Страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

5.13. a) $|x + 4| = 5;$

б) $|x - 4| = |10 - x|;$

в) $|x - 4| = 15;$

г) $|x - 4| = |5x|.$

а) $|x + 4| = 5$

Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $x + 4 = 5$

$x = 5 - 4$

$x = 1$

2) $x + 4 = -5$

$x = -5 - 4$

$x = -9$

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -9$.

б) $|x - 4| = |10 - x|$

Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Рассмотрим первый случай:

$x - 4 = 10 - x$

$x + x = 10 + 4$

$2x = 14$

$x = 7$

Рассмотрим второй случай:

$x - 4 = -(10 - x)$

$x - 4 = -10 + x$

$x - x = -10 + 4$

$0 = -6$

Полученное равенство неверно, значит во втором случае решений нет.

Ответ: $x = 7$.

в) $|x - 4| = 15$

Это уравнение, как и в пункте а), эквивалентно двум случаям:

1) $x - 4 = 15$

$x = 15 + 4$

$x = 19$

2) $x - 4 = -15$

$x = -15 + 4$

$x = -11$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 19$, $x_2 = -11$.

г) $|x - 4| = |5x|$

Уравнение вида $|A| = |B|$ также решается рассмотрением двух случаев: $A=B$ и $A=-B$.

Первый случай:

$x - 4 = 5x$

$x - 5x = 4$

$-4x = 4$

$x = -1$

Второй случай:

$x - 4 = -5x$

$x + 5x = 4$

$6x = 4$

$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Проверим найденные корни.
При $x = -1$: $|-1 - 4| = |5 \cdot (-1)| \implies |-5| = |-5| \implies 5 = 5$. Корень верный.
При $x = \frac{2}{3}$: $|\frac{2}{3} - 4| = |5 \cdot \frac{2}{3}| \implies |\frac{2-12}{3}| = |\frac{10}{3}| \implies |-\frac{10}{3}| = |\frac{10}{3}| \implies \frac{10}{3} = \frac{10}{3}$. Корень верный.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{2}{3}$.

5.14. a) $|x + 4| = -5$;

б) $|x - 4| = 15 - \sqrt{227}$;

В) $|x - 4| = \sqrt{20} - 2\sqrt{5}$;

Г) $|x + 4| = 3\sqrt{12} - 6\sqrt{3}$.

а) $|x + 4| = -5$
По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x + 4| \ge 0$ для любого значения $x$. Правая часть уравнения равна $-5$, что является отрицательным числом. Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б) $|x - 4| = 15 - \sqrt{227}$
Оценим знак выражения в правой части уравнения. Для этого сравним числа $15$ и $\sqrt{227}$. Сравним их квадраты: $15^2 = 225$ и $(\sqrt{227})^2 = 227$.
Так как $225 < 227$, то $15 < \sqrt{227}$.
Это означает, что разность $15 - \sqrt{227}$ является отрицательным числом.
Модуль $|x - 4|$, как и любой модуль, не может быть равен отрицательному числу. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

в) $|x - 4| = \sqrt{20} - 2\sqrt{5}$
Упростим выражение в правой части уравнения. Вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{20}$:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Подставим полученное значение в исходное уравнение:
$|x - 4| = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$
$|x - 4| = 0$
Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Таким образом:
$x - 4 = 0$
$x = 4$
Ответ: 4.

г) $|x + 4| = 3\sqrt{12} - 6\sqrt{3}$
Упростим правую часть уравнения. Преобразуем $\sqrt{12}$:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Теперь подставим это в уравнение:
$|x + 4| = 3 \cdot (2\sqrt{3}) - 6\sqrt{3}$
$|x + 4| = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$
$|x + 4| = 0$
Это уравнение равносильно уравнению без модуля:
$x + 4 = 0$
$x = -4$
Ответ: -4.

