Страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) чисел:

а) $120$ и $144$;

в) $132$ и $242$;

б) $255$, $510$ и $153$;

г) $156$, $195$ и $390$.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, необходимо разложить каждое из них на простые множители. Затем нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить эти степени.

а) 120 и 144

1. Разложим числа на простые множители:

$120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

$144 = 12 \cdot 12 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2$

2. Выпишем все простые множители в их наибольших степенях, встречающихся в разложениях: $2^4$, $3^2$, $5^1$.

3. Найдем их произведение:

НОК(120, 144) = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 144 \cdot 5 = 720$

Ответ: 720.

б) 255, 510 и 153

1. Разложим числа на простые множители:

$255 = 5 \cdot 51 = 3 \cdot 5 \cdot 17$

$510 = 10 \cdot 51 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 17$

$153 = 3 \cdot 51 = 3 \cdot 3 \cdot 17 = 3^2 \cdot 17$

2. Выпишем все простые множители в их наибольших степенях: $2^1$, $3^2$, $5^1$, $17^1$.

3. Найдем их произведение:

НОК(255, 510, 153) = $2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 17 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 17 = 90 \cdot 17 = 1530$

Ответ: 1530.

в) 132 и 242

1. Разложим числа на простые множители:

$132 = 2 \cdot 66 = 2 \cdot 2 \cdot 33 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$

$242 = 2 \cdot 121 = 2 \cdot 11^2$

2. Выпишем все простые множители в их наибольших степенях: $2^2$, $3^1$, $11^2$.

3. Найдем их произведение:

НОК(132, 242) = $2^2 \cdot 3 \cdot 11^2 = 4 \cdot 3 \cdot 121 = 12 \cdot 121 = 1452$

Ответ: 1452.

г) 156, 195 и 390

1. Разложим числа на простые множители:

$156 = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 2 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$

$195 = 5 \cdot 39 = 3 \cdot 5 \cdot 13$

$390 = 10 \cdot 39 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 13 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$

2. Выпишем все простые множители в их наибольших степенях: $2^2$, $3^1$, $5^1$, $13^1$.

3. Найдем их произведение:

НОК(156, 195, 390) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 4 \cdot 15 \cdot 13 = 60 \cdot 13 = 780$

Ответ: 780.

19. Найдите $НОД$ и $НОК$ чисел:

а) 84 и 56;

б) 66, 99 и 132;

в) 96 и 144;

г) 39, 65 и 156.

а) 84 и 56

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) разложим числа на простые множители.

Разложение числа 84:
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложение числа 56:
$56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2^3 \cdot 7$

Чтобы найти НОД, необходимо перемножить общие простые множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени:
НОД(84, 56) = $2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28$.

Чтобы найти НОК, необходимо перемножить все простые множители из разложений, взяв каждый с наибольшим показателем степени:
НОК(84, 56) = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$.

Ответ: НОД(84, 56) = 28; НОК(84, 56) = 168.

б) 66, 99 и 132

Разложим числа на простые множители:

Разложение числа 66:
$66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

Разложение числа 99:
$99 = 3 \cdot 33 = 3^2 \cdot 11$

Разложение числа 132:
$132 = 2 \cdot 66 = 2 \cdot 2 \cdot 33 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$

Находим НОД, взяв общие множители (3 и 11) с наименьшими степенями:
НОД(66, 99, 132) = $3^1 \cdot 11^1 = 33$.

Находим НОК, взяв все множители (2, 3, 11) с наибольшими степенями:
НОК(66, 99, 132) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 11 = 396$.

Ответ: НОД(66, 99, 132) = 33; НОК(66, 99, 132) = 396.

в) 96 и 144

Разложим числа на простые множители:

Разложение числа 96:
$96 = 2 \cdot 48 = 2^5 \cdot 3$

Разложение числа 144:
$144 = 12 \cdot 12 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2$

Находим НОД (общие множители 2 и 3 с наименьшими степенями):
НОД(96, 144) = $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.

