Страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9. Найдите все такие натуральные числа n, при которых является натуральным числом выражение:

а) $ \frac{3n + 7}{n} $;

б) $ \frac{3n + 14}{n + 2} $;

в) $ \frac{7n + 27}{n} $;

г) $ \frac{8n + 77}{2n + 1} $.

а) Чтобы выражение $\frac{3n + 7}{n}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы $n$ было натуральным числом. Преобразуем данное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно: $ \frac{3n + 7}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{7}{n} = 3 + \frac{7}{n} $
Для того чтобы значение этого выражения было натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{7}{n}$ было целым числом, и вся сумма была больше 0. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$, и, следовательно, $\frac{7}{n} > 0$. Значит, вся сумма $3 + \frac{7}{n}$ будет натуральным числом, если $\frac{7}{n}$ — натуральное число. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 7. Натуральные делители числа 7 — это 1 и 7.
Проверим оба значения:

• Если $n = 1$, то выражение равно $3 + \frac{7}{1} = 3 + 7 = 10$, что является натуральным числом.
• Если $n = 7$, то выражение равно $3 + \frac{7}{7} = 3 + 1 = 4$, что является натуральным числом.

Ответ: 1, 7.

б) Чтобы выражение $\frac{3n + 14}{n + 2}$ было натуральным числом, преобразуем его, выделив целую часть. Для этого в числителе представим $3n$ как $3(n+2) - 6$: $ \frac{3n + 14}{n + 2} = \frac{3(n + 2) - 6 + 14}{n + 2} = \frac{3(n + 2) + 8}{n + 2} = \frac{3(n + 2)}{n + 2} + \frac{8}{n + 2} = 3 + \frac{8}{n + 2} $
Для того чтобы значение этого выражения было натуральным числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{8}{n + 2}$ была натуральным числом (так как $3$ уже натуральное). Это означает, что знаменатель $n + 2$ должен быть натуральным делителем числа 8. Натуральные делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, следовательно $n + 2 \ge 1 + 2 = 3$.
Из делителей числа 8 выбираем те, которые больше или равны 3. Это 4 и 8. Рассмотрим два случая:

• $n + 2 = 4 \implies n = 2$. При $n=2$ выражение равно $3 + \frac{8}{2+2} = 3 + \frac{8}{4} = 3 + 2 = 5$.
• $n + 2 = 8 \implies n = 6$. При $n=6$ выражение равно $3 + \frac{8}{6+2} = 3 + \frac{8}{8} = 3 + 1 = 4$.

Оба значения $n$ подходят.
Ответ: 2, 6.

в) Преобразуем выражение $\frac{7n + 27}{n}$, разделив числитель на знаменатель почленно: $ \frac{7n + 27}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{27}{n} = 7 + \frac{27}{n} $
Чтобы это выражение было натуральным числом, слагаемое $\frac{27}{n}$ должно быть натуральным числом. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 27. Натуральные делители числа 27: 1, 3, 9, 27.
Проверим все эти значения:

• $n = 1: 7 + \frac{27}{1} = 34$
• $n = 3: 7 + \frac{27}{3} = 7 + 9 = 16$
• $n = 9: 7 + \frac{27}{9} = 7 + 3 = 10$
• $n = 27: 7 + \frac{27}{27} = 7 + 1 = 8$

Все полученные значения являются натуральными числами.
Ответ: 1, 3, 9, 27.

г) Преобразуем выражение $\frac{8n + 77}{2n + 1}$, выделив целую часть. Для этого в числителе представим $8n$ как $4(2n+1) - 4$: $ \frac{8n + 77}{2n + 1} = \frac{4(2n + 1) - 4 + 77}{2n + 1} = \frac{4(2n + 1) + 73}{2n + 1} = \frac{4(2n + 1)}{2n + 1} + \frac{73}{2n + 1} = 4 + \frac{73}{2n + 1} $
Чтобы это выражение было натуральным числом, дробь $\frac{73}{2n + 1}$ должна быть натуральным числом. Это означает, что знаменатель $2n + 1$ должен быть натуральным делителем числа 73. Число 73 является простым, поэтому его натуральные делители — это 1 и 73.
Рассмотрим два случая:

• $2n + 1 = 1 \implies 2n = 0 \implies n = 0$. Но $n$ должно быть натуральным числом, поэтому этот случай не подходит.
• $2n + 1 = 73 \implies 2n = 72 \implies n = 36$. Это натуральное число.

