Страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

45. Решите уравнение:

а) $x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 6 = 0;$

б) $x^2 + \sqrt{(x + 1)^2} - 3 = 0;$

в) $x^2 + (\sqrt{x - 3})^2 - 9 = 0;$

г) $x^2 + \sqrt{(x - 3)^2} - 9 = 0.$

а) $x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 6 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Используем тождество $(\sqrt{x})^2 = x$, которое верно для всех $x$ из ОДЗ. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{5+7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{5-7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, следовательно, является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $6$.

б) $x^2 + \sqrt{(x+1)^2} - 3 = 0$

Выражение под корнем $(x+1)^2$ неотрицательно при любом $x$, поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + |x+1| - 3 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Тогда $|x+1| = x+1$.

$x^2 + x + 1 - 3 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \ge -1$.

2. Если $x+1 < 0$, то есть $x < -1$. Тогда $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.

$x^2 - (x+1) - 3 = 0$

$x^2 - x - 4 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Корень $x_3 = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{16} < \sqrt{17}$, то $\frac{1+\sqrt{17}}{2} > \frac{1+4}{2} = 2.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < -1$.

Корень $x_4 = \frac{1-\sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1}$, то $1-\sqrt{17} < 0$. $1-\sqrt{17} \approx 1 - 4.12 = -3.12$, значит $\frac{1-\sqrt{17}}{2} \approx -1.56$. Этот корень удовлетворяет условию $x < -1$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $1; \frac{1-\sqrt{17}}{2}$.

в) $x^2 + (\sqrt{x}-3)^2 - 9 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки: $(\sqrt{x}-3)^2 = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} + 3^2 = x - 6\sqrt{x} + 9$.

Подставим в уравнение:

$x^2 + (x - 6\sqrt{x} + 9) - 9 = 0$

$x^2 + x - 6\sqrt{x} = 0$

Вынесем $\sqrt{x}$ за скобки (это возможно, так как $x \ge 0$):

$\sqrt{x}(x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $\sqrt{x} = 0 \implies x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2. $x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 6 = 0$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$. Так как $x > 0$ для этого случая, то $t > 0$.

$t^3 + t - 6 = 0$

Рассмотрим функцию $f(t) = t^3+t-6$. Её производная $f'(t) = 3t^2+1$ всегда положительна, значит, функция $f(t)$ строго возрастает. Следовательно, она может иметь не более одного корня.

Заметим, что $f(1) = 1+1-6 = -4 < 0$ и $f(2) = 8+2-6 = 4 > 0$. Поскольку функция непрерывна и меняет знак на интервале $(1, 2)$, она имеет единственный корень $t_0$ на этом интервале. Этот корень иррационален.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $x_1=0$ и $x_2 = t_0^2$, где $t_0$ — единственный действительный корень уравнения $t^3+t-6=0$.

Ответ: $0$; $x_2$, где $x_2$ — это квадрат единственного положительного корня уравнения $t^3+t-6=0$.

г) $x^2 + \sqrt{(x-3)^2} - 9 = 0$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$, так как $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:

$x^2 + |x-3| - 9 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Тогда $|x-3|=x-3$.

$x^2 + x - 3 - 9 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1=3$, $x_2=-4$.

Корень $x_1=3$ удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Корень $x_2=-4$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$.

2. Если $x-3 < 0$, то есть $x < 3$. Тогда $|x-3|=-(x-3)=-x+3$.

$x^2 - x + 3 - 9 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3=3$, $x_4=-2$.

Корень $x_3=3$ не удовлетворяет условию $x < 3$.

Корень $x_4=-2$ удовлетворяет условию $x < 3$.

Объединяя результаты, получаем два корня.

Ответ: $-2; 3$.

Решите неравенство:

46. a) $2 + 5x > -3$;

б) $1 - 2x \leq 3$;

в) $\frac{2 + x}{10} > \frac{3x - 1}{15}$;

г) $\frac{3x - 1}{8} > \frac{3 - 5x}{20}$.

