Страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.7. Выпишите 5 различных чисел, расположенных между числами:

а) $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$;

б) $-\frac{11}{14}$ и $-\frac{10}{13}$;

в) $\frac{11}{45}$ и $\frac{6}{23}$;

г) $-\frac{15}{7}$ и $-\frac{17}{9}$.

а) Чтобы найти 5 различных чисел, расположенных между числами $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{3} $, приведем эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 3 равен 12.

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} $

Мы получили дроби $ \frac{3}{12} $ и $ \frac{4}{12} $. Между их числителями 3 и 4 нет целых чисел, поэтому необходимо выбрать другой, больший общий знаменатель. Чтобы найти 5 чисел, нам нужно создать как минимум $ 5 + 1 = 6 $ промежутков между числителями. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 6.

$ \frac{3}{12} = \frac{3 \cdot 6}{12 \cdot 6} = \frac{18}{72} $

$ \frac{4}{12} = \frac{4 \cdot 6}{12 \cdot 6} = \frac{24}{72} $

Теперь нужно найти 5 чисел между $ \frac{18}{72} $ и $ \frac{24}{72} $. Мы можем выбрать дроби, числители которых являются любыми целыми числами от 19 до 23 включительно.

Например, возьмем числа: $ \frac{19}{72}, \frac{20}{72}, \frac{21}{72}, \frac{22}{72}, \frac{23}{72} $.

Ответ: $ \frac{19}{72}, \frac{20}{72}, \frac{21}{72}, \frac{22}{72}, \frac{23}{72} $.

б) Чтобы найти 5 различных чисел между $ -\frac{11}{14} $ и $ -\frac{10}{13} $, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $ 14 \cdot 13 = 182 $.

$ -\frac{11}{14} = -\frac{11 \cdot 13}{14 \cdot 13} = -\frac{143}{182} $

$ -\frac{10}{13} = -\frac{10 \cdot 14}{13 \cdot 14} = -\frac{140}{182} $

Мы ищем числа в интервале от $ -\frac{143}{182} $ до $ -\frac{140}{182} $. Целые числа между числителями -143 и -140 — это -142 и -141. Это дает нам только два числа: $ -\frac{142}{182} $ и $ -\frac{141}{182} $. Этого недостаточно. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2, чтобы увеличить количество возможных вариантов.

$ -\frac{143}{182} = -\frac{143 \cdot 2}{182 \cdot 2} = -\frac{286}{364} $

$ -\frac{140}{182} = -\frac{140 \cdot 2}{182 \cdot 2} = -\frac{280}{364} $

Теперь мы можем выбрать 5 чисел, числители которых лежат между -286 и -280. Это числа -285, -284, -283, -282, -281.

Искомые числа: $ -\frac{285}{364}, -\frac{284}{364}, -\frac{283}{364}, -\frac{282}{364}, -\frac{281}{364} $.

Ответ: $ -\frac{285}{364}, -\frac{284}{364}, -\frac{283}{364}, -\frac{282}{364}, -\frac{281}{364} $.

в) Найдем 5 различных чисел между $ \frac{11}{45} $ и $ \frac{6}{23} $. Приведем дроби к общему знаменателю: $ 45 \cdot 23 = 1035 $.

$ \frac{11}{45} = \frac{11 \cdot 23}{45 \cdot 23} = \frac{253}{1035} $

$ \frac{6}{23} = \frac{6 \cdot 45}{23 \cdot 45} = \frac{270}{1035} $

Нам нужно найти числа между $ \frac{253}{1035} $ и $ \frac{270}{1035} $. Между числителями 253 и 270 достаточно много целых чисел (от 254 до 269), чтобы выбрать 5 из них. Возьмем первые пять: 254, 255, 256, 257, 258.

Искомые числа: $ \frac{254}{1035}, \frac{255}{1035}, \frac{256}{1035}, \frac{257}{1035}, \frac{258}{1035} $.

Ответ: $ \frac{254}{1035}, \frac{255}{1035}, \frac{256}{1035}, \frac{257}{1035}, \frac{258}{1035} $.

г) Найдем 5 различных чисел между $ -\frac{15}{7} $ и $ -\frac{17}{9} $. Приведем дроби к общему знаменателю: $ 7 \cdot 9 = 63 $.

$ -\frac{15}{7} = -\frac{15 \cdot 9}{7 \cdot 9} = -\frac{135}{63} $

$ -\frac{17}{9} = -\frac{17 \cdot 7}{9 \cdot 7} = -\frac{119}{63} $

Так как $ -135 < -119 $, то и $ -\frac{135}{63} < -\frac{119}{63} $. Нам нужны числа из интервала $ (-\frac{135}{63}, -\frac{119}{63}) $. Между числителями -135 и -119 есть достаточно целых чисел (от -134 до -120), чтобы выбрать 5 из них.