Проверим значение $n=36$: $4 + \frac{73}{2(36) + 1} = 4 + \frac{73}{73} = 4 + 1 = 5$.
Ответ: 36.

10. Разложите на простые множители числа:

а) $95256$;

б) $968000$;

в) $444528$;

г) $178200$.

а) Чтобы разложить число $95256$ на простые множители, будем последовательно делить его на наименьшие простые числа, начиная с $2$.

Число $95256$ четное, делим на $2$:

$95256 \div 2 = 47628$

$47628 \div 2 = 23814$

$23814 \div 2 = 11907$

Число $11907$ нечетное. Проверим делимость на $3$. Сумма его цифр $1+1+9+0+7=18$ делится на $3$, значит, и само число делится на $3$.

$11907 \div 3 = 3969$

Продолжаем делить на $3$, так как сумма цифр $3+9+6+9=27$ делится на $3$.

$3969 \div 3 = 1323$

$1323 \div 3 = 441$

$441 \div 3 = 147$

$147 \div 3 = 49$

Число $49$ не делится на $3$ и на $5$. Делим его на следующее простое число $7$.

$49 \div 7 = 7$

$7 \div 7 = 1$

Деление закончено. Собрав все множители, получаем: $95256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$.

Запишем в виде степеней:

Ответ: $95256 = 2^3 \cdot 3^5 \cdot 7^2$.

б) Чтобы разложить число $968000$ на простые множители, представим его как произведение $968 \cdot 1000$ и разложим каждый множитель.

Разложим $1000$:

$1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.

Разложим $968$:

$968 \div 2 = 484$

$484 \div 2 = 242$

$242 \div 2 = 121$

Число $121$ является квадратом простого числа $11$.

$121 \div 11 = 11$

$11 \div 11 = 1$

Таким образом, $968 = 2^3 \cdot 11^2$.

Теперь объединим множители:

$968000 = (2^3 \cdot 11^2) \cdot (2^3 \cdot 5^3) = 2^{3+3} \cdot 5^3 \cdot 11^2 = 2^6 \cdot 5^3 \cdot 11^2$.

Ответ: $968000 = 2^6 \cdot 5^3 \cdot 11^2$.

в) Разложим число $444528$ на простые множители.

Число $444528$ четное, делим на $2$:

$444528 \div 2 = 222264$

$222264 \div 2 = 111132$

$111132 \div 2 = 55566$

$55566 \div 2 = 27783$

Сум

11. Найдите остаток от деления числа:

a) $43215436$ на $10$;

б) $1234321$ на $3$;

в) $1234567$ на $9$;

г) $3456785$ на $6$.

а) Для нахождения остатка от деления числа на 10 достаточно посмотреть на его последнюю цифру. У числа 43 215 436 последняя цифра 6. Любое целое число $N$ можно представить в виде $N = 10 \cdot q + r$, где $r$ — это последняя цифра. В данном случае: $43 215 436 = 10 \cdot 4 321 543 + 6$. Таким образом, остаток от деления равен 6.

Ответ: 6

б) Остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3. Это свойство основано на том, что любая степень десяти при делении на 3 даёт в остатке 1 ($10^k \equiv 1 \pmod{3}$).

Сумма цифр числа 1 234 321 равна:

$1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16$

Теперь найдём остаток от деления полученной суммы на 3:

$16 = 3 \cdot 5 + 1$

Остаток равен 1.

Ответ: 1

в) Правило для нахождения остатка от деления на 9 аналогично правилу для 3: остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9 (так как $10^k \equiv 1 \pmod{9}$).

