Страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

118. a) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии $-14; -11,5; -9; \dots$ положительны.

б) Определите, начиная с какого номера все члены данной арифметической прогрессии $28; 26,5; 25; \dots$ отрицательны.

а) Чтобы определить, с какого номера все члены арифметической прогрессии $-14; -11,5; -9; ...$ станут положительными, нужно найти ее параметры и решить соответствующее неравенство.

1. Найдем первый член $a_1$ и разность $d$ прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = -14$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -11,5 - (-14) = -11,5 + 14 = 2,5$.

2. Запишем формулу n-го члена $a_n$ данной прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $a_n = -14 + (n-1) \cdot 2,5$.

3. Найдем номер $n$, начиная с которого члены прогрессии будут положительными.
Для этого решим неравенство $a_n > 0$:
$-14 + (n-1) \cdot 2,5 > 0$
$2,5(n-1) > 14$
$n-1 > \frac{14}{2,5}$
$n-1 > 5,6$
$n > 6,6$

4. Определим итоговый номер.
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, наименьшее натуральное число, которое больше 6,6, это 7.
Следовательно, начиная с 7-го номера, все члены прогрессии будут положительны.

Ответ: 7.

б) Чтобы определить, с какого номера все члены арифметической прогрессии $28; 26,5; 25; ...$ станут отрицательными, нужно выполнить аналогичные действия.

1. Найдем первый член $a_1$ и разность $d$ прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 28$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 26,5 - 28 = -1,5$.

2. Запишем формулу n-го члена $a_n$ данной прогрессии.
Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $a_n = 28 + (n-1) \cdot (-1,5)$.

3. Найдем номер $n$, начиная с которого члены прогрессии будут отрицательными.
Для этого решим неравенство $a_n < 0$:
$28 + (n-1) \cdot (-1,5) < 0$
$28 - 1,5(n-1) < 0$
$28 < 1,5(n-1)$
$n-1 > \frac{28}{1,5}$
$n-1 > \frac{280}{15}$
$n-1 > \frac{56}{3}$
$n-1 > 18\frac{2}{3}$
$n > 19\frac{2}{3}$

4. Определим итоговый номер.
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, наименьшее натуральное число, которое больше $19\frac{2}{3}$, это 20.
Следовательно, начиная с 20-го номера, все члены прогрессии будут отрицательны.

Ответ: 20.

119. a) Найдите число членов геометрической прогрессии ($b_n$), если

$b_1 = 6, q = 3, S_n = 726.$

б) Найдите число членов геометрической прогрессии ($b_n$), если

$b_1 = 128, q = \frac{1}{2}, b_n = \frac{1}{4}.$

а) Чтобы найти число членов геометрической прогрессии $n$, используем формулу суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В эту формулу подставим данные из условия задачи: $b_1 = 6$, $q = 3$, $S_n = 726$.

$726 = \frac{6(3^n - 1)}{3 - 1}$

Упростим знаменатель:

$726 = \frac{6(3^n - 1)}{2}$

Выполним деление:

$726 = 3(3^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$242 = 3^n - 1$

Перенесем 1 в левую часть уравнения:

$242 + 1 = 3^n$

$243 = 3^n$

Чтобы найти $n$, представим число 243 как степень с основанием 3. Известно, что $3^5 = 243$.

$3^5 = 3^n$

Следовательно, $n = 5$.

Ответ: 5

б) Чтобы найти число членов геометрической прогрессии $n$, используем формулу $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в формулу известные значения: $b_1 = 128$, $q = \frac{1}{2}$, $b_n = \frac{1}{4}$.

$\frac{1}{4} = 128 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 128:

$\frac{1}{4 \cdot 128} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{1}{512} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Теперь представим левую часть уравнения как степень с основанием $\frac{1}{2}$. Так как $512 = 2^9$, то $\frac{1}{512} = \frac{1}{2^9} = (\frac{1}{2})^9$.

Получаем уравнение:

$(\frac{1}{2})^9 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$9 = n - 1$

Решаем полученное уравнение относительно $n$:

$n = 9 + 1$

$n = 10$

Ответ: 10

120. Между числами 7 и 448 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

Пусть искомое положительное число равно $x$. По условию задачи, числа $7$, $x$ и $448$ должны образовывать три последовательных члена геометрической прогрессии.

Обозначим эти члены как $b_1 = 7$, $b_2 = x$ и $b_3 = 448$.

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что каждый ее член, начиная со второго, является средним геометрическим для предыдущего и последующего членов. Математически это выражается формулой: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Применительно к нашей задаче, для второго члена $b_2$ это свойство выглядит так: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим известные значения в эту формулу: $x^2 = 7 \cdot 448$

Вычислим произведение в правой части уравнения: $x^2 = 3136$

Теперь найдем значение $x$, извлекая квадратный корень: $x = \pm\sqrt{3136}$ $x = \pm56$

По условию задачи требуется вставить положительное число, поэтому из двух полученных корней ($56$ и $-56$) мы выбираем положительный.

Таким образом, искомое число равно $56$.

