Страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.39. Найдите простые числа $p$ и $q$, если известно, что корни уравнения $x^2 - px + q = 0$ — натуральные числа.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения $x^2 - px + q = 0$. По условию, $p$ и $q$ — простые числа, а $x_1$ и $x_2$ — натуральные числа (то есть, целые положительные числа).

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($a=1$) сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
$x_1 + x_2 = p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Рассмотрим второе равенство: $x_1 \cdot x_2 = q$. Поскольку $q$ — простое число, его натуральными делителями являются только 1 и само число $q$. Так как по условию корни $x_1$ и $x_2$ являются натуральными числами, то один из корней должен быть равен 1, а другой — $q$. Без ограничения общности, предположим, что $x_1 = 1$ и $x_2 = q$.

Теперь подставим эти значения в первое равенство из теоремы Виета: $x_1 + x_2 = p$.
$1 + q = p$

Из этого соотношения следует, что $p$ и $q$ — это два простых числа, которые являются последовательными целыми числами. Единственная пара таких чисел — это 2 и 3. Любая другая пара последовательных целых чисел обязательно содержит одно четное число, большее двух, которое не может быть простым.

Рассмотрим два возможных варианта:

• Если $q=2$, то $p = 2 + 1 = 3$. Оба числа, 2 и 3, являются простыми. Этот вариант подходит.
• Если бы меньшее из чисел было $p$, а большее $q$, то $q=p+1$. Тогда, чтобы $p$ и $q$ были простыми, $p$ должно быть равно 2, а $q$ должно быть равно 3. Но в нашем случае $p=q+1$, значит $p>q$. Поэтому $q$ должно быть меньшим числом, т.е. $q=2$, а $p=3$.

Следовательно, единственное возможное решение — это $p=3$ и $q=2$.

Выполним проверку. Подставим найденные значения $p=3$ и $q=2$ в исходное уравнение:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Его можно разложить на множители: $(x-1)(x-2) = 0$. Отсюда получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Оба корня являются натуральными числами, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: $p=3, q=2$.

1.40. Найдите все простые числа p и q такие, что:

а) $5p + 17q = 140$;

б) $7p + 3q = 86$.

а) Рассмотрим уравнение $5p + 17q = 140$, где $p$ и $q$ — простые числа.
Перепишем уравнение в виде $5p = 140 - 17q$. Правая часть уравнения должна быть положительной, так как $p$ — простое число, а значит $p > 0$. Следовательно, $140 - 17q > 0$, что означает $17q < 140$. Отсюда $q < 140/17 \approx 8.23$.
Поскольку $q$ — простое число, возможные значения для $q$ это 2, 3, 5, 7.
Также можно заметить, что число $140$ делится на 5, и слагаемое $5p$ тоже делится на 5. Следовательно, слагаемое $17q$ должно быть кратно 5.
$17q = 140 - 5p = 5(28-p)$.
Поскольку 17 и 5 — взаимно простые числа, для того чтобы произведение $17q$ делилось на 5, необходимо, чтобы $q$ делилось на 5.
Единственное простое число, которое делится на 5, — это само число 5.
Значит, $q=5$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$5p + 17 \cdot 5 = 140$
$5p + 85 = 140$
$5p = 140 - 85$
$5p = 55$
$p = 11$
Число 11 является простым. Таким образом, пара чисел $(p,q) = (11,5)$ является решением.
Проверим остальные возможные значения $q$ из найденного ранее диапазона.
Если $q=2$: $5p + 17 \cdot 2 = 140 \implies 5p = 106$. $106$ не делится на 5.
Если $q=3$: $5p + 17 \cdot 3 = 140 \implies 5p = 89$. $89$ не делится на 5.
Если $q=7$: $5p + 17 \cdot 7 = 140 \implies 5p = 21$. $21$ не делится на 5.
Таким образом, единственное решение — $p=11, q=5$.
Ответ: $p = 11, q = 5$.