Возьмем, например, числители: -134, -133, -132, -131, -130.

Искомые числа: $ -\frac{134}{63}, -\frac{133}{63}, -\frac{132}{63}, -\frac{131}{63}, -\frac{130}{63} $.

Ответ: $ -\frac{134}{63}, -\frac{133}{63}, -\frac{132}{63}, -\frac{131}{63}, -\frac{130}{63} $.

4.8. Сравните числа a и b:

a) $a = \frac{12}{47}$, $b = \frac{51}{200}$;

б) $a = -\frac{31}{14}$, $b = -2,21$;

в) $a = \frac{17}{19}$, $b = \frac{37}{39}$;

г) $a = -\frac{431}{114}$, $b = -3,79$.

a) Чтобы сравнить числа $a = \frac{12}{47}$ и $b = \frac{51}{200}$, можно использовать метод перекрестного умножения. Для этого сравним произведение числителя первой дроби на знаменатель второй с произведением числителя второй дроби на знаменатель первой.

Сравниваем $12 \times 200$ и $51 \times 47$.

$12 \times 200 = 2400$.

$51 \times 47 = 2397$.

Поскольку $2400 > 2397$, то и соответствующая дробь больше: $\frac{12}{47} > \frac{51}{200}$.

Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

б) Чтобы сравнить числа $a = -\frac{31}{14}$ и $b = -2,21$, представим дробь $a$ в виде десятичной дроби.

Выполним деление 31 на 14:

$31 \div 14 = 2,214...$

Таким образом, $a = -2,214...$

Теперь сравним два отрицательных числа: $a = -2,214...$ и $b = -2,21$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль (абсолютная величина) меньше.

Сравним модули этих чисел:

$|a| = |-2,214...| = 2,214...$

$|b| = |-2,21| = 2,21$

Так как $2,214... > 2,21$, то $|a| > |b|$.

Следовательно, $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) Чтобы сравнить числа $a = \frac{17}{19}$ и $b = \frac{37}{39}$, удобно сравнить их "дополнения до единицы".

Найдем, на сколько каждое число меньше единицы:

$1 - a = 1 - \frac{17}{19} = \frac{19-17}{19} = \frac{2}{19}$.

$1 - b = 1 - \frac{37}{39} = \frac{39-37}{39} = \frac{2}{39}$.

Теперь нужно сравнить дроби $\frac{2}{19}$ и $\frac{2}{39}$. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Поскольку $19 < 39$, то $\frac{2}{19} > \frac{2}{39}$.

Это означает, что от единицы для получения $a$ мы отнимаем большее число, чем для получения $b$. Значит, $a$ будет меньше, чем $b$.

Из $1 - a > 1 - b$ следует, что $-a > -b$, и, умножая на -1, получаем $a < b$.

Ответ: $a < b$.

г) Чтобы сравнить числа $a = -\frac{431}{114}$ и $b = -3,79$, представим дробь $a$ в виде десятичной.

Выполним деление 431 на 114:

$431 \div 114 \approx 3,7807...$

Для сравнения достаточно двух знаков после запятой, поэтому $\frac{431}{114} \approx 3,78$.

Таким образом, $a \approx -3,78$.

Теперь сравним отрицательные числа: $a \approx -3,78$ и $b = -3,79$.

Сравним их модули:

$|a| \approx 3,78$

$|b| = 3,79$

Так как $3,78 < 3,79$, то $|a| < |b|$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

4.9. Сравните числа a и b:

а) $a = 1 + \sqrt{5}$, $b = \sqrt{11}$;

б) $a = \sqrt{7} - \sqrt{19}$, $b = \sqrt{5} - \sqrt{21}$;

в) $a = \sqrt{29}$, $b = 1 + \sqrt{19}$;

г) $a = \sqrt{17} - \sqrt{59}$, $b = \sqrt{15} - \sqrt{61}$.

а) Для сравнения чисел $a = 1 + \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{11}$ возведем их в квадрат, так как оба числа положительны. Знак неравенства между квадратами будет таким же, как и между самими числами.
$a^2 = (1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$.
$b^2 = (\sqrt{11})^2 = 11$.
Теперь сравним $6 + 2\sqrt{5}$ и $11$. Вычтем 6 из обеих частей:
Сравним $2\sqrt{5}$ и $5$.
Возведем в квадрат обе части (они положительны):
$(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
$5^2 = 25$.
Так как $20 < 25$, то $2\sqrt{5} < 5$.
Следовательно, $6 + 2\sqrt{5} < 11$, что означает $a^2 < b^2$.
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, из $a^2 < b^2$ следует, что $a < b$.
Ответ: $a < b$.

