Страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3.3. а) Пусть $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь и $q > 1$. Докажите, что натуральная степень $(\frac{p}{q})^n$, $n \in N$, есть также несократимая дробь.

б) Пусть $a^n$, $n \in N$, — целое число. Докажите, что $a$ — либо целое, либо иррациональное число.

в) Опираясь на утверждения а) и б), докажите иррациональность числа $\sqrt[3]{21}$.

а) Пусть дана несократимая дробь $\frac{p}{q}$, где $p, q$ - целые числа, $q > 1$. По определению несократимой дроби, наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя равен 1, то есть $\text{НОД}(p, q) = 1$. Нам нужно доказать, что для любого натурального числа $n \in \mathbb{N}$ дробь $(\frac{p}{q})^n = \frac{p^n}{q^n}$ также является несократимой. Это равносильно доказательству того, что $\text{НОД}(p^n, q^n) = 1$. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что дробь $\frac{p^n}{q^n}$ сократима. Это означает, что $\text{НОД}(p^n, q^n) > 1$. Если НОД двух чисел больше единицы, то у них есть общий простой делитель. Обозначим этот простой делитель как $d$. Таким образом, $p^n$ делится на $d$, и $q^n$ делится на $d$. Согласно основной теореме арифметики (или лемме Евклида), если простое число делит произведение нескольких множителей, то оно должно делить хотя бы один из этих множителей. Поскольку $d$ делит $p^n = p \cdot p \cdot \ldots \cdot p$ ($n$ раз), то $d$ должно делить $p$. Аналогично, поскольку $d$ делит $q^n = q \cdot q \cdot \ldots \cdot q$ ($n$ раз), то $d$ должно делить $q$. Мы пришли к тому, что простое число $d$ является общим делителем для $p$ и $q$. Это означает, что $\text{НОД}(p, q) \ge d$. Так как $d$ — простое число, то $d > 1$, и, следовательно, $\text{НОД}(p, q) > 1$. Однако это противоречит нашему исходному условию о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то есть $\text{НОД}(p, q) = 1$. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, дробь $\frac{p^n}{q^n}$ является несократимой.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Пусть для некоторого числа $a$ и натурального числа $n \in \mathbb{N}$ известно, что $a^n$ — целое число. Нужно доказать, что $a$ является либо целым, либо иррациональным числом. Любое действительное число $a$ по определению является либо рациональным, либо иррациональным. Рассмотрим эти два случая. 1. Если $a$ — иррациональное число, то условие "либо целое, либо иррациональное" выполняется. 2. Если $a$ — рациональное число, то его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ и $\text{НОД}(p, q) = 1$. Тогда $a^n = (\frac{p}{q})^n = \frac{p^n}{q^n}$. По условию задачи, $a^n$ — это целое число. Если $q = 1$, то $a = \frac{p}{1} = p$, то есть $a$ является целым числом. В этом случае утверждение "либо целое, либо иррациональное" также выполняется. Если же $q > 1$, то, согласно доказанному в пункте а), дробь $\frac{p^n}{q^n}$ является несократимой. Несократимая дробь может быть целым числом только в том случае, если ее знаменатель равен 1. В нашем случае знаменатель равен $q^n$. Поскольку $q > 1$ и $n \ge 1$, то $q^n > 1^n = 1$. Таким образом, при $q > 1$ дробь $\frac{p^n}{q^n}$ является несократимой со знаменателем, большим 1, а значит, она не может быть целым числом. Это противоречит условию, что $a^n$ — целое число. Следовательно, случай, когда $a$ — рациональное число, но не целое (т.е. $q > 1$), невозможен. Из этого следует, что если $a$ — рациональное число, то оно обязательно должно быть целым. Таким образом, для числа $a$ остаются только две возможности: оно либо целое, либо иррациональное.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Опираясь на доказанные утверждения, докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{21}$. Пусть $a = \sqrt[3]{21}$. Мы хотим доказать, что $a$ — иррациональное число. Применим утверждение из пункта б). Для этого нам нужно найти такое натуральное $n$, чтобы $a^n$ было целым числом. Выберем $n=3$. Тогда $a^n = a^3 = (\sqrt[3]{21})^3 = 21$. Число 21 является целым. Следовательно, для $a = \sqrt[3]{21}$ и $n=3$ условия пункта б) выполнены. Согласно выводу из пункта б), число $a = \sqrt[3]{21}$ должно быть либо целым, либо иррациональным. Теперь проверим, является ли $a = \sqrt[3]{21}$ целым числом. Рассмотрим кубы целых чисел, близких к 21: $2^3 = 8$ $3^3 = 27$ Так как $8 < 21 < 27$, мы можем заключить, что $2 < \sqrt[3]{21} < 3$. Поскольку $\sqrt[3]{21}$ находится между двумя последовательными целыми числами, оно не может быть целым числом. Итак, мы установили, что число $\sqrt[3]{21}$ является либо целым, либо иррациональным, и при этом показали, что оно не целое. Единственная оставшаяся возможность заключается в том, что оно иррационально.
Ответ: Иррациональность числа $\sqrt[3]{21}$ доказана.