Сумма цифр числа 1 234 567 равна:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$

Теперь найдём остаток от деления суммы на 9:

$28 = 9 \cdot 3 + 1$

Остаток равен 1.

Ответ: 1

г) Чтобы найти остаток от деления числа на 6, мы должны найти остатки от деления этого числа на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$. Пусть искомый остаток $r$. Тогда $r$ должен удовлетворять системе сравнений по модулю 2 и 3.

1. Остаток от деления на 2. Остаток от деления на 2 определяется последней цифрой. У числа 3 456 785 последняя цифра 5. При делении 5 на 2 получаем остаток 1 ($5 = 2 \cdot 2 + 1$). Значит, искомый остаток $r$ при делении на 6 должен быть нечётным.

2. Остаток от деления на 3. Найдём сумму цифр числа 3 456 785: $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 5 = 38$. Теперь найдём остаток от деления 38 на 3: $38 = 3 \cdot 12 + 2$. Остаток равен 2.

Итак, искомый остаток $r$ ($0 \le r < 6$) должен удовлетворять двум условиям:

• При делении на 2 давать остаток 1 (быть нечётным).
• При делении на 3 давать остаток 2.

Переберём возможные остатки от деления на 6 (0, 1, 2, 3, 4, 5). Выберем из них нечётные: 1, 3, 5. Теперь проверим для них второе условие:

• $1$ при делении на 3 даёт остаток 1. Не подходит.
• $3$ при делении на 3 даёт остаток 0. Не подходит.
• $5$ при делении на 3 даёт остаток 2 ($5 = 3 \cdot 1 + 2$). Подходит.

Следовательно, остаток от деления числа 3 456 785 на 6 равен 5.

Ответ: 5

12. Назовите все остатки, которые могут получиться при делении на число:

а) $5$;

б) $7$;

в) $4$;

г) $10$.

При делении с остатком любого целого числа на натуральное число $d$ (делитель), остаток $r$ всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя. Это свойство выражается математическим неравенством: $0 \le r < d$. Таким образом, чтобы найти все возможные остатки при делении на заданное число, нужно перечислить все целые числа, начиная с 0 и до числа, на единицу меньшего, чем делитель.

а) При делении на число 5, делителем является $d=5$. Согласно правилу, остаток $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 5$. Все целые числа, которые удовлетворяют этому условию: 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

б) При делении на число 7, делителем является $d=7$. Следовательно, возможные остатки $r$ должны находиться в диапазоне $0 \le r < 7$. Перечислим все целые числа в этом диапазоне: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

в) При делении на число 4, делителем является $d=4$. Остаток $r$ должен удовлетворять условию $0 \le r < 4$. Этому условию соответствуют следующие целые числа: 0, 1, 2, 3.
Ответ: 0, 1, 2, 3.

г) При делении на число 10, делителем является $d=10$. Таким образом, остаток $r$ должен подчиняться неравенству $0 \le r < 10$. Все возможные целые остатки в этом случае: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

13. Составьте формулу натурального числа, которое:

а) при делении на 5 даёт остаток 4: $N = 5k + 4$

б) при делении на 7 даёт остаток 3: $N = 7k + 3$

в) при делении на 11 даёт остаток 7: $N = 11k + 7$

г) при делении на 6 даёт остаток 1: $N = 6k + 1$

а) при делении на 5 даёт остаток 4;

Согласно определению деления с остатком, любое натуральное число $N$, которое при делении на делитель $d$ даёт остаток $r$, можно представить формулой $N = d \cdot k + r$. В этой формуле $k$ — это неполное частное, которое может быть любым целым неотрицательным числом ($k = 0, 1, 2, \dots$).

В данном случае делитель $d=5$, а остаток $r=4$. Подставляя эти значения в общую формулу, получаем: $N = 5k + 4$.

Например, при $k=0$ получаем $N = 5 \cdot 0 + 4 = 4$. При $k=1$ получаем $N = 5 \cdot 1 + 4 = 9$. Оба числа удовлетворяют условию.

Ответ: $N = 5k + 4$, где $k \in \{0, 1, 2, ...\}$.