Находим НОК (все множители 2 и 3 с наибольшими степенями):
НОК(96, 144) = $2^5 \cdot 3^2 = 32 \cdot 9 = 288$.

Ответ: НОД(96, 144) = 48; НОК(96, 144) = 288.

г) 39, 65 и 156

Разложим числа на простые множители:

Разложение числа 39:
$39 = 3 \cdot 13$

Разложение числа 65:
$65 = 5 \cdot 13$

Разложение числа 156:
$156 = 2 \cdot 78 = 2^2 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$

Находим НОД (единственный общий множитель - 13):
НОД(39, 65, 156) = $13$.

Находим НОК (все множители 2, 3, 5, 13 с наибольшими степенями):
НОК(39, 65, 156) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 780$.

Ответ: НОД(39, 65, 156) = 13; НОК(39, 65, 156) = 780.

20. Найдите НОД и НОК чисел:

а) $2^{14} \cdot 3^7$ и $2^{11} \cdot 3^{15}$;

б) $2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7$ и $2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6$;

в) $2^{124} \cdot 3^7$ и $2^{111} \cdot 5^5$;

г) $2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}$, $2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$ и $2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}$.

а) Даны числа $a = 2^{14} \cdot 3^7$ и $b = 2^{11} \cdot 3^{15}$.

Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД) чисел, представленных в виде произведения простых множителей, необходимо взять произведение их общих простых множителей, каждый из которых возведен в наименьшую из степеней, с которыми он входит в разложения чисел.

Общие простые множители для $a$ и $b$ — это 2 и 3.
Степень множителя 2 в числе $a$ равна 14, а в числе $b$ — 11. Наименьшая степень: $\min(14, 11) = 11$.
Степень множителя 3 в числе $a$ равна 7, а в числе $b$ — 15. Наименьшая степень: $\min(7, 15) = 7$.
Таким образом, $НОД(a, b) = 2^{11} \cdot 3^7$.

Для нахождения Наименьшего Общего Кратного (НОК) необходимо взять произведение всех простых множителей, входящих хотя бы в одно из разложений, причем каждый множитель берется с наибольшим показателем степени.
Наибольшая степень для множителя 2: $\max(14, 11) = 14$.
Наибольшая степень для множителя 3: $\max(7, 15) = 15$.
Таким образом, $НОК(a, b) = 2^{14} \cdot 3^{15}$.

Ответ: $НОД(2^{14} \cdot 3^7; 2^{11} \cdot 3^{15}) = 2^{11} \cdot 3^7$; $НОК(2^{14} \cdot 3^7; 2^{11} \cdot 3^{15}) = 2^{14} \cdot 3^{15}$.

б) Даны числа $a = 2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7$ и $b = 2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (2, 5, 7) с наименьшими показателями:
Для 2: $\min(20, 11) = 11$.
Для 5: $\min(13, 14) = 13$.
Для 7: $\min(7, 6) = 6$.
Следовательно, $НОД(a, b) = 2^{11} \cdot 5^{13} \cdot 7^6$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 5, 7) с наибольшими показателями:
Для 2: $\max(20, 11) = 20$.
Для 5: $\max(13, 14) = 14$.
Для 7: $\max(7, 6) = 7$.
Следовательно, $НОК(a, b) = 2^{20} \cdot 5^{14} \cdot 7^7$.

Ответ: $НОД(2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7; 2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6) = 2^{11} \cdot 5^{13} \cdot 7^6$; $НОК(2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7; 2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6) = 2^{20} \cdot 5^{14} \cdot 7^7$.

в) Даны числа $a = 2^{124} \cdot 3^7$ и $b = 2^{111} \cdot 5^5$.

Для нахождения НОД берем только общие простые множители с наименьшими показателями. Единственный общий множитель — это 2.
Представим числа с полным набором оснований: $a = 2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^0$ и $b = 2^{111} \cdot 3^0 \cdot 5^5$.
Наименьший показатель для 2: $\min(124, 111) = 111$.
Наименьший показатель для 3: $\min(7, 0) = 0$.
Наименьший показатель для 5: $\min(0, 5) = 0$.
Следовательно, $НОД(a, b) = 2^{111} \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 2^{111}$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 3, 5) из обоих разложений с наибольшими показателями:
Для 2: $\max(124, 111) = 124$.
Для 3: $\max(7, 0) = 7$.
Для 5: $\max(0, 5) = 5$.
Следовательно, $НОК(a, b) = 2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^5$.

