Страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

65. Два велосипедиста одновременно выехали из пункта А в одном и том же направлении. Скорость первого на $2 \text{ км/ч}$ больше скорости второго. Через 12 мин первый велосипедист остановился на 6 мин, чтобы устранить неисправность, и, возобновив движение, догнал второго велосипедиста на расстоянии 14 км от места своей остановки. Определите скорость велосипедистов.

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста, согласно условию, равна $x + 2$ км/ч.

Переведем единицы времени из минут в часы для удобства расчетов:
12 мин = $\frac{12}{60}$ ч = 0,2 ч.
6 мин = $\frac{6}{60}$ ч = 0,1 ч.

Рассмотрим движение поэтапно.
1. Первые 12 минут (0,2 часа) движения.
За это время первый велосипедист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = (x+2) \cdot 0,2$ км. После этого он остановился.
Второй велосипедист за это же время проехал $S_2 = v_2 \cdot t_1 = x \cdot 0,2$ км.

2. Остановка первого велосипедиста на 6 минут (0,1 часа).
В то время как первый велосипедист стоял, второй продолжал движение и проехал еще $x \cdot 0,1$ км.
К моменту, когда первый велосипедист возобновил движение, второй находился на расстоянии от пункта А, равном $x \cdot 0,2 + x \cdot 0,1 = 0,3x$ км.
Первый велосипедист находился в точке своей остановки на расстоянии $0,2(x+2)$ км от пункта А.
Таким образом, второй велосипедист опередил первого на расстояние:
$\Delta S = 0,3x - 0,2(x+2) = 0,3x - 0,2x - 0,4 = 0,1x - 0,4$ км.

3. Движение после остановки.
Первый велосипедист возобновил движение и догнал второго, проехав 14 км.
Время, которое он затратил, чтобы проехать эти 14 км, равно $t_{погони} = \frac{14}{v_1} = \frac{14}{x+2}$ ч.
За это же время второй велосипедист проехал расстояние $S_{2,погоня} = v_2 \cdot t_{погони} = x \cdot \frac{14}{x+2}$ км.

В момент встречи первый велосипедист догнал второго. Это означает, что за время погони он сократил первоначальное отставание $\Delta S$. Расстояние, на которое первый велосипедист приближается ко второму за час (скорость сближения), равно разности их скоростей: $v_1 - v_2 = (x+2) - x = 2$ км/ч.
Следовательно, первоначальное расстояние между ними можно выразить как:
$\Delta S = (\text{скорость сближения}) \cdot t_{погони}$
Подставим известные нам выражения:
$0,1x - 0,4 = 2 \cdot \frac{14}{x+2}$

Теперь решим полученное уравнение:
$0,1x - 0,4 = \frac{28}{x+2}$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x - 4 = \frac{280}{x+2}$
Умножим обе части на $(x+2)$, предполагая, что $x+2 \neq 0$ (скорость не может быть -2):
$(x - 4)(x + 2) = 280$
$x^2 + 2x - 4x - 8 = 280$
$x^2 - 2x - 288 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156$
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 34}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 34}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем значение $x = 18$.
Таким образом, скорость второго велосипедиста равна 18 км/ч.
Скорость первого велосипедиста равна $x + 2 = 18 + 2 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 20 км/ч, скорость второго велосипедиста — 18 км/ч.

66. От пристани $A$ до пристани $B$, расстояние между которыми 10 км, вниз по течению реки отправился плот. Через некоторое время вслед за ним отправился катер, который догнал плот через 15 мин и тут же, не меняя своей скорости, повернул обратно. Известно, что плот причалил к пристани $B$ на 54 мин позже, чем катер к пристани $A$. Найдите собственную скорость катера и время движения плота до момента начала движения катера от пристани $A$, если скорость течения реки 2 км/ч, а собственная скорость движения катера больше 10 км/ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_k$ – собственная скорость катера в км/ч.
• $v_t$ – скорость течения реки в км/ч. По условию, $v_t = 2$ км/ч. Скорость плота равна скорости течения.
• $t_0$ – время (в часах), которое плот двигался до момента отправления катера.
• $S$ – расстояние между пристанями А и В. По условию, $S = 10$ км.

