Страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3.20. Отметьте на числовой прямой точки $A(1)$ и $B(4)$. С помощью циркуля и линейки постройте точку:

а) $C(\sqrt{7})$;

б) $D(1 - \sqrt{7})$;

в) $E\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$;

г) $G(2 - \sqrt{5})$.

Для выполнения построений сначала подготовим числовую прямую. Начертим прямую, выберем на ней начало отсчета — точку O(0) и единичный отрезок, отметив точку A(1). Используя циркуль, отложим от точки O три раза единичный отрезок и получим точку B(4). Таким образом, у нас есть числовая прямая с заданными точками A(1) и B(4) и определенным единичным отрезком OA.

а) C(v7)

Чтобы построить точку с координатой $\sqrt{7}$, мы сначала построим отрезок такой длины с помощью теоремы Пифагора. Мы можем представить $\sqrt{7}$ как катет прямоугольного треугольника. Заметим, что $7 = 16 - 9 = 4^2 - 3^2$. Значит, мы можем построить прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 и одним катетом 3. Второй катет будет иметь длину $\sqrt{7}$.

Порядок построения:
1. На числовой прямой отметим точку K с координатой 3.
2. В точке K(3) с помощью циркуля и линейки строим прямую, перпендикулярную числовой оси.
3. Измеряем циркулем расстояние от O(0) до B(4), которое равно 4 единичным отрезкам.
4. Устанавливаем острие циркуля в точку O(0) и проводим дугу радиусом 4 так, чтобы она пересекла перпендикуляр, построенный в шаге 2. Назовем точку пересечения M.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$. Его гипотенуза $OM = 4$, а катет $OK = 3$. По теореме Пифагора, длина второго катета $KM$ равна $\sqrt{OM^2 - OK^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$.
6. Теперь измеряем циркулем длину отрезка $KM$.
7. Устанавливаем острие циркуля в начало координат O(0) и проводим дугу радиусом $\sqrt{7}$ до пересечения с положительной частью числовой прямой. Эта точка и есть C($\sqrt{7}$).
Ответ: Точка $C(\sqrt{7})$ построена.

б) D(1 - v7)

Для построения точки D с координатой $1 - \sqrt{7}$, мы должны от точки A(1) отложить влево (в отрицательном направлении) отрезок длиной $\sqrt{7}$, который мы уже умеем строить.

Порядок построения:
1. Строим отрезок длиной $\sqrt{7}$, как описано в пункте а).
2. Измеряем циркулем этот отрезок (длину $KM = \sqrt{7}$).
3. Устанавливаем острие циркуля в точку A(1).
4. Проводим дугу радиусом $\sqrt{7}$ так, чтобы она пересекла числовую прямую слева от точки A. Точка пересечения и будет искомой точкой D.
Ответ: Точка $D(1 - \sqrt{7})$ построена.

в) E($\frac{2}{\sqrt{7}}$)

Для построения точки E с координатой $\frac{2}{\sqrt{7}}$, мы воспользуемся построением, основанным на теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса). Мы построим два подобных треугольника, чтобы найти отрезок нужной длины $x$, решив пропорцию $\frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

Порядок построения:
1. Сначала строим отрезок длиной $\sqrt{7}$ (как в пункте а)).
2. Проведем из начала координат O(0) вспомогательный луч $l$, не лежащий на числовой прямой.
3. На этом луче $l$ отложим циркулем от точки O отрезок $OQ$, равный $\sqrt{7}$.
4. На этом же луче $l$ отложим от точки O единичный отрезок $OR$, равный 1.
5. На числовой прямой отметим точку P с координатой 2.
6. Соединим точки Q и P отрезком прямой.
7. Через точку R проведем прямую, параллельную отрезку QP (это стандартное построение с помощью циркуля и линейки).
8. Эта параллельная прямая пересечет числовую прямую в некоторой точке. Обозначим ее E.
9. Из подобия треугольников $\triangle OER$ и $\triangle OPQ$ (по двум углам, так как $RE \parallel PQ$) следует отношение $\frac{OE}{OP} = \frac{OR}{OQ}$.
10. Подставляя известные длины, получаем $\frac{OE}{2} = \frac{1}{\sqrt{7}}$, откуда $OE = \frac{2}{\sqrt{7}}$. Точка E и есть искомая.
Ответ: Точка $E(\frac{2}{\sqrt{7}})$ построена.