Проверим, образуют ли числа $7, 56, 448$ геометрическую прогрессию. Для этого найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{56}{7} = 8$ $q = \frac{448}{56} = 8$
Поскольку отношение соседних членов постоянно и равно $8$, эти числа действительно являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответ: 56

121. Найдите значение $p$, при котором числа $p - 5$, $\sqrt{7p}$, $p + 4$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$ и $b_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться ее характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов. Математически это записывается так: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

В нашей задаче даны следующие три числа: $b_1 = p - 5$, $b_2 = \sqrt{7p}$ и $b_3 = p + 4$.

Прежде чем приступить к решению, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $p$. Поскольку второй член прогрессии, $b_2 = \sqrt{7p}$, содержит квадратный корень, выражение под корнем не может быть отрицательным. Следовательно, должно выполняться условие:
$7p \ge 0$, что означает $p \ge 0$.

Теперь применим свойство геометрической прогрессии к данным числам, подставив их в формулу $b_2^2 = b_1 \cdot b_

122. Клиент положил в банк 30000 р. с ежеквартальным начислением 3 % сроком на полтора года. Какая сумма по вкладу будет им получена в конце срока?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, так как проценты начисляются периодически и прибавляются к основной сумме вклада, после чего на новую, увеличенную сумму также начисляются проценты.

Формула для расчета итоговой суммы $S$ по вкладу со сложными процентами:

$S = P \cdot (1 + r)^n$

где:

• $P$ — первоначальная сумма вклада;
• $r$ — процентная ставка за один период начисления, выраженная в виде десятичной дроби;
• $n$ — общее количество периодов начисления.

Исходя из условий задачи, определим значения переменных:

• Первоначальная сумма вклада $P = 30000$ р.
• Процентная ставка составляет 3% за квартал. Для расчетов переведем ее в десятичную дробь: $r = \frac{3}{100} = 0.03$.
• Срок вклада — полтора года. Поскольку проценты начисляются ежеквартально, необходимо рассчитать общее количество кварталов за этот период. В одном году 4 квартала.

Найдем общее количество периодов начисления $n$:

$n = 1.5 \text{ года} \times 4 \text{ квартала/год} = 6$ кварталов.

Теперь подставим все значения в формулу и произведем расчет:

$S = 30000 \cdot (1 + 0.03)^6$

$S = 30000 \cdot (1.03)^6$

Вычислим $(1.03)^6$:

$(1.03)^6 \approx 1.1940523$

Теперь найдем итоговую сумму на вкладе:

$S = 30000 \cdot 1.1940523 = 35821.569$

Округлим полученную сумму до копеек (до сотых):

$S \approx 35821.57$ р.

Ответ: В конце срока клиент получит сумму 35821,57 р.

123. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если к первому из них прибавить 25, второе оставить без изменения, а третье разделить на 3, то получатся три числа арифметической прогрессии. Найдите данные числа, если второе число равно 60.

Пусть искомые три числа, составляющие геометрическую прогрессию, будут $b_1, b_2, b_3$. По условию задачи, второй член этой прогрессии равен 60, то есть $b_2 = 60$.

Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через $q$. Тогда ее члены можно выразить через $b_2$ и $q$:
$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{60}{q}$
$b_2 = 60$
$b_3 = b_2 \cdot q = 60q$

Далее, согласно условию, мы производим следующие действия с этими числами:

• К первому числу прибавляем 25: $a_1 = b_1 + 25 = \frac{60}{q} + 25$
• Второе число оставляем без изменения: $a_2 = b_2 = 60$
• Третье число делим на 3: $a_3 = \frac{b_3}{3} = \frac{60q}{3} = 20q$

Полученные три числа $a_1, a_2, a_3$ образуют арифметическую прогрессию.

Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим своих соседей. Для наших чисел это записывается как:$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Подставим в это равенство выражения для $a_1, a_2$ и $a_3$:$60 = \frac{(\frac{60}{q} + 25) + 20q}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $q$. Сначала умножим обе части на 2:$120 = \frac{60}{q} + 25 + 20q$

Перенесем 25 в левую часть уравнения:$120 - 25 = \frac{60}{q} + 20q$
$95 = \frac{60}{q} + 20q$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $q$ (при условии $q \neq 0$, что справедливо для геометрической прогрессии):$95q = 60 + 20q^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$20q^2 - 95q + 60 = 0$

Для удобства вычислений разделим все коэффициенты уравнения на 5:$4q^2 - 19q + 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 12 = 361 - 192 = 169 = 13^2$

Корни уравнения для $q$ равны:$q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{19 \pm 13}{8}$

Мы получаем два возможных значения для знаменателя $q$:
$q_1 = \frac{19 + 13}{8} = \frac{32}{8} = 4$
$q_2 = \frac{19 - 13}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Это означает, что существуют два набора исходных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

1. Если знаменатель $q = 4$, то исходные числа равны:
$b_1 = \frac{60}{4} = 15$
$b_2 = 60$
$b_3 = 60 \cdot 4 = 240$

2. Если знаменатель $q = \frac{3}{4}$, то исходные числа равны:
$b_1 = \frac{60}{3/4} = 60 \cdot \frac{4}{3} = 80$
$b_2 = 60$
$b_3 = 60 \cdot \frac{3}{4} = 45$

Ответ: 15, 60, 240 или 80, 60, 45.