Переведем минуты в часы для удобства расчетов:

• Время, за которое катер догнал плот: 15 мин = $15/60$ ч = $1/4$ ч.
• Разница во времени прибытия: 54 мин = $54/60$ ч = $9/10$ ч.

Решение задачи разобьем на несколько этапов.

1. Составление первого уравнения (момент встречи)

Плот отправился из пункта А и двигался в течение времени $t_0$ до старта катера. Катер догнал плот через $1/4$ часа после своего старта. К моменту встречи плот находился в пути $t_0 + 1/4$ часа, а катер – $1/4$ часа.

Скорость плота равна скорости течения: $v_п = v_t = 2$ км/ч.

Скорость катера по течению: $v_{k \text{ по теч.}} = v_k + v_t = v_k + 2$ км/ч.

К моменту встречи они прошли одинаковое расстояние от пристани А. Обозначим это расстояние $S_1$.

Расстояние, пройденное плотом: $S_1 = v_п \cdot (t_0 + 1/4) = 2(t_0 + 1/4)$.

Расстояние, пройденное катером: $S_1 = (v_k + 2) \cdot 1/4$.

Приравняем выражения для $S_1$:

$2(t_0 + 1/4) = (v_k + 2) \cdot 1/4$

$2t_0 + 1/2 = (v_k + 2)/4$

Умножим обе части на 4:

$8t_0 + 2 = v_k + 2$

$v_k = 8t_0$

Из этого соотношения можно выразить $t_0$ через $v_k$: $t_0 = v_k / 8$.

2. Составление второго уравнения (время прибытия)

Общее время движения плота от пристани А до пристани В:

$T_п = S / v_п = 10 / 2 = 5$ часов.

Теперь рассчитаем общее время, прошедшее с момента старта плота до момента возвращения катера на пристань А. Это время ($T_k$) складывается из времени $t_0$, времени движения катера до встречи ($1/4$ ч) и времени его возвращения на пристань А ($t_{возвр}$).

Расстояние от А до места встречи: $S_1 = (v_k + 2)/4$.

Скорость катера против течения: $v_{k \text{ пр. теч.}} = v_k - v_t = v_k - 2$ км/ч. (По условию $v_k > 10$, так что $v_k-2>0$).

Время возвращения катера: $t_{возвр} = S_1 / (v_k - 2) = \frac{(v_k + 2)/4}{v_k - 2} = \frac{v_k + 2}{4(v_k - 2)}$ ч.

Общее время для катера с момента старта плота:

$T_k = t_0 + 1/4 + t_{возвр} = \frac{v_k}{8} + \frac{1}{4} + \frac{v_k + 2}{4(v_k - 2)}$

По условию, плот причалил к пристани В на 54 минуты ($9/10$ ч) позже, чем катер вернулся к пристани А. Это означает:

$T_п = T_k + 9/10$

$5 = T_k + 9/10$

$T_k = 5 - 9/10 = 50/10 - 9/10 = 41/10$ ч.

3. Решение системы уравнений

Подставим выражение для $T_k$ в полученное равенство:

$\frac{v_k}{8} + \frac{1}{4} + \frac{v_k + 2}{4(v_k - 2)} = \frac{41}{10}$

Для упрощения можно сначала объединить все слагаемые с $v_k$. Приведем к общему знаменателю $8(v_k-2)$ левую часть:

$T_k = \frac{v_k(v_k-2)}{8(v_k-2)} + \frac{2(v_k-2)}{8(v_k-2)} + \frac{2(v_k+2)}{8(v_k-2)} = \frac{v_k^2 - 2v_k + 2v_k - 4 + 2v_k + 4}{8(v_k-2)} = \frac{v_k^2 + 2v_k}{8(v_k-2)}$

Теперь приравняем это выражение к $41/10$:

$\frac{v_k^2 + 2v_k}{8(v_k - 2)} = \frac{41}{10}$

Используем свойство пропорции:

$10(v_k^2 + 2v_k) = 41 \cdot 8(v_k - 2)$

$10v_k^2 + 20v_k = 328(v_k - 2)$

$10v_k^2 + 20v_k = 328v_k - 656$

$10v_k^2 - 308v_k + 656 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$5v_k^2 - 154v_k + 328 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-154)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 328 = 23716 - 6560 = 17156$

Найдем корни уравнения:

$v_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{154 \pm \sqrt{17156}}{2 \cdot 5} = \frac{154 \pm \sqrt{17156}}{10}$

По условию, собственная скорость катера больше 10 км/ч. Проверим оба корня.

