Страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.20. Расположите на числовой прямой числа $a, b, 0$, если:

а) $\begin{cases} ab < 0, \\ a + b < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} ab > 0, \\ a + b > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} ab < 0, \\ a + b > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} ab > 0, \\ a + b < 0. \end{cases}$

Проанализируем систему неравенств. Неравенство $ab < 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют разные знаки, следовательно, $0$ находится между ними. Неравенство $a + b < 0$ означает, что сумма чисел отрицательна. Для чисел с разными знаками это возможно, только если модуль отрицательного числа больше модуля положительного. Это значит, что на числовой прямой отрицательное число находится дальше от нуля, чем положительное.

Ответ: Возможны два порядка: $a, 0, b$ или $b, 0, a$. Отрицательное из чисел ($a$ или $b$) имеет больший модуль.

Проанализируем систему неравенств. Неравенство $ab > 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак, поэтому они находятся по одну сторону от нуля. Неравенство $a + b > 0$ означает, что их сумма положительна. Это возможно, только если оба числа, $a$ и $b$, положительны. Их взаимное расположение из данных условий не следует.

Ответ: Возможны два порядка: $0, a, b$ или $0, b, a$. Оба числа ($a$ и $b$) положительны.

Проанализируем систему неравенств. Неравенство $ab < 0$ означает, что $a$ и $b$ имеют разные знаки, и $0$ находится между ними. Неравенство $a + b > 0$ означает, что сумма чисел положительна. Для чисел с разными знаками это возможно, только если модуль положительного числа больше модуля отрицательного. Это значит, что на числовой прямой положительное число находится дальше от нуля, чем отрицательное.

Ответ: Возможны два порядка: $a, 0, b$ или $b, 0, a$. Положительное из чисел ($a$ или $b$) имеет больший модуль.

Проанализируем систему неравенств. Неравенство $ab > 0$ означает, что $a$ и $b$ имеют одинаковый знак. Неравенство $a + b < 0$ означает, что их сумма отрицательна. Это возможно, только если оба числа, $a$ и $b$, отрицательны. Следовательно, они оба находятся левее нуля. Их взаимное расположение из данных условий не следует.

Ответ: Возможны два порядка: $a, b, 0$ или $b, a, 0$. Оба числа ($a$ и $b$) отрицательны.

4.21. Пусть $\varepsilon > 0$. Множество всех точек $x$ числовой прямой, удовлетворяющих неравенству $a - \varepsilon < x < a + \varepsilon$, называют $\varepsilon$-окрестностью точки $a$, при этом точки $a - \varepsilon$ и $a + \varepsilon$ называют граничными точками $\varepsilon$-окрестности точки $a$. При каких $\varepsilon > 0$ точка 12,35 лежит в $\varepsilon$-окрестности точки:

а) 12,5;

б) 12,2?

Согласно определению, точка $x$ лежит в $\varepsilon$-окрестности точки $a$, если выполняется двойное неравенство $a - \varepsilon < x < a + \varepsilon$. Это неравенство можно переписать в более удобном для вычислений виде: $|x - a| < \varepsilon$. Это означает, что расстояние на числовой прямой между точками $x$ и $a$ должно быть меньше $\varepsilon$. Используем это условие для решения обоих пунктов задачи, учитывая, что по условию $\varepsilon > 0$.

а)

В этом пункте нам нужно определить, при каких $\varepsilon > 0$ точка $x = 12,35$ лежит в $\varepsilon$-окрестности точки $a = 12,5$.

Подставим заданные значения $x$ и $a$ в неравенство $|x - a| < \varepsilon$:

$|12,35 - 12,5| < \varepsilon$

Вычислим значение выражения в модуле, которое представляет собой расстояние между точками:

$|-0,15| < \varepsilon$

Раскроем модуль:

$0,15 < \varepsilon$

Таким образом, точка $12,35$ будет лежать в $\varepsilon$-окрестности точки $12,5$ при любом значении $\varepsilon$, которое строго больше $0,15$.

