Страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

72. Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Примем весь объём земляных работ за 1.

Пусть $t$ часов — это время, за которое более быстрый экскаватор выполнит всю работу в одиночку. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за час) составляет $\frac{1}{t}$.

Согласно условию, второй экскаватор выполняет эту же работу на 4 часа дольше. Следовательно, его время работы составляет $(t + 4)$ часов, а его производительность — $\frac{1}{t+4}$.

Два экскаватора, работая одновременно, выполняют работу за 3 часа 45 минут. Переведём это время в часы для удобства расчетов:

$3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ часа.

Общая производительность двух экскаваторов при совместной работе равна сумме их индивидуальных производительностей:

$P_{общ} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t+4}$

С другой стороны, общая производительность — это работа, делённая на время совместной работы:

$P_{общ} = \frac{1}{15/4} = \frac{4}{15}$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности:

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+4} = \frac{4}{15}$

Для решения этого уравнения приведём дроби в левой части к общему знаменателю $t(t+4)$:

$\frac{(t+4) + t}{t(t+4)} = \frac{4}{15}$

$\frac{2t+4}{t^2+4t} = \frac{4}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение):

$15 \cdot (2t+4) = 4 \cdot (t^2+4t)$

$30t + 60 = 4t^2 + 16t$

Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4t^2 + 16t - 30t - 60 = 0$

$4t^2 - 14t - 60 = 0$

Для упрощения расчетов разделим все члены уравнения на 2:

$2t^2 - 7t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-7) + 17}{2 \cdot 2} = \frac{7+17}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$t_2 = \frac{-(-7) - 17}{2 \cdot 2} = \frac{7-17}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Поскольку время $t$ не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -2.5$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, время работы первого (более быстрого) экскаватора составляет 6 часов.

Время работы второго экскаватора на 4 часа больше:

$t + 4 = 6 + 4 = 10$ часов.

Ответ: одному экскаватору требуется 6 часов, а другому — 10 часов для выполнения того же объёма земляных работ.

73. Два тракториста, работая совместно, вспахали поле за 48 ч. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 ч. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно?

Примем всю работу по вспашке поля за 1.

Пусть $t_1$ — время в часах, за которое первый тракторист может вспахать все поле, работая в одиночку, а $t_2$ — время в часах, за которое второй тракторист может вспахать все поле самостоятельно.

Тогда производительность (скорость работы) первого тракториста равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ поля/час, а производительность второго — $v_2 = \frac{1}{t_2}$ поля/час.

Из первого условия, работая вместе, они вспахали поле за 48 часов. Их совместная производительность составляет $v_1 + v_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение, используя формулу Работа = Производительность ? Время:

$(v_1 + v_2) \cdot 48 = 1$

Подставив выражения для производительностей, получаем:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 48 = 1 \implies \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{48}$

Из второго условия, если один вспашет половину поля (работа равна $\frac{1}{2}$), а затем второй — оставшуюся половину (работа также равна $\frac{1}{2}$), то общее время составит 100 часов. Время, которое первый тракторист потратит на половину поля, равно $\frac{1/2}{v_1} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$. Время, которое второй тракторист потратит на вторую половину поля, равно $\frac{1/2}{v_2} = \frac{t_2}{2}$.

Составляем второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 100$

Умножим обе части этого уравнения на 2:

$t_1 + t_2 = 200$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{48} \\ t_1 + t_2 = 200 \end{cases}$

Выразим $t_2$ из второго уравнения: $t_2 = 200 - t_1$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{200 - t_1} = \frac{1}{48}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(200 - t_1) + t_1}{t_1(200 - t_1)} = \frac{1}{48}$

$\frac{200}{200t_1 - t_1^2} = \frac{1}{48}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$200 \cdot 48 = 1 \cdot (200t_1 - t_1^2)$

$9600 = 200t_1 - t_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_1^2 - 200t_1 + 9600 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9600 = 40000 - 38400 = 1600$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{200 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{200 \pm 40}{2}$

$t_{1,1} = \frac{200 + 40}{2} = \frac{240}{2} = 120$

$t_{1,2} = \frac{200 - 40}{2} = \frac{160}{2} = 80$

Теперь найдем соответствующие значения для $t_2$ с помощью соотношения $t_2 = 200 - t_1$:

1. Если $t_1 = 120$, то $t_2 = 200 - 120 = 80$.

