Страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

57. Велосипедист проехал 30 км от города до турбазы. На обратном пути он ехал 2 ч с той же скоростью, а затем на 3 км/ч быстрее и затратил на обратный путь на 6 мин меньше, чем на путь из города до турбазы. Какое время затратил велосипедист на обратный путь?

Пусть $S$ - расстояние от города до турбазы, $S=30$ км.Пусть $v$ (км/ч) - первоначальная скорость велосипедиста.

Время, затраченное на путь из города до турбазы, равно $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{30}{v}$ часов.

На обратном пути велосипедист сначала ехал 2 часа со скоростью $v$, проехав расстояние $S_1 = 2v$ км.Оставшееся расстояние $S_2 = 30 - 2v$ км он ехал со скоростью $v+3$ км/ч.Время, затраченное на вторую часть обратного пути, равно $t_{обр2} = \frac{30 - 2v}{v + 3}$ часов.Общее время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = 2 + t_{обр2} = 2 + \frac{30 - 2v}{v + 3}$ часов.

По условию, на обратный путь велосипедист затратил на 6 минут меньше. Переведем 6 минут в часы: 6 мин = $\frac{6}{60}$ ч = $\frac{1}{10}$ ч.Составим уравнение, исходя из того, что разница во времени составляет $\frac{1}{10}$ часа:$t_1 - t_2 = \frac{1}{10}$$\frac{30}{v} - \left(2 + \frac{30 - 2v}{v + 3}\right) = \frac{1}{10}$

Решим полученное уравнение:$\frac{30}{v} - 2 - \frac{30 - 2v}{v + 3} = \frac{1}{10}$$\frac{30}{v} - \frac{30 - 2v}{v + 3} = 2 + \frac{1}{10}$$\frac{30(v+3) - v(30-2v)}{v(v+3)} = \frac{21}{10}$$\frac{30v + 90 - 30v + 2v^2}{v^2 + 3v} = \frac{21}{10}$$\frac{2v^2 + 90}{v^2 + 3v} = \frac{21}{10}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):$10(2v^2 + 90) = 21(v^2 + 3v)$$20v^2 + 900 = 21v^2 + 63v$$21v^2 - 20v^2 + 63v - 900 = 0$$v^2 + 63v - 900 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 63^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-900) = 3969 + 3600 = 7569$$\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87$$v_1 = \frac{-63 + 87}{2} = \frac{24}{2} = 12$$v_2 = \frac{-63 - 87}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость велосипедиста была $v = 12$ км/ч.

Теперь найдем время, которое велосипедист затратил на обратный путь ($t_2$).Время на путь до турбазы: $t_1 = \frac{30}{12} = 2.5$ часа.Время на обратный путь на 6 минут (0.1 часа) меньше: $t_2 = t_1 - 0.1 = 2.5 - 0.1 = 2.4$ часа.Переведем 2.4 часа в часы и минуты: $2.4$ ч = 2 часа и $0.4 \cdot 60$ мин = 2 часа 24 минуты.

Ответ: велосипедист затратил на обратный путь 2 часа 24 минуты.

58. Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан у семафора на 10 мин. Увеличив после этого скорость на $10 \text{ км/ч}$, он прибыл на вокзал с опозданием на 2 мин. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда.

Весь путь составляет 54 км. Поезд проехал 14 км, после чего ему осталось проехать расстояние:
$S_{ост} = 54 - 14 = 40$ км.

Поезд был задержан у семафора на 10 минут, а общее опоздание на конечную станцию составило 2 минуты. Это означает, что на оставшемся участке пути поезд смог наверстать (сократить опоздание) на:
$t_{наверст} = 10 \text{ мин} - 2 \text{ мин} = 8$ минут.

Для дальнейших расчетов переведем это время в часы:
$8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15}$ ч.

Время, которое поезд затратил бы на оставшиеся 40 км, двигаясь с первоначальной скоростью $v$, равно $t_1 = \frac{40}{v}$ ч.