Ответ: $\varepsilon > 0,15$.

б)

Здесь нам нужно определить, при каких $\varepsilon > 0$ точка $x = 12,35$ лежит в $\varepsilon$-окрестности точки $a = 12,2$.

Действуем аналогично предыдущему пункту, подставляя новые значения в неравенство $|x - a| < \varepsilon$:

$|12,35 - 12,2| < \varepsilon$

Вычислим расстояние между точками:

$|0,15| < \varepsilon$

Раскроем модуль:

$0,15 < \varepsilon$

Следовательно, точка $12,35$ будет лежать в $\varepsilon$-окрестности точки $12,2$ при любом значении $\varepsilon$, которое строго больше $0,15$.

Ответ: $\varepsilon > 0,15$.

4.22. Точки $x$ и $y$ являются граничными точками некоторой $\epsilon$-окрестности. Найдите $\epsilon$, если:

а) $x = 12,5$, $y = 12,7$;

б) $x = 32,31$, $y = 31,32$;

в) $x = -2,9$, $y = 3,3$;

г) $x = -31$, $y = -29,8$.

?-окрестностью точки $a$ называется открытый интервал $(a-?, a+?)$, где $? > 0$. Точки $x$ и $y$ являются граничными точками (концами) этой окрестности. Длина такого интервала, с одной стороны, равна расстоянию между его концами, то есть $|x-y|$. С другой стороны, длина интервала равна $(a+?) - (a-?) = 2?$. Приравнивая эти два выражения для длины, получаем формулу для нахождения $?$:
$? = \frac{|x-y|}{2}$.

а) Даны граничные точки $x = 12,5$ и $y = 12,7$. Подставим их значения в формулу:
$? = \frac{|12,7 - 12,5|}{2} = \frac{|0,2|}{2} = \frac{0,2}{2} = 0,1$.
Ответ: $? = 0,1$.

б) Даны граничные точки $x = 32,31$ и $y = 32,32$. Подставим их значения в формулу:
$? = \frac{|32,32 - 32,31|}{2} = \frac{|0,01|}{2} = \frac{0,01}{2} = 0,005$.
Ответ: $? = 0,005$.

в) Даны граничные точки $x = -2,9$ и $y = 3,3$. Подставим их значения в формулу:
$? = \frac{|3,3 - (-2,9)|}{2} = \frac{|3,3 + 2,9|}{2} = \frac{6,2}{2} = 3,1$.
Ответ: $? = 3,1$.

г) Даны граничные точки $x = -31$ и $y = -29,8$. Подставим их значения в формулу:
$? = \frac{|-29,8 - (-31)|}{2} = \frac{|-29,8 + 31|}{2} = \frac{|1,2|}{2} = \frac{1,2}{2} = 0,6$.
Ответ: $? = 0,6$.

4.23. Известно, что $2,1 < a < 2,2$, $0 < b < 0,1$. Определите, в каких границах лежит число $c$:

а) $c = a + b$;

б) $c = 3a - 5b$;

в) $c = ab$;

г) $c = \frac{a}{b}$.

Даны интервалы для чисел $a$ и $b$:
$2,1 < a < 2,2$
$0 < b < 0,1$

Необходимо определить границы для числа $c$ в каждом из следующих случаев.

а) $c = a + b$

Для нахождения границ суммы $c = a + b$ необходимо сложить соответствующие части неравенств. Складывать неравенства одного знака можно почленно.

Нижняя граница для $c$ находится как сумма нижних границ для $a$ и $b$: $2,1 + 0 = 2,1$.

Верхняя граница для $c$ находится как сумма верхних границ для $a$ и $b$: $2,2 + 0,1 = 2,3$.