б) Сравним числа $a = \sqrt{7} - \sqrt{19}$ и $b = \sqrt{5} - \sqrt{21}$.
Поскольку $7 < 19$ и $5 < 21$, оба числа $a$ и $b$ отрицательны.
Сравнение $ \sqrt{7} - \sqrt{19} $ и $ \sqrt{5} - \sqrt{21} $ равносильно сравнению $ \sqrt{7} + \sqrt{21} $ и $ \sqrt{5} + \sqrt{19} $.
Обозначим $A = \sqrt{7} + \sqrt{21}$ и $B = \sqrt{5} + \sqrt{19}$. Оба числа $A$ и $B$ положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
$A^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{21})^2 = 7 + 2\sqrt{7 \cdot 21} + 21 = 28 + 2\sqrt{147} = 28 + 2\sqrt{49 \cdot 3} = 28 + 14\sqrt{3}$.
$B^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{19})^2 = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 19} + 19 = 24 + 2\sqrt{95}$.
Теперь сравним $28 + 14\sqrt{3}$ и $24 + 2\sqrt{95}$. Это равносильно сравнению $4 + 14\sqrt{3}$ и $2\sqrt{95}$, или $2 + 7\sqrt{3}$ и $\sqrt{95}$.
Возведем обе части в квадрат:
$(2 + 7\sqrt{3})^2 = 4 + 28\sqrt{3} + (7\sqrt{3})^2 = 4 + 28\sqrt{3} + 147 = 151 + 28\sqrt{3}$.
$(\sqrt{95})^2 = 95$.
Очевидно, что $151 + 28\sqrt{3} > 95$.
Значит, $(2 + 7\sqrt{3})^2 > (\sqrt{95})^2$, и так как обе части положительны, $2 + 7\sqrt{3} > \sqrt{95}$.
Из этого следует, что $A^2 > B^2$, и $A > B$.
Таким образом, $\sqrt{7} + \sqrt{21} > \sqrt{5} + \sqrt{19}$, что означает $\sqrt{7} - \sqrt{19} > \sqrt{5} - \sqrt{21}$.
Ответ: $a > b$.

в) Для сравнения чисел $a = \sqrt{29}$ и $b = 1 + \sqrt{19}$ возведем их в квадрат, так как оба числа положительны.
$a^2 = (\sqrt{29})^2 = 29$.
$b^2 = (1 + \sqrt{19})^2 = 1^2 + 2\sqrt{19} + (\sqrt{19})^2 = 1 + 2\sqrt{19} + 19 = 20 + 2\sqrt{19}$.
Теперь сравним $29$ и $20 + 2\sqrt{19}$. Вычтем 20 из обеих частей:
Сравним $9$ и $2\sqrt{19}$.
Возведем в квадрат обе части (они положительны):
$9^2 = 81$.
$(2\sqrt{19})^2 = 4 \cdot 19 = 76$.
Так как $81 > 76$, то $9 > 2\sqrt{19}$.
Следовательно, $29 > 20 + 2\sqrt{19}$, что означает $a^2 > b^2$.
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, из $a^2 > b^2$ следует, что $a > b$.
Ответ: $a > b$.

г) Сравним числа $a = \sqrt{17} - \sqrt{59}$ и $b = \sqrt{15} - \sqrt{61}$.
Оба числа отрицательны, так как $\sqrt{17} < \sqrt{59}$ и $\sqrt{15} < \sqrt{61}$.
Сравнение $ \sqrt{17} - \sqrt{59} $ и $ \sqrt{15} - \sqrt{61} $ равносильно сравнению $ \sqrt{17} + \sqrt{61} $ и $ \sqrt{15} + \sqrt{59} $.
Обозначим $A = \sqrt{17} + \sqrt{61}$ и $B = \sqrt{15} + \sqrt{59}$. Оба числа $A$ и $B$ положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
$A^2 = (\sqrt{17} + \sqrt{61})^2 = 17 + 2\sqrt{17 \cdot 61} + 61 = 78 + 2\sqrt{1037}$.
$B^2 = (\sqrt{15} + \sqrt{59})^2 = 15 + 2\sqrt{15 \cdot 59} + 59 = 74 + 2\sqrt{885}$.
Теперь сравним $78 + 2\sqrt{1037}$ и $74 + 2\sqrt{885}$.
Так как $1037 > 885$, то $\sqrt{1037} > \sqrt{885}$.
Также очевидно, что $78 > 74$.
Складывая два больших числа, мы получим результат больше, чем при сложении двух меньших чисел. Таким образом, $78 + 2\sqrt{1037} > 74 + 2\sqrt{885}$.
Следовательно, $A^2 > B^2$, и так как $A, B > 0$, то $A > B$.
Это означает, что $\sqrt{17} + \sqrt{61} > \sqrt{15} + \sqrt{59}$, и, соответственно, $\sqrt{17} - \sqrt{59} > \sqrt{15} - \sqrt{61}$.
Ответ: $a > b$.