Так как $130^2 = 16900$ и $131^2 = 17161$, то $\sqrt{17156}$ — это число, очень близкое к 131.

$v_{k1} = \frac{154 + \sqrt{17156}}{10} \approx \frac{154 + 130.98}{10} \approx 28.5$ км/ч. Этот корень удовлетворяет условию $v_k > 10$.

$v_{k2} = \frac{154 - \sqrt{17156}}{10} \approx \frac{154 - 130.98}{10} \approx 2.3$ км/ч. Этот корень не удовлетворяет условию $v_k > 10$.

Следовательно, единственным подходящим решением является $v_{k1}$. Запишем точное значение:

$v_k = \frac{154 + \sqrt{17156}}{10} = \frac{77 + \sqrt{4289}}{5}$ км/ч.

Теперь найдем время движения плота до начала движения катера $t_0$:

$t_0 = \frac{v_k}{8} = \frac{1}{8} \cdot \frac{77 + \sqrt{4289}}{5} = \frac{77 + \sqrt{4289}}{40}$ часов.

Можно перевести это время в минуты: $t_0 = \frac{77 + \sqrt{4289}}{40} \cdot 60 = \frac{3(77 + \sqrt{4289})}{2}$ минут.

Ответ:

Собственная скорость катера: $v_k = \frac{77 + \sqrt{4289}}{5}$ км/ч.

Время движения плота до момента начала движения катера: $t_0 = \frac{77 + \sqrt{4289}}{40}$ ч (или $\frac{3(77 + \sqrt{4289})}{2}$ минут).

67. Колонне автомашин было дано задание перевезти со склада в речной порт 60 т груза. В связи с неблагоприятной погодой на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, и поэтому колонну дополнили ещё четырьмя машинами. Сколько машин было в колонне первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество машин в колонне, а $y$ — это предполагаемая грузоподъемность одной машины в тоннах.

Согласно условию, колонна из $x$ машин должна была перевезти 60 тонн груза. Математически это можно записать в виде первого уравнения:
$x \cdot y = 60$

В связи с неблагоприятной погодой, фактическая загрузка каждой машины уменьшилась на 0,5 тонны и составила $(y - 0.5)$ тонны. Чтобы выполнить план по перевозке, количество машин пришлось увеличить на 4, и оно стало равно $(x + 4)$. Так как общий вес перевезенного груза остался прежним (60 тонн), мы можем составить второе уравнение:
$(x + 4)(y - 0.5) = 60$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$xy = 60$
$(x + 4)(y - 0.5) = 60$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = \frac{60}{x}$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$(x + 4)(\frac{60}{x} - 0.5) = 60$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Раскроем скобки в левой части:
$x \cdot \frac{60}{x} - x \cdot 0.5 + 4 \cdot \frac{60}{x} - 4 \cdot 0.5 = 60$
$60 - 0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 60$

Приведем подобные слагаемые:
$58 - 0.5x + \frac{240}{x} = 60$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы справа остался ноль:
$58 - 60 - 0.5x + \frac{240}{x} = 0$
$-2 - 0.5x + \frac{240}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя (мы можем это сделать, так как $x$, количество машин, не может быть равно нулю):
$-2x - 0.5x^2 + 240 = 0$

Для удобства решения умножим уравнение на -2 и расположим члены в стандартном порядке для квадратного уравнения:
$x^2 + 4x - 480 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{1936}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 44}{2}$

Вычисляем два возможных значения для $x$:
$x_1 = \frac{-4 + 44}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{-4 - 44}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как $x$ обозначает количество машин, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -24$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Единственным подходящим решением является $x_1 = 20$.

Таким образом, первоначально в колонне было 20 машин.

Ответ: 20.

