Страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.1. а) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 2?

б) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 3?

в) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 6?

г) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 27?

а) Нам нужно найти количество натуральных чисел, меньших 100, которые делятся на 2. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Числа, меньшие 100, — это числа из диапазона от 1 до 99. Задача сводится к нахождению количества четных чисел в этом диапазоне.

Чтобы найти количество чисел, кратных $k$, в диапазоне от 1 до $N$, можно использовать формулу: $\lfloor \frac{N}{k} \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$ (округление вниз до ближайшего целого).

В нашем случае $N=99$ и $k=2$.

$$ \lfloor \frac{99}{2} \rfloor = \lfloor 49.5 \rfloor = 49 $$

Это числа $2, 4, 6, \dots, 98$. Всего их 49.

Ответ: 49

б) Здесь мы ищем количество натуральных чисел, меньших 100, которые делятся на 3. Используем тот же подход, что и в предыдущем пункте. Рассматриваем диапазон чисел от 1 до 99.

В этом случае $N=99$ и $k=3$.

$$ \lfloor \frac{99}{3} \rfloor = 33 $$

Таким образом, существует 33 натуральных числа, меньших 100, которые делятся на 3. Это числа $3, 6, 9, \dots, 99$.

Ответ: 33

в) Теперь найдем количество натуральных чисел, меньших 100, которые делятся на 6. Диапазон чисел по-прежнему от 1 до 99.

Здесь $N=99$ и $k=6$.

$$ \lfloor \frac{99}{6} \rfloor = \lfloor 16.5 \rfloor = 16 $$

Значит, существует 16 таких чисел. Это числа $6, 12, 18, \dots, 96$.

Ответ: 16

г) Наконец, найдем количество натуральных чисел, меньших 100, которые делятся на 27. Диапазон чисел тот же: от 1 до 99.

В этом случае $N=99$ и $k=27$.

$$ \lfloor \frac{99}{27} \rfloor = \lfloor 3.666\dots \rfloor = 3 $$

Это означает, что есть всего 3 таких числа. Мы можем их перечислить: $27 \cdot 1 = 27$, $27 \cdot 2 = 54$ и $27 \cdot 3 = 81$. Все они меньше 100.

Ответ: 3

1.2. Может ли среди 103 идущих подряд натуральных чисел быть ровно одно, делящееся:

а) на 52;

б) на 51;

в) на 103;

г) на 10 003?

Пусть имеется последовательность из 103 идущих подряд натуральных чисел. Обозначим количество чисел в последовательности как $L=103$, а делитель — как $k$.

Количество чисел, кратных $k$, в любой последовательности из $L$ подряд идущих целых чисел равно либо $\lfloor L/k \rfloor$, либо $\lceil L/k \rceil$. Мы хотим, чтобы это количество было равно 1.

Рассмотрим два случая:

1. $\lceil L/k \rceil = 1$. Это неравенство эквивалентно $0 < L/k \le 1$, что для натуральных $L$ и $k$ означает $L \le k$. В нашем случае, $k \ge 103$. Если $k \ge 103$, можно подобрать такую последовательность, в которой будет ровно одно число, кратное $k$.
2. $\lfloor L/k \rfloor = 1$. Это неравенство эквивалентно $1 \le L/k < 2$, что означает $L/2 < k \le L$. В нашем случае, $103/2 < k \le 103$, то есть $51.5 < k \le 103$. Для целых $k$ это означает $52 \le k \le 103$. В этом случае также можно подобрать последовательность с ровно одним кратным $k$.

Объединяя оба случая, мы приходим к выводу, что среди 103 идущих подряд натуральных чисел может быть ровно одно, делящееся на $k$, тогда и только тогда, когда $k > 51.5$, то есть $k \ge 52$.

Если же $k \le 51$, то $103/k \ge 103/51 > 2$. Это означает, что $\lfloor 103/k \rfloor \ge 2$, следовательно, в любой последовательности из 103 чисел будет как минимум два числа, делящихся на $k$.

Теперь применим этот вывод к каждому из пунктов задачи.