4.10. Докажите неравенство $ \frac{a}{b} \le \frac{a+n}{b+n} $, если $ 0 < a < b, n \ge 0 $.

Чтобы доказать неравенство $\frac{a}{b} \le \frac{a+n}{b+n}$, мы будем использовать равносильные преобразования.

Исходное неравенство:

$\frac{a}{b} \le \frac{a+n}{b+n}$

Согласно условиям задачи, $0 < a < b$ и $n \ge 0$. Из этого следует, что $b > 0$ и $b+n > 0$. Поскольку оба знаменателя ($b$ и $b+n$) положительны, мы можем умножить обе части неравенства на их произведение $b(b+n)$, не меняя знака неравенства:

$a(b+n) \le b(a+n)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях:

$ab + an \le ab + bn$

Вычтем $ab$ из обеих частей неравенства:

$an \le bn$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы сравнить с нулем:

$bn - an \ge 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(b-a) \ge 0$

Проверим справедливость этого последнего неравенства на основе данных условий:

1. Нам дано, что $n \ge 0$ (неотрицательное число).

2. Нам дано, что $0 < a < b$, что означает $b > a$, и следовательно, разность $b-a > 0$ (положительное число).

Произведение неотрицательного числа ($n$) и положительного числа ($b-a$) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $n(b-a) \ge 0$ является верным.

Поскольку мы пришли к верному неравенству с помощью равносильных преобразований (умножение на положительное число, вычитание, перенос слагаемых), исходное неравенство $\frac{a}{b} \le \frac{a+n}{b+n}$ также является верным при заданных условиях. Равенство достигается при $n=0$.

Ответ: Неравенство доказано.

4.11. На числовой прямой отмечены точки 0 и 1. При помощи циркуля и линейки постройте точки:

а) $1,4$;

б) $\sqrt{2}$;

в) $-\sqrt{10}$;

г) $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.

а) 1,4

Для построения точки 1,4, представим это число в виде обыкновенной дроби: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$. Построение будет основано на теореме Фалеса о пропорциональных отрезках.

1. Обозначим данную числовую прямую как $l$, а точки 0 и 1 как O и A соответственно. Таким образом, отрезок OA задает единичную длину.
2. Проведем из точки O луч $m$, не совпадающий с прямой $l$.
3. С помощью циркуля отложим на луче $m$ от точки O последовательно пять равных отрезков произвольной длины, получив точку B. Длина отрезка OB будет соответствовать 5 условным единицам.
4. Продолжая откладывать отрезки той же длины, отложим на луче $m$ от точки O семь таких же отрезков, получив точку C. Длина отрезка OC будет соответствовать 7 условным единицам.
5. Соединим точку B на луче $m$ с точкой A(1) на прямой $l$.
6. Через точку C на луче $m$ проведем прямую, параллельную отрезку BA. Эта прямая пересечет числовую прямую $l$ в некоторой точке X.
7. Согласно обобщенной теореме Фалеса, отрезки, отсекаемые параллельными прямыми на сторонах угла, пропорциональны: $\frac{OX}{OA} = \frac{OC}{OB}$. Подставляя известные значения, получаем: $\frac{OX}{1} = \frac{7}{5}$. Следовательно, длина отрезка OX равна $\frac{7}{5} = 1,4$.

Ответ: Точка X, построенная указанным способом, является искомой точкой 1,4 на числовой прямой.

б) $\sqrt{2}$

Для построения точки $\sqrt{2}$ воспользуемся теоремой Пифагора. Длина $\sqrt{2}$ является длиной гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1.

1. На числовой прямой $l$ у нас есть точки O(0) и A(1). Отрезок OA имеет длину 1.
2. В точке A(1) восставим перпендикуляр к прямой $l$.
3. На этом перпендикуляре отложим от точки A отрезок AB, равный по длине единичному отрезку OA. Для этого установим раствор циркуля равным OA, поместим острие в точку A и сделаем засечку на перпендикуляре, получив точку B. Таким образом, $AB = 1$.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB с прямым углом A. Его катеты OA и AB равны 1.
5. По теореме Пифагора, длина гипотенузы OB равна $\sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
6. Чтобы отметить точку $\sqrt{2}$ на числовой прямой, установим раствор циркуля равным длине отрезка OB, поместим острие циркуля в точку O(0) и проведем дугу до пересечения с положительной частью прямой $l$. Точка пересечения C и будет искомой точкой $\sqrt{2}$.