2. Если $t_1 = 80$, то $t_2 = 200 - 80 = 120$.

В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару времен. Это означает, что один тракторист может вспахать поле за 80 часов, а другой — за 120 часов.

Ответ: один тракторист мог бы вспахать поле за 80 часов, а другой — за 120 часов.

74. Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за 2 ч. Если один из них сделает $40\%$ задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится 4 ч. За какое время сможет выполнить всё задание каждый рабочий, действуя в одиночку, если известно, что производительность труда у них различная?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_1$ и $t_2$ — это время в часах, за которое первый и второй рабочий соответственно могут выполнить всю работу, действуя в одиночку. Тогда их производительность (объем работы, выполняемый за один час) будет равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ и $v_2 = \frac{1}{t_2}$. Всю работу примем за 1.

Исходя из первого условия, что двое рабочих вместе справляются с заданием за 2 часа, мы можем составить первое уравнение. Их совместная производительность равна $v_1 + v_2$, и за 2 часа они выполняют всю работу:

$(v_1 + v_2) \cdot 2 = 1 \implies v_1 + v_2 = \frac{1}{2}$

Подставим выражения для производительности через время:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{2}$ (1)

Второе условие гласит, что если один из них сделает 40% (то есть 0,4) задания, а затем второй — оставшуюся часть (100% - 40% = 60%, то есть 0,6), на выполнение всего задания понадобится 4 часа. Это условие создает два возможных сценария, так как не указано, какой именно рабочий начинает.

Случай А: Первый рабочий выполняет 40% задания, а второй — 60%.
Время, которое потратит первый рабочий, равно $0.4 \cdot t_1$.
Время, которое потратит второй рабочий, равно $0.6 \cdot t_2$.
Общее время составляет 4 часа, что дает нам второе уравнение:

$0.4t_1 + 0.6t_2 = 4$ (2а)

Случай Б: Второй рабочий выполняет 40% задания, а первый — 60%.
В этом случае уравнение будет таким:

$0.6t_1 + 0.4t_2 = 4$ (2б)

Решим систему уравнений, например, для Случая Б.

Система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{2} \\ 0.6t_1 + 0.4t_2 = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения (умножим его на 10 и разделим на 2 для удобства) выразим $t_1$:

$6t_1 + 4t_2 = 40 \implies 3t_1 + 2t_2 = 20 \implies 3t_1 = 20 - 2t_2 \implies t_1 = \frac{20 - 2t_2}{3}$

Теперь преобразуем первое уравнение системы, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{t_2 + t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{2} \implies 2(t_1 + t_2) = t_1 t_2$

Подставим в него выражение для $t_1$:

$2\left(\frac{20 - 2t_2}{3} + t_2\right) = \left(\frac{20 - 2t_2}{3}\right) \cdot t_2$

Упростим выражение в скобках в левой части:

$2\left(\frac{20 - 2t_2 + 3t_2}{3}\right) = 2\left(\frac{20 + t_2}{3}\right) = \frac{40 + 2t_2}{3}$

Теперь приравняем левую и правую части:

$\frac{40 + 2t_2}{3} = \frac{20t_2 - 2t_2^2}{3}$

Умножим обе части на 3 и соберем все члены в одной стороне, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$40 + 2t_2 = 20t_2 - 2t_2^2$

$2t_2^2 - 18t_2 + 40 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$t_2^2 - 9t_2 + 20 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета: сумма корней равна 9, а их произведение равно 20. Это числа 4 и 5.