Ответ: $НОД(2^{124} \cdot 3^7; 2^{111} \cdot 5^5) = 2^{111}$; $НОК(2^{124} \cdot 3^7; 2^{111} \cdot 5^5) = 2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^5$.

г) Даны три числа: $a = 2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}$, $b = 2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$ и $c = 2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (2, 3, 5) с наименьшими показателями из всех трех чисел:
Для 2: $\min(12, 9, 11) = 9$.
Для 3: $\min(11, 14, 7) = 7$.
Для 5: $\min(16, 26, 20) = 16$.
Следовательно, $НОД(a, b, c) = 2^9 \cdot 3^7 \cdot 5^{16}$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 3, 5) с наибольшими показателями из всех трех чисел:
Для 2: $\max(12, 9, 11) = 12$.
Для 3: $\max(11, 14, 7) = 14$.
Для 5: $\max(16, 26, 20) = 26$.
Следовательно, $НОК(a, b, c) = 2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$.

Ответ: $НОД(2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}; 2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}; 2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}) = 2^9 \cdot 3^7 \cdot 5^{16}$; $НОК(2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}; 2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}; 2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}) = 2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$.

21. Выпишите в порядке возрастания все пятизначные числа, в десятичную запись которых входят пять разных цифр: 3; 4; 6; 8 и 9.

Для решения задачи необходимо составить все возможные пятизначные числа из предоставленных пяти различных цифр: 3, 4, 6, 8, 9. Поскольку каждое число должно содержать все пять цифр без повторений, задача сводится к нахождению всех перестановок (упорядоченных наборов) этих цифр.

Количество перестановок из $n$ различных элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал). В нашем случае $n=5$, поэтому общее количество таких чисел составляет:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ чисел.

Чтобы выписать эти 120 чисел в порядке возрастания, нужно следовать лексикографическому (словарному) порядку. Сначала идут все числа, начинающиеся с наименьшей цифры (3), затем — со второй по величине (4), и так далее до наибольшей (9). Внутри каждой такой группы числа также упорядочиваются по возрастанию, исходя из второй, третьей и последующих цифр.

Ответ:
34689, 34698, 34869, 34896, 34968, 34986, 36489, 36498, 36849, 36894, 36948, 36984, 38469, 38496, 38649, 38694, 38946, 38964, 39468, 39486, 39648, 39684, 39846, 39864;
43689, 43698, 43869, 43896, 43968, 43986, 46389, 46398, 46839, 46893, 46938, 46983, 48369, 48396, 48639, 48693, 48936, 48963, 49368, 49386, 49638, 49683, 49836, 49863;
63489, 63498, 63849, 63894, 63948, 63984, 64389, 64398, 64839, 64893, 64938, 64983, 68349, 68394, 68439, 68493, 68934, 68943, 69348, 69384, 69438, 69483, 69834, 69843;
83469, 83496, 83649, 83694, 83946, 83964, 84369, 84396, 84639, 84693, 84936, 84963, 86349, 86394, 86439, 86493, 86934, 86943, 89346, 89364, 89436, 89463, 89634, 89643;
93468, 93486, 93648, 93684, 93846, 93864, 94368, 94386, 94638, 94683, 94836, 94863, 96348, 96384, 96438, 96483, 96834, 96843, 98346, 98364, 98436, 98463, 98634, 98643.

22. Придумайте какой-либо квадратный трёхчлен, между корнями которого заключено ровно 77 натуральных чисел.

Чтобы составить такой квадратный трёхчлен, нужно сначала выбрать его корни, $x_1$ и $x_2$, так, чтобы между ними находилось ровно 77 натуральных чисел. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$).