Ответ: Точка C, полученная как пересечение дуги окружности радиусом OB с центром в O и числовой прямой, является искомой точкой $\sqrt{2}$.

в) $-\sqrt{10}$

Сначала построим отрезок длиной $\sqrt{10}$, а затем отложим его от точки 0 в отрицательном направлении. Для построения длины $\sqrt{10}$ снова используем теорему Пифагора, заметив, что $10 = 3^2 + 1^2$.

1. На числовой прямой $l$ от точки O(0) отложим три раза единичный отрезок OA в положительном направлении. Получим точку B с координатой 3. Длина отрезка OB равна 3.
2. В точке B(3) восставим перпендикуляр к прямой $l$.
3. На этом перпендикуляре отложим от точки B отрезок BC, равный по длине единичному отрезку OA. Таким образом, $BC = 1$.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC с прямым углом B. Его катеты OB и BC равны 3 и 1 соответственно.
5. По теореме Пифагора, длина гипотенузы OC равна $\sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
6. Теперь у нас есть отрезок OC длиной $\sqrt{10}$. Чтобы построить точку $-\sqrt{10}$, установим раствор циркуля равным длине отрезка OC, поместим острие в точку O(0) и проведем дугу до пересечения с отрицательной частью прямой $l$. Точка пересечения D и будет искомой точкой $-\sqrt{10}$.

Ответ: Точка D, полученная как пересечение дуги окружности радиусом OC с центром в O и отрицательной полуосью, является искомой точкой $-\sqrt{10}$.

г) $\sqrt{2} - \sqrt{3}$

Для построения этой точки необходимо сначала построить отрезки длиной $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, а затем выполнить их вычитание на числовой прямой. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, результат будет отрицательным числом.

1. Построение длины $\sqrt{2}$. Как и в пункте б), строим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Гипотенуза этого треугольника будет иметь длину $\sqrt{2}$. Обозначим эту длину как $L_{\sqrt{2}}$.
2. Построение длины $\sqrt{3}$. Для построения длины $\sqrt{3}$ воспользуемся теоремой Пифагора, заметив, что $3 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$.
   • На числовой прямой отложим от точки O(0) отрезок длиной $\sqrt{2}$, получив точку P. Для этого можно использовать длину $L_{\sqrt{2}}$, найденную на предыдущем шаге.
   • В точке P восставим перпендикуляр к числовой прямой.
   • На этом перпендикуляре отложим от точки P единичный отрезок PQ.
   • В прямоугольном треугольнике OPQ гипотенуза OQ будет иметь длину $\sqrt{OP^2 + PQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}$. Обозначим эту длину как $L_{\sqrt{3}}$.
3. Построение точки $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.
   • С помощью циркуля отложим на числовой прямой от точки O(0) в положительном направлении отрезок, равный $L_{\sqrt{2}}$. Получим точку P с координатой $\sqrt{2}$.
   • Теперь из точки P нужно вычесть длину $L_{\sqrt{3}}$. Для этого установим раствор циркуля равным $L_{\sqrt{3}}$, поместим острие в точку P и проведем дугу, пересекающую числовую прямую в направлении точки O (т.е. в отрицательном направлении).
   • Точка пересечения Q и будет искомой точкой. Ее координата равна координате точки P минус длина $L_{\sqrt{3}}$, то есть $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.

Ответ: Точка Q, полученная путем откладывания от точки $\sqrt{2}$ отрезка длиной $\sqrt{3}$ в отрицательном направлении, является искомой точкой $\sqrt{2} - \sqrt{3}$.

4.12. a) На числовой прямой отмечены точки $ -3 $ и $ 1 $. При помощи циркуля и линейки постройте точки $ 0 $ и $ 5 $.

б) На числовой прямой отмечены точки $ -\sqrt{2} $ и $ 3 $. При помощи циркуля и линейки постройте точку $ 0 $.

а)

Даны точки $A$ с координатой $-3$ и $B$ с координатой $1$ на числовой прямой. Расстояние между ними равно $1 - (-3) = 4$ единичным отрезкам.

Построение точки 0:

Точка с координатой 0 является серединой отрезка, соединяющего точки с координатами $-1$ и $1$. Сначала нам нужно построить точку с координатой $-1$. Точка $-1$ является серединой отрезка, соединяющего данные точки $-3$ и $1$.