г) G(2 - v5)

Сначала необходимо построить отрезок длиной $\sqrt{5}$. Воспользуемся теоремой Пифагора: $5 = 4 + 1 = 2^2 + 1^2$. Значит, $\sqrt{5}$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1. Затем от точки с координатой 2 отложим влево отрезок длиной $\sqrt{5}$.

Порядок построения:
1. На числовой прямой отметим точку P(2).
2. В точке P(2) восставим перпендикуляр к числовой прямой.
3. На этом перпендикуляре от точки P отложим единичный отрезок (равный OA). Обозначим конец этого отрезка M. Таким образом, $PM=1$.
4. Соединим точки O(0) и M. В прямоугольном треугольнике $\triangle OPM$ катеты $OP=2$ и $PM=1$. Длина гипотенузы $OM$ по теореме Пифагора равна $\sqrt{OP^2 + PM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
5. Теперь измерим циркулем длину отрезка $OM = \sqrt{5}$.
6. Установим острие циркуля в точку P(2).
7. Проводим дугу радиусом $\sqrt{5}$ так, чтобы она пересекла числовую прямую слева от точки P. Точка пересечения и будет искомой точкой G.
Ответ: Точка $G(2 - \sqrt{5})$ построена.

4.1. На числовой прямой отмечены точки $A(-2)$ и $B(17)$. Найдите координаты:

а) середины отрезка $AB$;

б) точки $M$, если $B$ — середина отрезка $AM$;

в) точки $M$, делящей отрезок $AB$ в отношении $AM : MB = 2 : 3$;

г) точки $C$ с числовой прямой — такой, что $AC = 3CB$.

а) середины отрезка AB;

Координата середины отрезка вычисляется как среднее арифметическое координат его концов. Пусть $C$ — середина отрезка $AB$, а её координата — $x_C$. Координаты точек $A$ и $B$ равны $x_A = -2$ и $x_B = 17$.

Формула для нахождения координаты середины отрезка:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Подставляем значения координат точек $A$ и $B$:

$x_C = \frac{-2 + 17}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$

Ответ: 7,5.

б) точки M, если B — середина отрезка AM;

По условию, точка $B(17)$ является серединой отрезка $AM$. Пусть координата точки $M$ равна $x_M$. Координата точки $A$ известна: $x_A = -2$.

Используем формулу для координаты середины отрезка, где $B$ — середина $AM$:

$x_B = \frac{x_A + x_M}{2}$

Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно $x_M$:

$17 = \frac{-2 + x_M}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$34 = -2 + x_M$

Отсюда находим $x_M$:

$x_M = 34 + 2 = 36$

Ответ: 36.

в) точки M, делящей отрезок AB в отношении AM : MB = 2 : 3;

Точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $AM : MB = 2 : 3$. Пусть координата точки $M$ равна $x_M$. Координаты точек $A$ и $B$ равны $x_A = -2$ и $x_B = 17$.

Формула для координаты точки, делящей отрезок с концами в точках с координатами $x_1$ и $x_2$ в отношении $m : n$, имеет вид:

$x_M = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m + n}$

В нашем случае $x_1 = x_A = -2$, $x_2 = x_B = 17$, а отношение $m : n = 2 : 3$.

Подставляем значения:

$x_M = \frac{3 \cdot (-2) + 2 \cdot 17}{2 + 3} = \frac{-6 + 34}{5} = \frac{28}{5} = 5,6$

Ответ: 5,6.

г) точки С числовой прямой — такой, что AC = 3CB.

Нам нужно найти координату $x_C$ точки $C$ такой, что длина отрезка $AC$ в три раза больше длины отрезка $CB$. Длина отрезка между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ на числовой прямой равна $|x_2 - x_1|$.

Условие $AC = 3CB$ можно записать в виде уравнения:

$|x_C - x_A| = 3|x_B - x_C|$

Подставляем координаты $x_A = -2$ и $x_B = 17$:

$|x_C - (-2)| = 3|17 - x_C|$

$|x_C + 2| = 3|17 - x_C|$

Это уравнение может иметь два решения, так как точка $C$ может лежать как между точками $A$ и $B$, так и вне отрезка $AB$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Точка $C$ лежит между $A$ и $B$.

В этом случае $-2 < x_C < 17$. Тогда выражение $x_C+2$ будет положительным, и выражение $17-x_C$ также будет положительным. Модули можно раскрыть без изменения знака:

$x_C + 2 = 3(17 - x_C)$

$x_C + 2 = 51 - 3x_C$

$4x_C = 49$

$x_C = \frac{49}{4} = 12,25$

Значение $12,25$ находится в интервале $(-2, 17)$, следовательно, это действительное решение.