а) $2 + 5x > -3$
Чтобы решить это линейное неравенство, сначала изолируем слагаемое с переменной $x$. Для этого перенесем число 2 из левой части в правую, изменив его знак:
$5x > -3 - 2$
Выполним вычитание в правой части:
$5x > -5$
Теперь разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не меняется:
$x > \frac{-5}{5}$
$x > -1$
Решением является интервал от -1 до плюс бесконечности, не включая -1.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

б) $1 - 2x \le 3$
Перенесем число 1 из левой части в правую с противоположным знаком:
$-2x \le 3 - 1$
$-2x \le 2$
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $ \le $ на $ \ge $):
$x \ge \frac{2}{-2}$
$x \ge -1$
Решением является числовой луч от -1 до плюс бесконечности, включая -1.
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

в) $\frac{2+x}{10} > \frac{3x-1}{15}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 10 и 15. НОК(10, 15) = 30. Так как 30 > 0, знак неравенства сохраняется:
$30 \cdot \frac{2+x}{10} > 30 \cdot \frac{3x-1}{15}$
Выполним сокращение:
$3(2+x) > 2(3x-1)$
Раскроем скобки:
$6 + 3x > 6x - 2$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены - в другой. Перенесем $3x$ вправо, а -2 влево:
$6 + 2 > 6x - 3x$
$8 > 3x$
Это неравенство эквивалентно $3x < 8$. Разделим обе части на 3:
$x < \frac{8}{3}$
Решением является интервал от минус бесконечности до $\frac{8}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{8}{3})$.

г) $\frac{3x-1}{8} > \frac{3-5x}{20}$
Найдем НОК знаменателей 8 и 20. НОК(8, 20) = 40. Умножим обе части неравенства на 40, знак неравенства не изменится:
$40 \cdot \frac{3x-1}{8} > 40 \cdot \frac{3-5x}{20}$
Сократим дроби:
$5(3x-1) > 2(3-5x)$
Раскроем скобки в обеих частях:
$15x - 5 > 6 - 10x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую:
$15x + 10x > 6 + 5$
Приведем подобные слагаемые:
$25x > 11$
Разделим обе части на 25:
$x > \frac{11}{25}$
Решением является интервал от $\frac{11}{25}$ до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in (\frac{11}{25}; +\infty)$.

47. a) $x^2 - 7x + 12 > 0;$

б) $-x^2 + 3x + 4 \ge 0;$

В) $3x^2 - 4x + 1 \le 0;$

Г) $-2x^2 + x + 1 < 0.$

а) $x^2 - 7x + 12 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 12$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3$

$x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=3$ и $x=4$.

Неравенство $x^2 - 7x + 12 > 0$ выполняется там, где график параболы находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.

б) $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$

Сначала найдем корни уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Графиком функции $y = -x^2 + 3x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1 < 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=4$.

Неравенство $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$ выполняется там, где график параболы находится выше или на оси Ox. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [-1; 4]$.

Ответ: $x \in [-1; 4]$.

в) $3x^2 - 4x + 1 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$.

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$

$x_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Графиком функции $y = 3x^2 - 4x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=1/3$ и $x=1$.

Неравенство $3x^2 - 4x + 1 \le 0$ выполняется там, где график параболы находится ниже или на оси Ox. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [\frac{1}{3}; 1]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 1]$.

г) $-2x^2 + x + 1 < 0$

Найдем корни уравнения $-2x^2 + x + 1 = 0$. Умножим обе части на -1:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Графиком функции $y = -2x^2 + x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-2 < 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-1/2$ и $x=1$.

Неравенство $-2x^2 + x + 1 < 0$ выполняется там, где график параболы находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$.

48. а) $x^2 - 81 \le 0$;

б) $-x^2 > 4x$;

В) $121 \le x^2$;

Г) $x^2 - 2x < 0$.

а) $x^2 - 81 \le 0$.