1. Построим середину отрезка $AB$. Для этого используем циркуль и линейку для построения серединного перпендикуляра.
   • Проведем две окружности с одинаковым радиусом (например, равным длине отрезка $AB$) с центрами в точках $A(-3)$ и $B(1)$.
   • Через две точки пересечения этих окружностей проведем прямую.
   • Точка пересечения этой прямой с числовой прямой является серединой отрезка $AB$. Обозначим эту точку $M$. Ее координата равна $\frac{-3+1}{2} = -1$.
2. Теперь у нас есть отрезок $MB$ с концами в точках $M(-1)$ и $B(1)$. Точка 0 является серединой этого отрезка.
3. Повторим процедуру построения середины для отрезка $MB$. Точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $MB$ с числовой прямой и будет искомой точкой $O$ с координатой $\frac{-1+1}{2} = 0$.

Построение точки 5:

Нам нужно отложить от точки $B(1)$ вправо отрезок, равный 4 единичным отрезкам. Длина исходного отрезка $AB$ (от $-3$ до $1$) как раз равна $4$.

1. С помощью циркуля измерим расстояние между точками $A(-3)$ и $B(1)$.
2. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $B(1)$.
3. Проведем дугу, которая пересечет числовую прямую справа от точки $B$.
4. Точка пересечения будет иметь координату $1 + 4 = 5$. Это и есть искомая точка.

Ответ: Точка 0 строится путем двукратного деления отрезка пополам: сначала отрезка [-3, 1], чтобы получить точку -1, а затем отрезка [-1, 1]. Точка 5 строится путем откладывания от точки 1 отрезка, равного по длине расстоянию между точками -3 и 1.

б)

Даны точки $A$ с координатой $-\sqrt{2}$ и $B$ с координатой $3$. Требуется построить точку $O$ с координатой $0$.

Точка $O(0)$ делит отрезок $AB$ в отношении длин $|AO|:|OB| = |0 - (-\sqrt{2})|:|3-0| = \sqrt{2}:3$. Для построения такой точки воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (о пропорциональных отрезках).

1. Из точки $A(-\sqrt{2})$ проведем произвольный луч, не лежащий на числовой прямой.
2. Выберем произвольный единичный отрезок $u$ (зафиксируем любой удобный раствор циркуля).
3. На построенном луче от точки $A$ необходимо отложить последовательно отрезки, длины которых пропорциональны числам $\sqrt{2}$ и $3$. Отложим отрезки длиной $u\sqrt{2}$ и $3u$.
4. Для построения отрезка длиной $u\sqrt{2}$:
   • На луче от точки $A$ отложим отрезок $AU$ длиной $u$.
   • В точке $U$ восстановим перпендикуляр к лучу.
   • На этом перпендикуляре отложим отрезок $UV$ длиной $u$.
   • По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $AUV$ гипотенуза $AV$ будет иметь длину $\sqrt{u^2 + u^2} = u\sqrt{2}$.
   • С помощью циркуля перенесем длину отрезка $AV$ на наш луч, отложив от точки $A$. Получим точку $P$ на луче такую, что $AP = u\sqrt{2}$.
5. Далее от точки $P$ на том же луче отложим отрезок длиной $3u$. Для этого трижды последовательно отложим единичный отрезок $u$. Получим точку $Q$ такую, что $PQ = 3u$.
6. Соединим точку $Q$ на луче с точкой $B(3)$ на числовой прямой. Получим отрезок $QB$.
7. Через точку $P$ на луче проведем прямую, параллельную отрезку $QB$. (Это стандартное построение, например, методом копирования угла $\angle AQB$ в вершине $P$).
8. Точка пересечения этой прямой с исходным отрезком $AB$ и будет искомой точкой $O$.

Обоснование: По теореме о пропорциональных отрезках, прямая, проходящая через $P$ и параллельная $QB$, делит отрезок $AB$ в том же отношении, в каком точка $P$ делит отрезок $AQ$. То есть, $\frac{|AO|}{|OB|} = \frac{|AP|}{|PQ|} = \frac{u\sqrt{2}}{3u} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.Если координата построенной точки $x$, то $|x-(-\sqrt{2})|:|3-x|=\sqrt{2}:3$. Так как точка лежит между $-\sqrt{2}$ и $3$, то $\frac{x+\sqrt{2}}{3-x}=\frac{\sqrt{2}}{3}$. Решая это уравнение, получаем $3(x+\sqrt{2}) = \sqrt{2}(3-x)$, откуда $3x+3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2}x$, что приводит к $(3+\sqrt{2})x=0$. Следовательно, $x=0$. Построение верное.

Ответ: Точка 0 строится как точка, делящая отрезок $[-\sqrt{2}, 3]$ в отношении $\sqrt{2}:3$, с помощью построения на вспомогательном луче отрезков, пропорциональных $\sqrt{2}$ и $3$, и применения теоремы о пропорциональных отрезках.