Случай 2: Точка $C$ лежит вне отрезка $AB$.

Из условия $AC = 3CB$ следует, что точка $C$ находится дальше от $A$, чем от $B$. Это возможно, только если $C$ лежит на прямой правее точки $B$. То есть $x_C > 17$.

В этом случае $x_C+2 > 0$, а $17-x_C < 0$, поэтому $|17 - x_C| = -(17 - x_C) = x_C - 17$. Раскрываем модули:

$x_C + 2 = 3(x_C - 17)$

$x_C + 2 = 3x_C - 51$

$2x_C = 53$

$x_C = \frac{53}{2} = 26,5$

Значение $26,5$ больше $17$, что соответствует нашему предположению, следовательно, это второе действительное решение.

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие заданному условию.

Ответ: 12,25 и 26,5.

4.2. Решите уравнение, определите наибольший и наименьший его корень и расстояние между ними:

a) $ (x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) = 0; $

б) $ (x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) = (31x - 37)(41x - 49). $

а)

Дано уравнение $(x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения.

1) $(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.
2) $31x - 37 = 0 \implies 31x = 37 \implies x_2 = \frac{37}{31}$.
3) $41x - 49 = 0 \implies 41x = 49 \implies x_3 = \frac{49}{41}$.

Корни уравнения: $1, \frac{37}{31}, \frac{49}{41}$.
Теперь определим наибольший и наименьший из них.
$x_1 = 1$
$x_2 = \frac{37}{31} = 1\frac{6}{31}$
$x_3 = \frac{49}{41} = 1\frac{8}{41}$
Наименьший корень очевидно равен $1$. Чтобы сравнить $\frac{37}{31}$ и $\frac{49}{41}$, сравним их дробные части $\frac{6}{31}$ и $\frac{8}{41}$. Приводя к общему знаменателю или используя перекрестное умножение ($6 \times 41 = 246$, а $8 \times 31 = 248$), получаем, что $\frac{8}{41} > \frac{6}{31}$.

Следовательно, наименьший корень $x_{min} = 1$, а наибольший корень $x_{max} = \frac{49}{41}$.

Расстояние между наибольшим и наименьшим корнями равно их разности:
$x_{max} - x_{min} = \frac{49}{41} - 1 = \frac{49}{41} - \frac{41}{41} = \frac{8}{41}$.

Ответ: Корни уравнения: $1$, $\frac{37}{31}$, $\frac{49}{41}$. Наименьший корень — $1$, наибольший — $\frac{49}{41}$. Расстояние между ними — $\frac{8}{41}$.

б)

Дано уравнение $(x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) = (31x - 37)(41x - 49)$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения и вынесем общий множитель $(31x - 37)(41x - 49)$ за скобки:
$(x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) - (31x - 37)(41x - 49) = 0$
$(31x - 37)(41x - 49) \left[ (x - 1)^2 - 1 \right] = 0$

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим три случая:

1) $31x - 37 = 0 \implies x_1 = \frac{37}{31}$.
2) $41x - 49 = 0 \implies x_2 = \frac{49}{41}$.
3) $(x - 1)^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 1$. Из этого следует, что $x - 1 = 1$ или $x - 1 = -1$.
$x_3 = 1 + 1 = 2$
$x_4 = -1 + 1 = 0$

Корни уравнения: $0$, $2$, $\frac{37}{31}$ и $\frac{49}{41}$.

Сравним корни, чтобы найти наименьший и наибольший: $0, 2, \frac{37}{31} \approx 1.194, \frac{49}{41} \approx 1.195$.
Расположив их в порядке возрастания, получаем: $0 < \frac{37}{31} < \frac{49}{41} < 2$.

Наименьший корень $x_{min} = 0$, наибольший корень $x_{max} = 2$.
Расстояние между ними равно $x_{max} - x_{min} = 2 - 0 = 2$.

Ответ: Корни уравнения: $0$, $\frac{37}{31}$, $\frac{49}{41}$, $2$. Наименьший корень — $0$, наибольший — $2$. Расстояние между ними — $2$.