Пусть этими 77 натуральными числами будут числа из множества $\{1, 2, 3, \ldots, 77\}$.

Чтобы интервал $(x_1, x_2)$ содержал именно эти числа и никакие другие, его концы (корни трёхчлена) должны удовлетворять условиям: $x_1 < 1$ и $x_2 > 77$.

Для максимальной простоты можно выбрать такие значения корней, которые не являются натуральными числами, но "окружают" нужный нам диапазон. Например, пусть $x_1=0$ и $x_2=78$.

Проверим: между 0 и 78 находятся натуральные числа $1, 2, 3, \ldots, 77$. Их количество ровно $77 - 1 + 1 = 77$. Условие выполняется.

Теперь, зная корни, можно составить квадратный трёхчлен. Если $x_1$ и $x_2$ — корни, то трёхчлен имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a$ — любое число, не равное нулю. Возьмём самый простой случай, когда $a=1$.

Подставим наши корни $x_1=0$ и $x_2=78$: $1 \cdot (x - 0)(x - 78) = x(x - 78) = x^2 - 78x$.

Это и есть искомый квадратный трёхчлен. Его корни равны 0 и 78, и между ними находится ровно 77 натуральных чисел.

Существует бесконечно много других правильных ответов. Например, если взять корни $x_1 = 0.5$ и $x_2 = 77.5$, то между ними также будут натуральные числа $1, 2, \ldots, 77$. Соответствующий трёхчлен будет $(x-0.5)(x-77.5) = x^2 - 78x + 38.75$.

Ответ: $x^2 - 78x$.

23. Какой процент среди трёхзначных чисел составляют полные квадраты?

Для решения задачи необходимо найти общее количество трёхзначных чисел и количество тех из них, которые являются полными квадратами, а затем вычислить их процентное соотношение.

1. Найдём общее количество трёхзначных чисел.
Трёхзначные числа — это целые числа в диапазоне от 100 до 999 включительно. Их общее количество можно найти, вычтя из наибольшего числа наименьшее и прибавив единицу:$N_{общ} = 999 - 100 + 1 = 900$.Всего существует 900 трёхзначных чисел.

2. Найдём количество полных квадратов среди трёхзначных чисел.
Полный квадрат — это число, которое является квадратом некоторого целого числа ($n^2$). Нам необходимо найти количество целых чисел $n$, для которых выполняется неравенство:$100 \le n^2 \le 999$.
Чтобы найти диапазон для $n$, извлечём квадратный корень из всех частей неравенства:$\sqrt{100} \le n \le \sqrt{999}$.
$10 \le n \le 31.6...$
Поскольку $n$ должно быть целым числом, оно может принимать значения от 10 до 31 включительно. Проверим границы: $10^2 = 100$ (трёхзначное число) и $31^2 = 961$ (трёхзначное число), в то время как $32^2 = 1024$ (уже четырёхзначное).
Количество таких целых чисел $n$ равно:$N_{кв} = 31 - 10 + 1 = 22$.
Таким образом, существует 22 трёхзначных числа, являющихся полными квадратами.

3. Вычислим искомый процент.
Для этого разделим количество полных квадратов на общее количество трёхзначных чисел и умножим на 100%:$\text{Процент} = \frac{N_{кв}}{N_{общ}} \times 100\% = \frac{22}{900} \times 100\%$.
$\text{Процент} = \frac{2200}{900}\% = \frac{22}{9}\%$.
Представим полученную неправильную дробь в виде смешанного числа:$\frac{22}{9} = 2\frac{4}{9}$.

Ответ: $2\frac{4}{9}\%$.

24. Какое наименьшее количество различных трёхзначных чисел нужно взять, чтобы среди них наверняка было бы одно число:

а) оканчивающееся не на нуль;

б) со средней цифрой нуль;

в) без нулей в их десятичной записи?

Эта задача решается с помощью принципа Дирихле, рассматривая наихудший сценарий. Чтобы гарантированно получить число с нужным свойством, мы должны сначала выбрать все числа, которые этим свойством не обладают. Следующее взятое число обязательно будет искомым.