б) Рассмотрим уравнение $7p + 3q = 86$, где $p$ и $q$ — простые числа.
Так как $p$ и $q$ — простые числа, они являются натуральными числами, $p \ge 2$ и $q \ge 2$.
Выразим $7p$: $7p = 86 - 3q$.
Поскольку $q \ge 2$, то $3q \ge 6$.
Следовательно, $7p = 86 - 3q \le 86 - 6 = 80$.
$p \le 80/7 \approx 11.4$.
Так как $p$ — простое число, возможные значения для $p$: 2, 3, 5, 7, 11.
Рассмотрим каждый случай:
1. Если $p=2$:
$7 \cdot 2 + 3q = 86$
$14 + 3q = 86$
$3q = 72$
$q = 24$. Число 24 не является простым.
2. Если $p=3$:
$7 \cdot 3 + 3q = 86$
$21 + 3q = 86$
$3q = 65$. Число 65 не делится на 3. Решений в целых числах нет.
3. Если $p=5$:
$7 \cdot 5 + 3q = 86$
$35 + 3q = 86$
$3q = 51$
$q = 17$. Число 17 является простым. Пара $(p,q) = (5,17)$ является решением.
4. Если $p=7$:
$7 \cdot 7 + 3q = 86$
$49 + 3q = 86$
$3q = 37$. Число 37 не делится на 3. Решений в целых числах нет.
5. Если $p=11$:
$7 \cdot 11 + 3q = 86$
$77 + 3q = 86$
$3q = 9$
$q = 3$. Число 3 является простым. Пара $(p,q) = (11,3)$ является решением.
Мы рассмотрели все возможные значения для $p$.
Ответ: $p=5, q=17$ или $p=11, q=3$.

1.41. Составьте формулу натурального числа, которое:

а) при делении на 5 даёт остаток 4;

$N = 5k + 4$

б) при делении на 11 даёт остаток 7;

$N = 11k + 7$

в) при делении на 7 даёт остаток 2;

$N = 7k + 2$

г) оканчивается числом, делящимся на 15.

$N = 15k$

а) при делении на 5 даёт остаток 4

По определению деления с остатком, натуральное число $N$, которое при делении на 5 даёт остаток 4, можно представить формулой $N = 5k + 4$. Здесь $k$ — это частное, которое является неотрицательным целым числом, чтобы $N$ было натуральным (начиная с $N=4$ при $k=0$).

Ответ: $N = 5k + 4$, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

б) при делении на 11 даёт остаток 7

Аналогично, число $N$, которое при делении на 11 даёт остаток 7, выражается формулой $N = 11k + 7$, где $k$ — неотрицательное целое число (начиная с $N=7$ при $k=0$).

Ответ: $N = 11k + 7$, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

в) при делении на 7 даёт остаток 2

Для числа $N$, которое при делении на 7 даёт остаток 2, формула имеет вид $N = 7k + 2$, где $k$ — неотрицательное целое число (начиная с $N=2$ при $k=0$).

Ответ: $N = 7k + 2$, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$.

г) оканчивается числом, делящимся на 15

Условие "оканчивается числом, делящимся на 15" означает, что число, образованное двумя последними цифрами искомого натурального числа $N$, делится на 15. Число, образованное последними двумя цифрами, равно остатку от деления $N$ на 100. Обозначим этот остаток $d$.

Тогда $N$ можно представить в виде $N = 100k + d$, где $k$ — неотрицательное целое число, а $d$ — неотрицательное число меньше 100, которое кратно 15. Возможные значения для $d$: $0, 15, 30, 45, 60, 75, 90$. Каждое из этих значений можно записать как $15m$, где $m$ — целое число из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Следовательно, общая формула для числа $N$, удовлетворяющего данному условию, имеет вид $N = 100k + 15m$. Поскольку $N$ должно быть натуральным числом ($N > 0$), параметры $k$ и $m$ не могут быть равны нулю одновременно.

Ответ: $N = 100k + 15m$, где $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$, $m \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, при этом $k$ и $m$ не равны нулю одновременно.

1.42. Найдите остаток от деления на 10 числа:

а) 1234;

б) 43215432.