5.15. a) $|x + 4| = 2x$;

Б) $|x - 14| = 8 + 2x$;

В) $|x^2 - 4x| = 3x$;

Г) $|x^2 + 7x| = 4x + 10.$

а) Решим уравнение $|x + 4| = 2x$.
По определению модуля, выражение в правой части уравнения не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.
Уравнение $|A| = B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.
Применим это к нашей задаче:
1) $x + 4 = 2x$
$4 = 2x - x$
$x = 4$
Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 0$). Да, $4 \ge 0$. Следовательно, $x=4$ является решением.
2) $x + 4 = -2x$
$x + 2x = -4$
$3x = -4$
$x = -4/3$
Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 0$). Нет, $-4/3 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, у уравнения есть только один корень.
Ответ: 4.

б) Решим уравнение $|x - 14| = 8 + 2x$.
Область допустимых значений определяется неравенством $8 + 2x \ge 0$.
$2x \ge -8$
$x \ge -4$
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) $x - 14 = 8 + 2x$
$x - 2x = 8 + 14$
$-x = 22$
$x = -22$
Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -4$), поэтому он является посторонним.
2) $x - 14 = -(8 + 2x)$
$x - 14 = -8 - 2x$
$x + 2x = 14 - 8$
$3x = 6$
$x = 2$
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -4$).
Проверим найденный корень: $|2 - 14| = |-12| = 12$. Правая часть: $8 + 2(2) = 8 + 4 = 12$. Равенство $12 = 12$ верное.
Ответ: 2.

в) Решим уравнение $|x^2 - 4x| = 3x$.
ОДЗ: $3x \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
Раскрываем модуль:
1) $x^2 - 4x = 3x$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).
2) $x^2 - 4x = -3x$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 1$. Оба корня также удовлетворяют ОДЗ.
Объединяем все найденные уникальные корни.
Ответ: 0; 1; 7.

г) Решим уравнение $|x^2 + 7x| = 4x + 10$.
ОДЗ: $4x + 10 \ge 0$.
$4x \ge -10$
$x \ge -10/4$, то есть $x \ge -2.5$.
Раскрываем модуль:
1) $x^2 + 7x = 4x + 10$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2.5$). Корень $x_1 = 2$ подходит. Корень $x_2 = -5$ не подходит.
2) $x^2 + 7x = -(4x + 10)$
$x^2 + 7x = -4x - 10$
$x^2 + 11x + 10 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -11, а произведение равно 10. Корни: $x_3 = -1$ и $x_4 = -10$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2.5$). Корень $x_3 = -1$ подходит. Корень $x_4 = -10$ не подходит.
В итоге получаем два решения.
Ответ: -1; 2.

Решите неравенство:

5.16. a) $|x + 4| < 2x;$

б) $|x^2 - 4x| < 3x;$

в) $|x - 14| \le 8 + 2x;$

г) $|x^2 + 7x| \le 4x + 10.$

а) $|x + 4| < 2x$

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$$ \begin{cases} g(x) > 0 \\ -g(x) < f(x) < g(x) \end{cases} $$

Применяя это правило к исходному неравенству, получаем систему:

$$ \begin{cases} 2x > 0 \\ -2x < x + 4 < 2x \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы:

$2x > 0 \implies x > 0$.

Решим второе, двойное, неравенство. Его можно представить в виде системы из двух неравенств:

$$ \begin{cases} x + 4 > -2x \\ x + 4 < 2x \end{cases} $$

Решаем каждое из них:

1) $x + 4 > -2x \implies 3x > -4 \implies x > -\frac{4}{3}$.

2) $x + 4 < 2x \implies 4 < x$.

Теперь необходимо найти пересечение всех полученных решений:

$$ \begin{cases} x > 0 \\ x > -\frac{4}{3} \\ x > 4 \end{cases} $$

Общим решением для этой системы является $x > 4$.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

б) $|x^2 - 4x| < 3x$

Данное неравенство также имеет вид $|f(x)| < g(x)$, поэтому оно равносильно системе:

$$ \begin{cases} 3x > 0 \\ -3x < x^2 - 4x < 3x \end{cases} $$

Из первого неравенства получаем $x > 0$.