Всего существует $999 - 100 + 1 = 900$ различных трёхзначных чисел.

а) оканчивающееся не на нуль;

Рассмотрим наихудший случай: мы выбираем числа, которые оканчиваются на нуль. Это числа вида $XY0$, где первая цифра $X$ может быть от 1 до 9 (9 вариантов), а вторая $Y$ — от 0 до 9 (10 вариантов). Общее количество таких чисел: $9 \times 10 = 90$.
Мы можем в худшем случае выбрать все эти 90 чисел. Следующее, 91-е число, обязательно будет оканчиваться не на нуль, так как все числа, оканчивающиеся на нуль, уже выбраны.
Следовательно, нужно взять $90 + 1 = 91$ число.
Ответ: 91.

б) со средней цифрой нуль;

Наихудший сценарий — мы выбираем все трёхзначные числа, у которых средняя цифра — не нуль. Это числа вида $XYZ$, где $X$ — любая цифра от 1 до 9 (9 вариантов), $Y$ — любая цифра от 1 до 9 (9 вариантов, так как нуль исключён), а $Z$ — любая цифра от 0 до 9 (10 вариантов).
Количество таких "неподходящих" чисел равно $9 \times 9 \times 10 = 810$.
Выбрав все эти 810 чисел, следующее, 811-е число, по принципу Дирихле гарантированно будет иметь нуль в качестве средней цифры.
Следовательно, нужно взять $810 + 1 = 811$ чисел.
Ответ: 811.

в) без нулей в их десятичной записи?

В наихудшем случае мы будем выбирать все трёхзначные числа, в записи которых есть хотя бы один нуль. Проще посчитать количество чисел, в которых нулей нет, и вычесть это из общего количества трёхзначных чисел.
Количество трёхзначных чисел без нулей в записи: первая цифра может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов), вторая — от 1 до 9 (9 вариантов), третья — от 1 до 9 (9 вариантов). Всего таких чисел: $9 \times 9 \times 9 = 729$.
Тогда количество трёхзначных чисел, имеющих хотя бы один нуль в записи, равно разности общего количества трёхзначных чисел и количества чисел без нулей: $900 - 729 = 171$.
Это и есть количество "неподходящих" чисел. Если мы выберем все эти 171 число, то следующее, 172-е, гарантированно будет числом без нулей в своей записи.
Следовательно, нужно взять $171 + 1 = 172$ числа.
Ответ: 172.

25. Вычислите:

a) $\frac{5^{-4} \cdot 15^6}{(3^{-5})^{-2}}$

б) $\frac{4^3 \cdot 14^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$

В) $\frac{3^5 \cdot 6^{-6}}{(2^3)^{-4}}$

Г) $\frac{8^{-3} \cdot 10^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$

а) Для вычисления выражения $ \frac{5^{-4} \cdot 15^6}{(3^{-5})^{-2}} $ необходимо упростить его, используя свойства степеней.
1. Сначала преобразуем числитель. Разложим число 15 на простые множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $. Тогда, используя свойство $ (ab)^n = a^n b^n $, получим $ 15^6 = (3 \cdot 5)^6 = 3^6 \cdot 5^6 $.
2. Теперь упростим знаменатель, используя свойство $ (a^m)^n = a^{mn} $: $ (3^{-5})^{-2} = 3^{-5 \cdot (-2)} = 3^{10} $.
3. Подставим полученные выражения обратно в дробь: $ \frac{5^{-4} \cdot 3^6 \cdot 5^6}{3^{10}} $.
4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойства $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{5^{-4+6} \cdot 3^6}{3^{10}} = \frac{5^2 \cdot 3^6}{3^{10}} = 5^2 \cdot 3^{6-10} = 5^2 \cdot 3^{-4} $.
5. Вычислим конечный результат. Используем свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ 5^2 \cdot 3^{-4} = 25 \cdot \frac{1}{3^4} = 25 \cdot \frac{1}{81} = \frac{25}{81} $.
Ответ: $ \frac{25}{81} $.