а) Остаток от деления любого целого числа на 10 равен последней цифре этого числа. Это следует из того, что любое натуральное число $N$ можно представить в виде $N = 10 \cdot q + r$, где $r$ — это цифра в разряде единиц (от 0 до 9), а $q$ — целое число, полученное отбрасыванием последней цифры.
Для числа 1234 последняя цифра — 4.
Запишем это в виде математического выражения: $1234 = 10 \cdot 123 + 4$.
Отсюда видно, что при делении числа 1234 на 10 получается неполное частное 123 и остаток 4.
Ответ: 4

б) Применяя то же правило, найдем остаток от деления числа 43 215 432 на 10.
Последняя цифра этого числа — 2.
Представим данное число в виде выражения с остатком: $43215432 = 10 \cdot 4321543 + 2$.
Таким образом, неполное частное от деления равно 4 321 543, а искомый остаток равен 2.
Ответ: 2

1.43. Число $x$ при делении на 8 даёт остаток 5. Чему может быть равен остаток от деления числа $x$:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 4;

г) на 6?

По условию, число $x$ при делении на 8 даёт остаток 5. Это можно записать в виде формулы: $x = 8k + 5$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

а) на 2;

Чтобы найти остаток от деления числа $x$ на 2, преобразуем его выражение:

$x = 8k + 5 = 8k + 4 + 1 = 2(4k + 2) + 1$.

Полученное выражение имеет вид $2q + r$, где частное $q = 4k + 2$, а остаток $r = 1$. Это означает, что для любого целого $k$ остаток от деления $x$ на 2 будет всегда равен 1.

Ответ: 1.

б) на 3;

Для нахождения остатка от деления $x$ на 3, рассмотрим поведение выражения $x = 8k + 5$ при разных значениях $k$.

• При $k = 0$: $x = 5$. При делении на 3 остаток равен 2.
• При $k = 1$: $x = 13$. При делении на 3 остаток равен 1 ($13 = 3 \cdot 4 + 1$).
• При $k = 2$: $x = 21$. При делении на 3 остаток равен 0 ($21 = 3 \cdot 7 + 0$).
• При $k = 3$: $x = 29$. При делении на 3 остаток равен 2 ($29 = 3 \cdot 9 + 2$).

Остатки циклически повторяются. Чтобы найти все возможные остатки, воспользуемся арифметикой сравнений. Так как $8 \equiv 2 \pmod{3}$ и $5 \equiv 2 \pmod{3}$, то:

$x \equiv 8k + 5 \equiv 2k + 2 \pmod{3}$.

Остаток зависит от значения $k$ по модулю 3:

• Если $k \equiv 0 \pmod{3}$, то $x \equiv 2 \cdot 0 + 2 \equiv 2 \pmod{3}$.
• Если $k \equiv 1 \pmod{3}$, то $x \equiv 2 \cdot 1 + 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $k \equiv 2 \pmod{3}$, то $x \equiv 2 \cdot 2 + 2 = 6 \equiv 0 \pmod{3}$.

Следовательно, остаток от деления $x$ на 3 может быть равен 0, 1 или 2.

Ответ: 0, 1 или 2.

в) на 4;

Чтобы найти остаток от деления $x$ на 4, снова преобразуем выражение $x = 8k + 5$:

$x = 8k + 5 = 8k + 4 + 1 = 4(2k + 1) + 1$.

Выражение имеет вид $4q + r$, где частное $q = 2k + 1$, а остаток $r = 1$. Таким образом, для любого целого $k$ остаток от деления $x$ на 4 всегда будет равен 1.

Ответ: 1.

г) на 6?

Для нахождения остатка от деления $x$ на 6, рассмотрим выражение $x = 8k + 5$. Остаток будет зависеть от $k$.

Воспользуемся арифметикой сравнений. Так как $8 \equiv 2 \pmod{6}$, то:

$x \equiv 8k + 5 \equiv 2k + 5 \pmod{6}$.