3.4. Каким числом, рациональным или иррациональным, является:

а) сумма рационального и иррационального чисел;

б) разность рационального и иррационального чисел;

в) произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа;

г) частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа?

а) сумма рационального и иррационального чисел;

Пусть $r$ — рациональное число ($r \in \mathbb{Q}$), а $i$ — иррациональное число ($i \in \mathbb{I}$).
Рассмотрим их сумму $S = r + i$.
Докажем от противного. Предположим, что сумма $S$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму как $S_r$, где $S_r \in \mathbb{Q}$.
Тогда мы имеем равенство: $S_r = r + i$.
Выразим из этого равенства иррациональное число $i$:
$i = S_r - r$.
Поскольку $S_r$ и $r$ — рациональные числа, их разность также является рациональным числом (множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания).
Следовательно, $i$ должно быть рациональным числом. Но это противоречит нашему первоначальному условию, что $i$ — иррациональное число.
Таким образом, наше предположение было неверным, и сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональным числом.

Ответ: иррациональным.

б) разность рационального и иррационального чисел;

Пусть $r \in \mathbb{Q}$ и $i \in \mathbb{I}$. Рассмотрим их разность $D = r - i$.
Предположим от противного, что разность $D$ является рациональным числом. Обозначим ее как $D_r$, где $D_r \in \mathbb{Q}$.
Тогда $D_r = r - i$.
Выразим $i$ из этого равенства:
$i = r - D_r$.
Так как $r$ и $D_r$ — рациональные числа, их разность $r - D_r$ также является рациональным числом.
Это означает, что $i$ — рациональное число, что противоречит условию.
Следовательно, разность рационального и иррационального чисел всегда иррациональна. Аналогичное доказательство можно провести и для разности $i - r$.

Ответ: иррациональным.

в) произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа;

Пусть $r$ — не равное нулю рациональное число ($r \in \mathbb{Q}, r \neq 0$), а $i$ — иррациональное число ($i \in \mathbb{I}$).
Рассмотрим их произведение $P = r \cdot i$.
Предположим от противного, что произведение $P$ является рациональным числом. Обозначим его как $P_r$, где $P_r \in \mathbb{Q}$.
Тогда $P_r = r \cdot i$.
Поскольку по условию $r \neq 0$, мы можем разделить обе части равенства на $r$ и выразить $i$:
$i = \frac{P_r}{r}$.
Так как $P_r$ и $r$ — рациональные числа и $r \neq 0$, их частное $\frac{P_r}{r}$ также является рациональным числом (множество рациональных чисел замкнуто относительно деления на ненулевое число).
Таким образом, $i$ должно быть рациональным числом, что противоречит условию.
Наше предположение неверно.

Ответ: иррациональным.

г) частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа?

Пусть $r$ — не равное нулю рациональное число ($r \in \mathbb{Q}, r \neq 0$), а $i$ — иррациональное число ($i \in \mathbb{I}$). Отметим, что любое иррациональное число также не равно нулю.
Рассмотрим их частное $Q = \frac{r}{i}$.
Предположим от противного, что частное $Q$ является рациональным числом. Обозначим его как $Q_r$, где $Q_r \in \mathbb{Q}$.
Так как $r \neq 0$, то и $Q_r$ не может быть равно нулю.
Тогда $Q_r = \frac{r}{i}$.
Выразим $i$ из этого равенства:
$i = \frac{r}{Q_r}$.
Поскольку $r$ и $Q_r$ — рациональные числа и $Q_r \neq 0$, их частное $\frac{r}{Q_r}$ является рациональным числом.
Это означает, что $i$ — рациональное число, что противоречит исходному условию.
Следовательно, наше предположение было ложным.