После задержки поезд увеличил скорость на 10 км/ч, и его новая скорость стала $(v + 10)$ км/ч. Время, которое поезд фактически затратил на оставшиеся 40 км с новой, увеличенной скоростью, равно $t_2 = \frac{40}{v + 10}$ ч.

Разница между временем движения с первоначальной скоростью и временем движения с увеличенной скоростью на этом участке как раз и составляет те 8 минут, которые поезд наверстал. Можем составить уравнение:
$t_1 - t_2 = t_{наверст}$
$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 10} = \frac{2}{15}$

Теперь решим полученное уравнение. Для удобства разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{20}{v} - \frac{20}{v + 10} = \frac{1}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 10)$:
$20 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 10} \right) = \frac{1}{15}$
$20 \left( \frac{(v + 10) - v}{v(v + 10)} \right) = \frac{1}{15}$
$20 \left( \frac{10}{v(v + 10)} \right) = \frac{1}{15}$
$\frac{200}{v(v + 10)} = \frac{1}{15}$

По свойству пропорции получаем:
$v(v + 10) \cdot 1 = 200 \cdot 15$
$v^2 + 10v = 3000$
$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$
$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Находим корни уравнения:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость поезда не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

59. Расстояние между городами равно 44 км. Из этих городов навстречу друг другу выходят одновременно два пешехода и встречаются через 4 ч. Если бы первый вышел на 44 мин раньше второго, то их встреча произошла бы в середине пути. С какой скоростью идёт каждый пешеход?

Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода (в км/ч), а $v_2$ — скорость второго пешехода (в км/ч).

Из первого условия задачи известно, что расстояние между городами равно 44 км. Два пешехода выходят навстречу друг другу одновременно и встречаются через 4 часа. Когда пешеходы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость сближения равна $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t = 4$ ч они совместно преодолевают расстояние $S = 44$ км.

Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$(v_1 + v_2) \cdot 4 = 44$
Разделив обе части на 4, получим:
$v_1 + v_2 = 11$

Из второго условия известно, что если бы первый пешеход вышел на 44 минуты раньше второго, их встреча произошла бы в середине пути. Середина пути находится на расстоянии $S/2 = 44/2 = 22$ км от каждого города. Это означает, что к моменту встречи каждый пешеход прошел бы по 22 км.

Время, которое затратил бы первый пешеход на свой путь, равно $t_1 = \frac{22}{v_1}$.
Время, которое затратил бы второй пешеход, равно $t_2 = \frac{22}{v_2}$.

Первый пешеход вышел на 44 минуты раньше, значит, он был в пути дольше. Переведем 44 минуты в часы: $44 \text{ мин} = \frac{44}{60} \text{ ч} = \frac{11}{15} \text{ ч}$.
Разница во времени составляет $t_1 - t_2 = \frac{11}{15}$ ч.

Составим второе уравнение:
$\frac{22}{v_1} - \frac{22}{v_2} = \frac{11}{15}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 11 \\ \frac{22}{v_1} - \frac{22}{v_2} = \frac{11}{15} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 11 - v_1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{22}{v_1} - \frac{22}{11 - v_1} = \frac{11}{15}$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 11:
$\frac{2}{v_1} - \frac{2}{11 - v_1} = \frac{1}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(11 - v_1)$:
$\frac{2(11 - v_1) - 2v_1}{v_1(11 - v_1)} = \frac{1}{15}$
$\frac{22 - 2v_1 - 2v_1}{11v_1 - v_1^2} = \frac{1}{15}$
$\frac{22 - 4v_1}{11v_1 - v_1^2} = \frac{1}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$15 \cdot (22 - 4v_1) = 1 \cdot (11v_1 - v_1^2)$
$330 - 60v_1 = 11v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v_1^2 - 11v_1 - 60v_1 + 330 = 0$
$v_1^2 - 71v_1 + 330 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-71)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 330 = 5041 - 1320 = 3721$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{3721} = 61$.