Значение остатка зависит от $k$. Проверим значения $k$ по модулю 3:

• Если $k \equiv 0 \pmod{3}$ (например, $k=0, 3, 6, \dots$), то $x \equiv 2k+5 \equiv 5 \pmod{6}$. (При $k=0, x=5$, остаток 5).
• Если $k \equiv 1 \pmod{3}$ (например, $k=1, 4, 7, \dots$), то $x \equiv 2k+5 \equiv 2(1)+5=7 \equiv 1 \pmod{6}$. (При $k=1, x=13$, остаток 1).
• Если $k \equiv 2 \pmod{3}$ (например, $k=2, 5, 8, \dots$), то $x \equiv 2k+5 \equiv 2(2)+5=9 \equiv 3 \pmod{6}$. (При $k=2, x=21$, остаток 3).

Следовательно, остаток от деления $x$ на 6 может быть равен 1, 3 или 5.

Ответ: 1, 3 или 5.

1.44. Докажите, что:

а) остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2;

б) остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5.

а) остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2;

Пусть $N$ — произвольное натуральное число. Любое натуральное число можно представить в виде суммы его последней цифры и произведения числа, образованного остальными цифрами, на 10. То есть, если $d_0$ — последняя цифра числа $N$, то число $N$ можно записать в виде: $N = 10 \cdot A + d_0$, где $A$ — целое неотрицательное число, состоящее из всех цифр числа $N$, кроме последней. Например, для числа $N = 345$, $d_0 = 5$ и $A = 34$, тогда $345 = 10 \cdot 34 + 5$.

Рассмотрим остаток от деления числа $N$ на 2. Выражение $10 \cdot A$ всегда делится на 2 без остатка, так как один из его множителей, число 10, делится на 2 ($10 = 2 \cdot 5$). Следовательно, остаток от деления $10 \cdot A$ на 2 равен 0.

Согласно свойству остатков, остаток от деления суммы на число равен остатку от деления суммы их остатков на то же число. В нашем случае, остаток от деления $N$ на 2 равен остатку от деления суммы $(0 + \text{остаток от деления } d_0 \text{ на } 2)$ на 2. Это означает, что остаток от деления всего числа $N$ на 2 полностью определяется остатком от деления его последней цифры $d_0$ на 2.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5.

Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему. Представим произвольное натуральное число $N$ в том же виде: $N = 10 \cdot A + d_0$, где $d_0$ — его последняя цифра, а $A$ — целое неотрицательное число.

Рассмотрим остаток от деления числа $N$ на 5. Слагаемое $10 \cdot A$ делится на 5 без остатка, так как множитель 10 делится на 5 ($10 = 5 \cdot 2$). Таким образом, остаток от деления $10 \cdot A$ на 5 равен 0.

Так как остаток от деления первого слагаемого ($10 \cdot A$) на 5 равен 0, остаток от деления всей суммы $N = 10 \cdot A + d_0$ на 5 будет равен остатку от деления второго слагаемого, $d_0$, на 5.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.45. Докажите, что:

а) остаток от деления натурального числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами;

б) остаток от деления натурального числа на 25 равен остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами.

Пусть $N$ — произвольное натуральное число. Любое натуральное число можно представить в виде суммы: $N = 100 \cdot k + l$, где $l$ — это число, образованное двумя последними цифрами числа $N$ (от 00 до 99), а $k$ — это целое неотрицательное число, образованное всеми предыдущими цифрами числа $N$. Если число $N$ имеет меньше трех цифр, то $k=0$. Например, для числа $12345$ имеем $k=123$ и $l=45$, так что $12345 = 100 \cdot 123 + 45$. Для числа $78$ имеем $k=0$ и $l=78$, так что $78 = 100 \cdot 0 + 78$.

Мы хотим доказать, что остаток от деления $N$ на 4 равен остатку от деления $l$ на 4.

Рассмотрим первое слагаемое в представлении числа $N$, то есть $100 \cdot k$. Число 100 делится на 4 без остатка, поскольку $100 = 4 \cdot 25$. Следовательно, произведение $100 \cdot k$ также делится на 4 без остатка для любого целого $k$. Это означает, что остаток от деления $100 \cdot k$ на 4 всегда равен 0.