1. Если $t_2 = 4$ часа, то найдем $t_1$ из выражения $t_1 = \frac{20 - 2t_2}{3}$:
$t_1 = \frac{20 - 2(4)}{3} = \frac{20-8}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
В этом случае $t_1 = t_2 = 4$, что означает, что производительность рабочих одинаковая. Это противоречит условию задачи, где сказано, что производительность у них различная.

2. Если $t_2 = 5$ часов, то найдем $t_1$:
$t_1 = \frac{20 - 2(5)}{3} = \frac{20-10}{3} = \frac{10}{3}$.
В этом случае времена выполнения работы $t_1 = \frac{10}{3}$ часа и $t_2 = 5$ часов — различны, что соответствует условию задачи.

Если бы мы решали систему для Случая А, мы бы получили те же значения, только $t_1=5$ и $t_2=10/3$. Поскольку в задаче не уточняется, какой из рабочих "первый", а какой "второй", то набор времен выполнения работы для двух рабочих один и тот же.

Таким образом, один из рабочих выполняет всю работу за 5 часов, а другой — за $\frac{10}{3}$ часа.

Переведем $\frac{10}{3}$ часа в часы и минуты:

$\frac{10}{3} \text{ ч} = 3\frac{1}{3} \text{ ч} = 3 \text{ часа} + \frac{1}{3} \cdot 60 \text{ минут} = 3 \text{ часа } 20 \text{ минут}.$

Ответ: Один рабочий сможет выполнить все задание за 5 часов, а другой — за 3 часа 20 минут.

75. Университет в течение двух лет увеличивал количество принятых студентов на один и тот же процент. На сколько процентов увеличивался приём студентов ежегодно, если количество поступивших возросло с 2000 человек до 2880?

Пусть $S_0$ — начальное количество принятых студентов, а $S_2$ — количество студентов через два года. По условию, $S_0 = 2000$ и $S_2 = 2880$.

Пусть $p$ — ежегодный процент увеличения приёма студентов. Тогда коэффициент ежегодного увеличения равен $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Через год количество студентов составит $S_1 = S_0 \cdot k$.

Еще через год, поскольку процент увеличения тот же, количество студентов составит $S_2 = S_1 \cdot k$.

Подставив выражение для $S_1$, получим формулу для количества студентов через два года:

$S_2 = (S_0 \cdot k) \cdot k = S_0 \cdot k^2$

Подставим известные значения в эту формулу:

$2880 = 2000 \cdot k^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти коэффициент увеличения $k$.

$k^2 = \frac{2880}{2000}$

Сократим дробь:

$k^2 = \frac{288}{200} = \frac{144}{100} = 1.44$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку количество студентов увеличивалось, нас интересует только положительное значение корня.

$k = \sqrt{1.44} = 1.2$

Теперь, зная коэффициент $k$, найдем процент увеличения $p$ из формулы $k = 1 + \frac{p}{100}$.

$1.2 = 1 + \frac{p}{100}$

$\frac{p}{100} = 1.2 - 1$

$\frac{p}{100} = 0.2$

$p = 0.2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, приём студентов ежегодно увеличивался на 20%.

Ответ: 20%

76. В сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, добавили 100 г золота. В результате содержание золота в сплаве увеличилось на 20 %. Сколько граммов серебра в сплаве?

Пусть масса серебра в первоначальном сплаве составляет $x$ граммов.Изначально в сплаве было 80 г золота, следовательно, общая масса сплава была $80 + x$ г.Концентрация золота (доля золота в сплаве) в первоначальном сплаве вычисляется как отношение массы золота к общей массе сплава:$C_1 = \frac{80}{80 + x}$

После добавления 100 г золота, масса золота в новом сплаве стала $80 + 100 = 180$ г. Масса серебра осталась прежней, $x$ г.Общая масса нового сплава стала $180 + x$ г.Концентрация золота в новом сплаве:$C_2 = \frac{180}{180 + x}$