Второе двойное неравенство $ -3x < x^2 - 4x < 3x $ разбиваем на систему:

$$ \begin{cases} x^2 - 4x > -3x \\ x^2 - 4x < 3x \end{cases} $$

Решаем каждое неравенство:

1) $x^2 - 4x > -3x \implies x^2 - x > 0 \implies x(x - 1) > 0$.

Корни уравнения $x(x-1)=0$ равны $x=0$ и $x=1$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

2) $x^2 - 4x < 3x \implies x^2 - 7x < 0 \implies x(x - 7) < 0$.

Корни уравнения $x(x-7)=0$ равны $x=0$ и $x=7$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (0, 7)$.

Объединим все условия в одну систему и найдем пересечение решений:

$$ \begin{cases} x > 0 \\ x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \\ x \in (0, 7) \end{cases} $$

Из первого и третьего условий получаем, что $x \in (0, 7)$. Пересекая этот интервал со вторым условием $(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$, получаем итоговый интервал $(1, 7)$.

Ответ: $x \in (1, 7)$.

в) $|x - 14| \le 8 + 2x$

Неравенство вида $|f(x)| \le g(x)$ равносильно системе неравенств:

$$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ -g(x) \le f(x) \le g(x) \end{cases} $$

Применяя это правило, получаем:

$$ \begin{cases} 8 + 2x \ge 0 \\ -(8 + 2x) \le x - 14 \le 8 + 2x \end{cases} $$

Решаем первое неравенство: $8 + 2x \ge 0 \implies 2x \ge -8 \implies x \ge -4$.

Решаем второе двойное неравенство, разбив его на систему:

$$ \begin{cases} x - 14 \ge -(8 + 2x) \\ x - 14 \le 8 + 2x \end{cases} $$

Решаем каждое из них:

1) $x - 14 \ge -8 - 2x \implies 3x \ge 6 \implies x \ge 2$.

2) $x - 14 \le 8 + 2x \implies -22 \le x$.

Теперь найдем пересечение всех полученных решений:

$$ \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge 2 \\ x \ge -22 \end{cases} $$

Общим решением для этой системы является $x \ge 2$.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

г) $|x^2 + 7x| \le 4x + 10$

Данное неравенство также имеет вид $|f(x)| \le g(x)$, поэтому оно равносильно системе:

$$ \begin{cases} 4x + 10 \ge 0 \\ -(4x + 10) \le x^2 + 7x \le 4x + 10 \end{cases} $$

Из первого неравенства: $4x \ge -10 \implies x \ge -2.5$.

Второе двойное неравенство $-(4x + 10) \le x^2 + 7x \le 4x + 10$ разбиваем на систему:

$$ \begin{cases} x^2 + 7x \ge -(4x + 10) \\ x^2 + 7x \le 4x + 10 \end{cases} $$

Решаем каждое неравенство:

1) $x^2 + 7x \ge -4x - 10 \implies x^2 + 11x + 10 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 11x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = -10$. Неравенство $(x+1)(x+10) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -10] \cup [-1, +\infty)$.

2) $x^2 + 7x \le 4x + 10 \implies x^2 + 3x - 10 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = -5$. Неравенство $(x-2)(x+5) \le 0$ выполняется при $x \in [-5, 2]$.

Объединим все условия в одну систему и найдем пересечение решений:

$$ \begin{cases} x \ge -2.5 \\ x \in (-\infty, -10] \cup [-1, +\infty) \\ x \in [-5, 2] \end{cases} $$

Пересечение первого и третьего условий ($x \ge -2.5$ и $x \in [-5, 2]$) дает промежуток $x \in [-2.5, 2]$.

Теперь найдем пересечение полученного промежутка $[-2.5, 2]$ со вторым условием $x \in (-\infty, -10] \cup [-1, +\infty)$.