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 81 = 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 9)(x + 9) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -9$ и $x_2 = 9$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; 9)$ и $(9; \infty)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 81$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что функция принимает отрицательные значения между корнями и положительные значения вне этого интервала. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), сами корни также включаются в решение.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток, где парабола находится ниже или на оси Ox, то есть отрезок $[-9; 9]$.

Ответ: $x \in [-9; 9]$.

б) $-x^2 > 4x$.

Сначала перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы сравнить с нулем:

$-x^2 - 4x > 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 + 4x < 0$.

Теперь решим это неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 4x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 4) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Функция принимает отрицательные значения между корнями. Поскольку неравенство строгое ($<$), сами корни в решение не входят.

Таким образом, решением является интервал $(-4; 0)$.

Ответ: $x \in (-4; 0)$.

в) $121 \le x^2$.

Перепишем неравенство в более привычном виде, перенеся 121 вправо:

$x^2 - 121 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 121 = 0$.

Используем формулу разности квадратов: $(x - 11)(x + 11) =

49. a) $4x^2 - 12x + 9 > 0$;

Б) $-2x^2 + x - 1 < 0$;

В) $9x^2 - 6x + 1 \le 0$;

Г) $x^2 - 2x + 5 < 0$.

а) Рассмотрим неравенство $4x^2 - 12x + 9 > 0$. Выражение в левой части представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 = 4x^2$, значит $a=2x$, и $b^2=9$, значит $b=3$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$. Следовательно, $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$. Неравенство принимает вид: $(2x - 3)^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \ge 0$. Данное неравенство является строгим, поэтому оно выполняется для всех значений $x$, при которых выражение $(2x-3)^2$ не равно нулю. Найдем, при каком $x$ выражение равно нулю: $(2x - 3)^2 = 0$ $2x - 3 = 0$ $2x = 3$ $x = \frac{3}{2} = 1,5$. Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = 1,5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

б) Рассмотрим неравенство $-2x^2 + x - 1 < 0$. Для решения этого неравенства исследуем квадратичную функцию $y = -2x^2 + x - 1$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), для этого найдем корни уравнения $-2x^2 + x - 1 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-2)(-1) = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена ниже оси Ox. Это значит, что выражение $-2x^2 + x - 1$ принимает отрицательные значения при любых действительных значениях $x$. Следовательно, неравенство $-2x^2 + x - 1 < 0$ выполняется для всех $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Рассмотрим неравенство $9x^2 - 6x + 1 \le 0$. Выражение в левой части также является полным квадратом разности: $9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$. Неравенство принимает вид: $(3x - 1)^2 \le 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(3x - 1)^2 \ge 0$ при любом $x$. Поэтому неравенство $(3x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(3x - 1)^2 = 0$. Решим это уравнение: $3x - 1 = 0$ $3x = 1$ $x = \frac{1}{3}$. Это единственное решение неравенства.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

г) Рассмотрим неравенство $x^2 - 2x + 5 < 0$. Исследуем квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 5$. Графиком является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 2x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 - 2x + 5$ принимает только положительные значения при любых действительных $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - 2x + 5 < 0$ не имеет решений.
Ответ: нет решений.

50. a) $x(x+7)(3-6x) \ge 0$;

б) $(2x-1)(4-12x)(x+9) < 0$.

а)

Для решения неравенства $x(x + 7)(3 - 6x) \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(x + 7)(3 - 6x) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

$x + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = -7$

$3 - 6x = 0 \Rightarrow 6x = 3 \Rightarrow x_3 = \frac{3}{6} = 0.5$

2. Отметим полученные корни на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), точки будут закрашенными, то есть они включаются в решение. Расположим точки в порядке возрастания: $-7$, $0$, $0.5$.

3. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty, -7]$, $[-7, 0]$, $[0, 0.5]$ и $[0.5, +\infty)$.