Таким образом, получаем следующее двойное неравенство:
$2,1 + 0 < a + b < 2,2 + 0,1$
$2,1 < c < 2,3$

Ответ: $2,1 < c < 2,3$.

б) $c = 3a - 5b$

Сначала найдем границы для выражений $3a$ и $5b$.

Умножим неравенство $2,1 < a < 2,2$ на 3:
$3 \cdot 2,1 < 3a < 3 \cdot 2,2$
$6,3 < 3a < 6,6$

Умножим неравенство $0 < b < 0,1$ на 5:
$5 \cdot 0 < 5b < 5 \cdot 0,1$
$0 < 5b < 0,5$

Чтобы найти границы разности $c = 3a - 5b$, необходимо из наименьшего значения уменьшаемого ($3a$) вычесть наибольшее значение вычитаемого ($5b$) для получения нижней границы, и из наибольшего значения уменьшаемого вычесть наименьшее значение вычитаемого для получения верхней границы.

Нижняя граница для $c$: $6,3 - 0,5 = 5,8$.

Верхняя граница для $c$: $6,6 - 0 = 6,6$.

Итак, границы для $c$:
$5,8 < c < 6,6$

Ответ: $5,8 < c < 6,6$.

в) $c = ab$

Так как все значения в данных неравенствах ($2,1 < a < 2,2$ и $0 < b < 0,1$) положительны, мы можем почленно перемножить их, чтобы найти границы для произведения $c = ab$.

Нижняя граница для $c$ равна произведению нижних границ $a$ и $b$: $2,1 \cdot 0 = 0$.

Верхняя граница для $c$ равна произведению верхних границ $a$ и $b$: $2,2 \cdot 0,1 = 0,22$.

В результате получаем:
$2,1 \cdot 0 < ab < 2,2 \cdot 0,1$
$0 < c < 0,22$

Ответ: $0 < c < 0,22$.

г) $c = \frac{a}{b}$

Для нахождения границ частного $c = \frac{a}{b}$ при положительных $a$ и $b$, нужно:
1. Для нижней границы: разделить наименьшее значение числителя ($a$) на наибольшее значение знаменателя ($b$).
2. Для верхней границы: разделить наибольшее значение числителя ($a$) на наименьшее значение знаменателя ($b$).

Нижняя граница для $c$:
$\frac{\min(a)}{\max(b)} = \frac{2,1}{0,1} = 21$

Верхняя граница для $c$:
$\frac{\max(a)}{\min(b)}$
Знаменатель $b$ ограничен неравенством $0 < b < 0,1$, то есть $b$ может быть сколь угодно малым положительным числом. Когда знаменатель положительной дроби стремится к нулю, сама дробь стремится к плюс бесконечности ($+\infty$).

Следовательно, у величины $c$ нет конечной верхней границы. Неравенство для $c$ будет иметь вид:
$c > 21$

Ответ: $c > 21$ (или $21 < c < +\infty$).

5.1. Найдите модуль числа:

a) $ |1 - \sqrt{2}|; $

б) $ |\sqrt{3} - \sqrt{2}|; $

в) $ |2,2 - \sqrt{5}|; $

г) $ |\sqrt{6} - 2,5|. $

По определению, модуль (или абсолютная величина) числа $|x|$ равен самому числу, если оно неотрицательное, и противоположенному числу, если оно отрицательное.
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$
Чтобы найти модуль выражения, нужно определить знак этого выражения.