68. Для перевозки 180 туристов было заказано несколько автобусов. Однако два автобуса не прибыли, а туристов приехало на 8 человек больше, чем ожидалось. Поэтому пришлось в каждом автобусе разместить на 17 человек больше, чем предполагалось. Сколько туристов было размещено в каждом автобусе?

Пусть $x$ – это изначально запланированное количество автобусов.
Тогда в каждом автобусе предполагалось разместить $\frac{180}{x}$ туристов.

По факту количество туристов составило $180 + 8 = 188$ человек.
Количество автобусов, которые прибыли, составило $x - 2$.
Следовательно, в каждый автобус по факту разместили $\frac{188}{x - 2}$ туристов.

По условию задачи, фактическое количество туристов в каждом автобусе оказалось на 17 человек больше, чем предполагалось. Составим уравнение:
$\frac{188}{x - 2} - \frac{180}{x} = 17$

Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{188x - 180(x - 2)}{x(x - 2)} = 17$
$\frac{188x - 180x + 360}{x^2 - 2x} = 17$
$\frac{8x + 360}{x^2 - 2x} = 17$

Умножим обе части на знаменатель $x^2 - 2x$ (при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne 2$):
$8x + 360 = 17(x^2 - 2x)$
$8x + 360 = 17x^2 - 34x$
$17x^2 - 34x - 8x - 360 = 0$
$17x^2 - 42x - 360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-360) = 1764 + 24480 = 26244$
$\sqrt{D} = \sqrt{26244} = 162$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 + 162}{2 \cdot 17} = \frac{204}{34} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 - 162}{2 \cdot 17} = \frac{-120}{34}$

Поскольку количество автобусов $x$ не может быть отрицательным, корень $x_2$ не является решением задачи. Следовательно, изначально было запланировано 6 автобусов.

Вопрос задачи: "Сколько туристов было размещено в каждом автобусе?". Это фактическое количество.
Фактическое количество автобусов: $x - 2 = 6 - 2 = 4$ автобуса.
Фактическое количество туристов: $180 + 8 = 188$ туристов.
Количество туристов в каждом прибывшем автобусе: $\frac{188}{4} = 47$ человек.

Ответ: 47

69. Бригада должна была изготовить 120 изделий к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на 3 дня раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготовлять бригада по плану?

Пусть $x$ — количество изделий, которое бригада должна была изготовлять в день по плану. Тогда плановое время на выполнение всего заказа (120 изделий) составляет $\frac{120}{x}$ дней.

По условию, бригада изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось. Следовательно, фактическая производительность бригады составила $(x + 2)$ изделия в день.

Фактическое время, затраченное на выполнение работы, составило $\frac{120}{x+2}$ дней.

Известно, что работа была закончена на 3 дня раньше срока. Это означает, что разница между плановым и фактическим временем выполнения работы равна 3 дням. На основе этого можно составить уравнение:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+2} = 3$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$, при этом $x$ должно быть больше 0:

$\frac{120(x+2) - 120x}{x(x+2)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120x + 240 - 120x}{x^2 + 2x} = 3$

$\frac{240}{x^2 + 2x} = 3$

Умножим обе части уравнения на $x^2 + 2x$:

$240 = 3(x^2 + 2x)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$80 = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 80 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Поскольку $x$ представляет собой количество изделий, изготавливаемых в день, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию задачи. Единственным решением является $x=8$.

Таким образом, по плану бригада должна была изготовлять 8 изделий в день.

Проверка: Плановое время: $\frac{120}{8} = 15$ дней. Фактическая производительность: $8 + 2 = 10$ изделий в день. Фактическое время: $\frac{120}{10} = 12$ дней. Разница во времени: $15 - 12 = 3$ дня, что соответствует условию задачи.

Ответ: 8 изделий.

70. Аквариум объёмом $54 \text{ м}^3$ заполняется при помощи двух кранов. При этом первый кран работает $3 \text{ ч}$, а второй — $2 \text{ ч}$. Какова пропускная способность первого крана, если $1 \text{ м}^3$ он заполняет на $1 \text{ мин}$ медленнее, чем второй?