б) при делении на 7 даёт остаток 3;

Аналогично, если число $N$ при делении на 7 даёт остаток 3, то его можно представить формулой $N = 7k + 3$. Здесь $k$ также является любым целым неотрицательным числом.

Например, при $k=0$ получаем $N = 7 \cdot 0 + 3 = 3$. При $k=1$ получаем $N = 7 \cdot 1 + 3 = 10$.

Ответ: $N = 7k + 3$, где $k \in \{0, 1, 2, ...\}$.

в) при делении на 11 даёт остаток 7;

Для числа $N$, которое при делении на 11 даёт остаток 7, формула будет выглядеть как $N = 11k + 7$. В этой формуле $k$ — любое целое неотрицательное число.

Например, при $k=0$ получаем $N = 11 \cdot 0 + 7 = 7$. При $k=1$ получаем $N = 11 \cdot 1 + 7 = 18$.

Ответ: $N = 11k + 7$, где $k \in \{0, 1, 2, ...\}$.

г) при делении на 6 даёт остаток 1.

Для числа $N$, дающего остаток 1 при делении на 6, формула имеет вид $N = 6k + 1$. Здесь $k$ — любое целое неотрицательное число.

Например, при $k=0$ получаем $N = 6 \cdot 0 + 1 = 1$. При $k=1$ получаем $N = 6 \cdot 1 + 1 = 7$.

Ответ: $N = 6k + 1$, где $k \in \{0, 1, 2, ...\}$.

14. В числе $23\square47$ заполните пропуск такой цифрой, чтобы число:

а) делилось на 3;

б) делилось на 9.

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости на 3 и на 9. Оба признака основаны на сумме цифр числа. Пусть пропущенная цифра в числе 23?47 будет $x$.

а) делилось на 3;

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму известных цифр в заданном числе:

$2 + 3 + 4 + 7 = 16$

Полная сумма цифр числа, включая неизвестную цифру $x$, равна $16 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3. Нам нужно найти все такие цифры $x$ (от 0 до 9), для которых $16 + x$ делится на 3.

Рассмотрим возможные значения $x$:

Если $x = 2$, то сумма цифр $16 + 2 = 18$. Число 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$), значит, цифра 2 подходит. Получаем число 23247.

Если $x = 5$, то сумма цифр $16 + 5 = 21$. Число 21 делится на 3 ($21 \div 3 = 7$), значит, цифра 5 подходит. Получаем число 23547.

Если $x = 8$, то сумма цифр $16 + 8 = 24$. Число 24 делится на 3 ($24 \div 3 = 8$), значит, цифра 8 подходит. Получаем число 23847.

Другие цифры не подходят, так как сумма не будет кратна 3. Например, при $x=9$ сумма равна 25, а следующее подходящее значение суммы (27) требует, чтобы $x$ было равно 11, что не является цифрой.

Ответ: 2, 5 или 8.

б) делилось на 9.

Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9. Как и в предыдущем пункте, сумма цифр числа равна $16 + x$.

Эта сумма должна быть кратна 9. Нам нужно найти такую цифру $x$ (от 0 до 9), для которой $16 + x$ делится на 9.

Найдем ближайшее к 16 число, которое делится на 9. Это число 18.

Приравняем сумму цифр к 18:

$16 + x = 18$

$x = 18 - 16$

$x = 2$

Цифра 2 подходит. Следующее число, кратное 9, это 27. Для него $16 + x = 27$ дает $x = 11$, что не является цифрой. Таким образом, есть только одно решение.

Ответ: 2.

15. В числе 3423□ заполните пропуск такой цифрой, чтобы число:

а) делилось на 3 и на 2;

б) делилось на 3 и на 4.

а) Чтобы число делилось на 2, его последняя цифра должна быть четной. Следовательно, искомая цифра может быть 0, 2, 4, 6 или 8.

Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Найдем сумму известных цифр числа 3423?: $3+4+2+3=12$. Обозначим пропущенную цифру через $x$. Тогда сумма всех цифр числа будет $12+x$. Так как 12 делится на 3, то для того, чтобы вся сумма $12+x$ делилась на 3, необходимо, чтобы $x$ также делилось на 3. Следовательно, искомая цифра может быть 0, 3, 6 или 9.