а) $|1 - \sqrt{2}|$

Сначала определим знак выражения $1 - \sqrt{2}$. Для этого сравним числа $1$ и $\sqrt{2}$.
Мы знаем, что $1 = \sqrt{1}$. Так как $1 < 2$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2}$, а значит $1 < \sqrt{2}$.
Следовательно, разность $1 - \sqrt{2}$ отрицательна.
По определению модуля для отрицательного числа: $|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

б) $|\sqrt{3} - \sqrt{2}|$

Определим знак выражения $\sqrt{3} - \sqrt{2}$. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.
Так как функция $y = \sqrt{x}$ возрастающая, и $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.
Следовательно, разность $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ положительна.
По определению модуля для положительного числа: $|\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

в) $|2,2 - \sqrt{5}|$

Определим знак выражения $2,2 - \sqrt{5}$. Для этого сравним числа $2,2$ и $\sqrt{5}$.
Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты:
$(2,2)^2 = 4,84$
$(\sqrt{5})^2 = 5$
Поскольку $4,84 < 5$, то и $2,2 < \sqrt{5}$.
Следовательно, разность $2,2 - \sqrt{5}$ отрицательна.
По определению модуля: $|2,2 - \sqrt{5}| = -(2,2 - \sqrt{5}) = -2,2 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 2,2$.
Ответ: $\sqrt{5} - 2,2$.

г) $|\sqrt{6} - 2,5|$

Определим знак выражения $\sqrt{6} - 2,5$. Сравним числа $\sqrt{6}$ и $2,5$.
Возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\sqrt{6})^2 = 6$
$(2,5)^2 = 6,25$
Поскольку $6 < 6,25$, то и $\sqrt{6} < 2,5$.
Следовательно, разность $\sqrt{6} - 2,5$ отрицательна.
По определению модуля: $|\sqrt{6} - 2,5| = -(\sqrt{6} - 2,5) = -\sqrt{6} + 2,5 = 2,5 - \sqrt{6}$.
Ответ: $2,5 - \sqrt{6}$.

5.2. Используя определение модуля, запишите выражение без знака модуля:

a) $|x - 5|$;

б) $|x - 5| + |x + 8|$;

в) $|x - 5| - |4x - 5|$;

г) $|x - 5| \cdot (x + 3)$.

а) $|x - 5|$

По определению модуля числа: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Применим это определение к выражению $|x - 5|$.

1. Если подмодульное выражение $x - 5$ неотрицательно, то есть $x - 5 \ge 0$, что равносильно $x \ge 5$, то $|x - 5| = x - 5$.

2. Если подмодульное выражение $x - 5$ отрицательно, то есть $x - 5 < 0$, что равносильно $x < 5$, то $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.

Таким образом, выражение можно записать в виде кусочно-заданной функции:

$|x - 5| = \begin{cases} x - 5, & \text{при } x \ge 5 \\ 5 - x, & \text{при } x < 5 \end{cases}$

Ответ: $|x - 5| = \begin{cases} x - 5, & \text{при } x \ge 5 \\ 5 - x, & \text{при } x < 5 \end{cases}$.

б) $|x - 5| + |x + 8|$

В этом выражении два модуля. Чтобы раскрыть их, нужно найти точки, в которых подмодульные выражения равны нулю. Эти точки разделят числовую ось на интервалы, в каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны.

1. Найдём нули подмодульных выражений:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 8 = 0 \implies x = -8$

2. Отметим точки $-8$ и $5$ на числовой оси. Они разбивают её на три промежутка: $(-\infty, -8)$, $[-8, 5)$ и $[5, +\infty)$. Раскроем модули на каждом из этих промежутков.

Случай 1: $x < -8$.
На этом промежутке $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Также $x + 8 < 0$, поэтому $|x + 8| = -(x + 8) = -x - 8$.
Выражение принимает вид: $(5 - x) + (-x - 8) = 5 - x - x - 8 = -2x - 3$.

Случай 2: $-8 \le x < 5$.
На этом промежутке $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = 5 - x$.
А $x + 8 \ge 0$, поэтому $|x + 8| = x + 8$.
Выражение принимает вид: $(5 - x) + (x + 8) = 5 - x + x + 8 = 13$.

Случай 3: $x \ge 5$.
На этом промежутке $x - 5 \ge 0$, поэтому $|x - 5| = x - 5$.
И $x + 8 > 0$, поэтому $|x + 8| = x + 8$.
Выражение принимает вид: $(x - 5) + (x + 8) = x - 5 + x + 8 = 2x + 3$.