Согласно свойству остатков, остаток от деления суммы на некоторое число равен остатку от деления суммы их остатков. В нашем случае, остаток от деления $N = 100 \cdot k + l$ на 4 равен остатку от деления суммы остатков слагаемых $100 \cdot k$ и $l$. Так как остаток от деления $100 \cdot k$ на 4 равен 0, то остаток от деления $N$ на 4 полностью определяется остатком от деления $l$ на 4.

Используя язык сравнений по модулю, это можно записать так: $100 \equiv 0 \pmod{4}$ Отсюда следует, что $100 \cdot k \equiv 0 \cdot k \equiv 0 \pmod{4}$. Тогда для $N = 100 \cdot k + l$ имеем: $N \equiv 0 + l \pmod{4}$, то есть $N \equiv l \pmod{4}$.

Это означает, что числа $N$ и $l$ дают одинаковые остатки при делении на 4, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство этого утверждения полностью аналогично предыдущему. Снова представим произвольное натуральное число $N$ в виде: $N = 100 \cdot k + l$, где $l$ — число, образованное двумя последними цифрами $N$, а $k$ — число, образованное остальными цифрами.

Мы хотим доказать, что остаток от деления $N$ на 25 равен остатку от деления $l$ на 25.

Рассмотрим слагаемое $100 \cdot k$. Число 100 делится на 25 без остатка, поскольку $100 = 4 \cdot 25$. Значит, произведение $100 \cdot k$ также делится на 25 без остатка для любого целого $k$. Остаток от деления $100 \cdot k$ на 25 равен 0.

Так как остаток от деления суммы $100 \cdot k + l$ на 25 определяется суммой остатков слагаемых, а остаток первого слагаемого равен 0, то остаток от деления $N$ на 25 будет равен остатку от деления $l$ на 25.

На языке сравнений по модулю: $100 \equiv 0 \pmod{25}$ Следовательно, $100 \cdot k \equiv 0 \pmod{25}$. Для $N = 100 \cdot k + l$ получаем: $N \equiv 0 + l \pmod{25}$, то есть $N \equiv l \pmod{25}$.

Таким образом, числа $N$ и $l$ дают одинаковые остатки при делении на 25.

Ответ: Утверждение доказано.

1.46. Найти остаток от деления на 3 числа:

а) 1234321:

б) 55555155555.

Для нахождения остатка от деления числа на 3 используется признак делимости на 3. Остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3. Это следует из того, что любая степень 10 при делении на 3 дает в остатке 1. Например, $10 = 3 \cdot 3 + 1$, $100 = 3 \cdot 33 + 1$, и так далее. Таким образом, $N \equiv S(N) \pmod 3$, где $S(N)$ - сумма цифр числа $N$.

а) 1 234 321:
Найдем сумму цифр числа 1 234 321: $1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16$.
Теперь найдем остаток от деления этой суммы на 3: $16 \div 3 = 5$ (остаток 1), так как $16 = 3 \cdot 5 + 1$.
Следовательно, остаток от деления числа 1 234 321 на 3 также равен 1.
Ответ: 1

б) 55 555 155 555:
Найдем сумму цифр числа 55 555 155 555. В этом числе десять цифр '5' и одна цифра '1'. Сумма цифр равна: $10 \cdot 5 + 1 = 50 + 1 = 51$.
Теперь найдем остаток от деления этой суммы на 3. Чтобы проверить делимость 51 на 3, можно снова сложить его цифры: $5+1=6$. Так как 6 делится на 3, то и 51 делится на 3 без остатка. $51 \div 3 = 17$ (остаток 0), так как $51 = 3 \cdot 17 + 0$.
Следовательно, остаток от деления числа 55 555 155 555 на 3 равен 0.
Ответ: 0

1.47. Найдите остаток от деления на 9 числа:

a) 1234567;

б) 55555155555.

Для решения этой задачи используется свойство делимости на 9: остаток от деления любого натурального числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9.