4. Определим знак выражения $x(x + 7)(3 - 6x)$ на каждом из интервалов. Для этого возьмем по одной пробной точке из каждого интервала:

- При $x = 1$ (интервал $[0.5, +\infty)$): $1 \cdot (1+7) \cdot (3 - 6 \cdot 1) = 8 \cdot (-3) = -24$. Знак «-».

- При $x = 0.1$ (интервал $[0, 0.5]$): $0.1 \cdot (0.1+7) \cdot (3 - 6 \cdot 0.1) = 0.1 \cdot 7.1 \cdot 2.4 > 0$. Знак «+».

- При $x = -1$ (интервал $[-7, 0]$): $-1 \cdot (-1+7) \cdot (3 - 6 \cdot (-1)) = -1 \cdot 6 \cdot 9 = -54$. Знак «-».

- При $x = -10$ (интервал $(-\infty, -7]$): $-10 \cdot (-10+7) \cdot (3 - 6 \cdot (-10)) = -10 \cdot (-3) \cdot 63 > 0$. Знак «+».

5. Согласно условию $x(x + 7)(3 - 6x) \geq 0$, нам нужны интервалы со знаком «+», а также точки, в которых выражение равно нулю.

Таким образом, решением являются промежутки $(-\infty, -7]$ и $[0, 0.5]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [0, 0.5]$.

б)

Решим неравенство $(2x - 1)(4 - 12x)(x + 9) < 0$ методом интервалов.

1. Для удобства дальнейших вычислений преобразуем неравенство так, чтобы коэффициент при переменной $x$ в каждом множителе был положительным. Для этого вынесем $-1$ за скобки из выражения $(4 - 12x)$:

$(2x - 1) \cdot (-1) \cdot (12x - 4) \cdot (x + 9) < 0$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(2x - 1)(12x - 4)(x + 9) > 0$

2. Найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 1)(12x - 4)(x + 9) = 0$:

$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2} = 0.5$

$12x - 4 = 0 \Rightarrow 12x = 4 \Rightarrow x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$x + 9 = 0 \Rightarrow x_3 = -9$

3. Отметим корни на числовой оси. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки будут выколотыми, то есть не будут входить в решение. Расположим точки в порядке возрастания: $-9$, $\frac{1}{3}$, $0.5$.

4. Точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -9)$, $(-9, \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}, 0.5)$ и $(0.5, +\infty)$.

5. Определим знаки выражения $(2x - 1)(12x - 4)(x + 9)$ на интервалах. Так как все коэффициенты при $x$ положительны, в крайнем правом интервале $(0.5, +\infty)$ выражение будет иметь знак «+». Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах будут чередоваться.

Знаки на интервалах (справа налево): «+», «-», «+», «-».

6. Нам нужно найти решения неравенства $(2x - 1)(12x - 4)(x + 9) > 0$, то есть выбрать интервалы со знаком «+».

Это интервалы $(-9, \frac{1}{3})$ и $(0.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9, \frac{1}{3}) \cup (0.5, +\infty)$.

51. a) $\frac{x^2 + 9}{4x^2 - 1} < 0$;

б) $\frac{10}{1 - 100x^2} < 0$.

а)

Дано неравенство $\frac{x^2 + 9}{4x^2 - 1} < 0$.

Рассмотрим числитель дроби: $x^2 + 9$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2 + 9$ всегда будет больше или равно 9, то есть $x^2 + 9 > 0$ при любом значении $x$.

Поскольку числитель дроби всегда положителен, для того чтобы вся дробь была отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы ее знаменатель был отрицательным. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$4x^2 - 1 < 0$

Для решения этого неравенства разложим его левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2x - 1)(2x + 1) < 0$

Применим метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 1)(2x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = - \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

Эти корни делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$. Графиком функции $y = 4x^2 - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

б)

Дано неравенство $\frac{10}{1 - 100x^2} < 0$.

Числитель дроби равен 10, то есть является положительной константой.