Объединяя все случаи, получаем:

$|x - 5| + |x + 8| = \begin{cases} -2x - 3, & \text{при } x < -8 \\ 13, & \text{при } -8 \le x < 5 \\ 2x + 3, & \text{при } x \ge 5 \end{cases}$

Ответ: $|x - 5| + |x + 8| = \begin{cases} -2x - 3, & \text{при } x < -8 \\ 13, & \text{при } -8 \le x < 5 \\ 2x + 3, & \text{при } x \ge 5 \end{cases}$.

в) $|x - 5| - |4x - 5|$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Найдём нули подмодульных выражений.

1. Нули подмодульных выражений:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$4x - 5 = 0 \implies 4x = 5 \implies x = \frac{5}{4}$

2. Точки $\frac{5}{4}$ и $5$ разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, \frac{5}{4})$, $[\frac{5}{4}, 5)$ и $[5, +\infty)$.

Случай 1: $x < \frac{5}{4}$.
На этом промежутке $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Также $4x - 5 < 0$, поэтому $|4x - 5| = -(4x - 5) = 5 - 4x$.
Выражение принимает вид: $(5 - x) - (5 - 4x) = 5 - x - 5 + 4x = 3x$.

Случай 2: $\frac{5}{4} \le x < 5$.
На этом промежутке $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = 5 - x$.
А $4x - 5 \ge 0$, поэтому $|4x - 5| = 4x - 5$.
Выражение принимает вид: $(5 - x) - (4x - 5) = 5 - x - 4x + 5 = 10 - 5x$.

Случай 3: $x \ge 5$.
На этом промежутке $x - 5 \ge 0$, поэтому $|x - 5| = x - 5$.
И $4x - 5 > 0$, поэтому $|4x - 5| = 4x - 5$.
Выражение принимает вид: $(x - 5) - (4x - 5) = x - 5 - 4x + 5 = -3x$.

Объединяя все случаи, получаем:

$|x - 5| - |4x - 5| = \begin{cases} 3x, & \text{при } x < \frac{5}{4} \\ 10 - 5x, & \text{при } \frac{5}{4} \le x < 5 \\ -3x, & \text{при } x \ge 5 \end{cases}$

Ответ: $|x - 5| - |4x - 5| = \begin{cases} 3x, & \text{при } x < \frac{5}{4} \\ 10 - 5x, & \text{при } \frac{5}{4} \le x < 5 \\ -3x, & \text{при } x \ge 5 \end{cases}$.

г) $|x - 5| \cdot (x + 3)$

В этом выражении только один модуль $|x - 5|$. Раскроем его, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $x - 5$.

Точка, в которой подмодульное выражение меняет знак: $x - 5 = 0 \implies x = 5$.

Случай 1: $x \ge 5$.
В этом случае $x - 5 \ge 0$, поэтому $|x - 5| = x - 5$.
Выражение принимает вид: $(x - 5)(x + 3)$.
Раскроем скобки: $x^2 + 3x - 5x - 15 = x^2 - 2x - 15$.

Случай 2: $x < 5$.
В этом случае $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Выражение принимает вид: $(5 - x)(x + 3)$.
Раскроем скобки: $5x + 15 - x^2 - 3x = -x^2 + 2x + 15$.

Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию:

$|x - 5| \cdot (x + 3) = \begin{cases} x^2 - 2x - 15, & \text{при } x \ge 5 \\ -x^2 + 2x + 15, & \text{при } x < 5 \end{cases}$

Ответ: $|x - 5| \cdot (x + 3) = \begin{cases} x^2 - 2x - 15, & \text{при } x \ge 5 \\ -x^2 + 2x + 15, & \text{при } x < 5 \end{cases}$.