Ответ: иррациональным.

Какое из данных чисел является иррациональным:

3.5. а) $2,(2345)$;

б) $\sqrt{0,(4)}$;

в) $\sqrt{1,96}$;

г) $\sqrt{19,6}$?

Для того чтобы определить, какое из данных чисел является иррациональным, необходимо проанализировать каждый вариант.

а) 2,(2345)

Данное число является бесконечной периодической десятичной дробью. Любая периодическая дробь — это рациональное число, так как её можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$. В данном случае $2,(2345) = 2 + \frac{2345}{9999} = \frac{22343}{9999}$.

Ответ: рациональное число.

б) $\sqrt{0,(4)}$

Сначала преобразуем периодическую дробь $0,(4)$ в обыкновенную. Известно, что $0,(4) = 0,444... = \frac{4}{9}$. Теперь вычислим значение выражения: $\sqrt{0,(4)} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$. Полученное число является рациональным.

Ответ: рациональное число.

в) $\sqrt{1,96}$

Представим подкоренное выражение, которое является конечной десятичной дробью, в виде обыкновенной дроби: $1,96 = \frac{196}{100}$. Вычислим корень: $\sqrt{1,96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{100}} = \frac{14}{10} = 1,4$. Конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

г) $\sqrt{19,6}$

Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $19,6 = \frac{196}{10}$. Вычислим корень: $\sqrt{19,6} = \sqrt{\frac{196}{10}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{10}} = \frac{14}{\sqrt{10}}$. Поскольку число 10 не является точным квадратом целого числа, его корень $\sqrt{10}$ является иррациональным числом. Частное от деления рационального числа (14) на иррациональное ($\sqrt{10}$) также является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

3.6. a) $1 + \sqrt{12} - 2\sqrt{3}$;

б) $(7 - \sqrt{11}) \cdot (7 + \sqrt{11});$

В) $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$;

Г) $1 + \sqrt{2} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$?

а)

Чтобы решить выражение $1 + \sqrt{12} - 2\sqrt{3}$, сначала нужно упростить $\sqrt{12}$.

Представим число 12 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом: $12 = 4 \cdot 3$.

Тогда $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

$1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

Слагаемые $2\sqrt{3}$ и $-2\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$1 + 0 = 1$

Ответ: 1

б)

Выражение $(7 - \sqrt{11}) \cdot (7 + \sqrt{11})$ является произведением разности и суммы двух чисел. Для его решения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 7$ и $b = \sqrt{11}$.

Применяем формулу:

$(7 - \sqrt{11})(7 + \sqrt{11}) = 7^2 - (\sqrt{11})^2$

Вычисляем значения квадратов:

$7^2 = 49$

$(\sqrt{11})^2 = 11$

Выполняем вычитание:

$49 - 11 = 38$

Ответ: 38

в)

Рассмотрим выражение $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$.

В этом выражении используются корни из разных чисел ($\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$), которые нельзя упростить. Такие слагаемые не являются подобными, поэтому их нельзя сложить или вычесть.

Таким образом, данное выражение уже находится в своей простейшей форме.

Ответ: $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$

г)

Чтобы упростить выражение $1 + \sqrt{2} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$, преобразуем подкоренное выражение $3 - 2\sqrt{2}$.

Постараемся представить его в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для этого нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{2}$. Логично предположить, что $a = \sqrt{2}$ и $b = 1$.

Проверим первое условие: $a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$. Условие выполняется.

Следовательно, $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$.

Теперь можно извлечь корень: $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1|$.

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$, значит $|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$1 + \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = 2$

Ответ: 2

3.7. Приведите пример двух различных иррациональных чисел таких, что:

а) их сумма — рациональное число;

б) их разность — рациональное число;

в) их произведение — рациональное число;

г) их частное — рациональное число.

а) их сумма — рациональное число. Чтобы сумма двух иррациональных чисел была рациональной, их иррациональные части должны быть противоположными числами. Возьмем в качестве примера числа $a = 5 + \sqrt{2}$ и $b = 3 - \sqrt{2}$. Оба числа являются иррациональными, так как представляют собой сумму (или разность) рационального и иррационального чисел, и при этом $a \ne b$. Их сумма $a + b = (5 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 5 + 3 = 8$. Число 8 является рациональным.
Ответ: $5 + \sqrt{2}$ и $3 - \sqrt{2}$.