а) на 52;

Здесь $k=52$. Так как $52 > 51.5$, это возможно. Например, рассмотрим последовательность натуральных чисел от 1 до 103. Числа, делящиеся на 52, имеют вид $52 \cdot m$, где $m$ - натуральное число. При $m=1$ получаем число 52, которое принадлежит нашей последовательности ($1 \le 52 \le 103$). При $m=2$ получаем число $52 \cdot 2 = 104$, которое уже не входит в последовательность ($104 > 103$). Таким образом, в этой последовательности ровно одно число делится на 52.

Ответ: Да, может.

б) на 51;

Здесь $k=51$. Так как $51 < 51.5$, это невозможно. В любой последовательности из 103 подряд идущих натуральных чисел будет как минимум два числа, делящихся на 51. Докажем это от противного. Предположим, что существует такая последовательность (начинающаяся с числа $n$) $n, n+1, \dots, n+102$, в которой есть ровно одно число $A$, кратное 51. Тогда число $A$ находится в этой последовательности, а соседние кратные ему числа, $A-51$ и $A+51$, находятся вне ее. Это означает, что должны выполняться следующие неравенства: $A-51 < n$ $A+51 > n+102$ Из второго неравенства следует $A > n+102-51$, то есть $A > n+51$. Из первого неравенства следует $A < n+51$. Мы получили противоречие: $n+51 < A < n+51$. Такого числа $A$ существовать не может. Следовательно, наше предположение неверно, и не существует такой последовательности, в которой было бы ровно одно число, кратное 51.

Ответ: Нет, не может.

в) на 103;

Здесь $k=103$. Так как $103 > 51.5$, это возможно. Рассмотрим последовательность натуральных чисел от 1 до 103. В этой последовательности единственное число, которое делится на 103, — это само число 103. Следующее кратное, 206, очевидно, не входит в последовательность.

Ответ: Да, может.

г) на 10 003?

Здесь $k=10003$. Так как $10003 > 51.5$, это возможно. Чтобы показать это, достаточно привести пример. Рассмотрим последовательность из 103 натуральных чисел, начинающуюся с 10003: $10003, 10004, \dots, 10105$. Число 10003 делится на 10003 и входит в эту последовательность. Следующее число, кратное 10003, это $2 \cdot 10003 = 20006$. Оно не входит в нашу последовательность, так как $20006 > 10105$. Таким образом, в этой последовательности ровно одно число делится на 10003.

Ответ: Да, может.

1.3. Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трёхзначных чисел, среди которых нет ни одного, кратного 37. Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих 36 трёхзначных чисел?

Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трёхзначных чисел, среди которых нет ни одного, кратного 37.

Числа, кратные 37, идут с шагом 37. В любой последовательности из 37 идущих подряд целых чисел будет ровно одно число, кратное 37. Следовательно, в последовательности из 36 идущих подряд чисел может быть либо одно, либо ни одного числа, кратного 37.

Чтобы в последовательности из 36 чисел не было ни одного, кратного 37, она должна целиком располагаться между двумя соседними числами, кратными 37. Пусть это числа $37k$ и $37(k+1)$, где $k$ - целое число. Тогда искомая последовательность будет иметь вид: $37k+1, 37k+2, \ldots, 37k+36$.

По условию, все числа в этой последовательности должны быть трёхзначными, то есть находиться в диапазоне от 100 до 999. Найдём подходящее значение для $k$.

Например, найдём кратные 37, близкие к 100:
$37 \times 2 = 74$
$37 \times 3 = 111$
$37 \times 4 = 148$

Рассмотрим промежуток между числами 111 ($=37 \times 3$) и 148 ($=37 \times 4$). Последовательность чисел, расположенных между ними, начинается с $111+1=112$ и заканчивается на $148-1=147$. Количество чисел в этой последовательности: $147 - 112 + 1 = 36$.

Все числа от 112 до 147 являются трёхзначными, и среди них нет ни одного, кратного 37. Эта последовательность удовлетворяет условию.

Ответ: Например, последовательность 36 чисел от 112 до 147.

Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих 36 трёхзначных чисел?

Пусть $n$ — наименьшее число в искомой последовательности из 36 чисел. Тогда сама последовательность — это $n, n+1, \ldots, n+35$.
Как было показано выше, $n$ должно иметь вид $n = 37k+1$ для некоторого целого числа $k$.