Пересечение $[-2.5, 2]$ и $[-1, +\infty)$ дает итоговый промежуток $[-1, 2]$.

Ответ: $x \in [-1, 2]$.

5.17. a) $|x + 5| > 5x - 7$;

б) $|x^2 + x - 5| > 3x$;

В) $|7x + 4| \ge 6 + 5x$;

Г) $|-x^2 - x| \ge 4x - 2$.

а) Решим неравенство $|x + 5| > 5x - 7$.

Для решения неравенств с модулем вида $|f(x)| > g(x)$ рассмотрим два случая, в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, т.е. $x + 5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс, и неравенство принимает вид:
$x + 5 > 5x - 7$
$5 + 7 > 5x - x$
$12 > 4x$
$x < 3$
Учитывая условие $x \ge -5$, получаем решение для этого случая: $x \in [-5, 3)$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, т.е. $x + 5 < 0$, откуда $x < -5$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком минус, и неравенство принимает вид:
$-(x + 5) > 5x - 7$
$-x - 5 > 5x - 7$
$7 - 5 > 5x + x$
$2 > 6x$
$x < \frac{2}{6}$ или $x < \frac{1}{3}$
Учитывая условие $x < -5$, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty, -5)$.

Объединение решений из двух случаев дает окончательный ответ:
$(-\infty, -5) \cup [-5, 3) = (-\infty, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

б) Решим неравенство $|x^2 + x - 5| > 3x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x^2 + x - 5 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 5 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(-5) = 21$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Таким образом, условие $x^2 + x - 5 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, \infty)$.
В этом случае неравенство имеет вид $x^2 + x - 5 > 3x$, или $x^2 - 2x - 5 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-5) = 24$. Корни: $x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.
Решение неравенства $x^2 - 2x - 5 > 0$ есть $x \in (-\infty, 1 - \sqrt{6}) \cup (1 + \sqrt{6}, \infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием случая 1. Так как $\frac{-1 - \sqrt{21}}{2} < 1 - \sqrt{6}$ и $\frac{-1 + \sqrt{21}}{2} < 1 + \sqrt{6}$, пересечение множеств дает: $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}] \cup (1 + \sqrt{6}, \infty)$.

Случай 2: $x^2 + x - 5 < 0$, то есть $x \in (\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{21}}{2})$.
В этом случае неравенство имеет вид $-(x^2 + x - 5) > 3x$, или $-x^2 - x + 5 > 3x$, что равносильно $x^2 + 4x - 5 < 0$.
Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ по теореме Виета равны $1$ и $-5$.
Решение неравенства $x^2 + 4x - 5 < 0$ есть $x \in (-5, 1)$.
Найдем пересечение этого решения с условием случая 2. Так как $-5 < \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$ и $1 < \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$, пересечение множеств дает: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, 1)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:
$(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}] \cup (1 + \sqrt{6}, \infty) \cup (\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, 1) = (-\infty, 1) \cup (1 + \sqrt{6}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1 + \sqrt{6}, \infty)$.

в) Решим неравенство $|7x + 4| \ge 6 + 5x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $7x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -\frac{4}{7}$.
Неравенство принимает вид:
$7x + 4 \ge 6 + 5x$
$2x \ge 2$
$x \ge 1$
Пересекая с условием $x \ge -\frac{4}{7}$, получаем $x \in [1, \infty)$.

Случай 2: $7x + 4 < 0$, то есть $x < -\frac{4}{7}$.
Неравенство принимает вид:
$-(7x + 4) \ge 6 + 5x$
$-7x - 4 \ge 6 + 5x$
$-10 \ge 12x$
$x \le -\frac{10}{12}$ или $x \le -\frac{5}{6}$
Пересекая с условием $x < -\frac{4}{7}$ (учитывая, что $-\frac{5}{6} < -\frac{4}{7}$), получаем $x \in (-\infty, -\frac{5}{6}]$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем окончательный ответ:
$(-\infty, -\frac{5}{6}] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{6}] \cup [1, \infty)$.