б) Для вычисления выражения $ \frac{4^3 \cdot 14^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7} $ разложим числа на простые множители.
1. Преобразуем числитель: $ 4 = 2^2 $, поэтому $ 4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 $.
$ 14 = 2 \cdot 7 $, поэтому $ 14^{-3} = (2 \cdot 7)^{-3} = 2^{-3} \cdot 7^{-3} $.
Таким образом, числитель равен $ 2^6 \cdot 2^{-3} \cdot 7^{-3} $.
2. Подставим преобразованный числитель в исходное выражение: $ \frac{2^6 \cdot 2^{-3} \cdot 7^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7} $.
3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойства степеней:
$ \frac{2^{6+(-3)}}{2^7} \cdot \frac{7^{-3}}{7^{-5}} = \frac{2^3}{2^7} \cdot \frac{7^{-3}}{7^{-5}} = 2^{3-7} \cdot 7^{-3-(-5)} = 2^{-4} \cdot 7^{-3+5} = 2^{-4} \cdot 7^2 $.
4. Вычислим результат:
$ 2^{-4} \cdot 7^2 = \frac{1}{2^4} \cdot 49 = \frac{1}{16} \cdot 49 = \frac{49}{16} $.
Ответ: $ \frac{49}{16} $.

в) Для вычисления выражения $ \frac{3^5 \cdot 6^{-6}}{(2^3)^{-4}} $ выполним следующие преобразования.
1. Преобразуем числитель. Разложим $ 6 $ на множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $. Тогда $ 6^{-6} = (2 \cdot 3)^{-6} = 2^{-6} \cdot 3^{-6} $.
Числитель примет вид: $ 3^5 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6} $.
2. Упростим знаменатель: $ (2^3)^{-4} = 2^{3 \cdot (-4)} = 2^{-12} $.
3. Подставим преобразованные части в дробь: $ \frac{3^5 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6}}{2^{-12}} $.
4. Сгруппируем степени и упростим:
$ \frac{3^{5+(-6)} \cdot 2^{-6}}{2^{-12}} = \frac{3^{-1} \cdot 2^{-6}}{2^{-12}} = 3^{-1} \cdot 2^{-6-(-12)} = 3^{-1} \cdot 2^{-6+12} = 3^{-1} \cdot 2^6 $.
5. Вычислим итоговое значение:
$ 3^{-1} \cdot 2^6 = \frac{1}{3} \cdot 64 = \frac{64}{3} $.
Ответ: $ \frac{64}{3} $.

г) Для вычисления выражения $ \frac{8^{-3} \cdot 10^5}{5^6 \cdot 2^{-2}} $ представим основания степеней в виде простых чисел.
1. Преобразуем числитель:
$ 8 = 2^3 $, поэтому $ 8^{-3} = (2^3)^{-3} = 2^{3 \cdot (-3)} = 2^{-9} $.
$ 10 = 2 \cdot 5 $, поэтому $ 10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5 $.
Числитель равен: $ 2^{-9} \cdot 2^5 \cdot 5^5 $.
2. Подставим преобразованный числитель в выражение: $ \frac{2^{-9} \cdot 2^5 \cdot 5^5}{5^6 \cdot 2^{-2}} $.
3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$ \frac{2^{-9+5}}{2^{-2}} \cdot \frac{5^5}{5^6} = \frac{2^{-4}}{2^{-2}} \cdot \frac{5^5}{5^6} $.
4. Применим свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ 2^{-4-(-2)} \cdot 5^{5-6} = 2^{-4+2} \cdot 5^{-1} = 2^{-2} \cdot 5^{-1} $.
5. Вычислим результат:
$ 2^{-2} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2^2} \cdot \frac{1}{5^1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20} $.
Ответ: $ \frac{1}{20} $.

26. Найдите значение выражения:

a) $\frac{m^6(m^{-2})^5}{m^{-3}m^7}$ при $m = 0,5$;

б) $\frac{a^{-3}b^{-5}(a^2b)^{-1}}{(a^{-3})^2b^{-4}}$ при $a = 15, b = 5$;

В) $\frac{n^{-5}(n^{-1})^{-9}}{n^{-4}n^{10}}$ при $n = 10$;

Г) $\frac{(cd^3)^{-2}c^{-8}}{(c^{-5})^2(d^{-3})^3}$ при $c = 6, d = 3.$

а)

Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней: $(x^a)^b = x^{ab}$, $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ и $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.