Чтобы дробь с положительным числителем была отрицательной, ее знаменатель должен быть отрицательным. Следовательно, решаем неравенство:

$1 - 100x^2 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(1 - 10x)(1 + 10x) < 0$

Найдем корни уравнения $(1 - 10x)(1 + 10x) = 0$. Корнями являются $x_1 = -\frac{1}{10}$ и $x_2 = \frac{1}{10}$.

Используем метод интервалов. Точки $x = -0.1$ и $x = 0.1$ делят числовую прямую на три интервала. Графиком функции $y = 1 - 100x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Значит, функция принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < -\frac{1}{10}$ или $x > \frac{1}{10}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{10}) \cup (\frac{1}{10}, +\infty)$.

52. a) $ \frac{x^2}{x-2} \ge 0; $

б) $ \frac{x+2}{(x-4)^2} \ge 0. $

а) Решим неравенство $\frac{x^2}{x-2} \ge 0$ методом интервалов.

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

2. Найдем нули числителя и знаменателя. Эти точки разделят числовую ось на интервалы.
Нуль числителя: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Поскольку $x$ находится во второй (четной) степени, знак выражения при переходе через точку $x=0$ на числовой оси меняться не будет.
Нуль знаменателя: $x-2 = 0 \implies x = 2$. Это корень первой (нечетной) степени, поэтому знак выражения будет меняться при переходе через эту точку.

3. Нанесем точки $0$ и $2$ на числовую ось. Точку $x=2$ изобразим выколотой (пустым кружком), так как она не входит в ОДЗ. Точку $x=0$ изобразим закрашенной (сплошным кружком), так как неравенство нестрогое ($\ge$), и при $x=0$ выражение обращается в ноль, что удовлетворяет условию.

4. Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$.
- Для интервала $(2, +\infty)$ возьмем пробную точку $x=3$: $\frac{3^2}{3-2} = \frac{9}{1} = 9 > 0$. Значит, на этом интервале выражение положительно (+).
- При переходе через $x=2$ знак меняется на противоположный. Значит, на интервале $(0, 2)$ выражение отрицательно (-).
- При переходе через $x=0$ знак не меняется. Значит, на интервале $(-\infty, 0)$ выражение также отрицательно (-).

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение $\ge 0$. Это соответствует интервалам со знаком "+" и точкам, где выражение равно нулю.
Выражение положительно на интервале $(2, +\infty)$.
Выражение равно нулю в точке $x=0$.

Объединяя эти результаты, получаем решение неравенства.

Ответ: $\{0\} \cup (2, +\infty)$

б) Решим неравенство $\frac{x+2}{(x-4)^2} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю: $(x-4)^2 \neq 0$, что означает $x-4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.

2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x+2 = 0 \implies x = -2$. Это корень нечетной кратности, знак при переходе через него будет меняться.
Нуль знаменателя: $(x-4)^2 = 0 \implies x = 4$. Это корень четной кратности (2), поэтому знак выражения при переходе через эту точку меняться не будет.

3. Нанесем точки $-2$ и $4$ на числовую ось. Точку $x=4$ изобразим выколотой, так как она не входит в ОДЗ. Точку $x=-2$ изобразим закрашенной, так как неравенство нестрогое и при $x=-2$ левая часть равна нулю.

4. Определим знак выражения на каждом из интервалов: $(-\infty, -2)$, $(-2, 4)$ и $(4, +\infty)$.
Заметим, что знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен при $x \neq 4$. Следовательно, знак всей дроби совпадает со знаком числителя $x+2$.
- Для интервала $(4, +\infty)$ возьмем $x=5$: $\frac{5+2}{(5-4)^2} = \frac{7}{1} = 7 > 0$. Знак "+".
- При переходе через $x=4$ знак не меняется. Значит, на интервале $(-2, 4)$ тоже знак "+".
- При переходе через $x=-2$ знак меняется. Значит, на интервале $(-\infty, -2)$ знак "-".