Все 36 чисел должны быть трёхзначными. Это означает, что наименьшее число $n$ должно быть не меньше 100, а наибольшее, $n+35$, — не больше 999.
Получаем систему неравенств: $n \ge 100$ и $n+35 \le 999$.

Наименьшее значение $n$:
Ищем наименьшее $n = 37k+1$, удовлетворяющее $n \ge 100$.
$37k+1 \ge 100 \implies 37k \ge 99 \implies k \ge \frac{99}{37} \approx 2.67$.
Поскольку $k$ должно быть целым, наименьшее подходящее значение $k=3$.
Тогда наименьшее возможное значение для $n$ равно $n = 37 \times 3 + 1 = 112$.
Проверка: последовательность от 112 до $112+35=147$ полностью состоит из трёхзначных чисел.

Наибольшее значение $n$:
Ищем наибольшее $n = 37k+1$, удовлетворяющее $n+35 \le 999$.
Подставим $n = 37k+1$:
$(37k+1) + 35 \le 999 \implies 37k + 36 \le 999 \implies 37k \le 963$.
$k \le \frac{963}{37}$.
Так как $963 = 37 \times 26 + 1$, то $k \le 26 + \frac{1}{37}$.
Наибольшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 26.
Тогда наибольшее возможное значение для $n$ равно $n = 37 \times 26 + 1 = 962 + 1 = 963$.
Проверка: последовательность от 963 до $963+35=998$ полностью состоит из трёхзначных чисел.

Ответ: Наименьшее значение, которое может принимать наименьшее из этих 36 чисел, равно 112, а наибольшее — 963.

1.4. Может ли произведение $103$ идущих подряд натуральных чисел не делиться:

а) на $103$;

б) на $618$;

в) на $642$;

г) на $3193$?

Рассмотрим произведение $P$ ста трех идущих подряд натуральных чисел. Пусть эти числа $n+1, n+2, \dots, n+103$, где $n$ - неотрицательное целое число ($n \ge 0$). Таким образом, $P = (n+1)(n+2)\dots(n+103)$. Для решения задачи воспользуемся свойством делимости: среди любых $k$ идущих подряд целых чисел ровно одно делится на $k$.

Рассматривается произведение 103 идущих подряд натуральных чисел. Число 103 является простым. Согласно свойству, упомянутому выше, среди любых 103 последовательных натуральных чисел обязательно найдется одно, которое делится на 103. Так как один из множителей в произведении $P$ делится на 103, то и все произведение $P$ делится на 103. Следовательно, произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не может не делиться на 103.

Ответ: не может.

Чтобы произведение $P$ не делилось на 618, оно не должно делиться хотя бы на один из простых множителей числа 618. Разложим 618 на простые множители: $618 = 2 \cdot 309 = 2 \cdot 3 \cdot 103$. Таким образом, для делимости на 618, произведение $P$ должно делиться на 2, 3 и 103.

1. Как показано в пункте а), $P$ всегда делится на 103.

2. В последовательности из 103 натуральных чисел есть как минимум $\lfloor 103/2 \rfloor = 51$ четное число. Следовательно, $P$ всегда делится на 2.

3. В последовательности из 103 натуральных чисел есть как минимум $\lfloor 103/3 \rfloor = 34$ числа, кратных трем. Следовательно, $P$ всегда делится на 3.

Поскольку $P$ всегда делится на 2, 3 и 103, а эти числа попарно взаимно просты, то $P$ всегда делится и на их произведение $2 \cdot 3 \cdot 103 = 618$. Таким образом, произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не может не делиться на 618.

Ответ: не может.

Разложим число 642 на простые множители: $642 = 2 \cdot 321 = 2 \cdot 3 \cdot 107$. Чтобы произведение $P$ не делилось на 642, достаточно, чтобы оно не делилось на 107 (поскольку 107 - простое число).

Для того чтобы произведение $P$ не делилось на 107, необходимо, чтобы ни один из 103 сомножителей не был кратен 107. Такое возможно, если вся последовательность из 103 чисел находится между двумя последовательными числами, кратными 107. Расстояние между двумя такими числами (например, 107 и 214) равно 107, и в этот промежуток можно поместить 106 натуральных чисел, не делящихся на 107.