По условию, содержание золота в сплаве увеличилось на 20%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 20 процентных пунктов, или 0.2 в долях.$C_2 - C_1 = 0.2$Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:$\frac{180}{180 + x} - \frac{80}{80 + x} = 0.2$

Решим полученное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$\frac{180(80 + x) - 80(180 + x)}{(180 + x)(80 + x)} = 0.2$Раскроем скобки в числителе:$\frac{14400 + 180x - 14400 - 80x}{(180 + x)(80 + x)} = 0.2$Упростим числитель:$\frac{100x}{x^2 + 80x + 180x + 14400} = 0.2$$\frac{100x}{x^2 + 260x + 14400} = 0.2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель (так как масса $x$ должна быть положительной, знаменатель не равен нулю):$100x = 0.2(x^2 + 260x + 14400)$Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:$500x = x^2 + 260x + 14400$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + 260x - 500x + 14400 = 0$$x^2 - 240x + 14400 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=120$:$(x - 120)^2 = 0$Отсюда следует, что:$x - 120 = 0$$x = 120$Следовательно, масса серебра в сплаве равна 120 г.

Проверка:

• Первоначальный сплав: 80 г золота и 120 г серебра. Общая масса: $80 + 120 = 200$ г. Содержание золота: $\frac{80}{200} = 0.4$, или 40%.
• Новый сплав: $80 + 100 = 180$ г золота и 120 г серебра. Общая масса: $180 + 120 = 300$ г. Содержание золота: $\frac{180}{300} = 0.6$, или 60%.
• Увеличение содержания золота: $60\% - 40\% = 20\%$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 120 граммов серебра в сплаве.

77. В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30 %. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка?

Пусть $M$ - первоначальная масса сплава в кг, а $m_c$ - масса меди в сплаве в кг.

Согласно условию, первоначальная масса цинка в сплаве составляла 5 кг. Следовательно, первоначальная масса сплава: $M = m_c + 5$ кг.

Первоначальное содержание (концентрация) цинка в сплаве было: $C_1 = \frac{5}{M} = \frac{5}{m_c + 5}$

После того как в сплав добавили 15 кг цинка, масса цинка в новом сплаве стала: $5 + 15 = 20$ кг.

Общая масса нового сплава стала: $M_{new} = M + 15 = (m_c + 5) + 15 = m_c + 20$ кг.

Содержание цинка в новом сплаве стало: $C_2 = \frac{20}{M_{new}} = \frac{20}{m_c + 20}$

По условию, содержание цинка в сплаве повысилось на 30%, что означает, что новое содержание на 0.3 (30 процентных пунктов) больше первоначального: $C_2 = C_1 + 0.3$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение: $\frac{20}{m_c + 20} = \frac{5}{m_c + 5} + 0.3$

Для решения этого уравнения перенесем слагаемое с $m_c$ в левую часть: $\frac{20}{m_c + 20} - \frac{5}{m_c + 5} = 0.3$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{20(m_c + 5) - 5(m_c + 20)}{(m_c + 20)(m_c + 5)} = 0.3$

$\frac{20m_c + 100 - 5m_c - 100}{m_c^2 + 5m_c + 20m_c + 100} = 0.3$

$\frac{15m_c}{m_c^2 + 25m_c + 100} = 0.3$

Умножим обе части на знаменатель: $15m_c = 0.3(m_c^2 + 25m_c + 100)$

Разделим обе части на 0.3: $\frac{15}{0.3}m_c = m_c^2 + 25m_c + 100$

$50m_c = m_c^2 + 25m_c + 100$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $m_c^2 + 25m_c - 50m_c + 100 = 0$ $m_c^2 - 25m_c + 100 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 625 - 400 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения: $m_{c1} = \frac{-(-25) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 15}{2} = \frac{40}{2} = 20$ $m_{c2} = \frac{-(-25) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы получили два возможных значения для массы меди: 20 кг и 5 кг. Теперь используем последнее условие задачи: "в нём меди было больше, чем цинка". Первоначальная масса цинка была 5 кг. Значит, масса меди $m_c$ должна быть строго больше 5 кг ($m_c > 5$).