Исходное выражение: $\frac{m^6(m^{-2})^5}{m^{-3}m^7}$.

1. Упростим числитель дроби:

$m^6(m^{-2})^5 = m^6 \cdot m^{-2 \cdot 5} = m^6 \cdot m^{-10} = m^{6 + (-10)} = m^{-4}$.

2. Упростим знаменатель дроби:

$m^{-3}m^7 = m^{-3+7} = m^4$.

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{m^{-4}}{m^4} = m^{-4-4} = m^{-8}$.

4. Теперь подставим значение $m = 0,5$ в упрощенное выражение. Удобно представить $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$.

$m^{-8} = (0,5)^{-8} = (\frac{1}{2})^{-8} = (\frac{2}{1})^8 = 2^8 = 256$.

Ответ: 256

б)

Упростим выражение $\frac{a^{-3}b^{-5}(a^2b)^{-1}}{(a^{-3})^2b^{-4}}$.

1. Упростим числитель, используя правило $(xy)^n = x^n y^n$:

$a^{-3}b^{-5}(a^2b)^{-1} = a^{-3}b^{-5} \cdot (a^2)^{-1}b^{-1} = a^{-3}b^{-5}a^{-2}b^{-1}$.

Сгруппируем и упростим степени с одинаковыми основаниями:

$(a^{-3}a^{-2})(b^{-5}b^{-1}) = a^{-3-2}b^{-5-1} = a^{-5}b^{-6}$.

2. Упростим знаменатель:

$(a^{-3})^2b^{-4} = a^{-3 \cdot 2}b^{-4} = a^{-6}b^{-4}$.

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{a^{-5}b^{-6}}{a^{-6}b^{-4}} = a^{-5-(-6)} \cdot b^{-6-(-4)} = a^{-5+6} \cdot b^{-6+4} = a^{1}b^{-2} = \frac{a}{b^2}$.

4. Подставим значения $a = 15$ и $b = 5$:

$\frac{a}{b^2} = \frac{15}{5^2} = \frac{15}{25} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

в)

Упростим выражение $\frac{n^{-5}(n^{-1})^{-9}}{n^{-4}n^{10}}$.

1. Упростим числитель дроби:

$n^{-5}(n^{-1})^{-9} = n^{-5} \cdot n^{(-1) \cdot (-9)} = n^{-5}n^9 = n^{-5+9} = n^4$.

2. Упростим знаменатель дроби:

$n^{-4}n^{10} = n^{-4+10} = n^6$.

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{n^4}{n^6} = n^{4-6} = n^{-2} = \frac{1}{n^2}$.

4. Подставим значение $n = 10$:

$\frac{1}{n^2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}$.

Ответ: $\frac{1}{100}$

г)

Упростим выражение $\frac{(cd^3)^{-2}c^{-8}}{(c^{-5})^2(d^{-3})^3}$.

1. Упростим числитель дроби:

$(cd^3)^{-2}c^{-8} = c^{-2}(d^3)^{-2}c^{-8} = c^{-2}d^{-6}c^{-8} = c^{-2-8}d^{-6} = c^{-10}d^{-6}$.

2. Упростим знаменатель дроби:

$(c^{-5})^2(d^{-3})^3 = c^{-5 \cdot 2} \cdot d^{-3 \cdot 3} = c^{-10}d^{-9}$.

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{c^{-10}d^{-6}}{c^{-10}d^{-9}} = c^{-10-(-10)} \cdot d^{-6-(-9)} = c^{-10+10} \cdot d^{-6+9} = c^{0}d^{3}$.

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($c^0 = 1$), выражение упрощается до $d^3$.

4. Подставим значение $d = 3$:

$d^3 = 3^3 = 27$.

Ответ: 27