Пусть $x$ – время в минутах, за которое второй кран заполняет объём 1 м?. Согласно условию задачи, первый кран заполняет 1 м? на 1 минуту медленнее, чем второй. Следовательно, время, которое требуется первому крану для заполнения 1 м?, составляет $x+1$ минут.

Пропускная способность (производительность) крана – это объём воды, который он пропускает за единицу времени. Она является величиной, обратной времени, затраченному на заполнение единицы объёма.

• Пропускная способность первого крана: $P_1 = \frac{1}{x+1}$ м?/мин.
• Пропускная способность второго крана: $P_2 = \frac{1}{x}$ м?/мин.

Общий объём аквариума, который нужно заполнить, равен 54 м?. Первый кран работает 3 часа, а второй – 2 часа. Переведём время работы кранов в минуты, чтобы единицы измерения были согласованы:

• Время работы первого крана: $t_1 = 3 \text{ ч} = 3 \times 60 = 180$ мин.
• Время работы второго крана: $t_2 = 2 \text{ ч} = 2 \times 60 = 120$ мин.

Суммарный объём воды, поступившей от двух кранов за указанное время, равен объёму аквариума. На основе этого можно составить уравнение:$V_{общий} = P_1 \times t_1 + P_2 \times t_2$$54 = \frac{1}{x+1} \times 180 + \frac{1}{x} \times 120$

Получили уравнение:$54 = \frac{180}{x+1} + \frac{120}{x}$

Для упрощения расчётов разделим обе части уравнения на их общий делитель, равный 6:$9 = \frac{30}{x+1} + \frac{20}{x}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+1)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -1$:$9x(x+1) = 30x + 20(x+1)$$9x^2 + 9x = 30x + 20x + 20$$9x^2 + 9x = 50x + 20$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$9x^2 + 9x - 50x - 20 = 0$$9x^2 - 41x - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-41)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 1681 + 720 = 2401$Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{41 + 49}{2 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5$$x_2 = \frac{41 - 49}{2 \cdot 9} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9}$

Поскольку $x$ представляет собой время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -4/9$ не имеет физического смысла в данной задаче. Единственным решением является $x=5$.

Итак, время заполнения 1 м? для второго крана составляет 5 минут. Тогда для первого крана это время равно $x+1 = 5+1 = 6$ минут.

Пропускная способность первого крана равна:$P_1 = \frac{1 \text{ м}^3}{6 \text{ мин}} = \frac{1}{6}$ м?/мин.

Обычно пропускную способность указывают в кубических метрах в час (м?/час). Переведём полученное значение, зная, что 1 час = 60 минут:$P_1 = \frac{1}{6} \frac{\text{м}^3}{\text{мин}} = \frac{1}{6} \frac{\text{м}^3}{(1/60) \text{ час}} = \frac{60}{6} \frac{\text{м}^3}{\text{час}} = 10$ м?/час.

Ответ: 10 м?/час.

71. Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч быстрее, чем второй комбайн. За какое время может выполнить задание первый комбайн, работая один?

Примем всю работу за единицу (1).

Пусть $x$ часов — это время, за которое первый комбайн может выполнить всю работу, работая один.

Согласно условию, первый комбайн выполняет задание на 5 часов быстрее, чем второй. Следовательно, второму комбайну потребуется $x + 5$ часов на выполнение той же работы в одиночку.

Производительность первого комбайна составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в час, а производительность второго — $\frac{1}{x+5}$ часть работы в час.

Работая вместе, их совместная производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

Известно, что совместно они выполняют работу за 6 часов. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в час.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для совместной производительности:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{x+5}{x(x+5)} + \frac{x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{x+5+x}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$
$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:
$6 \cdot (2x+5) = 1 \cdot (x^2+5x)$
$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$
$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-7) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-(-7) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $x=10$.

Таким образом, первому комбайну для выполнения задания в одиночку потребуется 10 часов.

Проверка:
Время первого комбайна: 10 ч.
Время второго комбайна: $10 + 5 = 15$ ч.
Их совместная производительность: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
Время совместной работы: $1 / (\frac{1}{6}) = 6$ часов. Результат соответствует условию задачи.

Ответ: первый комбайн может выполнить задание за 10 часов, работая один.