Находим возможные значения для $v_1$:
$v_{1,1} = \frac{71 + 61}{2} = \frac{132}{2} = 66$
$v_{1,2} = \frac{71 - 61}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Рассмотрим каждый корень:
1. Если $v_1 = 66$ км/ч, то скорость второго пешехода $v_2 = 11 - 66 = -55$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, этот корень не подходит по смыслу задачи.
2. Если $v_1 = 5$ км/ч, то скорость второго пешехода $v_2 = 11 - 5 = 6$ км/ч. Оба значения положительны и являются решением.

Таким образом, скорость первого пешехода составляет 5 км/ч, а второго — 6 км/ч.

Ответ: скорость одного пешехода 5 км/ч, а другого 6 км/ч.

60. Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем намеревался проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью ехал велосипедист?

Пусть $v_ф$ — фактическая скорость велосипедиста (в км/ч), а $v_п$ — планируемая скорость (в км/ч). Расстояние $S$ составляет 96 км.

Фактическое время в пути: $t_ф = \frac{S}{v_ф} = \frac{96}{v_ф}$ ч.
Планируемое время в пути: $t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{96}{v_п}$ ч.

Из условия, что велосипедист проехал путь на 2 часа быстрее, чем планировал ($t_п - t_ф = 2$), получаем первое уравнение:
$\frac{96}{v_п} - \frac{96}{v_ф} = 2$

Из второго условия следует, что фактическое расстояние за 1 час ($v_ф$) на 1 км больше, чем расстояние, которое он намеревался проехать за 1 час 15 минут.
Переведем время в часы: $1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1.25 \text{ ч} = \frac{5}{4}$ ч.
Расстояние, которое он планировал проехать за это время: $v_п \cdot \frac{5}{4}$ км.
Получаем второе уравнение:
$v_ф = \frac{5}{4} v_п + 1$

Мы имеем систему из двух уравнений. Выразим $v_п$ из второго уравнения:
$v_ф - 1 = \frac{5}{4} v_п \implies v_п = \frac{4(v_ф - 1)}{5}$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{96}{\frac{4(v_ф - 1)}{5}} - \frac{96}{v_ф} = 2$
$\frac{96 \cdot 5}{4(v_ф - 1)} - \frac{96}{v_ф} = 2$
$\frac{120}{v_ф - 1} - \frac{96}{v_ф} = 2$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $v_ф(v_ф - 1)$:
$120v_ф - 96(v_ф - 1) = 2v_ф(v_ф - 1)$
$120v_ф - 96v_ф + 96 = 2v_ф^2 - 2v_ф$
$24v_ф + 96 = 2v_ф^2 - 2v_ф$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2v_ф^2 - 2v_ф - 24v_ф - 96 = 0$
$2v_ф^2 - 26v_ф - 96 = 0$

Разделим обе части на 2:
$v_ф^2 - 13v_ф - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям: $x_1 \cdot x_2 = -48$ и $x_1 + x_2 = 13$. Подбором находим корни: $16$ и $-3$.
Либо можно записать в виде множителей:
$(v_ф - 16)(v_ф + 3) = 0$
Отсюда корни: $v_{ф1} = 16$, $v_{ф2} = -3$.

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_ф = -3$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, фактическая скорость велосипедиста составляет 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч.

61. Два парохода одновременно вышли из порта: один на север, другой на восток. Через 2 ч расстояние между ними оказалось равным 60 км. Найдите скорость каждого парохода, зная, что скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.

Пусть скорость одного парохода равна $v$ км/ч. Тогда скорость второго парохода, согласно условию, равна $(v + 6)$ км/ч.

За 2 часа первый пароход пройдет расстояние $S_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

За 2 часа второй пароход пройдет расстояние $S_2 = (v + 6) \cdot 2 = 2(v + 6)$ км.