г) Решим неравенство $|-x^2 - x| \ge 4x - 2$.

Так как $|-A| = |A|$, неравенство можно переписать в виде $|x^2 + x| \ge 4x - 2$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x^2 + x \ge 0$, то есть $x(x+1) \ge 0$. Это выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$.
В этом случае неравенство имеет вид $x^2 + x \ge 4x - 2$, что равносильно $x^2 - 3x + 2 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $1$ и $2$.
Решение неравенства $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ есть $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.
Найдем пересечение с условием случая 1: $((-\infty, -1] \cup [0, \infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup [2, \infty)) = (-\infty, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty)$.

Случай 2: $x^2 + x < 0$, то есть $x \in (-1, 0)$.
В этом случае неравенство имеет вид $-(x^2 + x) \ge 4x - 2$, что равносильно $-x^2 - x \ge 4x - 2$, или $x^2 + 5x - 2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4(1)(-2) = 33$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Решение неравенства $x^2 + 5x - 2 \le 0$ есть $x \in [\frac{-5 - \sqrt{33}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}]$.
Найдем пересечение с условием случая 2, то есть с интервалом $(-1, 0)$. Так как $\frac{-5 - \sqrt{33}}{2} < -1$ и $0 < \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$, то интервал $(-1,0)$ полностью входит в найденное решение. Таким образом, решение для этого случая есть $x \in (-1, 0)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:
$((-\infty, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty)) \cup (-1, 0) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

5.18. а) Какие значения может принимать $ |x - 7| $, если $ |x - 4| = 6; $

б) какие значения может принимать $ |x + 5| $, если $ |x - 2| = 16? $

а)

Чтобы найти, какие значения может принимать выражение $|x - 7|$, сначала необходимо найти все возможные значения $x$ из условия $|x - 4| = 6$.

Уравнение с модулем $|x - 4| = 6$ распадается на два отдельных случая:

1. $x - 4 = 6$

$x_1 = 6 + 4 = 10$

2. $x - 4 = -6$

$x_2 = -6 + 4 = -2$

Теперь, когда у нас есть два возможных значения для $x$, мы можем подставить каждое из них в выражение $|x - 7|$:

При $x = 10$:

$|x - 7| = |10 - 7| = |3| = 3$

При $x = -2$:

$|x - 7| = |-2 - 7| = |-9| = 9$

Таким образом, выражение $|x - 7|$ может принимать два значения.

Ответ: 3 и 9.

б)

Аналогично предыдущему пункту, сначала решим уравнение $|x - 2| = 16$, чтобы найти значения $x$.

Это уравнение также рассматривается в двух случаях:

1. $x - 2 = 16$

$x_1 = 16 + 2 = 18$

2. $x - 2 = -16$

$x_2 = -16 + 2 = -14$

Теперь подставим найденные значения $x$ в выражение $|x + 5|$:

При $x = 18$:

$|x + 5| = |18 + 5| = |23| = 23$

При $x = -14$:

$|x + 5| = |-14 + 5| = |-9| = 9$

Следовательно, выражение $|x + 5|$ может принимать два значения.

Ответ: 23 и 9.

5.19. a) Найдите все значения $a$, при которых $|x - 2| = a$, если $|x - a| = 1$;

б) найдите все значения $a$, при которых $|x - 2a + a^2| = a$, если $|x - a| = 2 - a$.

а)

Имеем систему уравнений:
$\begin{cases} |x - 2| = a \\ |x - a| = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения $|x - 2| = a$ следует, что $a \ge 0$, так как значение модуля всегда неотрицательно.

Раскроем модуль во втором уравнении $|x - a| = 1$. Это равносильно совокупности двух уравнений:
$x - a = 1$ или $x - a = -1$.
Отсюда получаем два возможных выражения для $x$: $x = a + 1$ или $x = a - 1$.