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение $\ge 0$.
Выражение положительно на интервалах $(-2, 4)$ и $(4, +\infty)$.
Выражение равно нулю в точке $x=-2$.

Объединяя эти промежутки и точку, получаем итоговое решение.

Ответ: $[-2, 4) \cup (4, +\infty)$

53. a) $\frac{x - 2}{x^2 + 2x - 8} > 0;$

б) $-\frac{x + 4}{x^2 + 6x + 8} > 0.$

a) Для решения неравенства $\frac{x-2}{x^2+2x-8} > 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

1. Найдем корень числителя:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

2. Найдем корни знаменателя, решив квадратное уравнение $x^2+2x-8=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.
Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$.

3. Перепишем неравенство, подставив разложенный знаменатель:
$\frac{x-2}{(x+4)(x-2)} > 0$.

4. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x+4)(x-2) \neq 0$. Следовательно, $x \neq -4$ и $x \neq 2$. Эти точки будут выколотыми на числовой оси.

5. При условии, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x-2)$. Неравенство принимает вид:
$\frac{1}{x+4} > 0$.

6. Дробь, у которой числитель — положительное число (1), будет больше нуля, если ее знаменатель также будет больше нуля:
$x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$.

7. Совместим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем условие $x > -4$ и ограничение $x \neq 2$. Это означает, что решением являются все числа из интервала $(-4, \infty)$, кроме числа 2.

Ответ: $x \in (-4, 2) \cup (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $-\frac{x+4}{x^2+6x+8} > 0$.

1. Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$\frac{x+4}{x^2+6x+8} < 0$.

2. Найдем нули числителя и знаменателя.
Корень числителя: $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.

3. Найдем корни знаменателя, решив уравнение $x^2+6x+8=0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.
Знаменатель раскладывается на множители: $x^2+6x+8 = (x+4)(x+2)$.

4. Подставим разложенный знаменатель в неравенство:
$\frac{x+4}{(x+4)(x+2)} < 0$.

5. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq -4$ и $x \neq -2$.

6. При условии, что $x \neq -4$, сократим дробь на $(x+4)$:
$\frac{1}{x+2} < 0$.

7. Дробь с положительным числителем (1) будет меньше нуля, если ее знаменатель будет меньше нуля:
$x+2 < 0 \Rightarrow x < -2$.

8. Совместим полученное решение $x < -2$ с ОДЗ ($x \neq -4$). Решением являются все числа из интервала $(-\infty, -2)$, за исключением точки -4.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -2)$.

Решите систему неравенств:

54. а) $\begin{cases} 15x + 60 < 0, \\ -42 - 6x \geq 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -28 - 4x \leq 0, \\ 5x + 35 \leq 0. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

$ \begin{cases} 15x + 60 < 0, \\ -42 - 6x \ge 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:
$15x + 60 < 0$
Перенесем 60 в правую часть, изменив знак:
$15x < -60$
Разделим обе части на 15:
$x < \frac{-60}{15}$
$x < -4$
Решением является интервал $(-\infty; -4)$.

2. Решим второе неравенство:
$-42 - 6x \ge 0$
Перенесем $-6x$ в правую часть, изменив знак:
$-42 \ge 6x$
Разделим обе части на 6. Знак неравенства не меняется.
$-7 \ge x$
Это эквивалентно записи:
$x \le -7$
Решением является интервал $(-\infty; -7]$.

3. Найдем пересечение решений.
Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x < -4$ и $x \le -7$.
Если число меньше или равно -7, оно автоматически меньше -4. Следовательно, пересечением этих двух множеств является множество $x \le -7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7]$.

б)

Решим вторую систему неравенств аналогичным образом.