Поскольку один пароход движется на север, а другой на восток, их пути перпендикулярны друг другу. Таким образом, точка старта (порт) и местоположения пароходов через 2 часа образуют прямоугольный треугольник. Пройденные пароходами расстояния $S_1$ и $S_2$ являются катетами этого треугольника, а расстояние между ними (60 км) — гипотенузой.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$S_1^2 + S_2^2 = 60^2$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в уравнение:

$(2v)^2 + (2(v + 6))^2 = 60^2$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$4v^2 + 4(v + 6)^2 = 3600$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$v^2 + (v + 6)^2 = 900$

$v^2 + v^2 + 12v + 36 = 900$

$2v^2 + 12v + 36 - 900 = 0$

$2v^2 + 12v - 864 = 0$

Снова разделим обе части на 2:

$v^2 + 6v - 432 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

$\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 42}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -24$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость одного парохода равна 18 км/ч.

Найдем скорость второго парохода:

$v + 6 = 18 + 6 = 24$ км/ч.

Ответ: скорость одного парохода 18 км/ч, скорость другого парохода 24 км/ч.

62. Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере собирать лекарственные травы. Проплыв вниз по течению реки 35 км, они сделали трёхчасовую остановку, после чего вернулись назад. Определите скорость катера в стоячей воде, если всё путешествие заняло 7 ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние, пройденное в одну сторону, равное 35 км.
• $T_{общ}$ – общее время путешествия, равное 7 ч.
• $T_{ост}$ – время остановки, равное 3 ч.
• $v_{теч}$ – скорость течения реки, равная 3 км/ч.
• $v_{соб}$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), которую необходимо найти. Обозначим ее как $x$ км/ч.

1. Сначала найдем общее время, которое катер находился в движении. Для этого из общего времени путешествия вычтем время остановки:

$T_{движ} = T_{общ} - T_{ост} = 7 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 4 \text{ ч}.$

2. Выразим скорость катера по течению и против течения:

• Скорость по течению (вниз по реке): $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = (x + 3)$ км/ч.
• Скорость против течения (обратный путь): $v_{пр} = v_{соб} - v_{теч} = (x - 3)$ км/ч.

Для того чтобы катер мог вернуться назад (плыть против течения), его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

3. Время, затраченное на путь по течению ($t_{по}$) и против течения ($t_{пр}$), можно выразить через расстояние и скорость, используя формулу $t = \frac{S}{v}$:

• Время по течению: $t_{по} = \frac{35}{x+3}$ ч.
• Время против течения: $t_{пр} = \frac{35}{x-3}$ ч.

4. Общее время движения равно сумме времени движения по течению и против течения:

$T_{движ} = t_{по} + t_{пр}$

Подставим известные значения и выражения в это уравнение:

$\frac{35}{x+3} + \frac{35}{x-3} = 4$

5. Решим полученное уравнение относительно $x$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$\frac{35(x-3) + 35(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 4$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{35x - 105 + 35x + 105}{x^2 - 9} = 4$

Упростим числитель:

$\frac{70x}{x^2 - 9} = 4$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 9$ (при условии, что $x^2 - 9 \neq 0$, что выполняется, так как $x > 3$):

$70x = 4(x^2 - 9)$

$70x = 4x^2 - 36$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 - 70x - 36 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$2x^2 - 35x - 18 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{35 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18$

$x_2 = \frac{35 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Поскольку скорость катера не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -0.5$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 18$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, скорость катера в стоячей воде составляет 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

63. Турист проплыл на байдарке $24 \text{ км}$ по озеру и $9 \text{ км}$ против течения реки за то же время, какое понадобилось ему, чтобы проплыть по течению $45 \text{ км}$. С какой скоростью плыл турист по озеру, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость байдарки, то есть скорость, с которой турист плывет по озеру. Это и есть искомая величина.