Это свойство основано на том, что любая степень числа 10 при делении на 9 даёт в остатке 1. Например, $10 = 9 \cdot 1 + 1$, $100 = 9 \cdot 11 + 1$, и в общем виде $10^n \equiv 1 \pmod{9}$ для любого целого неотрицательного $n$.

Таким образом, для любого числа $N$, представленного в виде суммы разрядных слагаемых $N = d_k \cdot 10^k + d_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \dots + d_1 \cdot 10^1 + d_0$, его остаток от деления на 9 будет сравним с суммой его цифр: $N \equiv d_k + d_{k-1} + \dots + d_1 + d_0 \pmod{9}$.

Чтобы найти остаток от деления числа 1 234 567 на 9, сначала найдем сумму его цифр:$S_a = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7$

Вычислим сумму:$S_a = 28$

Теперь найдем остаток от деления этой суммы на 9:$28 \div 9 = 3$ (остаток 1), так как $28 = 9 \cdot 3 + 1$.

Следовательно, остаток от деления числа 1 234 567 на 9 также равен 1.
Ответ: 1

Чтобы найти остаток от деления числа 55 555 155 555 на 9, найдем сумму его цифр. Данное число состоит из десяти цифр «5» и одной цифры «1».$S_b = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5$

Вычислим сумму:$S_b = 10 \cdot 5 + 1 = 50 + 1 = 51$

Теперь найдем остаток от деления этой суммы на 9:$51 \div 9 = 5$ (остаток 6), так как $51 = 9 \cdot 5 + 6$.

Следовательно, остаток от деления числа 55 555 155 555 на 9 также равен 6.
Ответ: 6

1.48. Найдите НОД и НОК чисел:

а) 154 и 210;

б) 120 и 144;

в) 255 и 510;

г) 105 и 165.

а) 154 и 210

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК), разложим числа на простые множители.

Разложение числа 154 на простые множители:
$154 | 2$
$77 | 7$
$11 | 11$
$1$
Таким образом, $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$.

Разложение числа 210 на простые множители:
$210 | 2$
$105 | 3$
$35 | 5$
$7 | 7$
$1$
Таким образом, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Для нахождения НОД выбираем общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения. Общими множителями являются 2 и 7.
$НОД(154; 210) = 2^1 \cdot 7^1 = 14$.

Для нахождения НОК выписываем все простые множители, которые входят хотя бы в одно из разложений, и берем их в наибольшей степени.
$НОК(154; 210) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$.

Ответ: НОД(154; 210) = 14, НОК(154; 210) = 2310.

б) 120 и 144

Разложим числа 120 и 144 на простые множители.

Разложение числа 120:
$120 = 10 \cdot 12 = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.

Разложение числа 144:
$144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (2 и 3) в наименьшей степени.
$НОД(120; 144) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 3 и 5) в наибольшей степени.
$НОК(120; 144) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 144 \cdot 5 = 720$.

Ответ: НОД(120; 144) = 24, НОК(120; 144) = 720.

в) 255 и 510

Разложим числа 255 и 510 на простые множители.

Разложение числа 255:
$255 | 5$
$51 | 3$
$17 | 17$
$1$
Таким образом, $255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$.

Разложение числа 510:
$510 = 10 \cdot 51 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 17) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17$.

В данном случае можно заметить, что $510 = 2 \cdot 255$. Это означает, что 255 является делителем 510.

Когда одно число делится на другое, их НОД равен меньшему из чисел.
$НОД(255; 510) = 255$.

Когда одно число делится на другое, их НОК равен большему из чисел.
$НОК(255; 510) = 510$.

Ответ: НОД(255; 510) = 255, НОК(255; 510) = 510.

г) 105 и 165

Разложим числа 105 и 165 на простые множители.

Разложение числа 105:
$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Разложение числа 165:
$165 = 5 \cdot 33 = 3 \cdot 5 \cdot 11$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (3 и 5) в наименьшей степени.
$НОД(105; 165) = 3 \cdot 5 = 15$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (3, 5, 7 и 11) в наибольшей степени.
$НОК(105; 165) = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 15 \cdot 77 = 1155$.

Ответ: НОД(105; 165) = 15, НОК(105; 165) = 1155.