Проверим наши решения:

• Если $m_c = 20$ кг, то $20 > 5$. Это условие выполняется.
• Если $m_c = 5$ кг, то $5 > 5$ - это неверно ($5=5$). Это решение не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, единственно возможное значение массы меди - 20 кг.

Найдем первоначальную массу сплава $M$: $M = m_c + 5 = 20 + 5 = 25$ кг.

Ответ: 25 кг.

78. Слиток сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60 % меди?

Для решения этой задачи сначала определим начальное количество меди и цинка в сплаве, а затем составим уравнение, исходя из требуемого конечного процентного содержания меди.

Вычисление начальной массы компонентов

Общая масса слитка составляет $36$ кг. Содержание меди в нем — $45\%$.
Масса меди в исходном слитке равна:
$m_{меди1} = 36 \text{ кг} \times 0.45 = 16.2 \text{ кг}$

Масса цинка в слитке составляет оставшуюся часть. При добавлении чистой меди масса цинка в сплаве не меняется.
$m_{цинка} = 36 \text{ кг} - 16.2 \text{ кг} = 19.8 \text{ кг}$

Составление и решение уравнения

Обозначим массу меди, которую необходимо добавить, через $x$ (в кг).

После добавления меди новая масса меди в сплаве станет:
$m_{меди2} = m_{меди1} + x = 16.2 + x$

Новая общая масса всего сплава станет:
$m_{сплава2} = 36 + x$

По условию, в новом сплаве содержание меди должно составлять $60\%$. Это можно выразить следующей пропорцией:
$\frac{\text{новая масса меди}}{\text{новая масса сплава}} = 0.60$

Подставим полученные выражения в эту формулу:
$\frac{16.2 + x}{36 + x} = 0.6$

Решим это уравнение относительно $x$:
$16.2 + x = 0.6 \times (36 + x)$
$16.2 + x = 21.6 + 0.6x$
$x - 0.6x = 21.6 - 16.2$
$0.4x = 5.4$
$x = \frac{5.4}{0.4} = \frac{54}{4} = 13.5$

Следовательно, для получения сплава с 60% содержанием меди необходимо добавить 13,5 кг чистой меди.

Ответ: 13,5 кг.

79. Имеются два слитка, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый слиток массой 150 кг содержит 40 % олова, а второй массой 250 кг – 26 % меди. Процентное содержание цинка в обоих слитках одинаково. Сплавив первый и второй слитки, получили сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Сколько килограммов олова содержится в полученном сплаве?

Для решения задачи определим все известные и неизвестные параметры.
Масса первого слитка $m_1 = 150$ кг.
Масса второго слитка $m_2 = 250$ кг.
Содержание олова в первом слитке $c_{\text{Sn1}} = 40\% = 0.4$.
Содержание меди во втором слитке $c_{\text{Cu2}} = 26\% = 0.26$.
Процентное содержание цинка в обоих слитках одинаково, обозначим его как $z$. То есть $c_{\text{Zn1}} = c_{\text{Zn2}} = z$.

Сначала найдем неизвестное процентное содержание цинка $z$.
Масса нового сплава, полученного при сплавлении двух слитков, равна сумме их масс:
$m_{\text{общ}} = m_1 + m_2 = 150 + 250 = 400$ кг.

Масса цинка в первом слитке составляет $m_{\text{Zn1}} = m_1 \cdot z = 150z$.
Масса цинка во втором слитке составляет $m_{\text{Zn2}} = m_2 \cdot z = 250z$.
Общая масса цинка в новом сплаве равна сумме масс цинка из двух слитков:
$m_{\text{Zn_общ}} = m_{\text{Zn1}} + m_{\text{Zn2}} = 150z + 250z = 400z$.