4.3. Укажите два рациональных и два иррациональных числа, принадлежащих данному промежутку:

а) $(0,2; $1/\\sqrt{2}$);

б) $($1/\\sqrt{3}$; $1/\\sqrt{2}$);

в) $(0,21; 51);$

г) $(0,21; 0,22)$.

а) Задан промежуток $(0,2; \frac{1}{\sqrt{2}})$.

Сначала определим границы промежутка в виде десятичных дробей. Левая граница — $0,2$. Правая граница — $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1,4142...}{2} \approx 0,7071...$. Таким образом, мы ищем числа в интервале $(0,2; 0,7071...)$.

Рациональные числа: это числа, которые можно представить в виде конечной или периодической десятичной дроби. Выберем два таких числа, которые больше $0,2$ и меньше $0,7071...$. Например, $0,3$ и $0,5$. Оба числа являются конечными десятичными дробями ($0,3 = \frac{3}{10}$, $0,5 = \frac{1}{2}$) и удовлетворяют условию $0,2 < 0,3 < 0,7071...$ и $0,2 < 0,5 < 0,7071...$.

Иррациональные числа: это числа, представляемые в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Найдем такие числа в заданном интервале. Например, можно взять квадратный корень из числа, не являющегося полным квадратом. Рассмотрим число $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577...$. Это число иррациональное и $0,2 < 0,577... < 0,7071...$. Рассмотрим число $\frac{1}{\sqrt{5}} \approx \frac{1}{2,236...} \approx 0,447...$. Это число также иррациональное и $0,2 < 0,447... < 0,7071...$.

Ответ: рациональные числа — $0,3$ и $0,5$; иррациональные числа — $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

б) Задан промежуток $(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{2}})$.

Определим границы промежутка в виде десятичных дробей. Левая граница: $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{1}{1,732...} \approx 0,577...$. Правая граница: $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx \frac{1}{1,414...} \approx 0,707...$. Таким образом, мы ищем числа в интервале $(0,577...; 0,707...)$.

Рациональные числа: выберем две конечные десятичные дроби из этого интервала. Например, $0,6$ и $0,65$. Оба числа рациональны ($0,6 = \frac{6}{10}$, $0,65 = \frac{65}{100}$) и удовлетворяют условию $0,577... < 0,6 < 0,707...$ и $0,577... < 0,65 < 0,707...$.

Иррациональные числа: найдем иррациональные числа в этом интервале. Мы можем найти число $x$, такое что $(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 < x < (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$, и тогда $\sqrt{x}$ будет принадлежать нашему интервалу (если $x$ не является полным квадратом). То есть, $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$, или $0,333... < x < 0,5$. Выберем $x_1 = 0,4$ и $x_2 = 0,45$. Числа $\sqrt{0,4}$ и $\sqrt{0,45}$ — иррациональные. $\sqrt{0,4} \approx 0,632$ и $\sqrt{0,45} \approx 0,671$. Оба значения лежат в интервале $(0,577...; 0,707...)$.

Ответ: рациональные числа — $0,6$ и $0,65$; иррациональные числа — $\sqrt{0,4}$ и $\sqrt{0,45}$.

в) Задан промежуток $(0,21; 51)$.

Рациональные числа: в этом широком интервале легко найти рациональные числа. Например, можно взять любые целые числа, которые больше $0,21$ и меньше $51$. Выберем $1$ и $2$. Оба числа целые, а значит, и рациональные, и принадлежат данному промежутку.

Иррациональные числа: также можно выбрать известные иррациональные числа. Например, число $\sqrt{2} \approx 1,414...$ и число $\pi \approx 3,141...$. Оба числа иррациональны и удовлетворяют условию $0,21 < \sqrt{2} < 51$ и $0,21 < \pi < 51$.

Ответ: рациональные числа — $1$ и $2$; иррациональные числа — $\sqrt{2}$ и $\pi$.

г) Задан промежуток $(0,21; 0,22)$.

Рациональные числа: мы ищем числа между $0,21$ и $0,22$. Можно просто добавить знаки после запятой. Например, $0,211$ и $0,215$. Оба числа являются конечными десятичными дробями ($0,211 = \frac{211}{1000}$, $0,215 = \frac{215}{1000}$), то есть рациональны, и принадлежат заданному промежутку, так как $0,21 < 0,211 < 0,22$ и $0,21 < 0,215 < 0,22$.