5.3. При каких значениях x верно равенство:

а) $|x| = x;$

б) $|x - 7| = x - 7;$

в) $|x| = -x;$

г) $|x^2 - 7x + 12| = 7x - x^2 - 12?$

а) Равенство вида $|A| = A$ верно тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то есть $A \ge 0$. В данном случае $A = x$. Следовательно, равенство $|x| = x$ верно при всех неотрицательных значениях $x$.
Неравенство: $x \ge 0$.
Решение в виде промежутка: $x \in [0; +\infty)$.
Ответ: $x \ge 0$ или $x \in [0; +\infty)$.

б) Данное равенство $|x - 7| = x - 7$ также имеет вид $|A| = A$, где $A = x - 7$. Оно будет верным, если подмодульное выражение $x - 7$ будет неотрицательным.
Решим неравенство:
$x - 7 \ge 0$
$x \ge 7$
Решение в виде промежутка: $x \in [7; +\infty)$.
Ответ: $x \ge 7$ или $x \in [7; +\infty)$.

в) Равенство вида $|A| = -A$ верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $A \le 0$. В данном случае $A = x$. Следовательно, равенство $|x| = -x$ верно при всех неположительных значениях $x$.
Неравенство: $x \le 0$.
Решение в виде промежутка: $x \in (-\infty; 0]$.
Ответ: $x \le 0$ или $x \in (-\infty; 0]$.

г) Заметим, что правая часть равенства $|x^2 - 7x + 12| = 7x - x^2 - 12$ является противоположным выражением для подмодульного выражения: $7x - x^2 - 12 = -(x^2 - 7x + 12)$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде $|A| = -A$, где $A = x^2 - 7x + 12$.
Это равенство верно, когда подмодульное выражение неположительно:
$x^2 - 7x + 12 \le 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неположительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $3 \le x \le 4$.
Решение в виде промежутка: $x \in [3; 4]$.
Ответ: $3 \le x \le 4$ или $x \in [3; 4]$.

5.4. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$ числовой прямой:

a) $A(7)$ и $B(12);

б) $A(-17)$ и $B(-62);

в) $A(-7)$ и $B(12);

г) $O(0)$ и $B(-12).

Чтобы найти расстояние между двумя точками на числовой прямой, нужно из большей координаты вычесть меньшую, или, что то же самое, найти модуль разности их координат. Формула для вычисления расстояния $d$ между точками с координатами $x_A$ и $x_B$ выглядит так: $d = |x_B - x_A|$.

а) A(7) и B(12)

Координата точки A равна 7, а координата точки B равна 12. Найдем расстояние между ними:

$d = |12 - 7| = |5| = 5$.

Поскольку $12 > 7$, можно также вычесть из большей координаты меньшую: $12 - 7 = 5$.

Ответ: 5

б) A(-17) и B(-62)

Координата точки A равна -17, а координата точки B равна -62. Найдем расстояние между ними:

$d = |-62 - (-17)| = |-62 + 17| = |-45| = 45$.

Здесь координата $-17$ больше, чем $-62$. Вычтем из большей координаты меньшую: $-17 - (-62) = -17 + 62 = 45$.

Ответ: 45

в) A(-7) и B(12)

Координата точки A равна -7, а координата точки B равна 12. Найдем расстояние между ними:

$d = |12 - (-7)| = |12 + 7| = |19| = 19$.

Так как $12 > -7$, вычитаем из большей координаты меньшую: $12 - (-7) = 12 + 7 = 19$.

Ответ: 19

г) O(0) и B(-12)

Координата точки O (начало отсчета) равна 0, а координата точки B равна -12. Найдем расстояние между ними:

$d = |-12 - 0| = |-12| = 12$.

Так как $0 > -12$, вычитаем из большей координаты меньшую: $0 - (-12) = 0 + 12 = 12$. Расстояние от точки до начала отсчета равно модулю ее координаты.

Ответ: 12