Рассмотрим, например, последовательность натуральных чисел от 1 до 103. Их произведение $P = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 103 = 103!$. Поскольку 107 - простое число и $107 > 103$, ни одно из чисел в этой последовательности не делится на 107. Следовательно, их произведение $103!$ не делится на 107, а значит, не делится и на $642 = 2 \cdot 3 \cdot 107$.

Ответ: может.

Разложим число 3193 на множители. Проверим делимость на простые числа. $3193 = 31 \cdot 103$. Оба числа, 31 и 103, являются простыми. Чтобы произведение $P$ делилось на 3193, оно должно делиться и на 31, и на 103.

1. Как мы установили в пункте а), произведение 103 идущих подряд натуральных чисел всегда делится на 103.

2. Рассмотрим делимость на 31. Так как $103 > 31$, в любой последовательности из 103 идущих подряд натуральных чисел обязательно встретится число, кратное 31. Более того, таких чисел будет как минимум $\lfloor 103/31 \rfloor = 3$. Значит, произведение $P$ всегда делится на 31.

Поскольку $P$ всегда делится на 31 и на 103, а эти числа взаимно просты, то $P$ всегда делится на их произведение $31 \cdot 103 = 3193$. Следовательно, произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не может не делиться на 3193.

Ответ: не может.

Докажите утверждение:

1.5. a) Если каждое из натуральных чисел $n$ и $m$ делится на натуральное число $p$, то $(n + m) : p$ и $(n - m) : p$.*

б) Если каждое из натуральных чисел $n$ и $m$ делится на натуральное число $p$, а $x, y$ — произвольные натуральные числа, то $(nx \pm my) : p$.

в) Если натуральное число $n$ делится на натуральное число $p$, а натуральное $m$ не делится на $p$, то ни сумма $n + m$, ни разность $n - m$ не делятся на $p$.

г) Если сумма натуральных чисел и каждое её слагаемое, кроме последнего, делятся на некоторое натуральное число $p$, то и это последнее слагаемое делится на $p$.

а)

Пусть натуральные числа $n$ и $m$ делятся на натуральное число $p$. По определению делимости, это означает, что существуют такие натуральные числа $k$ и $l$, что можно записать равенства: $n = k \cdot p$ и $m = l \cdot p$.

Рассмотрим сумму этих чисел: $n + m = k \cdot p + l \cdot p$. Вынесем общий множитель $p$ за скобки: $n + m = (k + l) \cdot p$. Так как $k$ и $l$ — натуральные числа, их сумма $(k + l)$ также является натуральным числом. Обозначим $q = k + l$, где $q$ — натуральное число. Тогда $n + m = q \cdot p$. Это по определению означает, что сумма $(n + m)$ делится нацело на $p$.

Теперь рассмотрим разность этих чисел (будем считать, что $n \ge m$, чтобы разность была неотрицательной): $n - m = k \cdot p - l \cdot p$. Вынесем общий множитель $p$ за скобки: $n - m = (k - l) \cdot p$. Так как $n \ge m$, то $k \cdot p \ge l \cdot p$, и поскольку $p > 0$, то $k \ge l$. Значит, $(k - l)$ — неотрицательное целое число. Обозначим $r = k - l$. Тогда $n - m = r \cdot p$. Это по определению означает, что разность $(n - m)$ делится нацело на $p$.

Таким образом, если каждое из натуральных чисел $n$ и $m$ делится на $p$, то их сумма и разность также делятся на $p$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть натуральные числа $n$ и $m$ делятся на натуральное число $p$. Это означает, что $n = k \cdot p$ и $m = l \cdot p$ для некоторых натуральных чисел $k$ и $l$. Пусть $x$ и $y$ — произвольные натуральные числа.

Рассмотрим выражение $nx + my$: $nx + my = (k \cdot p)x + (l \cdot p)y$. Используя сочетательный закон умножения, перепишем выражение: $nx + my = (kx)p + (ly)p$. Вынесем общий множитель $p$ за скобки: $nx + my = (kx + ly)p$. Поскольку $k, x, l, y$ — натуральные числа, то и $kx + ly$ является натуральным числом. Обозначим $Q = kx + ly$. Тогда $nx + my = Q \cdot p$, что означает, что $nx + my$ делится на $p$.