б) их разность — рациональное число. Чтобы разность двух иррациональных чисел была рациональной, их иррациональные части должны быть одинаковыми. Возьмем, например, числа $a = 7 + \sqrt{3}$ и $b = 4 + \sqrt{3}$. Оба числа являются иррациональными и различными. Их разность $a - b = (7 + \sqrt{3}) - (4 + \sqrt{3}) = 7 - 4 = 3$. Число 3 является рациональным.
Ответ: $7 + \sqrt{3}$ и $4 + \sqrt{3}$.

в) их произведение — рациональное число. Для примера возьмем два различных иррациональных числа $a = \sqrt{2}$ и $b = 3\sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ иррационально. Число $3\sqrt{2}$ также иррационально, так как является произведением ненулевого рационального числа на иррациональное. Найдем их произведение: $a \cdot b = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 3 \cdot 2 = 6$. Число 6 является рациональным.
Ответ: $\sqrt{2}$ и $3\sqrt{2}$.

г) их частное — рациональное число. Для примера возьмем два различных иррациональных числа $a = 10\sqrt{5}$ и $b = 2\sqrt{5}$. Оба числа иррациональны и различны. Найдем их частное: $\frac{a}{b} = \frac{10\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{2} = 5$. Число 5 является рациональным.
Ответ: $10\sqrt{5}$ и $2\sqrt{5}$.

3.8. Приведите пример, если это возможно, двух иррациональных различных чисел таких, что одновременно:

a) их сумма и разность — рациональные числа;

б) их произведение и частное — рациональные числа.

а) их сумма и разность — рациональные числа;

Предположим, что такие два различных иррациональных числа $x$ и $y$ существуют. По условию, их сумма и разность являются рациональными числами. Обозначим их:
$x + y = r_1$
$x - y = r_2$
где $x \notin \mathbb{Q}$, $y \notin \mathbb{Q}$, $x \neq y$, а $r_1 \in \mathbb{Q}$ и $r_2 \in \mathbb{Q}$.

Мы имеем систему из двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$. Решим эту систему. Сложив два уравнения, получим:
$(x + y) + (x - y) = r_1 + r_2$
$2x = r_1 + r_2$
$x = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(x + y) - (x - y) = r_1 - r_2$
$2y = r_1 - r_2$
$y = \frac{r_1 - r_2}{2}$

Поскольку $r_1$ и $r_2$ — рациональные числа, их сумма $r_1 + r_2$ и разность $r_1 - r_2$ также являются рациональными числами. Деление рационального числа на 2 (которое тоже рационально) дает в результате рациональное число. Следовательно, $x = \frac{r_1 + r_2}{2}$ должно быть рациональным числом, и $y = \frac{r_1 - r_2}{2}$ также должно быть рациональным числом.

Это противоречит исходному условию, согласно которому числа $x$ и $y$ иррациональны. Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Таких чисел не существует.

б) их произведение и частное — рациональные числа.

Да, такие числа существуют. Попробуем их найти. Пусть $x$ и $y$ — два различных иррациональных числа ($x \neq y$, $y \neq 0$). По условию, их произведение и частное являются рациональными числами. Обозначим их:
$x \cdot y = r_1$
$\frac{x}{y} = r_2$
где $x \notin \mathbb{Q}$, $y \notin \mathbb{Q}$, а $r_1 \in \mathbb{Q}$ и $r_2 \in \mathbb{Q}$. Так как $x \neq y$, то $r_2 \neq 1$.

Из второго уравнения выразим $x$:
$x = y \cdot r_2$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y \cdot r_2) \cdot y = r_1$
$y^2 \cdot r_2 = r_1$
$y^2 = \frac{r_1}{r_2}$

Чтобы число $y$ было иррациональным, необходимо, чтобы $y = \pm\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$ было иррациональным. Это возможно, если $\frac{r_1}{r_2}$ является положительным рациональным числом, которое не является квадратом другого рационального числа.