$ \begin{cases} -28 - 4x \le 0, \\ 5x + 35 \le 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:
$-28 - 4x \le 0$
Перенесем $-4x$ в правую часть, изменив знак:
$-28 \le 4x$
Разделим обе части на 4:
$-7 \le x$
Это эквивалентно записи:
$x \ge -7$
Решением является интервал $[-7; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:
$5x + 35 \le 0$
Перенесем 35 в правую часть, изменив знак:
$5x \le -35$
Разделим обе части на 5:
$x \le \frac{-35}{5}$
$x \le -7$
Решением является интервал $(-\infty; -7]$.

3. Найдем пересечение решений.
Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \ge -7$ и $x \le -7$.
Единственное число, которое одновременно не меньше -7 и не больше -7, это само число -7.

Ответ: $\{-7\}$.

55. a) $\begin{cases} x^2 - x - 56 < 0, \\ x + 4 \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 10 < 0, \\ x^2 - 2x - 63 \ge 0. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - x - 56 < 0, \\ x + 4 \geqslant 0; \end{cases}$

1. Сначала решим первое неравенство $x^2 - x - 56 < 0$.
Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 56 = 0$.
Используем теорему Виета или формулу для корней. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-(-1) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = 8$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 56$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-7; 8)$.

2. Теперь решим второе неравенство $x + 4 \geqslant 0$.
$x \geqslant -4$.
Решение второго неравенства: $x \in [-4; +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений. Нам нужно найти общие значения для промежутков $(-7; 8)$ и $[-4; +\infty)$.
На числовой прямой это будет интервал, который начинается в точке -4 (включительно) и заканчивается в точке 8 (не включительно).
Таким образом, решение системы неравенств: $x \in [-4; 8)$.

Ответ: $[-4; 8)$.

б)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x - 10 < 0, \\ x^2 - 2x - 63 \geqslant 0. \end{cases}$

1. Сначала решим первое неравенство $x - 10 < 0$.
$x < 10$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 10)$.

2. Теперь решим второе неравенство $x^2 - 2x - 63 \geqslant 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 16}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-(-2) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 16}{2} = 9$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 63$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше или равны нулю на лучах левее первого корня и правее второго корня, включая сами корни.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -7] \cup [9; +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений. Нам нужно найти общие значения для $x < 10$ и $x \in (-\infty; -7] \cup [9; +\infty)$.
Рассмотрим пересечение с каждым из промежутков отдельно:
$(-\infty; 10) \cap (-\infty; -7] = (-\infty; -7]$.
$(-\infty; 10) \cap [9; +\infty) = [9; 10)$.
Объединяем полученные результаты.
Таким образом, решение системы неравенств: $x \in (-\infty; -7] \cup [9; 10)$.

Ответ: $(-\infty; -7] \cup [9; 10)$.

56. Автобус-экспресс отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся от автовокзала на расстоянии 40 км. Через 10 мин вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость такси и скорость автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть скорость автобуса-экспресса равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость такси на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч.

Расстояние, которое необходимо проехать, составляет 40 км. Время, которое затратил на этот путь автобус, можно выразить с помощью формулы $t = \frac{S}{v}$ как $t_{автобуса} = \frac{40}{x}$ часов.

Аналогично, время, которое затратило на этот же путь такси, составляет $t_{такси} = \frac{40}{x+20}$ часов.

В условии сказано, что такси выехало на 10 минут позже автобуса и прибыло в аэропорт одновременно с ним. Это означает, что время, которое такси находилось в пути, на 10 минут меньше, чем время автобуса. Для составления уравнения необходимо перевести минуты в часы:

$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$

Теперь можно составить уравнение, выражающее разницу во времени:

$t_{автобуса} - t_{такси} = \frac{1}{6}$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x+20} = \frac{1}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+20)$:

$\frac{40(x+20) - 40x}{x(x+20)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{40x + 800 - 40x}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

$\frac{800}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$1 \cdot (x^2 + 20x) = 800 \cdot 6$

$x^2 + 20x = 4800$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 20x - 4800 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Таким образом, скорость автобуса-экспресса $x$ равна 60 км/ч.

Найдем скорость такси:

$x + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 60 км/ч, скорость такси — 80 км/ч.