Теперь необходимо подставить каждое из этих выражений для $x$ в первое уравнение системы и найти соответствующие значения $a$.

Случай 1: $x = a + 1$
Подставляем в первое уравнение: $|(a + 1) - 2| = a$, что упрощается до $|a - 1| = a$.
Так как $a \ge 0$, это уравнение можно решить, рассмотрев два интервала для $a$:
- При $a \ge 1$, уравнение принимает вид $a - 1 = a$, что приводит к неверному равенству $-1 = 0$. В этом диапазоне решений нет.
- При $0 \le a < 1$, уравнение принимает вид $-(a - 1) = a$, откуда $1 - a = a$, $2a = 1$, $a = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le a < 1$.
Таким образом, из этого случая получаем решение $a = \frac{1}{2}$.

Случай 2: $x = a - 1$
Подставляем в первое уравнение: $|(a - 1) - 2| = a$, что упрощается до $|a - 3| = a$.
Рассмотрим два интервала для $a$:
- При $a \ge 3$, уравнение принимает вид $a - 3 = a$, что приводит к неверному равенству $-3 = 0$. Решений нет.
- При $0 \le a < 3$, уравнение принимает вид $-(a - 3) = a$, откуда $3 - a = a$, $2a = 3$, $a = \frac{3}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le a < 3$.
Таким образом, из этого случая получаем решение $a = \frac{3}{2}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем все искомые значения $a$.
Ответ: $a = \frac{1}{2}; a = \frac{3}{2}$.

б)

Имеем систему уравнений:
$\begin{cases} |x - 2a + a^2| = a \\ |x - a| = 2 - a \end{cases}$

Так как левые части уравнений являются модулями, они неотрицательны. Следовательно, и правые части должны быть неотрицательны.
Из первого уравнения получаем: $a \ge 0$.
Из второго уравнения получаем: $2 - a \ge 0 \implies a \le 2$.
Объединяя эти условия, делаем вывод, что все искомые значения $a$ должны принадлежать отрезку $[0, 2]$.

Рассмотрим второе уравнение $|x - a| = 2 - a$. Так как мы установили, что $2 - a \ge 0$, мы можем раскрыть модуль:
$x - a = 2 - a$ или $x - a = -(2 - a) = a - 2$.
Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x = 2$ или $x = 2a - 2$.

Подставим каждое из этих значений $x$ в первое уравнение $|x - 2a + a^2| = a$.

Случай 1: $x = 2$
$|2 - 2a + a^2| = a$
Рассмотрим выражение под модулем: $a^2 - 2a + 2$. Его можно представить в виде $(a-1)^2 + 1$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $(a-1)^2 \ge 0$, то $(a-1)^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение $a^2 - 2a + 2$ всегда положительно.
Поэтому модуль можно опустить: $a^2 - 2a + 2 = a$.
$a^2 - 3a + 2 = 0$
Корнями этого квадратного уравнения являются $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$. Оба значения принадлежат отрезку $[0, 2]$, значит, являются решениями.

Случай 2: $x = 2a - 2$
$|(2a - 2) - 2a + a^2| = a$
$|a^2 - 2| = a$
Раскроем модуль, учитывая, что $a \in [0, 2]$.
- Если $a^2 - 2 \ge 0$, т.е. $a^2 \ge 2$. Учитывая $a \ge 0$, получаем $a \ge \sqrt{2}$. В этом случае уравнение принимает вид $a^2 - 2 = a \implies a^2 - a - 2 = 0$. Корни этого уравнения $a = 2$ и $a = -1$. Условию $a \ge \sqrt{2}$ и $a \in [0, 2]$ удовлетворяет только $a = 2$.
- Если $a^2 - 2 < 0$, т.е. $0 \le a < \sqrt{2}$. В этом случае уравнение принимает вид $-(a^2 - 2) = a \implies a^2 + a - 2 = 0$. Корни этого уравнения $a = 1$ и $a = -2$. Условию $0 \le a < \sqrt{2}$ удовлетворяет только $a = 1$.
В этом случае мы также получили решения $a=1$ и $a=2$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем итоговый набор значений.
Ответ: $a = 1; a = 2$.