Иррациональные числа: для нахождения иррациональных чисел можно сконструировать бесконечные непериодические дроби, которые начинаются с $0,21...$. Например, число $0,21010010001...$. Оно больше $0,21$ и меньше $0,22$, и является иррациональным, так как последовательность цифр непериодическая. Другой пример — число $0,21232332333...$. Оно также иррациональное и лежит в заданном промежутке.

Ответ: рациональные числа — $0,211$ и $0,215$; иррациональные числа — $0,21010010001...$ и $0,21232332333...$.

4.4. Существует ли геометрическая прогрессия, все члены которой различны и расположены на отрезке:

а) $[1; 2];$

б) $[1; 1,2]?$

Если существует, то приведите соответствующий пример, если не существует, то докажите это.

Для решения задачи проанализируем свойства геометрической прогрессии, которая удовлетворяла бы заданным условиям. Пусть $\{b_n\}$ — искомая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

1. Условие, что все члены прогрессии различны, означает, что знаменатель $q$ не может быть равен 1. Если $q=1$, все члены равны $b_1$. Также $q \neq 0$ (иначе все члены, кроме первого, равны нулю) и $q \neq -1$ (иначе члены чередуются между $b_1$ и $-b_1$).

2. Условие, что все члены прогрессии расположены на отрезках $[1; 2]$ или $[1; 1,2]$, означает, что все $b_n$ положительны. Если первый член $b_1$ положителен, то для того, чтобы все последующие члены $b_n = b_1 q^{n-1}$ были положительными, знаменатель $q$ также должен быть положительным ($q > 0$).

Таким образом, для такой прогрессии должны выполняться условия $b_1 > 0$ и $q > 0$, причем $q \neq 1$. Это оставляет два возможных варианта для знаменателя $q$: $q > 1$ (возрастающая прогрессия) или $0 < q < 1$ (убывающая прогрессия).

Рассмотрим оба пункта задачи с учетом этих свойств.

Предположим, что такая прогрессия существует. Все её члены $b_n$ должны удовлетворять неравенству $1 \le b_n \le 2$.

Случай 1: $q > 1$.

В этом случае геометрическая прогрессия является строго возрастающей: $b_1 < b_2 < b_3 < \dots$. Из условия $1 \le b_n$ следует, что $b_1 \ge 1$. Однако последовательность $b_n = b_1 q^{n-1}$ с $b_1 \ge 1$ и $q > 1$ является неограниченной сверху, то есть её предел $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$. Это означает, что для любого числа (в частности, для 2) найдется такой член прогрессии $b_k$, что $b_k > 2$. Это противоречит условию, что все члены лежат на отрезке $[1; 2]$.

Случай 2: $0 < q < 1$.

В этом случае геометрическая прогрессия является строго убывающей: $b_1 > b_2 > b_3 > \dots$. Из условия $b_n \le 2$ следует, что $b_1 \le 2$. Предел такой последовательности при $n \to \infty$ равен нулю: $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} b_1 q^{n-1} = 0$. Это означает, что для любого положительного числа (в частности, для 1) найдется такой член прогрессии $b_k$, что $b_k < 1$. Это противоречит условию, что все члены должны быть не меньше 1.

Поскольку оба возможных случая для $q$ приводят к противоречию, делаем вывод, что геометрической прогрессии с заданными свойствами не существует.

Ответ: Не существует.

Рассуждения для этого пункта полностью аналогичны предыдущему. Все члены прогрессии $b_n$ должны удовлетворять неравенству $1 \le b_n \le 1,2$.

Случай 1: $q > 1$.

Прогрессия будет строго возрастающей и неограниченной. Следовательно, найдётся член прогрессии, который будет больше верхней границы отрезка, то есть $b_k > 1,2$. Это противоречит условию.

Случай 2: $0 < q < 1$.

Прогрессия будет строго убывающей и её предел равен 0. Следовательно, найдётся член прогрессии, который будет меньше нижней границы отрезка, то есть $b_k < 1$. Это также противоречит условию.

Таким образом, как и в пункте а), такая геометрическая прогрессия не может существовать.

Ответ: Не существует.

4.5. Используя калькулятор, расположите в порядке возрастания числа:

$\pi$, $\frac{22}{7}$, $\frac{355}{113}$, $3,14$, $3,1415$, $\sqrt[3]{31}$ и $\sqrt{9,91}$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо вычислить их приближенные значения с помощью калькулятора с достаточной точностью.