По условию, в полученном сплаве содержится 30% цинка. Это значит, что массу цинка в нем можно также вычислить как долю от общей массы сплава:
$m_{\text{Zn_общ}} = m_{\text{общ}} \cdot 0.30 = 400 \cdot 0.30 = 120$ кг.

Теперь мы можем приравнять два выражения для общей массы цинка, чтобы найти $z$:
$400z = 120$
$z = \frac{120}{400} = \frac{12}{40} = 0.3$
Таким образом, процентное содержание цинка в каждом из исходных слитков составляет 30%.

Далее найдем массу олова в каждом слитке, чтобы определить его общую массу в конечном сплаве.
Масса олова в первом слитке:
Известно, что первый слиток содержит 40% олова, а его масса 150 кг.
$m_{\text{Sn1}} = 150 \text{ кг} \cdot 0.40 = 60$ кг.

Масса олова во втором слитке:
Сумма долей всех металлов в слитке равна 1 (или 100%). Во втором слитке содержится 26% меди и 30% цинка (как мы нашли). Найдем долю олова:
$c_{\text{Sn2}} = 1 - c_{\text{Cu2}} - c_{\text{Zn2}} = 1 - 0.26 - 0.30 = 0.44$.
Итак, второй слиток содержит 44% олова. Его масса 250 кг, следовательно, масса олова в нем:
$m_{\text{Sn2}} = 250 \text{ кг} \cdot 0.44 = 110$ кг.

Общая масса олова в полученном сплаве равна сумме масс олова из первого и второго слитков:
$m_{\text{Sn_общ}} = m_{\text{Sn1}} + m_{\text{Sn2}} = 60 \text{ кг} + 110 \text{ кг} = 170$ кг.

Ответ: 170 кг.

80. После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена одной упаковки лекарства снизилась с 300 до 192 р. На сколько процентов снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз?

Пусть начальная цена лекарства равна 300 рублям. Цена снижалась дважды на одно и то же число процентов. Обозначим это неизвестное число процентов за $x$.

Снижение цены на $x$ процентов означает, что новая цена составляет $(100 - x)\%$ от старой. Это можно выразить как умножение на коэффициент $k = (1 - \frac{x}{100})$.

После первого снижения цена $P_1$ станет:

$P_1 = 300 \cdot (1 - \frac{x}{100})$

После второго последовательного снижения на тот же процент, новая цена $P_2$ вычисляется от цены $P_1$:

$P_2 = P_1 \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 300 \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 300 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2$

По условию задачи, конечная цена $P_2$ равна 192 рублям. Составим и решим уравнение:

$300 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2 = 192$

Для начала выразим квадрат скобки:

$(1 - \frac{x}{100})^2 = \frac{192}{300}$

Сократим дробь в правой части уравнения. Оба числа делятся на 3 ($1+9+2=12$, $3+0+0=3$), а также на 4, т.к. 92 и 00 делятся на 4. Значит, можно сократить на 12:

$\frac{192}{300} = \frac{192 \div 12}{300 \div 12} = \frac{16}{25}$

Также можно было сократить последовательно. Сначала на 3: $\frac{64}{100}$. Затем на 4: $\frac{16}{25}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$(1 - \frac{x}{100})^2 = \frac{16}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку цена снижается, выражение в скобках должно быть положительным и меньше 1.

$1 - \frac{x}{100} = \sqrt{\frac{16}{25}}$

$1 - \frac{x}{100} = \frac{4}{5}$

Переведем дробь в десятичный формат для удобства: $\frac{4}{5} = 0.8$.

$1 - \frac{x}{100} = 0.8$

Теперь найдем значение $\frac{x}{100}$:

$\frac{x}{100} = 1 - 0.8$

$\frac{x}{100} = 0.2$

Отсюда находим $x$:

$x = 0.2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, цена каждый раз снижалась на 20%.

Ответ: 20%.