5.20. a) Какие значения может принимать $|x - y|$, если $|x - a| = 7$, $|y - a| = 16$;

б) какие значения может принимать $|a - b|$, если $|x - a| = 3$, $|x - b| = 5?

а)

По условию задачи имеем два равенства с модулями: $|x - a| = 7$ и $|y - a| = 16$. Геометрически это означает, что на числовой прямой расстояние от точки $x$ до точки $a$ равно 7, а расстояние от точки $y$ до точки $a$ равно 16.

Из равенства $|x - a| = 7$ следует, что разность $x - a$ может быть равна $7$ или $-7$.

Аналогично, из равенства $|y - a| = 16$ следует, что разность $y - a$ может быть равна $16$ или $-16$.

Нам необходимо найти возможные значения выражения $|x - y|$. Для этого выразим разность $x - y$ через известные нам разности. Вычтем и прибавим $a$:

$x - y = x - a - y + a = (x - a) - (y - a)$

Теперь рассмотрим все четыре возможные комбинации значений для $(x - a)$ и $(y - a)$:

1. Если $x - a = 7$ и $y - a = 16$, то $x - y = 7 - 16 = -9$. В этом случае, $|x - y| = |-9| = 9$.

2. Если $x - a = 7$ и $y - a = -16$, то $x - y = 7 - (-16) = 7 + 16 = 23$. В этом случае, $|x - y| = |23| = 23$.

3. Если $x - a = -7$ и $y - a = 16$, то $x - y = -7 - 16 = -23$. В этом случае, $|x - y| = |-23| = 23$.

4. Если $x - a = -7$ и $y - a = -16$, то $x - y = -7 - (-16) = -7 + 16 = 9$. В этом случае, $|x - y| = |9| = 9$.

Таким образом, выражение $|x - y|$ может принимать два различных значения.

Ответ: 9 или 23.

б)

По условию задачи имеем равенства $|x - a| = 3$ и $|x - b| = 5$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $a$ равно 3, а расстояние от той же точки $x$ до точки $b$ равно 5.

Из равенства $|x - a| = 3$ следует, что $x - a = 3$ или $x - a = -3$.

Из равенства $|x - b| = 5$ следует, что $x - b = 5$ или $x - b = -5$.

Нам необходимо найти возможные значения выражения $|a - b|$. Выразим разность $a - b$ через известные нам разности с участием $x$:

$a - b = a - x + x - b = (x - b) - (x - a)$

Теперь рассмотрим все четыре возможные комбинации значений для $(x - a)$ и $(x - b)$:

1. Если $x - b = 5$ и $x - a = 3$, то $a - b = 5 - 3 = 2$. В этом случае, $|a - b| = |2| = 2$.

2. Если $x - b = 5$ и $x - a = -3$, то $a - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. В этом случае, $|a - b| = |8| = 8$.

3. Если $x - b = -5$ и $x - a = 3$, то $a - b = -5 - 3 = -8$. В этом случае, $|a - b| = |-8| = 8$.

4. Если $x - b = -5$ и $x - a = -3$, то $a - b = -5 - (-3) = -5 + 3 = -2$. В этом случае, $|a - b| = |-2| = 2$.

Таким образом, выражение $|a - b|$ может принимать два различных значения.

Ответ: 2 или 8.

6.1. Методом математической индукции докажите:

а) формулу общего члена арифметической прогрессии

$a_n = a_1 + d(n - 1);$

б) формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии

$S_n = \frac{(2a_1 + d(n - 1))n}{2};$

в) формулу общего члена геометрической прогрессии

$b_n = b_1q^{n-1};$

г) формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ при $q \ne 1.$