Выберем конкретные значения для $r_1$ и $r_2$, удовлетворяющие этим условиям. Пусть $r_2 = 2$ (рациональное, не равно 1). Пусть $\frac{r_1}{r_2} = 3$ (положительное, не является квадратом рационального числа). Тогда $r_1 = 3 \cdot r_2 = 3 \cdot 2 = 6$ (рациональное).

Теперь найдем $y$ и $x$:
$y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3}$. Это иррациональное число.
$x = y \cdot r_2 = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$. Это также иррациональное число.

Проверим, удовлетворяет ли найденная пара чисел $x = 2\sqrt{3}$ и $y = \sqrt{3}$ всем условиям:
1. $x = 2\sqrt{3}$ — иррациональное число.
2. $y = \sqrt{3}$ — иррациональное число.
3. Числа различны: $2\sqrt{3} \neq \sqrt{3}$.
4. Их произведение: $x \cdot y = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$. Число 6 — рациональное.
5. Их частное: $\frac{x}{y} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$. Число 2 — рациональное.
Все условия выполнены.

Ответ: Да, возможно. Например, числа $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.

3.9. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен:

а) $\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{3} - 5$;

в) $\sqrt{5} - 2$;

г) $\sqrt{3} - \sqrt{8}$.

Общий подход для решения данной задачи заключается в использовании теоремы Виета. Если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с целыми (а в общем случае, с рациональными) коэффициентами имеет иррациональный корень вида $p + \sqrt{q}$, то вторым корнем обязательно будет сопряженное ему число $p - \sqrt{q}$. Тогда приведенное квадратное уравнение можно составить по формуле $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

a) Дан корень $x_1 = \sqrt{2}$.

Для того чтобы коэффициенты уравнения были целыми, второй корень $x_2$ должен быть сопряженным к первому, то есть $x_2 = -\sqrt{2}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -2$.

Подставим найденные значения в формулу приведенного квадратного уравнения:

$x^2 - (0)x + (-2) = 0$

$x^2 - 2 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения (1, 0, -2) являются целыми.

Ответ: $x^2 - 2 = 0$.

б) Дан корень $x_1 = \sqrt{3} - 5$.

Представим корень в виде $x_1 = -5 + \sqrt{3}$. Сопряженным к нему будет корень $x_2 = -5 - \sqrt{3}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (-5 + \sqrt{3}) + (-5 - \sqrt{3}) = -10$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-5 + \sqrt{3})(-5 - \sqrt{3}) = (-5)^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22$.

Составим уравнение:

$x^2 - (-10)x + 22 = 0$

$x^2 + 10x + 22 = 0$.

Коэффициенты (1, 10, 22) являются целыми.

Ответ: $x^2 + 10x + 22 = 0$.

в) Дан корень $x_1 = \sqrt{5} - 2$.

Представим корень в виде $x_1 = -2 + \sqrt{5}$. Сопряженным к нему будет корень $x_2 = -2 - \sqrt{5}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (-2 + \sqrt{5}) + (-2 - \sqrt{5}) = -4$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-2 + \sqrt{5})(-2 - \sqrt{5}) = (-2)^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$.

Составим уравнение:

$x^2 - (-4)x + (-1) = 0$

$x^2 + 4x - 1 = 0$.

Коэффициенты (1, 4, -1) являются целыми.

Ответ: $x^2 + 4x - 1 = 0$.

г) Дан корень $x_1 = \sqrt{3} - \sqrt{8}$.

Этот корень содержит два иррациональных слагаемых. Попытаемся составить уравнение, изолировав иррациональность. Пусть $x = \sqrt{3} - \sqrt{8}$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{8})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 3 - 2\sqrt{24} + 8 = 11 - 2\sqrt{24}$.

Упростим радикал: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

$x^2 = 11 - 2(2\sqrt{6}) = 11 - 4\sqrt{6}$.

В уравнении все еще есть иррациональность. Уединим ее:

$x^2 - 11 = -4\sqrt{6}$.

Снова возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от оставшегося корня:

$(x^2 - 11)^2 = (-4\sqrt{6})^2$

$x^4 - 22x^2 + 121 = 16 \cdot 6$

$x^4 - 22x^2 + 121 = 96$

$x^4 - 22x^2 + 25 = 0$.