4.13. a) Докажите, что в интервале (8; 9) нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;

б) докажите, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству $x^2 < 5$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

а) Доказательство для данного утверждения проводится методом от противного, отдельно для наименьшего и наибольшего числа.

Сначала докажем, что в интервале $(8; 9)$ нет наименьшего числа. Предположим, что такое число существует, и обозначим его буквой $m$. По определению принадлежности к интервалу, для числа $m$ должно выполняться неравенство $8 < m < 9$. Рассмотрим число $m'$, равное среднему арифметическому чисел $8$ и $m$: $m' = \frac{8+m}{2}$. Поскольку $m$ больше $8$, их среднее арифметическое будет больше $8$, но меньше $m$. То есть, справедливо двойное неравенство $8 < m' < m$. Это означает, что мы нашли число $m'$, которое также находится в интервале $(8; 9)$, но при этом оно меньше $m$. Данный факт противоречит нашему первоначальному предположению, что $m$ — это наименьшее число в интервале. Следовательно, наименьшего числа в интервале $(8; 9)$ не существует.

Теперь докажем отсутствие наибольшего числа. Предположим, что в интервале $(8; 9)$ существует наибольшее число, и обозначим его буквой $M$. Для него выполняется неравенство $8 < M < 9$. Рассмотрим число $M'$, равное среднему арифметическому чисел $M$ и $9$: $M' = \frac{M+9}{2}$. Поскольку $M$ меньше $9$, их среднее арифметическое будет меньше $9$, но больше $M$. То есть, справедливо двойное неравенство $M < M' < 9$. Это означает, что мы нашли число $M'$, которое также находится в интервале $(8; 9)$, но при этом оно больше $M$. Это противоречит нашему предположению, что $M$ — это наибольшее число в интервале. Следовательно, наибольшего числа в интервале $(8; 9)$ также не существует.

Ответ: Доказано, что в интервале $(8; 9)$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

б) Сначала определим множество чисел, которые удовлетворяют неравенству $x^2 < 5$.

Неравенство $x^2 < 5$ эквивалентно неравенству $|x| < \sqrt{5}$, что в свою очередь означает $-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$. Таким образом, мы имеем дело с открытым интервалом $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$. Задача сводится к доказательству того, что в этом интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Доказательство полностью аналогично предыдущему пункту и также проводится методом от противного.

Предположим, что существует наименьшее число в этом множестве, обозначим его $m$. Тогда для него выполняется неравенство $-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$. Рассмотрим число $m' = \frac{-\sqrt{5} + m}{2}$. Так как $m$ больше $-\sqrt{5}$, их среднее арифметическое $m'$ будет удовлетворять неравенству $-\sqrt{5} < m' < m$. Мы нашли число $m'$, которое принадлежит множеству (интервалу $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$), но при этом меньше $m$. Это противоречит предположению, что $m$ — наименьшее число. Значит, наименьшего числа в данном множестве нет.

Предположим, что существует наибольшее число в этом множестве, обозначим его $M$. Тогда для него выполняется неравенство $-\sqrt{5} < M < \sqrt{5}$. Рассмотрим число $M' = \frac{M + \sqrt{5}}{2}$. Так как $M$ меньше $\sqrt{5}$, их среднее арифметическое $M'$ будет удовлетворять неравенству $M < M' < \sqrt{5}$. Мы нашли число $M'$, которое принадлежит данному множеству, но при этом больше $M$. Это противоречит предположению, что $M$ — наибольшее число. Значит, наибольшего числа в данном множестве нет.

Ответ: Среди чисел, удовлетворяющих неравенству $x^2 < 5$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

04.14. Число $m$ называют точной верхней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \le m$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ ($\varepsilon$ — буква греческого алфавита эпсилон) существует такое число $x_{\varepsilon} \in X$, что $x_{\varepsilon} > m - \varepsilon$. Найдите точную верхнюю границу множества $X$, если:

a) $X = [0; 1];$

б) $X = [0; 1);$

в) $X = \left\{x \middle| x = \frac{1}{n}, n \in N\right\};$

г) $X = \left\{x \middle| x = \frac{1+5n}{n}, n \in N\right\}.$

а) Для множества $X = [0; 1]$ точной верхней границей (супремумом), обозначаемой $m$, является число 1. Проверим это по определению, данным в условии задачи.

1. Условие верхней границы: для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \le m$.Для множества $X = [0; 1]$ и $m=1$ это условие выполняется, так как любой элемент $x$ из этого отрезка не превосходит 1, то есть $x \le 1$.