Аналогично рассмотрим выражение $nx - my$ (предполагая $nx \ge my$): $nx - my = (k \cdot p)x - (l \cdot p)y = (kx)p - (ly)p = (kx - ly)p$. Поскольку $nx \ge my$, то $(kx)p \ge (ly)p$, и так как $p > 0$, то $kx \ge ly$. Значит, $kx - ly$ — неотрицательное целое число. Обозначим $R = kx - ly$. Тогда $nx - my = R \cdot p$, что означает, что $nx - my$ делится на $p$.

Таким образом, для любых натуральных $x, y$ выражения $(nx + my)$ и $(nx - my)$ делятся на $p$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

в)

Докажем данное утверждение методом от противного.

По условию, натуральное число $n$ делится на натуральное число $p$ (обозначается как $n \vdots p$), а натуральное число $m$ не делится на $p$ (обозначается как $m \not\vdots p$).

1. Докажем, что сумма $n+m$ не делится на $p$. Предположим обратное: пусть сумма $(n + m)$ делится на $p$. Тогда мы имеем два числа, $n$ (по условию) и $(n+m)$ (по нашему предположению), каждое из которых делится на $p$. Из утверждения, доказанного в пункте а), следует, что их разность также должна делиться на $p$. Рассмотрим их разность: $(n + m) - n = m$. Следовательно, число $m$ должно делиться на $p$. Но это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что $m$ не делится на $p$. Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Значит, сумма $(n + m)$ не может делиться на $p$.

2. Докажем, что разность $n-m$ не делится на $p$. Снова предположим обратное: пусть разность $(n - m)$ делится на $p$. Тогда у нас есть два числа, $n$ (по условию) и $(n-m)$ (по нашему предположению), каждое из которых делится на $p$. Согласно утверждению а), их разность также должна делиться на $p$. Рассмотрим их разность: $n - (n - m) = n - n + m = m$. Следовательно, число $m$ должно делиться на $p$. Это опять же противоречит условию, что $m$ не делится на $p$. Значит, наше предположение было неверным, и разность $(n - m)$ не делится на $p$.

Таким образом, доказано, что ни сумма $n+m$, ни разность $n-m$ не делятся на $p$.
Ответ: Утверждение доказано.

г)

Пусть дана сумма $k$ натуральных чисел $S = a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1} + a_k$. По условию, сумма $S$ делится на натуральное число $p$, и каждое слагаемое, кроме последнего, также делится на $p$, то есть $a_1 \vdots p, a_2 \vdots p, \dots, a_{k-1} \vdots p$. Требуется доказать, что последнее слагаемое $a_k$ также делится на $p$.

Рассмотрим сумму первых $k-1$ слагаемых: $S' = a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1}$. Поскольку каждое слагаемое в этой сумме ($a_1, \dots, a_{k-1}$) делится на $p$, то на основании утверждения а), примененного последовательно, их сумма $S'$ также делится на $p$. (Строго это доказывается методом математической индукции: база для двух слагаемых доказана в пункте а). Индукционный переход: если сумма $j$ слагаемых, делящихся на $p$, делится на $p$, то и сумма $j+1$ слагаемых, равная (сумма $j$ слагаемых) + ($j+1$-е слагаемое), тоже делится на $p$, так как является суммой двух чисел, делящихся на $p$).

Теперь выразим последнее слагаемое $a_k$ из исходной суммы $S$: $a_k = S - (a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1})$. Это можно записать как $a_k = S - S'$.

Мы получили, что $a_k$ является разностью двух чисел: $S$ и $S'$. По условию задачи, $S$ делится на $p$. Как мы только что показали, $S'$ также делится на $p$. Вновь применяем утверждение из пункта а): если два числа делятся на $p$, то и их разность делится на $p$. Следовательно, $a_k = S - S'$ должно делиться на $p$.

Таким образом, последнее слагаемое $a_k$ делится на $p$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.