2: Нахождение производной функции
Теперь найдем производную $f'(x)$ от функции $f(x) = x^3 - 8$.
Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило, что производная константы равна нулю.
$f'(x) = (x^3 - 8)' = (x^3)' - (8)' = 3x^{3-1} - 0 = 3x^2$.

Шаг 3: Вычисление значения производной в точке $x_0 = 3$
Подставим значение $x_0 = 3$ в найденное выражение для производной $f'(x) = 3x^2$:
$f'(3) = 3 \cdot (3)^2 = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: 27

7.

(1) $f(x) = 5 - 0.5x^2, x_0 = -\sqrt{3}$

(1)

В условии задачи не указано, что именно нужно сделать с функцией $f(x) = 5 - 0.5x^2$ в точке $x_0 = -\sqrt{3}$. Наиболее распространенной задачей такого типа является нахождение уравнения касательной к графику функции в заданной точке. Решим эту задачу.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Чтобы найти уравнение касательной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке $x_0$. Это будет ордината точки касания.

Подставим $x_0 = -\sqrt{3}$ в уравнение функции:

$f(-\sqrt{3}) = 5 - 0.5 \cdot (-\sqrt{3})^2 = 5 - 0.5 \cdot 3 = 5 - 1.5 = 3.5$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-\sqrt{3}; 3.5)$.

2. Найти производную функции $f'(x)$.

$f'(x) = (5 - 0.5x^2)' = (5)' - (0.5x^2)' = 0 - 0.5 \cdot 2x^{2-1} = -x$

3. Найти значение производной в точке $x_0$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной.

$f'(-\sqrt{3}) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$

Итак, $k = \sqrt{3}$.

4. Подставить найденные значения $x_0 = -\sqrt{3}$, $f(x_0) = 3.5$ и $f'(x_0) = \sqrt{3}$ в общее уравнение касательной.

$y = 3.5 + \sqrt{3} \cdot (x - (-\sqrt{3}))$

Теперь упростим полученное выражение:

$y = 3.5 + \sqrt{3}(x + \sqrt{3})$

$y = 3.5 + \sqrt{3} \cdot x + (\sqrt{3})^2$

$y = 3.5 + \sqrt{3}x + 3$

$y = \sqrt{3}x + 6.5$

Ответ: уравнение касательной к графику функции $f(x) = 5 - 0.5x^2$ в точке $x_0 = -\sqrt{3}$ имеет вид $y = \sqrt{3}x + 6.5$.

8. (1)

$f(x)=\sin(x+\pi)+1,x_0=\frac{\pi}{4}$

(1) Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sin(x + \pi) + 1$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$, мы будем использовать общую формулу уравнения касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Решение состоит из нескольких шагов:

1. Нахождение значения функции в точке $x_0$.
Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в уравнение функции:
$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} + \pi) + 1$.
Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$.
$f(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) + 1$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$f(\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Нахождение производной функции $f(x)$.
Сначала можно упростить исходную функцию, используя ту же формулу приведения:
$f(x) = \sin(x + \pi) + 1 = -\sin(x) + 1$.
Теперь найдем производную от упрощенной функции:
$f'(x) = (-\sin(x) + 1)' = -(\sin(x))' + (1)' = -\cos(x) + 0 = -\cos(x)$.

3. Нахождение значения производной в точке $x_0$.
Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной в этой точке. Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:
$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Составление уравнения касательной.
Теперь подставим все найденные значения: $x_0 = \frac{\pi}{4}$, $f(x_0) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f'(x_0) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2})(x - \frac{\pi}{4})$.
Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид уравнения:
$y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{4}$
$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{8}$.