Для того чтобы число делилось одновременно и на 2, и на 3, искомая цифра должна удовлетворять обоим условиям. Сравнивая два набора возможных цифр, {0, 2, 4, 6, 8} и {0, 3, 6, 9}, мы видим, что общими для них являются цифры 0 и 6.

Ответ: 0 или 6.

б) Чтобы число делилось на 4, число, образованное двумя его последними цифрами, должно делиться на 4. В нашем случае это число 3? (то есть $30+x$). Переберем возможные цифры $x$ от 0 до 9 и проверим делимость числа $3x$ на 4:

• 30 не делится на 4
• 31 не делится на 4
• 32 делится на 4 ($32 \div 4 = 8$)
• 33 не делится на 4
• 34 не делится на 4
• 35 не делится на 4
• 36 делится на 4 ($36 \div 4 = 9$)
• 37 не делится на 4
• 38 не делится на 4
• 39 не делится на 4

Таким образом, для делимости на 4 последняя цифра может быть 2 или 6.

Как мы уже выяснили в пункте а), для делимости на 3 последняя цифра $x$ должна быть 0, 3, 6 или 9.

Чтобы число делилось и на 3, и на 4, искомая цифра должна удовлетворять обоим найденным условиям. Сравнивая наборы {2, 6} (для делимости на 4) и {0, 3, 6, 9} (для делимости на 3), мы находим единственную общую цифру — 6.

Ответ: 6.

16. В числе $7345\square$ заполните пропуск такой цифрой, чтобы число:

а) при делении на 9 давало в остатке 2;

б) при делении на 5 давало в остатке 3;

в) при делении на 25 давало в остатке 7;

г) при делении на 11 давало в остатке 10.

Обозначим пропущенную цифру через $x$. Тогда искомое число имеет вид $7345x$, что равно $73450 + x$. Будем решать каждый пункт отдельно.

а) при делении на 9 давало в остатке 2;

По условию, число $7345x$ при делении на 9 дает в остатке 2. Используя язык сравнений по модулю, это можно записать как $7345x \equiv 2 \pmod{9}$.

Воспользуемся признаком делимости на 9: число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9. Сумма цифр нашего числа равна $S = 7 + 3 + 4 + 5 + x = 19 + x$.

Таким образом, наше условие сводится к сравнению $19 + x \equiv 2 \pmod{9}$. Так как $19 = 2 \cdot 9 + 1$, то $19 \equiv 1 \pmod{9}$. Сравнение принимает вид $1 + x \equiv 2 \pmod{9}$.

Вычитая 1 из обеих частей, получаем $x \equiv 1 \pmod{9}$. Поскольку $x$ — это цифра (от 0 до 9), единственным решением является $x=1$.

Проверка: число 73451. Сумма цифр $7+3+4+5+1=20$. При делении 20 на 9 получаем частное 2 и остаток 2. Условие выполнено.

Ответ: 1

б) при делении на 5 давало в остатке 3;

Условие гласит, что число $7345x$ при делении на 5 дает в остатке 3, то есть $7345x \equiv 3 \pmod{5}$.

Остаток от деления числа на 5 зависит только от его последней цифры. Следовательно, условие сводится к сравнению для последней цифры $x$: $x \equiv 3 \pmod{5}$.

Поскольку $x$ — это цифра (от 0 до 9), этому условию удовлетворяют два значения: $x=3$ и $x=8$.

Проверка: если $x=3$, число 73453. Последняя цифра 3, остаток от деления на 5 равен 3. Если $x=8$, число 73458. Последняя цифра 8, $8 = 1 \cdot 5 + 3$, остаток от деления на 5 также равен 3. Оба варианта подходят.

Ответ: 3 или 8

в) при делении на 25 давало в остатке 7;

По условию, число $7345x$ при делении на 25 дает в остатке 7. Это означает $7345x \equiv 7 \pmod{25}$.