Полученное уравнение имеет целые коэффициенты, и одним из его корней является $\sqrt{3} - \sqrt{8}$. Однако это уравнение является биквадратным (уравнением четвертой степени), а не квадратным. Квадратное уравнение с целыми коэффициентами не может иметь корень вида $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$, где $a,b$ - не квадраты рациональных чисел и $\sqrt{a/b}$ - иррациональное число. Таким образом, составить требуемое *квадратное* уравнение невозможно.

Ответ: Составить такое квадратное уравнение невозможно. Минимальное уравнение с целыми коэффициентами, имеющее такой корень, является уравнением четвертой степени: $x^4 - 22x^2 + 25 = 0$.

3.10. Докажите, что найдётся пара иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ таких, что:

а) $\alpha^2 - \beta$ — натуральное число;

б) $2\alpha^2 + 3\beta$ — целое отрицательное число.

Данную задачу следует понимать как два независимых пункта, так как одновременное выполнение обоих условий для одной пары иррациональных чисел невозможно. Если предположить, что оба условия выполняются одновременно:
$ \begin{cases} \alpha^2 - \beta = n, \text{ где } n \in \mathbb{N} \\ 2\alpha^2 + 3\beta = k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k < 0 \end{cases} $
Решая эту систему уравнений относительно $ \alpha^2 $ и $ \beta $, получим:
Из первого уравнения выразим $ \beta = \alpha^2 - n $. Подставим во второе:
$ 2\alpha^2 + 3(\alpha^2 - n) = k $
$ 5\alpha^2 - 3n = k \implies \alpha^2 = \frac{k + 3n}{5} $
Тогда $ \beta = \alpha^2 - n = \frac{k + 3n}{5} - n = \frac{k - 2n}{5} $.
Поскольку $ n $ и $ k $ — целые числа, то $ \beta = \frac{k - 2n}{5} $ является рациональным числом. Это противоречит условию, что $ \beta $ — иррациональное число.
Следовательно, докажем существование пар для каждого пункта отдельно.

а) Нам нужно доказать, что найдутся иррациональные числа $ \alpha $ и $ \beta $ такие, что $ \alpha^2 - \beta $ — натуральное число.
Пусть $ n $ — любое натуральное число, например, $ n = 3 $.
Выберем иррациональное число $ \alpha $ таким образом, чтобы $ \alpha^2 $ также было иррациональным. Например, пусть $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $. Число $ \alpha $ иррационально.
Тогда $ \alpha^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} $. Это число также иррационально.
Теперь подберем иррациональное число $ \beta $. Из условия $ \alpha^2 - \beta = 3 $ следует:
$ (3 + 2\sqrt{2}) - \beta = 3 $
$ \beta = (3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2} $.
Число $ \beta = 2\sqrt{2} $ является иррациональным.
Таким образом, мы нашли пару иррациональных чисел $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $ и $ \beta = 2\sqrt{2} $, для которых выполняется условие $ \alpha^2 - \beta = 3 $, где 3 — натуральное число.
Ответ: Существует такая пара, например, $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $ и $ \beta = 2\sqrt{2} $.

б) Нам нужно доказать, что найдутся иррациональные числа $ \alpha $ и $ \beta $ такие, что $ 2\alpha^2 + 3\beta $ — целое отрицательное число.
Пусть $ k $ — любое целое отрицательное число, например, $ k = -6 $.
Снова выберем иррациональное число $ \alpha $ так, чтобы $ \alpha^2 $ было иррациональным. Пусть $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $. Мы уже знаем, что $ \alpha $ иррационально и $ \alpha^2 = 3 + 2\sqrt{2} $.
Подставим эти значения в условие $ 2\alpha^2 + 3\beta = -6 $:
$ 2(3 + 2\sqrt{2}) + 3\beta = -6 $
$ 6 + 4\sqrt{2} + 3\beta = -6 $
$ 3\beta = -6 - 6 - 4\sqrt{2} $
$ 3\beta = -12 - 4\sqrt{2} $
$ \beta = \frac{-12 - 4\sqrt{2}}{3} = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} $.
Число $ \beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} $ является иррациональным, так как это сумма рационального числа и иррационального.
Таким образом, мы нашли пару иррациональных чисел $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $ и $ \beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} $, для которых выполняется условие $ 2\alpha^2 + 3\beta = -6 $, где -6 — целое отрицательное число.
Ответ: Существует такая пара, например, $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $ и $ \beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} $.