Вычислим значения для каждого числа:

• $\pi \approx 3,14159265...$
• $\frac{22}{7} = 22 \div 7 \approx 3,14285714...$
• $\frac{355}{113} = 355 \div 113 \approx 3,14159292...$
• $3,14$
• $3,1415$
• $\sqrt[3]{31} \approx 3,14138065...$
• $\sqrt{9,91} \approx 3,14801524...$

Теперь сравним полученные десятичные дроби и расположим их в порядке возрастания:

1. $3,14$
2. $\sqrt[3]{31} \approx 3,14138...$
3. $3,1415$
4. $\pi \approx 3,14159265...$
5. $\frac{355}{113} \approx 3,14159292...$
6. $\frac{22}{7} \approx 3,142857...$
7. $\sqrt{9,91} \approx 3,148015...$

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $3,14; \ \sqrt[3]{31}; \ 3,1415; \ \pi; \ \frac{355}{113}; \ \frac{22}{7}; \ \sqrt{9,91}$.

Ответ: $3,14; \ \sqrt[3]{31}; \ 3,1415; \ \pi; \ \frac{355}{113}; \ \frac{22}{7}; \ \sqrt{9,91}$.

4.6. Выпишите 5 различных чисел, расположенных между числами:

а) $0,123$ и $0,456$;

б) $-0,123$ и $-0,122$;

в) $3,1415$ и $3,1416$;

г) $-4,567$ и $-4,566$.

а) 0,123 и 0,456

Чтобы найти 5 различных чисел, расположенных между 0,123 и 0,456, нам нужно найти 5 чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $0,123 < x < 0,456$. Интервал между этими числами достаточно большой, поэтому мы можем легко выбрать подходящие значения. Например, можно выбрать числа, которые находятся между 0,123 и 0,456, изменяя десятичные разряды.

Примеры таких чисел:

• 0,124 (больше 0,123)
• 0,2 (больше 0,123 и меньше 0,456)
• 0,3 (также находится в интервале)
• 0,4 (также находится в интервале)
• 0,455 (меньше 0,456)

Все эти числа различны и лежат в заданном диапазоне.

Ответ: 0,124; 0,2; 0,3; 0,4; 0,455.

б) –0,123 и –0,122

Нам нужно найти 5 чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $-0,123 < x < -0,122$. Поскольку числа отрицательные, большее число имеет меньший модуль. Чтобы найти числа между ними, удобно добавить дополнительные знаки после запятой.

Представим наши числа в виде $-0,1230$ и $-0,1220$. Теперь задача состоит в том, чтобы найти числа между $-0,1230$ и $-0,1220$. Это числа, модуль которых находится между $0,1220$ и $0,1230$.

Мы можем выбрать следующие числа:

• $-0,1229$ (так как $-0,1230 < -0,1229 < -0,1220$)
• $-0,1228$
• $-0,1227$
• $-0,1226$
• $-0,1225$

Все эти числа различны и расположены в заданном интервале.

Ответ: –0,1229; –0,1228; –0,1227; –0,1226; –0,1225.

в) 3,1415 и 3,1416

Нужно найти 5 чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $3,1415 < x < 3,1416$. Эти два числа очень близки друг к другу. Чтобы найти числа между ними, добавим знаки после запятой.

Запишем наши числа как $3,14150$ и $3,14160$. Теперь мы ищем числа между $3,14150$ и $3,14160$. Мы можем просто добавлять цифры после $3,1415$.

Примеры таких чисел:

• $3,14151$
• $3,14152$
• $3,14153$
• $3,14154$
• $3,14155$

Все эти числа больше $3,1415$ и меньше $3,1416$.

Ответ: 3,14151; 3,14152; 3,14153; 3,14154; 3,14155.

г) –4,567 и –4,566

Мы ищем 5 чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $-4,567 < x < -4,566$. Как и в пункте б), мы работаем с отрицательными числами. Это значит, что мы ищем числа, модуль которых находится между $|-4,566|$ и $|-4,567|$, то есть между $4,566$ и $4,567$.

Представим числа с дополнительным нулем на конце: $-4,5670$ и $-4,5660$. Теперь нам нужно найти числа в интервале $(-4,5670, -4,5660)$.

Мы можем выбрать следующие числа:

• $-4,5669$ (так как $-4,5670 < -4,5669 < -4,5660$)
• $-4,5668$
• $-4,5667$
• $-4,5666$
• $-4,5665$

Все выбранные числа являются различными и находятся в заданном интервале.

Ответ: –4,5669; –4,5668; –4,5667; –4,5666; –4,5665.