Скорость течения реки дана и равна 2 км/ч.

Тогда скорость туриста по течению реки будет равна сумме собственной скорости и скорости течения: $(x + 2)$ км/ч.

Скорость туриста против течения реки будет равна разности собственной скорости и скорости течения: $(x - 2)$ км/ч.

Важное условие: чтобы плыть против течения, собственная скорость байдарки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время движения находится по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Найдем время, которое турист затратил на первый участок пути (24 км по озеру и 9 км против течения): $t_1 = \frac{24}{x} + \frac{9}{x-2}$

Найдем время, которое турист затратил на второй участок пути (45 км по течению): $t_2 = \frac{45}{x+2}$

По условию задачи, эти два времени равны ($t_1 = t_2$). Составим и решим уравнение: $\frac{24}{x} + \frac{9}{x-2} = \frac{45}{x+2}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы решить уравнение: $\frac{24}{x} + \frac{9}{x-2} - \frac{45}{x+2} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)(x+2)$: $\frac{24(x-2)(x+2) + 9x(x+2) - 45x(x-2)}{x(x-2)(x+2)} = 0$

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому решаем уравнение для числителя, учитывая область допустимых значений $x > 2$. $24(x^2 - 4) + 9(x^2 + 2x) - 45(x^2 - 2x) = 0$

Раскроем скобки: $24x^2 - 96 + 9x^2 + 18x - 45x^2 + 90x = 0$

Приведем подобные слагаемые: $(24x^2 + 9x^2 - 45x^2) + (18x + 90x) - 96 = 0$ $-12x^2 + 108x - 96 = 0$

Разделим все уравнение на -12 для упрощения: $x^2 - 9x + 8 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: Сумма корней $x_1 + x_2 = 9$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ранее установленному условию $x > 2$.

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 > 2$, следовательно, он является посторонним и не может быть решением задачи.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 2$. Следовательно, это и есть искомая скорость.

Ответ: скорость туриста по озеру равна 8 км/ч.

64. Моторная лодка прошла 7 км по течению реки и 10 км против течения, затратив на путь по течению на 0,5 ч меньше, чем на путь против течения. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость хода лодки против течения.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(12 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $(12 - x)$ км/ч.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, составляет: $t_1 = \frac{S_1}{v_{по~течению}} = \frac{7}{12 + x}$ ч.

Время, которое лодка затратила на путь против течения, составляет: $t_2 = \frac{S_2}{v_{против~течения}} = \frac{10}{12 - x}$ ч.

Из условия задачи известно, что на путь по течению было затрачено на 0,5 часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:

$t_2 - t_1 = 0,5$

$\frac{10}{12 - x} - \frac{7}{12 + x} = 0,5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(12 - x)(12 + x) = 144 - x^2$. Ограничения: $x \neq 12$ и $x \neq -12$. Так как $x$ - это скорость течения, она должна быть положительной и меньше собственной скорости лодки, то есть $0 < x < 12$.

$\frac{10(12 + x) - 7(12 - x)}{144 - x^2} = 0,5$

$\frac{120 + 10x - 84 + 7x}{144 - x^2} = 0,5$

$\frac{36 + 17x}{144 - x^2} = 0,5$

Используя свойство пропорции, получаем:

$36 + 17x = 0,5(144 - x^2)$

$36 + 17x = 72 - 0,5x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,5x^2 + 17x + 36 - 72 = 0$

$0,5x^2 + 17x - 36 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$x^2 + 34x - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444$

$\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38$

$x_1 = \frac{-34 + 38}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-34 - 38}{2 \cdot 1} = \frac{-72}{2} = -36$

Корень $x_2 = -36$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость течения не может быть отрицательной. Следовательно, скорость течения реки равна $2$ км/ч.

Теперь найдем скорость хода лодки против течения:

$v_{против~течения} = 12 - x = 12 - 2 = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.