Остаток от деления числа на 25 определяется числом, образованным двумя его последними цифрами. В нашем случае это число $5x$, которое равно $50+x$.

Таким образом, условие сводится к сравнению $50 + x \equiv 7 \pmod{25}$.

Так как $50$ делится на 25 без остатка ($50 = 2 \cdot 25$), то $50 \equiv 0 \pmod{25}$. Сравнение упрощается до $x \equiv 7 \pmod{25}$.

Поскольку $x$ — это цифра (от 0 до 9), единственным решением является $x=7$.

Проверка: число 73457. Две последние цифры образуют число 57. $57 = 2 \cdot 25 + 7$. Остаток равен 7. Условие выполнено.

Ответ: 7

г) при делении на 11 давало в остатке 10.

Условие гласит, что число $7345x$ при делении на 11 дает в остатке 10. Это можно записать как $7345x \equiv 10 \pmod{11}$.

Воспользуемся признаком делимости на 11: число сравнимо по модулю 11 со знакопеременной суммой своих цифр (начиная с последней). Для числа $7345x$ эта сумма равна $S_{alt} = x - 5 + 4 - 3 + 7 = x + 3$.

Следовательно, условие сводится к сравнению $x + 3 \equiv 10 \pmod{11}$.

Вычитая 3 из обеих частей, получаем $x \equiv 7 \pmod{11}$.

Поскольку $x$ — это цифра (от 0 до 9), единственным решением является $x=7$.

Проверка: число 73457. Разделим его на 11: $73457 = 11 \cdot 6677 + 10$. Остаток равен 10. Условие выполнено.

Ответ: 7

17. Найдите наибольший общий делитель (НОД) чисел:

а) $154$ и $210$;

б) $240$, $360$ и $900$;

в) $105$ и $165$;

г) $144$, $216$ и $324$.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 154 и 210, разложим их на простые множители.
Разложение числа 154 на простые множители:
$154 = 2 \cdot 77 = 2 \cdot 7 \cdot 11$
Разложение числа 210 на простые множители:
$210 = 10 \cdot 21 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
Теперь найдем общие множители в обоих разложениях. Это числа 2 и 7.
Перемножим общие множители, чтобы найти НОД:
$НОД(154; 210) = 2 \cdot 7 = 14$
Ответ: 14

б) Чтобы найти НОД чисел 240, 360 и 900, разложим каждое число на простые множители.
Разложение числа 240:
$240 = 24 \cdot 10 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$
Разложение числа 360:
$360 = 36 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
Разложение числа 900:
$900 = 9 \cdot 100 = 3^2 \cdot 10^2 = 3^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$
Найдем общие простые множители и выберем для каждого наименьшую степень, в которой он входит в разложения:
- Общий множитель 2: наименьшая степень $2^2$.
- Общий множитель 3: наименьшая степень $3^1$.
- Общий множитель 5: наименьшая степень $5^1$.
Перемножим эти множители, чтобы найти НОД:
$НОД(240; 360; 900) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$
Ответ: 60

в) Найдем НОД чисел 105 и 165. Для этого разложим их на простые множители.
Разложение числа 105:
$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$
Разложение числа 165:
$165 = 5 \cdot 33 = 3 \cdot 5 \cdot 11$
Общие множители в разложениях - это 3 и 5.
Перемножим их, чтобы найти НОД:
$НОД(105; 165) = 3 \cdot 5 = 15$
Ответ: 15

г) Найдем НОД чисел 144, 216 и 324. Сначала разложим все три числа на простые множители.
Разложение числа 144:
$144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$
Разложение числа 216:
$216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$
Разложение числа 324:
$324 = 18^2 = (2 \cdot 3^2)^2 = 2^2 \cdot 3^4$
Теперь найдем общие простые множители и выберем для каждого наименьшую степень, в которой он встречается в разложениях:
- Общий множитель 2: наименьшая степень $2^2$.
- Общий множитель 3: наименьшая степень $3^2$.
Перемножим эти множители, чтобы найти НОД:
$НОД(144; 216; 324) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
Ответ: 36