2. Условие точности (наименьшей верхней границы): для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое число $x_{\varepsilon} \in X$, что $x_{\varepsilon} > m - \varepsilon$.В нашем случае, для $m=1$ нужно показать, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется $x_{\varepsilon} \in [0; 1]$, такой что $x_{\varepsilon} > 1 - \varepsilon$. Мы можем выбрать $x_{\varepsilon} = 1$. Этот элемент принадлежит множеству $X = [0; 1]$, и неравенство $1 > 1 - \varepsilon$ справедливо для любого положительного $\varepsilon$.

Оба условия выполнены, следовательно, точная верхняя граница множества $X = [0; 1]$ равна 1.

Ответ: 1

б) Для множества $X = [0; 1)$ точной верхней границей (супремумом) является число $m=1$.

1. Условие верхней границы: для любого $x \in [0; 1)$ по определению полуинтервала выполняется $x < 1$, что означает $x \le 1$. Таким образом, $m=1$ является верхней границей множества $X$.

2. Условие точности: для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти $x_{\varepsilon} \in [0; 1)$ такой, что $x_{\varepsilon} > 1 - \varepsilon$.Рассмотрим произвольное $\varepsilon > 0$. Нам нужно найти элемент $x_{\varepsilon}$ в интервале $(1 - \varepsilon, 1)$.
- Если $\varepsilon \ge 1$, то $1 - \varepsilon \le 0$. Мы можем взять любое число из $X$, например, $x_{\varepsilon} = 0.5$. Тогда $x_{\varepsilon} \in [0; 1)$ и $0.5 > 1 - \varepsilon$.
- Если $0 < \varepsilon < 1$, то $0 < 1 - \varepsilon < 1$. В качестве $x_{\varepsilon}$ можно взять, например, середину интервала $(1-\varepsilon, 1)$, то есть $x_{\varepsilon} = \frac{(1-\varepsilon)+1}{2} = 1 - \frac{\varepsilon}{2}$. Так как $0 < \varepsilon < 1$, то $0 < \frac{\varepsilon}{2} < \frac{1}{2}$, и $1/2 < 1 - \frac{\varepsilon}{2} < 1$. Следовательно, $x_{\varepsilon} \in [0; 1)$. При этом $1 - \frac{\varepsilon}{2} > 1 - \varepsilon$, так как $\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$.Таким образом, для любого $\varepsilon > 0$ существует требуемый элемент.

Оба условия выполнены, значит, точная верхняя граница множества $X = [0; 1)$ равна 1.

Ответ: 1

в) Рассмотрим множество $X = \left\{x \left| x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}\right.\right\}$. Элементы этого множества образуют последовательность: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$. Наибольший элемент этого множества равен 1 (при $n=1$). Покажем, что точная верхняя граница $m=1$.

1. Условие верхней границы: для любого $n \in \mathbb{N}$ (натуральные числа: $1, 2, 3, \dots$) выполняется $n \ge 1$, откуда следует, что $\frac{1}{n} \le 1$. Значит, все элементы множества $X$ не превосходят 1. $m=1$ — верхняя граница.

2. Условие точности: для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти $x_{\varepsilon} \in X$ такой, что $x_{\varepsilon} > 1 - \varepsilon$. Мы можем выбрать $x_{\varepsilon}$, соответствующий $n=1$, то есть $x_{\varepsilon} = 1$. Этот элемент принадлежит множеству $X$. Неравенство $1 > 1 - \varepsilon$ выполняется для любого $\varepsilon > 0$.

Оба условия выполнены, следовательно, точная верхняя граница множества $X$ равна 1.

Ответ: 1

г) Рассмотрим множество $X = \left\{x \left| x = \frac{1 + 5n}{n}, n \in \mathbb{N}\right.\right\}$. Упростим выражение для элемента множества: $x = \frac{1}{n} + \frac{5n}{n} = 5 + \frac{1}{n}$.

Элементы множества: при $n=1, x_1=6$; при $n=2, x_2=5.5$; при $n=3, x_3=5+\frac{1}{3}$, и так далее. Это убывающая последовательность, наибольший элемент которой равен 6. Покажем, что точная верхняя граница $m=6$.

1. Условие верхней границы: для любого $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$, поэтому $0 < \frac{1}{n} \le 1$. Тогда $5 < 5 + \frac{1}{n} \le 5+1=6$. Таким образом, для любого $x \in X$ выполняется $x \le 6$. $m=6$ — верхняя граница.

2. Условие точности: для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти $x_{\varepsilon} \in X$ такой, что $x_{\varepsilon} > 6 - \varepsilon$. Мы можем выбрать элемент, соответствующий $n=1$, то есть $x_{\varepsilon} = 6$. Этот элемент принадлежит множеству $X$. Неравенство $6 > 6 - \varepsilon$ выполняется для любого $\varepsilon > 0$.

Оба условия выполнены, следовательно, точная верхняя граница множества $X$ равна 6.

Ответ: 6